二次函数的图象与各项系数之间的关系

二次函数的图象与各项系数之间的关系

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一、知识基础

1. 二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．

⑴ 当0a >时，抛物线开口向上， ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，

a 的值越大，函数图象越靠近y 轴，开口越小，反之a 的值越小，函数图象越远离y 轴，开口越大；一次函数图象有类似特点。

总结：a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．

⑴ 在0a >的前提下，

当0b >时，02b a -

<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -

=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a

->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即

当0b >时，02b a -

>，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -

=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a

-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．

ab 的符号的判定：对称轴a

b x 2-

=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0

3. 常数项c ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；

⑵当0

c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

⑶当0

c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结：c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要a b c

，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

4．当x=1时，可以求出a+b+c的值；若x=1时，y>0，则a+b+c>0; 若x=1时，y<0，则a+b+c<0; 若x=1时，y=0，则a+b+c=0;

当x=-1时，可以求出a-b+c的值；若x=-1时，y>0，则a-b+c>0; 若x=-1时，y<0，则a-b+c<0; 若x=-1时，y=0，则a-b+c=0;

思考：x=2时，可以通过函数图象得出哪些值？

5.根的别式b2-4ac，可以用来判断抛物线与x轴的交点个数，当b2-4ac>0时，方程

2

=++=0有两个根，也就是说y=0时，函数在x轴上可以找到2个对应的自变量值，y ax bx c

即断抛物线与x轴有2个交点；同理b2-4ac=0，二次函数图象与x轴有一个交点；b2-4ac <0时，抛物线与x轴没有交点。

二、精典练习

1．（烟台市中考题）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）

A．①②B．②③C．①②④D．②③④

2、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）

A．5个B．4个C．3个D．2个