(课件)29[1].1几何问题的处理方法

（邻补角的定义）
∴ ∠2 + ∠4 = 180 °
平行线的性质
E A C
3 4
2 1
B D
如图AB//CD, 同旁内角∠２ 与∠４ 大小有什么关系？
结论：两条平行直线被第三 条直线所截，同旁内角互补
若AB//CD
则∠2 + ∠4 = 180 °
F
简 两直线平行， 记：
同旁内角互补．
平 行 线 的 性质
b a
1
2
c
回忆:
我们以前是怎样过已知直线a外一点p画a的平行线b的?
c b
．
p
a
45° 45°
平行线的判定方法1:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
同位角相等,两直线平行.
想一想:
如图:如何判断这块玻璃板的上、下两边平行？
已知∠1 =∠3，直线a、b会平行吗？ 解：如果∠1 =∠3， 又∵∠2=∠3,（对顶角相等）
c
小兔：两直线平行，同位角相等。 小熊：两直线平行，内错角相等。
1 2 4 3 b
证明： ∵ a // b
a
(已知)
∴ ∠1= ∠3
（两直线平行，同位角相等）
又∵ ∠1= ∠2 （对顶角相等） ∴ ∠2= ∠3 （等量代换）
平行线的性质
E A C
3 4
2 1
B D
如图AB//CD, 内错角∠２ 与∠３ 大小有什么关系？
1 B
F
∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于 任何一个和 它不相邻的内角). ∴ ∠1>∠2(不等式的性质).
例4：已知:如图所示,在△ABC中,外角
∠DCA=100°,∠A=45°. 求:∠B和∠ACB的大小.
解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知),
A


∠DCA=100°(已知),
∠A=45°(已知), B C D
∴ ∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角意义).

∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
你认识 例5：已知:国旗上的正五角星形如图所示. 外角吗?
求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
E
A
· ·
D
1 ∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义). 2 ∴∠DAE=∠B(等量代换). B
∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).
C
例2 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角 ∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
证明:由证法1可得:
E
∠DAC=∠C (已证), ∵ ∠BAC+∠B+∠C =1800 (三角形内角和定理). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换). ∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
C
联想 >> 三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角和 >> 直角三角形的两锐角互余 >> ｎ边形的内角和等于
（ｎ－2）×180°。
例 求证：三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角和 • 已知：如图，∠CBD是△ABC的一外角。 • 求证：∠CBD=∠A+∠C
证明:∵∠A+∠ABC+∠C=1800(三角形
E A C
3 4
2 1
B D
如图AB//CD, 同位角∠1 与∠2大小 有什么关系？其他同位角大小也有 这样的关系吗？
F
关于同位角， 哈哈，看我小 兔的！
平行线的性质
A
c
1 B
C 2
结论： 如果两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
D
简 两直线平行 记：
同位角相等
如图 若AB//CD 则 ∠1 = ∠2
∴∠1=∠2，(等量代换) ∴a∥b (同位角相等,两直线平行)
c
2 3
a
b
1
平行线的判定方法2：
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
内错角相等，两直线平行。
想一想:
仿照上例,如果∠1+∠4=180°,那么a∥b吗?
（已知） 解： ∵∠1+∠4=180°
c
2
4
（平角的定义） 又∵∠2+∠4=180°
29.1 几何问题的处理方法
逻辑推理是研究数学的一个重要的 基本方法。几何学的研究充分运用了这 一方法。
这就是中国明代伟大的科学家徐 光启与他翻译的《几何原本》。
地球是运动的 缺乏依据,无法证明
哥白尼
知识回顾
探索几何图形性质的 常用的两种方法?
• （1）通过看一看、画一画、比一 比、量一量、算一算、想一想、猜 一猜得出结论，并在实验、操作中 对结论作出解释的方法； • （2）用逻辑推理的方法。
回忆1
你还记得吗？
等式、不等式的有关性质以及选等 量代换也是推理的依据。也将“经过两 点有且只有一条直线”以及“经过直线 外一点有且只有一条直线与已知直线平 行”（平行公理）作为添加辅助线的依 据。 有了上述推理依据。我们就能用逻辑推理 的方法证明本教材中出现地的所有的几何图 形的属性。
平行线的性质
分析:设法利用外角把这五个角“凑” 到一个三角形中,运用三角形内角和定 理来求解. B H A
2 1F
E
解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的意义), ∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外 C D 角等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的意义), ∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和). 又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理). ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质).
F
关于同旁内角， 呵呵，看我小 猴的！
同学们，请你们帮忙证 明我的结论吧！呵呵
小兔：两直线平行，同位角相等。
c
小熊：两直线平行，内错角相等。 小猴：两直线平行，同旁内角互补。 证明： ∵ a // b ( 已 知 )
1 a
∴ ∠2= ∠3
2 4 3 b
（两直线平行，内错角相等）
又∵ ∠3 + ∠4 = 180 °
讨论 n边形的内角和为:(n-2)×180°
A1 A5
A2 A3
A4
课堂感悟
谈一谈你对于证明, 有了哪些新的认识. 作业：练习1－3； 习题1
《几何问题的处理方法》
看完我的演 示,得到什么 结论呢?
F
结论：如果两条平行直线被第 三条直线所截，内错角相等。
简 两直线平行， 记： 内错角相等．
若AB//CD 则∠２ ＝∠３
平行线的性质
E A C
3 4
2 1
B D
如图AB//CD, 同旁内角∠２ 与∠４ 大小有什么关系？
猜想: 两条平行直线被第三条直线 所截，同旁内角互补
D
用文字表述为: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
在这里,我们通过三角形内角和定理 直接推导出两个新定理.像这样,由一 个公理或定理直接推出的定理,叫做 这个公理或定理的推论 推论可以当作定理使用.
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角 等于和它不相邻的两个内 3 B 角的和. 推论2: 三角形的一个外角 大于任何一个和它不相邻的内角.
如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图 中的其它角有什么关系? A 能证明你的结论吗?
2
∠1+∠4=1800 ;∠1>∠2;∠1>∠3; 3 4 1 B C ∠1=∠2+∠3. 证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理),
∠1+∠4=1800(平角的意义), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换). ∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
D
C
例1
已知：在△ABC中，AB＝AC， ∠B＝80°，求 ∠C和∠A的度数。 解：∵AB＝AC（已知）， ∴ ∠C＝ ∠B＝ 80°（等边对等角） ∵ ∠A ＋∠B＋ ∠C＝180 °（三角形内角和等于180 ° ） ∴∠A＝180°－ ∠B－ ∠C（等式的性质） ＝180 ° －80 ° －80 ° ＝20 °。 用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有 的属性这种合情推理的方法是研究问题的 又一种基本方法。
·

∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).
B
·C
例2 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角 ∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ∠B=∠C (已知), 1 ∴源自文库B= ∠EAC(等式性质). 2 ∵ AD平分 ∠EAC(已知).
C
内角和定理),
∠A＋ ∠C＝1800－ ∠ABC（等式的性质） ∠ABC+∠CBD=1800(平角的定义), A
∴ ∠CBD＝∠A＋∠C (等量代换). ∴∠CBD=1800－∠ABC.(等量性质).
B
D
图29.1.3
>> 由于这里所证明为正确的命题也经常需要用来作为判断其他 命题真假的依据，因此我们把这一真命题也作为定理。
A 2
4 1 C
D
• 有了“三角形的三个内角和等 于180°”这条定理后，你能证 明直角三角形的两个锐角之间 所具有的数量关系吗？
例2 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角 ∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和), ∠B=∠C (已知), E 1 ∴∠C= ∠EAC(等式性质). 2 A D ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 1 ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). 2
a
∴∠1=∠2（同角的补角相等） ∴a//b （同位角相等，两直线平行）
1
b
平行线的判定方法3：
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
同旁内角互补，两直线平行。
感受证明 求证：三角形的内角和为180°
已知：△ABC 求证：A+B +C=180°
B A
由此我们知道，逻 辑推理是最终确认几何 图形属性的重要方法。
1. 两直线平行，同位角相等。
（若a
// b ，则∠1=∠3 ）c
1 2 4 3 b a
2. 两直线平行，内错角相等。
（若a
// b ，则∠2=∠3 ）
3. 两直线平行，同旁内角互补。
（若a∥b
，则∠2+∠4=180°）
做一做：
如图,三根木条相交成∠1与∠2,固定木条 b,c，转动木条a。并猜想: ∠1与∠2满足什 么条件时, a//b?
• 等腰三角形是轴对称图形 • ∠B=∠C 等腰三角形两个底角相等 简写成“等边对等角” • ∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线 简称“三线合一” • ∠ADB=∠ADC ，AD为底边上的高线 • BD=CD，AD为底边上的中线 等腰三角形的顶角 平分线、底边上的 中线、底边上的高 互相重合
A
B
做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人 的等腰三角形可以不一样，如图，把纸片 对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为 AD.你能发现什么现象吗？
A
A
B
D
C
B
D
C
想一想：
可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以 等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD的在的直线 就是它的对称轴。 由于AB与AC重合，因此点B与点C重合，这样 线段BD与CD也重合。所以∠B＝ ∠C。 等腰三角形两个底角相等，简写成“等边对等角” 这种合情推理的方法是研究几何图形属性的 一种基本方法。同时也学习了用逻辑推理的方法 去探索一些几何图形所具有的属性。
讨论:在这个特征中,条件是什么?结论是 什么? 它与”同位角相等,两直线平行” 有什么不同?
平行线的性质
E A C
3 4
2 1
B D
如图AB//CD, 内错角∠２ 与∠３ 大小有什么关系？
关于内错角， 看我小熊的！
F
我们可以猜想得到: 如果两条平行直线被第三条直 线所截，内错角相等。
同学们，帮帮忙，请你们利用小兔 的结论来证明一下我的结论，好吗？
B
A
D
· ·C
例3 已知:如图,在△ABC中, ∠1是它 的一个外角, E为边AC上一点,延长BC 到D,连接DE. D 求证: ∠1>∠2. 2
证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), ∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大 于任何一个和 它不相邻的内角). E 4
5
C
3
A ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义).
逻辑推理的方法是研究数学的一个 重要的基本方法.
• 逻辑推理需要依据,我们试图用最少的几条基本 事实作为逻辑推理的,最原始的依据,因此在第 19章中,给出了如下的公理: (1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等. (2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相 等，那么这两条直线平行。 (3)如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其 夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角 形全等。 (4)全等腰三角形的对应边、对应角分别相等。