不等式常见题型分析(可编辑修改word版)

n a

1

不等式的基本知识

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：

(1) 对称性： a > b ⇔ b < a

(2) 传递性： a > b , b > c ⇒ a > c

(3) 加法法则： a > b ⇒ a + c > b + c ； a > b , c > d ⇒ a + c > b + d (同向可加)

(4) 乘法法则： a > b , c > 0 ⇒ ac > bc ； a > b , c < 0 ⇒ ac < b c

a >

b > 0,

c >

d > 0 ⇒ ac > bd (同向同正可乘)

(5) 倒 数 法 则 ： a > b , ab > 0 ⇒ 1 < 1

a b (6) 乘 方 法 则 ：

a >

b > 0 ⇒ a n > b n (n ∈ N * 且n > 1)

(7) 开方法则： a > b > 0 ⇒ > n b (n ∈ N * 且n > 1)

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）

3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0或ax 2 + bx + c < 0(a ≠ 0) 的解集：

设相应的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根为 x 、x 且 x 1 ≤ x 2 ， ∆ = b 2 - 4ac ，则

不等式的解的各种情况如下表：

y = ax 2

+ bx + c

y = ax 2

+ bx + c

y = ax 2

+ bx + c

2

⎩

分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般 不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

f (x ) > 0 ⇔

f (x )

g (x ) > 0;

f (x ) ≥ 0 ⇔

⎧ f (x )g (x ) ≥ 0

g (x )

g (x )

⎨g (x ) ≠ 0

3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式 f (x ) > A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ( x ) 若不等式 f (x ) < B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ( x ) min

max

（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式 Ax +By +C ＞0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax +By +C =0 某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线 Ax +By +C =0 同一侧的所有点( x , y )，把它的坐标（ x , y )代入 Ax +By +C ，所得 到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从 Ax 0+By 0+C 的正负即可判断 Ax +By +C ＞0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当 C ≠0 时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于 x 、y 的一次式 z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x 、y 的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： （1） 寻找线性约束条件，列出线性目标函数；

（2） 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3） 依据线性目标函数作参照直线 a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优

解

（四）基本不等式

≤

a + b

2

1. 若 a,b ∈R ,则 a 2+b 2≥2ab ,当且仅当 a =b 时取等号. a + b

2.

如果 a,b 是正数，那么 2

≥ ab (当且仅当a = b 时取"="号).

> A < B

⎛ a + b ⎫2

变形： 有:a+b ≥ 2 ；ab ≤

⎝ ⎪ ,当且仅当 a=b 时取等号. ⎭

3. 如果 a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值2 P ;

S 2

如果 a,b ∈R+,且 a+b=S (定值),当且仅当 a=b 时,ab 有最大值 .

4

注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以

求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

4. 常用不等式有：（1≥ a + b ≥≥ 2 (根据目标不等式左右的运算结构

2 1 + 1 a b

选用)

；（2）a 、b 、c ∈ R ， a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca （当且仅当 a = b = c 时，取等号）；

b b + m

（3）若 a > b > 0, m > 0 ，则 a < a + m

（糖水的浓度问题）。

不等式主要题型讲解

（一） 不等式与不等关系题型一：不等式的性质

1. 对于实数 a , b , c 中，给出下列命题：

① 若a > b ,则ac 2 > bc 2 ； ② 若ac 2 > bc 2 ,则a > b ； ③ 若a < b < 0,则a 2 > ab > b 2 ； ④ 若a < b < 0,则

1 < 1

； a b

⑤ 若a < b < 0,则

b

> a

； ⑥ 若a < b < 0,则a > b ；

a b

⑦ 若c > a > b > 0,则 a > b ； ⑧ 若 a > b , 1 > 1

，则 a > 0, b < 0 。

c - a c - b a b

其中正确的命题是

题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）

2. 设a > 2 ， p = a +

1

a - 2

， q = 2-a 2 +4a -2 ，试比较 p , q 的大小

3. 比较 1+ log x 3 与2 log x 2(x > 0且x ≠ 1) 的大小

4. 若 a > b > 1, P = 是

.

lg a ⋅ lg b , Q = 1

(lg a + lg b ), R =

lg( 2

a + b

2

) ， 则 P , Q , R 的大小关系 ab 2