复合函数的导数练习题
复合函数求导
不妨设在A点处切线的斜率为1，
则有 ， ，
则可得 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解题的关键是利用导数得出切线斜率在 范围内，从而根据垂直得出斜率必须一个是1，一个是-1.
2．（2020·全国高二课时练习）已知函数 的导函数是 ，且 ，则实数 的值为（）
C．向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的 倍
D．向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
【答案】D
【分析】
先求得 ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.
【详解】
依题意 ，所以由 向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到 的图像.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.
6．（2020·河北张家口市·涿鹿中学高二月考）已知下列四个命题，其中正确的个数有（）
① ，② ，③ （ ，且 ），④
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】
由指数，对数，三角函数的求导公式一一判断即可.
【详解】
① ，所以①错误；
② ，所以②错误；
③ （ ，且 ），所以③错误；
④ ，所以④错误.
．
（Ⅱ）因为 ，所以 ， ，
所以 ．
故函数 在 上单调递减．
当 时， ．
又当 时， ， ，
所以函数 在 上的取值范围是 ．
[说明：对当 时， 的证法：
因为 （当 时，取等号），
所以 ，
而当 时， ，
所以当 时， ．
又 （当，
故当 时， ]
导数复合函数求导法则(非常实用)
π
则y=sinu
y ' = [sin(2 x + )]' = 2(sin u )u ' 3 π
= 2 cos u = 2 cos(2 x + ) 3
π
通过点(1， 例3．已知抛物线 ．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点 ，1), 通过点 且在点(2，－ 处与直线 相切， ， 且在点 ，－1)处与直线 ，－ 处与直线y=x－3相切，求a， － 相切 b，c的值 ， 的值 的值. 函数y=ax2+bx+c的导数 ’=2ax+b， 的导数y’ 解：函数 的导数 ， 由已知得f(1)=1，f(2)=－1，f ’(2)=1， ， 由已知得 － ， ，
1 所以y’ 所以 ’= u
·(2x)
2x = 2 x +1
（3） y = e ）
−2 x −3
－ 解：y=e－2x－3
令u=－2x－3，则y=eu， － － ，
－ 所以y’ 所以 ’=eu·(－2)=－2e－2x－3 . － －
（4） y = sin(2 x + ) ） 解：令u=2x+
π
3
3
4．函数 ．函数y=(1+cosx)3是由 个函数复合而成． 个函数复合而成．
y=u3, u=1+cosx 两
5．函数y=3sin x＋l在点 5．函数y=3sin2x＋l在点(π，1)处的切线方 在点(π，1)处的切线方 程是 y=1 .
6．求 y = 3 ax 2 + bx + c 的导数 ．
例2．求下列函数的导数 ． （1） y = (2 x 3) ）
5
解：（1）y=(2x+3)5， ：（ ） 令u=2x+3，则y=u5， ， 所以 [(5 x + 3) ]' = 5(u )u ' = 5 × 5u
三角函数的复合与反函数求导练习题
三角函数的复合与反函数求导练习题在微积分中，求导是一个非常基础且重要的概念，它在解决各种数学问题中起着关键作用。
本文将介绍三角函数的复合与反函数求导，以及一些练习题来帮助读者更好地理解这一概念。
一、复合函数的求导法则复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。
在求解复合函数的导数时，我们需要运用链式法则。
链式法则：设y=f(u)和u=g(x)是两个可导函数，那么y=f(g(x))是复合函数，其导数可以通过链式法则计算得到。
链式法则的表达式如下：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du表示外函数对内函数的导数，du/dx表示内函数对自变量的导数。
例如，我们有函数y=sin(2x)，我们可以将其看作两个函数的复合，即y=sin(u)和u=2x。
根据链式法则，我们可以计算出dy/dx的导数如下：dy/dx = dy/du * du/dx = cos(u) * 2 = 2cos(2x)二、反函数的求导法则反函数是指函数f(x)的反函数g(x)，即g(f(x))=x。
对于反函数的求导，我们可以通过导数的定义来推导。
设函数y=f(x)存在反函数y=g(x)，那么反函数的求导法则如下：dy/dx = 1 / (dx/dy)即，反函数的导数等于原函数导数的倒数。
例如，我们有函数y=sin(x)，其反函数为y=arcsin(x)，那么反函数的导数可以通过导数的定义来推导：dy/dx = 1 / (dx/dy) = 1 / (cos(y)) = 1 / (cos(arcsin(x))) = 1 / (√(1 - x^2))三、练习题解析下面我们来做两道练习题，以巩固三角函数的复合与反函数求导的知识。
练习题1：求函数y = cos(3x)的导数dy/dx。
解析：将函数y = cos(3x)看作两个函数的复合，即y = cos(u)和u = 3x。
根据链式法则，我们可以计算dy/dx的导数如下：dy/dx = dy/du * du/dx = -sin(u) * 3 = -3sin(3x)练习题2：求函数y = arctan(2x)的导数dy/dx。
专升本导数练习题及答案
专升本导数练习题及答案### 专升本导数练习题及答案#### 练习题一：基础导数计算题目：计算以下函数的导数：1. \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)2. \( g(x) = \sin(x) + e^x \)3. \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \)解答：1. 对于 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，我们使用幂函数的导数规则： \[ f'(x) = 6x + 2 \]2. 对于 \( g(x) = \sin(x) + e^x \)，我们分别求导：\[ g'(x) = \cos(x) + e^x \]3. 对于 \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \)，我们使用链式法则和幂函数的导数规则：\[ h'(x) = 4(x^3 - 1)^3 \cdot (3x^2) = 12x^2(x^3 - 1)^3 \]#### 练习题二：复合函数的导数题目：计算以下复合函数的导数：1. \( F(x) = (\ln(x))^2 \)2. \( G(x) = \sqrt{x} \cdot \sin(x) \)解答：1. 对于 \( F(x) = (\ln(x))^2 \)，我们使用链式法则和对数函数的导数：\[ F'(x) = 2(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln(x)}{x} \]2. 对于 \( G(x) = \sqrt{x} \cdot \sin(x) \)，我们使用乘积法则： \[ G'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) + \sqrt{x}\cdot \cos(x) \]\[ G'(x) = \frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\cos(x) \]#### 练习题三：隐函数的导数题目：计算以下隐函数的导数：1. \( x^2 + y^2 = 9 \) 求 \( \frac{dy}{dx} \)2. \( y^3 + xy = 2 \) 求 \( \frac{dy}{dx} \)解答：1. 对于 \( x^2 + y^2 = 9 \)，我们对等式两边求导：\[ 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \]\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]2. 对于 \( y^3 + xy = 2 \)，我们对等式两边求导：\[ 3y^2\frac{dy}{dx} + (x + y)\frac{dy}{dx} = 0 \]\[ \frac{dy}{dx}(3y^2 + x + y) = -x \]\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y^2 + x + y} \]#### 练习题四：高阶导数题目：计算以下函数的二阶导数：1. \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)2. \( g(x) = \ln(x) - e^x \)解答：1. 对于 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，我们首先求一阶导数： \[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]然后求二阶导数：\[ f''(x) = 6x - 12 \]2. 对于 \( g(x) = \ln(x) - e^x \)，我们首先求一阶导数：\[ g'(x) = \frac{1}{x} - e^x \]然后求二阶导数：\[ g''(x) = -\frac{1}{x^2} - e^x \]这些练习题涵盖了基础导数计算、复合函数导数、隐函数导数以及高阶导数，是专升本数学考试中常见的题型。
复合函数练习题链式法则
复合函数练习题链式法则复合函数练习题——链式法则复合函数是数学中的一个重要概念，在实际问题中经常用到。
复合函数的求导是微积分中的重要内容之一，链式法则是求导过程中常用的方法。
本文将通过一些复合函数的练习题介绍链式法则的应用。
1. 题目一设函数 f(x) 的导函数为 f'(x)，函数 g(x) 的导函数为 g'(x)，求复合函数 F(x) = f(g(x)) 的导函数 F'(x)。
解析：根据链式法则，复合函数的导数等于外函数对内函数求导乘以内函数的导数，即 F'(x) = f'(g(x)) * g'(x)。
2. 题目二设函数 f(x) 的导函数为 f'(x)，函数 g(x) 的导函数为 g'(x)，求复合函数 G(x) = g(f(x)) 的导函数 G'(x)。
解析：根据链式法则，复合函数的导数等于外函数对内函数求导乘以内函数的导数，即 G'(x) = g'(f(x)) * f'(x)。
3. 题目三设函数 f(x) 的导函数为 f'(x)，函数 g(x) 的导函数为 g'(x)，求复合函数 H(x) = g(f(g(x))) 的导函数 H'(x)。
解析：根据链式法则，复合函数的导数等于外函数对内函数求导乘以内函数的导数，即 H'(x) = g'(f(g(x))) * f'(g(x)) * g'(x)。
经过上述练习题的解析，我们可以总结出链式法则的一般表达形式：若有复合函数 y = f(g(x))，其中 f(u) 和 g(x) 均可导，则复合函数 y 对 x 的导数可以表示为：dy/dx = df/du * du/dx，其中 df/du 表示函数 f(u) 对 u 的导数，du/dx 表示函数 g(x) 对 x 的导数。
链式法则在求导过程中起到了重要的作用，通过对复合函数的求导，我们可以解决各种实际问题，如物理、经济等领域中的速度、加速度等相关问题。
复合函数求导练习题
复合函数求导练习题精品资料欢迎下载复合函数求导练题一、选择题（共26小题）1.设$f(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}}$，则$f'(2)=\frac{1}{9}$。
2.设函数$f(x)=g(x)+x+\ln x$，曲线$y=g(x)$在点$(1,g(1))$处的切线方程为$y=2x+1$，则曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=2x+2$。
3.下列式子不正确的是$(2sin2x)'=2cos2x$。
4.设$f(x)=sin2x$，则$f''(\frac{\pi}{4})=-1$。
5.函数$y=cos(2x+1)$的导数是$y'=-2sin(2x+1)$。
6.下列导数运算正确的是$(x^2)'=2x$。
7.下列式子不正确的是$(3x^2+xcosx)'=6x+cosx-xsinx$。
8.已知函数$f(x)=e^{2x}-3x$，则$f'(0)=2$。
9.函数$f(x)=\frac{1}{1+e^x}$的导数是$f'(x)=-\frac{e^x}{(1+e^x)^2}$。
10.已知函数$f(x)=sin2x$，则$f'(x)=2cos2x$。
11.$y=e^{sinx\ cosx\ sinx}$，则$y'=\frac{d}{dx}(e^{sinx\ cosx\ sinx})=cosx\ cos^2x\ e^{sinx\ cosx\ sinx}$，所以$y'(-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
12.下列求导运算正确的是$(e^{2x})'=2e^{2x}$。
13.若$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{1-x}}$，则函数$f(x)$可以是$ln\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$。
高一数学简单复合函数的求导法则试题
高一数学简单复合函数的求导法则试题1.（2014•榆林模拟）要得到函数的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的2倍（横坐标不变）C．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）【答案】D【解析】由题意可得f'（x）=2cos（2x+）==2sin[2（x+）+]，而由y=sin（2x+）y=2sin[2（x+）+]=f′（x），分析选项可判断解：∵的导函数f'（x）=2cos（2x+）==2sin[2（x+）+]而由y=sin（2x+）y=2sin[2（x+）+]=f′（x）故选D点评：本题主要考查三角函数的平移．复合函数的求导的应用，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．2.（2012•桂林模拟）设a∈R，函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．ln2B．﹣ln2C．D．【答案】A【解析】已知切线的斜率，要求切点的横坐标必须先求出切线的方程，我们可从奇函数入手求出切线的方程．解：对f（x）=e x+a•e﹣x求导得f′（x）=e x﹣ae﹣x又f′（x）是奇函数，故f′（0）=1﹣a=0解得a=1，故有f′（x）=e x﹣e﹣x，设切点为（x0，y），则，得或（舍去），得x=ln2．点评：熟悉奇函数的性质是求解此题的关键，奇函数定义域若包含x=0，则一定过原点．3.（2012•德阳三模）已知，将函数的图象按向量平移后，所得图象恰好为函数y=﹣f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数）的图象，则c的值可以为（）A．B．πC．D．【答案】D【解析】先根据辅助角公式进行化简，f（x）=cos（x+），按向量平移后得到y=cos（x﹣c+）的图象．由题意可得cos（x﹣c+）=sin（x+），从而得到c的值．解：∵f（x）==cosx﹣sinx=cos（x+），把函数的图象按向量平移后，所得图象对应的函数为y=cos（x﹣c+）．而﹣f′（x）=sin（x+），平移后，所得图象恰好为函数y=﹣f′（x），故cos（x﹣c+）=sin（x+），故可让c=，故选 D．点评：本题主要考查三角函数按照向量进行平移．其关键是要把向量的平移转化为一般的平移，然后根据三角函数的平移原则为左加右减上加下进行平移．4.设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8C．y=2x+2D．【答案】A【解析】据曲线在切点处的导数值为曲线切线的斜率，求g′（1）进一步求出f′（1），由点斜式求出切线方程．解：由已知g′（1）=2，而，所以f′（1）=g′（1）+1+1=4，即切线斜率为4，又g（1）=3，故f（1）=g（1）+1+ln1=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣4=4（x﹣1），即y=4x，故选A．点评：本题考查曲线在切点处的导数值为曲线切线的斜率．5.已知y=f（x）=ln|x|，则下列各命题中，正确的命题是（）A．x＞0时，f′（x）=，x＜0时，f′（x）=﹣B．x＞0时，f′（x）=，x＜0时，f′（x）无意义C．x≠0时，都有f′（x）=D．∵x=0时f（x）无意义，∴对y=ln|x|不能求导【答案】C【解析】利用绝对值的意义将函数中的绝对值去掉转换为分段函数；利用基本的初等函数的导数公式及复合函数的求导法则：外函数的导数与内函数的导数的乘积，分别对两段求导数，两段的导数合起来是f（x）的导数．解：根据题意，f（x）=，分两种情况讨论：（1）x＞0时，f（x）=lnx⇒f'（x）=（lnx）'=．（2）x＜0时f（x）=ln（﹣x）⇒f'（x）=[ln（﹣x）]'=（这里应用定义求导．）故选C点评：本题考查绝对值的意义、考查分段函数的导数的求法、考查基本初等函数的导数公式及简单的复合函数的求导法则．6.为得到函数y=sin（2x+）的导函数图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有点的（）A．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移【答案】C【解析】求出函数的导数，利用诱导公式化为正弦函数的形式，然后利用函数的平移原则，判断正确选项即可．解：函数y=sin（2x+）的导函数为y=2cos（2x+）=2sin（2x+），所以只需把函数y=sin2x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y=2sin2x的图象，横坐标向左平移，得到y=2sin2（x+）的图象，即y=2sin（2x+）=2cos（2x+）．故选C．点评：本题主要考查复合函数的导数，诱导公式以及三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．7.函数y=sin（2x2+x）导数是（）A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）【答案】C【解析】设H（x）=f（u），u=g（x），则H′（x）=f′（u）g′（x）．解：设y=sinu，u=2x2+x，则y′=cosu，u′=4x+1，∴y′=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），故选C．点评：牢记复合函数的导数求解方法，在实际学习过程中能够熟练运用．8.函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x【答案】D【解析】将f（x）=sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．解：将y=sin2x写成，y=u2，u=sinx的形式．对外函数求导为y′=2u，对内函数求导为u′=cosx，故可以得到y=sin2x的导数为y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x故选D点评：考查学生对复合函数的认识，要求学生会对简单复合函数求导．9.已知函数f（x﹣1）=2x2﹣x，则f′（x）=（）A．4x+3B．4x﹣1C．4x﹣5D．4x﹣3【答案】A【解析】令x﹣1=t求出f（x）的解析式；利用导函数的运算法则求出f′（x）．解：令x﹣1=t，则x=t+1所以f（t）=2（t+1）2﹣（t+1）=2t2+3t+1所以f（x）=2x2+3x+1∴f′（x）=4x+3故选A点评：本题考查通过换元法求出函数的解析式、考查导数的四则运算法则．10.若函数f（x）=，则f′（x）是（）A．仅有最小值的奇函数B．仅有最大值的偶函数C．既有最大值又有最小值的偶函数D．非奇非偶函数【答案】C【解析】先求导，转化为二次函数型的函数并利用三角函数的单调性求其最值，再利用函数的奇偶性的定义进行判断其奇偶性即可．解：∵函数f（x）=，∴f′（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=，当cosx=时，f′（x）取得最小值；当cosx=1时，f′（x）取得最大值2．且f′（﹣x）=f′（x）．即f′（x）是既有最大值，又有最小值的偶函数．故选C．点评：熟练掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及函数的奇偶性是解题的关键．。
导数乘除法则和复合函数求导1
sin x ( x sin x ) ( x ) sin x x (sin x ) x cos x 2 x
（3）由导数的乘法法则可得：
1 ( x ln x) ( x) ln x x(ln x) 1 ln x x ln x 1 x
例2
法则3 :两个函数的商的导数，等于分
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
x 2 x 2 x
( x e ) 2 xe x e ( 2 x x )e
（2）由导数的乘法法则
f ( x ) g ( x )
可得：
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
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＊ 导数公式：
（1） C 0 (C为常数)
n n 1 ( x ) nx (n R ) （ 2）
解析
解： （1）设 f ( x ) sin x, g ( x ) x ，则可知
f ( x ) cos x, g ( x ) 1
由导数的除法运算法则
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x) 2 g ( x)
1. 计算下列函数的导数：
x (1) y 1 cos x
1 cos x x sin x y (1 cos x )2
3x2 4x x 1 x 1 y ( 2) y 2 2 2 2 x ( x 1 ) x 1 x x e 1 2 e ( 3) y x y x e 1 (e 1) 2 x 2. 求曲线 y 在 x 处的切线方程。 sin x 3
导数四则运算及复合函数求导运算练习题
一、选择题 (共 7 小题 ,每题 5.0分,共 35 分)??1.函数 y ＝ 3sin(2x － 6)的导数为 ()??A ． y ′＝ 6cos(2x － 6)B ′ 3cos(2 ??6)． y ＝x －??C ． y ′＝－ 3cos(2x － 6 )??D ． y ′＝－ 6cos(2x － 6 )2??2.函数 f(x)＝ ?? 的导函数是 ()??A′() 2e 2x． f x ＝2??B ． f ′(x)＝ 2????(2??-1)??2??C ． f ′(x)＝2??(??-1)??2??D ． f ′(x)＝2??3.以下求导运算正确的选项是( )11 A ． (x ＋ ) ′＝ 1＋ 2???? 1B ． (log 2 x) ′＝ ??ln2C ． [(2 x ＋ 3)2] ′＝ 2(2x ＋ 3)D ． (e 2x ) ′＝ e 2x4. ( 1) 2 xf ′(x)()x － 2 －，则等于已知函数 f ＝ xA ． 4x ＋ 3B ． 4x －1C ． 4x －5D ． 4x － 35.函数 y ＝ cos(1＋ x 2)的导数是 ( )A ． 2xsin(1＋ x 2)B ． － sin(1＋ x 2)C ． － 2xsin(1＋ x 2)D ． 2cos(1＋x 2 )16.已知 f(x)＝ aln x ＋ 2x 2(a>0) ，若对随意两个不等的正实数取值范围是 ( )A ． (0,1]B ． (1，＋ ∞)??(??)-??(?? )1 21 2 >2 恒建立，则 a 的x， x ，都有?? -??21C． (0,1)D． [1 ，＋∞)7.已知曲线f(x) ＝xlnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A ． 1B． ln 2C． 2D． e二、填空题 (共9 小题 ,每题 5.0分,共 45分 )()8.已知函数 f(x) ＝2sin 3x＋ 9x，则lim ??1+△ ??-??(1)△ ??→0△ ??________.9.函数 f(x)＝ xsin(2x＋5)的导数为 ________．2)________________．10.函数 y＝ cos(2x＋ x 的导数是11.函数 y＝ ln√1+??2的导数为 ________．1-??212.y＝ xe cos x的导函数为 ________．sin x ′()________.13.f′(x)是 f( x) ＝cosx·e的导函数，则 f x＝14.()＝e2x· cos()的导数 f′()________.已知函数 f x x，则 f x x ＝15.已知函数 f(x)＝ (x＋ 2)e x，则 f′(0)＝________.2－1)，且 f′(1) 4________.16.已知 f(x)＝ ln(ax＝，则 a＝三、解答题 (共 0 小题 ,每题12.0 分 ,共 0分 )答案分析1.【答案】 A??【分析】令 y ＝ 3sint ， t ＝2x － 6 ，′ (3sin ?? ??t) ′·(2 则 y ＝ x － 6 ) ＝′3cos(2x － 6 ) ·2 ??＝ 6cos(2x － 6 )． 2.【答案】 C2??【分析】关于函数f(x)＝ ??， ?? 2?? ′ 2?? ′对其求导可得 f ′(x)＝ (?? ) ×??-?? × ??2??2??2??2??2????? -??(2??-1)??＝2＝2.????3.【答案】 B【分析】由于 (x ＋11′ 11，因此选项 A 不正确；′′()－2??＝ x ＋?? ＝??21，因此选项 B 正确；(logx)′＝??ln2[(2 x ＋ 3)2] ＝′2(2x ＋ 3) ·x(2＋ 3) ＝′4(2x ＋ 3)，因此选项 C 不正确；(e 2x ) ′＝ e 2x · (2x) ＝′ 2e 2x ，因此选项 D 不正确．4.【答案】 A【分析】令 x － 1＝ t ，则 x ＝ t ＋ 1，因此 f(t)＝ 2(t ＋ 1)2－ (t ＋ 1)＝ 2t 2＋ 3t ＋ 1，因此 f(x)＝ 2x 2＋ 3x ＋ 1，因此 f ′(x)＝4x ＋ 3.5.【答案】 C【分析】 y ′＝－ sin(1＋ x 2) · ＋(1 x 2) ′＝－ 2xsin(1＋ x 2)．6.【答案】 D??(??)-??(?? )【分析】对随意两个不等的正实数x 1， x 2，都有12>2 恒建立，??1-??2则当 x>0 时， f ′(x)≥2恒建立，?? f ′(x)＝ ＋ x ≥2在(0，＋ ∞)上恒建立，??则 a ≥(2x － x 2)max ＝ 1.7.【答案】 D【分析】 ∵f ′(x)＝ lnx ＋ 1，由曲线在某点的切线斜率为2，令 y ′＝ln x ＋1＝ 2，解得 x ＝ e.8.【答案】 6cos 3＋ 9【分析】 f ′(x)＝ (2sin 3x ＋ 9x) ′＝ 6cos 3x ＋ 9.lim ()??1+△ ??-??(1) ＝ f ′(1)＝ 6cos 3＋ 9. △ ??→0△ ??9.【答案】 sin(2x ＋ 5)＋ 2xcos(2x ＋ 5)【分析】 f ′(x)＝ x ′sin(2x ＋ 5)＋ x(sin(2 x ＋ 5)) ′＝ s in(2 x ＋ 5)＋2xcos(2x ＋ 5)．10.【答案】－ (4x ＋ 1)sin(2 x 2＋ x)【分析】 y ′＝－ (4x ＋ 1)sin(2 x 2＋ x)．2??11.【答案】 1-??411+??2【分析】 y ′＝ 1+??2(√) ′√21-?? 1-?? 21 1 (1+??2) ′＝ 1+??2 · 1+??2√2 2 √21-??21-?? 1-??1 1 4??＝1+??2 · 1+??2 · 2 ) 2√ 2 2 √ 2 (1-??1-?? 1-??1-?? 24??2 ＝ 2??＝ 2(1+?? 2 ) · 2 )1-?? 4. (1-??12. cos xcos x 【答案】－ xsinx ·e ＋ ecos xcos xcos x′【分析】 y ′＝ (xe) ′ x ′e ＋ x(e )＝＝ e cos x( sin e cos xcos x e cos x＋ x － x )＝－ xsinx ·e ＋ .13.【答案】 (cos 2x － sinx)e sin xsin x【分析】 ∵f(x)＝ cosx ·e ，sin x cosx(e sin x sin x cosxe sin x 2 sin x ∵f ′(x)＝ (cosx) ′e＋ ) ′－＝ sinxe ＋cosx ＝ (cos x － sinx)e .14.【答案】 e 2x (2cosx － sinx)【分析】由积的求导可得，f ′(x)＝ (e 2x · cosx) ′＝ e 2x · 2·xcos ＋e 2x (cosx) ′ ＝ 2e 2x cosx － e 2x sinx＝ e 2x (2cosx － sinx)．15.【答案】 3【分析】 ∵f ′(x)＝ [( x ＋ 2) ·e x ]′＝ e x ＋ (x ＋ 2)e x ，∵f ′ (0)＝ 1＋ 2＝ 3.16.【答案】 2【分析】∵f′(x)＝1(ax2－ 1) ′＝2????，22????-1????-1∵′(1)2??＝ 4，f＝??-1∵a＝ 2.。
导数的四则运算法则简单复合函数的导数
导数的四则运算法则简单复合函数的导数一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．函数y＝1＋ln2x 的导数是()A．ln xx1＋ln2xB．121＋ln2xC．－ln xx1＋ln2x D．ln x2x1＋ln2x【解析】选A.令u＝1＋v2，v＝ln x，则y＝u12，所以y′x＝y′u·u′v·v′x＝12u12－·2v·1x＝1 211＋ln2x·2ln x·1x＝ln xx1＋ln2x.2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2e x f′(1)＋3ln x，则f′(1)＝()A．－3B．2e C．21－2e D．31－2e【解析】选D.因为f′(1)为常数，所以f′(x)＝2e x f′(1)＋3x，所以f′(1)＝2ef′(1)＋3，所以f′(1)＝31－2e.3．函数y＝x ln (2x＋5)的导数为()A．ln (2x＋5)－x2x＋5B．ln (2x＋5)＋2x2x＋5C．2x ln (2x＋5) D．x 2x＋5【解析】选B.y′＝[x ln (2x＋5)]′＝x′ln (2x＋5)＋x[ln (2x ＋5)]′＝ln (2x ＋5)＋x·12x ＋5 ·(2x ＋5)′＝ln (2x ＋5)＋2x2x ＋5.4．已知函数f(x)＝14 x 2＋cos x ，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是( )【解析】选A.因为函数f(x)是偶函数，所以其导函数f′(x)＝12 x －sin x 是奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B ，D 两项，又因为在原点右侧靠近原点的区间上，sin x ＞12 x ，所以f′(x)＜0，所以原点右侧靠近原点的图象应该落在第四象限，故选A.【补偿训练】若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是( )【解析】选A.由函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，得b ＜0.又f′(x)＝2x ＋b 在R 上是增函数且在y 轴上的截距小于0，所以选A. 5．若f(x)＝x 2－2x －4ln x ，则f′(x)>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1，0)【解析】选C.因为f′(x)＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x，又x>0，所以f′(x)>0，即x －2>0，解得x>2.【补偿训练】函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是( ) A ．2 2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ．cos 2x －sin 2xC ．sin 2x ＋cos 2xD ．2 2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 【解析】选A.因为y′＝(sin 2x －cos 2x )′ ＝(sin 2x)′－(cos 2x)′＝cos 2x·(2x)′＋ sin 2x·(2x)′＝2cos 2x ＋2sin 2x＝2 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x＝2 2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 . 6．(多选题)下列各函数的导数正确的是( ) A ．(x )′＝12 x －12B ．(a x )′＝a x ln xC ．(sin 2x)′＝cos 2xD ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x x ＋1 ′＝1（x ＋1）2【解析】 选AD.(x )′＝(x 12 )′＝12 x －12，A 正确； (a x )′＝a x ln a ，B 错误；(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝2cos 2x ，C 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x x ＋1 ′＝x′·（x ＋1）－x·（x ＋1）′（x ＋1）2＝x ＋1－x（x ＋1）2 ＝1（x ＋1）2，D 正确． 二、填空题(每小题5分，共10分)7．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝⎝⎛⎭⎫ax ＋1 e x 在点⎝⎛⎭⎫0，1 处的切线的斜率为－2，则a＝________．【解析】由y ＝(ax ＋1)e x ，所以y′＝ae x ＋(ax ＋1)e x ＝(ax ＋1＋a)e x ，故曲线y ＝(ax ＋1)e x 在(0，1)处的切线的斜率为k ＝a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－38．已知f(x)＝13 x 3＋3xf′(0)，则f′()0 ＝________，f′(1)＝________． 【解析】由于f′(0)是一常数， 所以f′(x)＝x 2＋3f′(0)， 令x ＝0，则f′(0)＝0， 所以f′(1)＝12＋3f′(0)＝1. 答案：0 1三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求下列函数的导数． (1)f(x)＝2x ＋ln x ；(2)f(x)＝ax sin x －32 (a ∈R )； (3)f(x)＝(e x －1)(2x －1)k .【解析】(1)f′(x)＝－2x 2 ＋1x ＝x －2x 2 . (2)f′(x)＝a sin x ＋ax cos x.(3)f′(x)＝(e x －1)′(2x －1)k ＋(e x －1)⎣⎡⎦⎤（2x －1）k ′＝e x (2x －1)k ＋(e x －1)·2k(2x －1)k －1＝(2x －1)k －1⎣⎡⎦⎤e x （2x －1＋2k ）－2k .10．已知f′(x)是一次函数，x 2f′(x)－(2x －1)·f(x)＝1.求f(x)的解析式． 【解析】由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数． 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax ＋b. 把f(x)，f′(x)代入方程x 2f′(x)－(2x －1)f(x)＝1 得：x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c)＝1， 即(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c －1＝0. 要使方程对任意x 恒成立， 则需要a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f(x)＝2x 2＋2x ＋1.(35分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】选D.y′＝－4e x （e x ＋1）2 ＝－4e x e 2x ＋2e x＋1，设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y′＝－4t t 2＋2t ＋1 ＝－4t ＋1t ＋2 ，因为t ＋1t ≥2(t ＝1时取等号)，所以y′∈[－1，0)，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π . 2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x ，则f′(e)＝( ) A ．e B ．－1 C ．－e －1 D ．－e 【解析】选C.因为f′(x)＝2f′(e)＋1x ，所以f′(e)＝2f′(e)＋1e ，所以f′(e)＝－1e ＝－e －1.3．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M 02－t30 ，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝( ) A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克【解析】选D.M′(t)＝－130 ln 2×M 02t30－， 由M′(30)＝－130 ln 2×M 023030－＝－10ln 2，解得M 0＝600，所以M(t)＝600×2t30－，所以t ＝60时，铯137的含量为M(60)＝600×23030－＝600×14 ＝150(太贝克).4．已知函数f(x)＝12 x 2＋4ln x ，若存在满足1≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[5，＋∞)B ．[4，5]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，133D ．(－∞，4)【解析】选B.f′(x)＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号，当1≤x 0≤3时，f′(x 0)∈[4，5]，又k ＝f′(x 0)＝m ，所以m ∈[4，5]. 二、填空题(每小题5分，共20分)5．设f(x)＝x(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n)，则f′(0)＝________． 【解析】令g(x)＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n)， 则f(x)＝xg(x)，求导得f′(x)＝x′g(x)＋xg′(x)＝g(x)＋xg′(x)， 所以f′(0)＝g(0)＋0×g′(0)＝g(0) ＝1×2×3×…×n. 答案：1×2×3×…×n6．已知f(x)＝x 2＋2f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 x ，则f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝________.【解析】因为f(x)＝x 2＋2f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 x ，所以f′(x)＝2x ＋2f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ，所以f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＋2f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ， 所以f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ，即f′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝23 . 答案：237．曲线y ＝xe x ＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________． 【解析】y′＝e x ＋xe x ＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3， 所以所求切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1. 答案：y ＝3x ＋18．若曲线f(x)＝x·sin x ＋1在x ＝π2 处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________．【解析】因为f′(x)＝sin x ＋x cos x ，所以f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝sin π2 ＋π2 cos π2 ＝1. 又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2 ，所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2 ＝－1，解得a ＝2. 答案：2三、解答题(每小题10分，共30分)9．若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154 x －9都相切，求实数a的值．【解析】因为y ＝x 3，所以y′＝3x 2，设过(1，0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30 )， 则在(x 0，x 30 )处的切线方程为y －x 30 ＝3x 20 (x －x 0).将(1，0)代入得x 0＝0或x 0＝32 . ①当x 0＝0时，切线方程为y ＝0，则ax 2＋154 x －9＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫154 2 －4a×(－9)＝0得a ＝－2564 . ②当x 0＝32 时，切线方程为y ＝274 x －274 ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋154x －9，y ＝274x －274，得ax 2－3x －94 ＝0，Δ＝(－3)2－4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94 ＝0，得a ＝－1.综上，a ＝－2564 或a ＝－1. 10．已知曲线C ：y 2＝2x －4.(1)求曲线C 在点A(3， 2 )处的切线方程．(2)过原点O 作直线l 与曲线C 交于A ，B 两个不同的点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【解析】(1)y ＞0时，y ＝2x －4 ，所以y′＝12x－4，所以x＝3时，y′＝22，所以曲线C在点A(3， 2 )处的切线方程为y－ 2 ＝22(x－3)，即x－ 2 y －1＝0.(2)设l：y＝kx，M(x，y)，则将y＝kx代入y2＝2x－4，可得k2x2－2x＋4＝0，所以Δ＝4－16k2＞0，所以1k2>4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k2，所以y1＋y2＝2k，所以x＝1k2，y＝1 k，所以线段AB的中点M的轨迹方程为y2＝x(x＞4).11．(1)已知函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，求函数g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程．(2)已知函数f(x)＝x ln x＋mx2.若f()1＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．【解析】(1)因为函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，所以f()2＝3，f′()2＝2，因为g(x)＝x2＋f(x)，所以g′()x＝2x＋f′(x)，所以g′()2＝4＋f′()2＝6，g()2＝4＋3＝7，所以切线方程为y－7＝6⎝⎛⎭⎫x－2，即6x－y－5＝0.(2)因为f()1＝m＝1，所以m＝1，所以f(x)＝x ln x＋x2，圆学子梦想铸金字品牌所以f′(x)＝ln x＋2x＋1.所以f(1)＝1，切点为(1，1).f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.- 11 -。
导数--复合函数的导数练习题
函数求导1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限） （1）求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00。
（3）取极限求导数=)(0'x f xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0002．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。
函数在某一点)(0'x f 的导数就是导函数)(x f ，当0x x =时的函数值。
3．常用的导数公式及求导法则： （1）公式①0'=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-=④1')(-=n n nxx⑤a a a xx ln )('=⑥xx e e =')(⑦a x x a ln 1)(log '=⑧x x 1)(ln '= ⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（xx 2'sin 1)cot -= （2）法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±， )()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f +=)()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -= 例：（1）()324y x x =- （2）sin xy x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+（5）()ln 2y x =+复合函数的导数如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，并且(f [)(x ϕ])ˊ= [])(x f ϕ')(x ϕ'或记作 x y '=u y '•x u '熟记链式法则若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则x y '=)()(x u f ϕ''若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则x y '=)()()(x v u f ψϕ'''（2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。
导数的运算律,复合函数求导及极值问题习题
和、差、积、商的导数+复合函数求导1．曲线2)(3-+=x x x f 在P 点处的切线平行于直线14-=x y ，则P 点坐标为（ ）A ．)0,1(B ．)8,2(C ．)8,2(和)4,1(-D ．)0,1(和)4,1(--2．已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点)3,1(，则b 的值为（ ）A ．3B ．3-C ．5D ．5-3、已知y =21sin2x +sin x ,那么y ′是 A 仅有最小值的奇函数 B 既有最大值，又有最小值的偶函数C 仅有最大值的偶函数D 非奇非偶函数4.函数y=(x+2a)(x －a)2的导数为 （ ）A ．2（x 2－a 2） B.3(x 2+a 2) C.3(x 2－a 2) D.2(x 2+a 2)5.已知函数11313+-=xx y ，则其导函数的值域为 。
6.曲线106323+++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程是 。
7、曲线y =sin3x 在点P （3π,0）处切线的斜率为___________ 8、函数y =x sin(2x －2π)cos(2x +2π)的导数是 9.求曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程10、求函数cos(2)3y x π=-的导数11、求函数1lny x=的导数极值1、关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是 （ ）A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内，)(x f 为增函数2、函数y =1+3x －x 3有 （ ）A.极小值－2,极大值2B.极小值－2,极大值3C.极小值－1,极大值1D.极小值－1,极大值33、函数f （x ）=x 3－3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则（） A.0<b <1 B.b <1 C.b >0 D.b <214、求下列函数的单调区间，极值（1）59323+--=x x x y ，[4,4]x ∈-（2）()ln(1)34f x x x =--+答案和、差、积、商的导数+复合函数求导1．曲线2)(3-+=x x x f 在P 点处的切线平行于直线14-=x y ，则P 点坐标为（ D ）A ．)0,1(B ．)8,2(C ．)8,2(和)4,1(-D ．)0,1(和)4,1(--2．已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点)3,1(，则b 的值为（ A ）A ．3B ．3-C ．5D ．5-3、已知y =21sin2x +sin x ,那么y ′是 （ B ） A 仅有最小值的奇函数 B 既有最大值，又有最小值的偶函数C 仅有最大值的偶函数D 非奇非偶函数4.函数y=(x+2a)(x －a)2的导数为 （ C ）A ．2（x 2－a 2） B.3(x 2+a 2) C.3(x 2－a 2) D.2(x 2+a 2)5.已知函数11313+-=xx y ，则其导函数的值域为 [2,)+∞ 。
第一章1.2第3课时复合函数的求导问题
第一章导数及其应用
导数的计算
导数的运算法则
第二课时
复合函数的导数及导数计算的综合问题
级基础巩固
一、选择题
．函数＝ (－)的导数是( )
．．－．－．
解析：′＝－(－)(－)′＝－ .
答案：
．函数＝(＋)(－)在＝处的导数等于( )
．．．．解析：′＝[(＋)]′(－)＋(＋)(－)′＝(＋)·(－)＋(＋)＝＋－.所以′＝＝.
答案：．设曲线＝－ (＋)在点(，)处的切线方程为＝，则＝( )
．．．．解析：令＝－(＋)，则′()＝－.所以()＝，且′()＝.联立解得＝.
答案：
．＝的导数是( )
．′＝－
．′＝－
．′＝－
．′＝－
解析：令＝，则＝，′＝′·′＝·(－)＝－ .
答案：
.已知二次函数()的图象如图所示，则其导函数′()的图象大致形
状是( )
解析：依题意可设()＝＋(＜，且＞)，于是′()＝，显然′()的图象
为直线，且过原点，斜率＜.
答案：
二、填空题
．函数＝的图象在处的切线的斜率是．
解析：因为′＝，
所以＝′＝＝＝.
答案：．设曲线＝在点(，)处的切线与直线＋＋＝垂直，则＝．
解析：令＝()，则曲线＝在点(，)处的切线的斜率为′()，又切线
与直线＋＋＝垂直，所以′()＝.因为()＝，所以′()＝()′＝·()′＝，所以′()
＝＝，故＝.
答案：
．若函数为＝－，则′＝．
解析：因为＝－＝(＋)·(－)＝－，
所以′＝(－)′＝－(－)·()′＝ .
答案：
三、解答题
．求下列函数的导数：
()＝(－)；。
高等数学导数求导练习题
高等数学导数求导练习题一、基本初等函数求导1. 求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 5 的导数。
2. 求函数 f(x) = (3x + 1)^4 的导数。
3. 求函数 f(x) = 1/(x^2 1) 的导数。
4. 求函数f(x) = √(x^2 + 3) 的导数。
5. 求函数 f(x) = 2^x 3^x 的导数。
二、复合函数求导6. 求函数 f(x) = (x^2 + 1)^3 的导数。
7. 求函数 f(x) = sin(2x + 1) 的导数。
8. 求函数 f(x) = ln(e^x + 1) 的导数。
9. 求函数 f(x) = cos^2(x) 的导数。
10. 求函数 f(x) = (1 + x^2)^5 的导数。
三、隐函数求导11. 已知 y = x^3 + y^3，求 dy/dx。
12. 已知 x^2 + y^2 = 25，求 dy/dx。
13. 已知 e^y = x^2 + y^2，求 dy/dx。
14. 已知 sin(x + y) = y^2，求 dy/dx。
15. 已知 ln(x^2 + y^2) = 2x，求 dy/dx。
四、参数方程求导16. 已知参数方程 x = t^2，y = t^3，求 dy/dx。
17. 已知参数方程 x = cos(t)，y = sin(t)，求 dy/dx。
18. 已知参数方程 x = 2t + 1，y = 3t^2 2，求 dy/dx。
19. 已知参数方程 x = e^t，y = e^(2t)，求 dy/dx。
20. 已知参数方程 x = asin(t)，y = acos(t)，求 dy/dx。
五、高阶导数21. 求函数 f(x) = x^4 2x^3 + 3x^2 的二阶导数。
22. 求函数 f(x) = e^x sin(x) 的一阶和二阶导数。
23. 求函数 f(x) = ln(x^2 + 1) 的一阶和二阶导数。
24. 求函数 f(x) = (x^2 + 1)^(3) 的一阶和二阶导数。