函数的奇偶性获奖教案

一．课题：函数奇偶性（1）

二．教学目标：

1. 使学生理解奇函数、偶函数的概念；使学生掌握判断函数奇偶性的方法；

2. 培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练。

三．教学重点：函数奇偶性的概念

四．教学过程：

（一）复习：（提问）

增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤；

（二）新课讲解：

请同学们观察图形，说出函数2x y =和1y x

=-(0x ≠)的图象各有怎样的对称性？

1．奇偶性的定义：

（1）偶函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，

都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。例如：函数2()1f x x =+, 4()2f x x =-等都是偶函数。

（2）奇函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，

都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数。例如：函数x x f =)(，x x f 1)(=都是奇函数。 （3）奇偶性的定义：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数

()f x 具有奇偶性。

说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：

（1）其定义域关于原点对称；

（2） ()()f x f x -=或()()f x f x -=-必有一成立。

因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算()f x -，看是等于()f x 还是等于()f x -，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。

（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。

（4）函数0)(=x f 既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足)()(x f x f -=也满足)()(x f x f --=。

（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

（6）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．

2．例题分析：

例1．判断下列函数的奇偶性：

（1）3()f x x x =+

（2

）()f x =

（3）64()8f x x x =++ [2,2)x ∈-

（4）42()23f x x x =+

例2．判断下列函数的奇偶性：

（1

）()||f x x =

（2

）()2|2|f x x =-+

说明：在判断()f x -与()f x 的关系时，可以从()f x -开始化简；也可以去考虑()()f x f x +-或()()f x f x --；当()f x 不等于0时也可以考虑()

()f x f x -与1或1-的关系。

例3．已知函数53()8f x x ax bx =++-若(2)10f -=，求(2)f 的值。

说明：函数的奇偶性不但可以求函数值，也可以利用奇偶性的图象性质作

函数图象。

例4．已知：函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0,)+∞上是增函数，

证明：()y f x =在(,0)-∞上也是增函数。

说明：函数的奇偶性和单调性的综合：奇函数在对称于原点的两个区间上

的单调性一致；偶函数则在在对称于原点的两个区间上的单调性相反！

例5．()f x 为R 上的奇函数，当0x

>时，2()231f x x x =-++，求()

f x 的解析式。

．

例6．定义在R 上的函数()f x 为减函数，且f(2x+1)

变式：定义在R 上的奇函数()f x 为减函数，且 f(2x+1)+f(x-1)<0,求x

的范围.

五．小结：1．函数奇偶性的定义；

2．判断函数奇偶性的方法；

3．特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。

六．作业：1．习题

补充： 1．已知22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当,m n 为何值时，

()f x 为奇函数。

2．偶函数()f x 在[]0,π上单调递增，则(3),()2f f f π

--从小到大排列的顺序是 ；

3．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，

2()2f x x x =-，求()f x 的解析式。