河南省豫南九校2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题含答案

豫南九校2019-2020学年上期期末联考

高一数学试题

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合}2,1{=A ，则集合},|),{(A y A x y x B ∈∈=中元素的个数为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4

2.已知P ：直线01:1=-+y ax l 与直线0:2

2=++a ay x l 平行，则a 的值为（ ） A ．1 B ． -1 C ． 0 D ．-1或1

3.函数??

???>≤=0,log 0

,)21()(2x x x x f x

，则=))81((f f （ ）

A ．

41 B ． 4 C ． 8

1

D ． 8 4.设βα,是两个不同的平面，m 是直线且α?m ，β//m ，若使βα//成立，则需增加条件（ ）

A ． n 是直线且α?n ，β//n

B ．m n ,是异面直线，β//n C. m n ,是相交直线且α?n ，β//n D ．m n ,是平行直线且α?n ，β//n 5.已知函数32)(2

--=ax x x f 在区间]2,1[上是单调增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ． )1,(-∞ B ． ]1,(-∞ C. ),2(+∞ D ．),2[+∞

6.已知矩形ABCD ，6=AB ，8=BC ，沿矩形的对角线AC 将平面ACD 折起，若D C B A ,,,四点都在同一球面上，则该球面的面积为（ ）

A ．π36

B ．π64 C. π100 D ．π200

7.设)(x f 是定义在实数集上的函数，且)()2(x f x f =-，若当1≥x 时，x x f ln )(=，则有（ ）

A ．)2()0()1(f f f =<-

B ．)2()0()1(f f f =>- C. )2()0()1(f f f <<- D ．)2()0()1(f f f >>-

8.已知bx ax x f +=2

)(是定义在]2,1[a a -上的偶函数，那么)(x f 的最大值是（ ） A ． 0 B ．

31 C. 27

4 D ．1 9.某四面体的三视图如图，则该四面体的体积是（ ）

A ． 1

B ．

34 C. 2

3

D ．2 10.已知实数y x ,满足方程0142

2

=--+x y x ，则x y 2-的最小值和最大值分别为（ ） A ． -9，1 B ．-10，1 C. -9，2 D ．-10，2

11.已知函数12)(2

+-=x ax x f ，若对一切]2,2

1

[∈x ，0)(>x f 都成立，则实数a 的取值范围为（ ）

A ． ),21[+∞

B ．),2

1(+∞ C. ),1(+∞ D ．)1,(-∞

12.已知BD AC ,为圆92

2

=+y x O ：的两条互相垂直的弦，且垂足为)2,1(M ，则四边形

ABCD 面积的最大值为（ ）

A ． 10

B ．13 C.15 D ．20

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.函数)1(log )(22

1-=x x f 的单调递增区间为 ．

14.已知集合}6)2()1(|),{(2

2=++-=y x y x A ，}052|),{(=-+=y x y x B ，则集合B A I 中子集个数是 ．

15.如图，已知圆柱的轴截面11A ABB 是矩形，AB AA 21=，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，

1C 是圆柱上底面弧11B A 的中点，那么异面直线1AC 与BC 所成角的正切值为 ．

16.已知函数???≥+-<+-=1

,241

|,1|1)(2x x x x x x f ，则函数12)()2()(+--=x x f x x g 的零点个数

为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知全集R U =，集合}1log 0|{3<<=x x A ，集合}12|{m x m x B -<<=. （1）当1-=m 时，求B A Y ，B A C U I )(； （2）若A B A =I ，求实数m 的取值范围.

18. 已知直线0)()2(:=-+++-b a y b a x b a l 及点)3,1(P . （1）证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； （2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程. 19. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x

x

x f 31)(-=. （1）求)(x f 的解析式； （2）解不等式8

)(x x f -

<. 20. 已知圆C 经过点)1,2(-A ，)3,0(-B 和直线1=+y x 相切. （1）求圆C 的方程；

（2）若直线l 经过点)0,2(B ，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 21. 如图，四面体PABC 中，⊥PA 平面ABC ，1=PA ，1=AB ，2=AC ，3=

BC .

（1）求四面体PABC 的四个面的面积中，最大的面积是多少？ （2）证明：在线段PC 上存在点M ，使得BM AC ⊥，并求MC

PM

的值. 22.已知函数x x f 3log 23)(-=，x x g 3log )(=.

（1）当]9,1[∈x 时，求函数)(]1)([)(x g x f x h ?+=的值域；

（2）如果对任意的]9,1[∈x ，不等式k x f x f >?)()(2

恒成立，求实数k 的取值范围；

（3）是否存在实数a ，使得函数)(]2)([)(x f x ag x F ?+=的最大值为0，若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.

豫南九校2017—2018学年上期期末联考

高一数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1．解析：选D 集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4个．

2．解析：选A 由于直线l 1：ax ＋y －1＝0与直线l 2：x ＋ay ＋2a ＝0平行所以012=-a ，

即=a －1或1，经检验1=a 成立。

3．解析：选D. ∵381log 812-==??

?

??f ，∴

821)3(813

=???

??=-=?

??

? ????? ??-f f f .故选D. 4．解析：选C. 由直线和平面平行的判定定理可得。

5．解析：选B.函数f (x )＝x 2

－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．

由图象可知，函数在[a ，＋∞)上是单调增函数，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1，从而a ∈(－∞，1]．

6．解析：选C.矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的对角线AC=10为该球的 直径，所以该球面的面积为π100。

7．解析：选B. 由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于x ＝1对称，所以)2()0(f f =，

)3()1(f f =-，又当x ≥1时，f (x )＝ln x 单调递增，所以)2()0()1(f f f =>-，故选B.

8．解析：选C. ∵f (x )＝ax 2

＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13

.

又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴231)(x x f =，所以27

4

3231)(2

min =??? ???=x f

9．解析：选B. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方

体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D 1-BCB 1，如图所示，该四面体的体积为

3

4

2222131=????=V 。故选B ．

10．解：选A. y －2x 可看作是直线y ＝2x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝2x ＋b

与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时55

022=+-?b

，解得b ＝－9或1．所

以y －2x 的最大值为1，最小值为－9．

11．解析：选C 。 由题意得，对一切x ∈????

??12，2，f (x )>0都成立，即1)11(12122

2

2+--=-=->

x x x x x a ， 而11)11

(2≤+--x

，则实数a 的取值范围为()+∞,1.

12．解析：选B 如图，作OP ⊥AC 于P ，OQ ⊥BD 于Q ，则|OP |2

＋|OQ |2

＝|OM |2

＝5，∴|AC |2

＋

|BD |2＝4(9－|OP |2)＋4(9－|OQ |2)＝52．又|AC |2＋|BD |2

≥2|AC |·|BD |，则|AC |·|BD |=422

5252AC AC AC

AC -=-?，当262

=AC 时，|AC |·|BD |有最大值

26，此时S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |=1

2

×26＝13，

∴四边形ABCD 面积的最大值为13．故选B ．

二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）

13．解析：由x 2－1>0得x <－1或x >1，又u ＝x 2

－1在(－∞，－1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，y ＝log 12

u 为减函数，故f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)．

答案：(－∞，－1)

14．解析：由题意知B A ?中的元素为圆与直线交点，因为圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0

的距离d ＝|2×1－2－5|

22＋1

2

＝5＜6，所以直线与圆相交．故集合B A ?中子集个数为4. 答案：4

15．解析：取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ，

因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，

所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC 所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1 的中点，

所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ， 因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是矩形， AA 1=2AB 所以C 1D ＝22AD ，

所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为22

， 所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为22． 答案：22

16．解析：由012)()2()(=+--=x x f x x g ，得2

3

2212)(-+

=--=

x x x x f ，作出y ＝f (x )， 2

3

2-+

=x y 的图象，由图象可知共有3个交点，故函数的零点个数为3． 答案：3

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题10分）解：

（1）由题得集合A ＝{x |0＜x 3log ＜1}={x |1＜x ＜3} 当m ＝－1时，B ＝{x |－2

]1,2(}22|{}31|{)(-=<<-?≥≤=?x x x x x B A C U 或

（2）由A ∩B ＝A ，得A ?B . ????

?

1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，

.

解得m ≤－2，

即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． 18．（本题12分）解：

（1）证明：直线l 的方程可化为 a (2x ＋y ＋1)＋b (－x ＋y －1)＝0， 由??

?=-+-=++0

10

12y x y x ，

得??

???=-=3132y x ，所以直线l 恒过定点??? ??-31,32．

（2）由（1）知直线l 恒过定点A ??

?

??-31,32，

当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．

又直线PA 的斜率58)32(131

3=---

=

k ，所以直线l 的斜率k l ＝－85． 故直线l 的方程为)3

2

(8531+-=-x y ，

即15x ＋24y ＋2＝0． 19．（本题12分）解：

（1）因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x=0时，f (x )＝0， 当x <0时，f (x )＝－f (－x )，－x >0，又因为当x >0时，f (x )＝x

1－3

x ，.

所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )，＝－－x 1－3－x ＝x

1－3

－x ..

综上所述：此函数的解析式???

?

???>-=<-=-.0,31,0,0,0,31)(x x

x x x

x f x x .

（2）f (x )<－x 8，当x=0时，f (x )<－x

8不成立；

当x >0时，即x 1－3x <－x 8，所以11－3x <－18，所以13x

－1>18，所以3x

－1<8，解得x <2， 当x <0时，即x 1－3－x <－x 8，所以11－3－x >－18

，所以3－x >32

，所以x <－2，

综上所述解集是(－∞，－2)∪(0,2)．

20．解：（1）由题知，线段AB 的中点M(1,－2)，12

0)

1(3=----=AB k ,

线段AB 的垂直平分线方程为)1(2--=+x y ，即1--=x y ，

设圆心的坐标为C (a ，－a －1)， 则2

|

11|)11()2(2

2---=

+--+-a a a a ，

化简，得a 2

－2a ＋1＝0，解得a ＝1．∴C (1，－2)，

半径r ＝|AC |＝1－22＋－2＋12

＝2．

∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2

＝2． （解二：可设原方程用待定系数法求解）

（2）由题知圆心C 到直线l 的距离112=-=d ，

①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2， 满足条件．

②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)2(-=x k y ，由题意得11|

2)21(|2

=++-k

k ，

解得k ＝3

4

，

∴直线l 的方程为y ＝3

4

（x －2）．

综上所述，直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －6＝0． 21．解：

（1）由题设AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，

可得2

2

2

AC BC AB =+,所以BC AB ⊥,

由PA ⊥平面ABC ，BC 、AB ?平面ABC ,所以BC PA ⊥，PA AB ⊥,

所以2=PB ,

又由于PA∩AB＝A ，故BC⊥平面PAB, PB ?平面PAB,所以PB BC ⊥,

所以ACB ?，PAC ?,PAB ?,PCB ?均为直角三角形，且PCB ?的面积最大，

2

63221=??=

?PCB S ．

（2）证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ．在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM ．

由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC ． 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ． 又BM ?平面MBN ，所以AC ⊥BM ． 因为ABN ?与ACB ?相似，2

1

=?=

AC AB AB AN ， 从而NC ＝AC －AN ＝3

2

．

由MN ∥PA ，得PM MC ＝AN NC ＝1

3

．

22．解：

（1）h (x )＝(4－2log 3x )·log 3x ＝－2(log 3x －1)2

＋2， 因为x ∈[1,9]，所以log 3x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]．

（2）由f (x 2

)·f (x )>k ， 得(3－4log 3x )(3－log 3x )>k ，

令t ＝log 3x ，因为x ∈[1,9]，所以t ＝log 3x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k 对一切t ∈[0,2]恒成立， 令9154)3)(43(2

+-=--=t t t t y ，其对称轴为8

15=t ， 所以当815=

t 时，y 的最小值为16

81-， 综上，实数k 的取值范围为(－∞，16

81

-)．.

（3）假设存在实数a ，使得函数)(]2)([)(x f x ag x F ?+=的最大值为0，

由

)

(]2)([)(x f x ag x F ?+=)

log 23)(2log (33x x a -+=6log )43()(log 2323+-+-=x a x a

因为R x ∈3log ,则有??

?

=?-?--<-0

6)2(4)43(022

a a a ，解得φ∈a ，所以不存在实数a ， 使得函数)(]2)([)(x f x ag x F ?+=的最大值为0。