(整理)平面向量基本概念与运算法则(含基础练习题).

平面向量 1 1.数量和向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不

能比较大小。

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；②用字母a,b等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB；向量AB 的大小——长度称为向量的模，记作|AB|。

3.有向线段：

具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。

向量与有向线段的区别：

⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相

同的向量；

⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向

线段。

4.零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0。

②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

5.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。

说明：⑴向量a与b相等，记作a=b；

⑵零向量与零向量相等；

⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无

关。

6.平行向量的定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行。

说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义；

⑵向量a、b、c平行，记作a//b//c。

二、向量的运算法则

三角形法则四边形法则

1.向量的加法

某人从A到B，再从B到C，则两次的位移和：AB BC AC；

⑴向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

⑵三角形法则：a b AB BC AC

⑶四边形法则：a b OA OB OA AC OC

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练习：化简（1）（AB BC）CD（2）(AB MB)BO OM（3）OA OC BO CO

7.向量的减法

⑴相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。

①(a)a；

②任一向量与其相反向量的和是零向量，即：a(a)(a)a0；

③如果a，b是互为相反的向量，则：a b,b a,a b0。

⑵向量的减法：

向量a加上b的相反向量，叫做a和b的差。即a b a(b)

向量减法法则：两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向

量。

注意：①起点相同；②指向被减向量的终点。

练习：（1）AB AC（2）OD OA（3）OA OD AD（4）AB AD DC

例1.平行四边形ABCD中，AD a,AB b，用a、b表示向量AC,DB。

例2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，试用向量a、b、c表示OD。

8.向量的数乘运算

实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：

⑴|a||||a|；

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⑵当>0时，a的方向与a的方向相同；当<0时，a的方向与a的方向相反；特别的，当=0或a=0时，a=0。

注意：实数与向量a，可以做积，但不可以做加减法，即+a，-a是无意义的。

实数与向量的积的运算律：

设a、b为任意向量，，为任意实数，则有：

①(a)()a；

②()a a a

③(a b)a b

例1.计算

(1).(3)4a；(2).3(a b)2(a b)a；(3).2(a3b c)(3a2b c)

例2.计算

(1).3(a b)2(a2b);(2).2(2a6b3c)3(3a4b2c)

结论：向量b与非零向量a共线，当且仅当有唯一一个实数，是的b=a。

例3.向量a e1e,b2e2e是否共线？

212

例 4.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且AB a,AD b,你能用a,b表示MA,MB,MC,MD吗？

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二、向量运算法则的应用

向量的加法、减法、数乘运算统称为响亮的线性运算，对任意实数

、 1、 ，恒有 2

(

1

b) a

。

a

b

2

1

2

9.有关向量共线问题

a 3

b a b

1 例 1.已知向量 a 、b 满足

(3 2 ) a b 5

2

5

，求证：向量 a 和b 共线。 例 2.已知 AD 3 AB, DE 3BC ,试判断 AC 与AE 是否共线？

定理的应用：

(1).有关向量共线问题； (2).证明三点共线： AB BC (BC 0)

A 、

B 、

C 三点共线；

(3).证明两直线平行问题。

例 3.已知任意 两个非 零向量 a 、b ，试作 OA a b, OB a 2b, OC a 3b ，你能判断 A 、B 、C 三点间的位置关系吗？为什么？

例 4 .在四边形 ABCD 中， AB a 2b, BC 4a b, C D 5a 3b ，求证：四边形 ABCD 为

梯形。

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高中数学必修 4 同步练习

二. 填空题( 每题 5 分)

(2.1-2.2 平面向量的概念及线性运算)

11. 把平面上一切单位向量归结到共同的始点, 那么这

些向量的终点所构成的图形是______ 姓名______班级______学号______

一. 选择题( 每题 5 分)

2.设 b 是a 的相反向量, 则下列说法错误的是( )

A.a 与b 的长度必相等

B.a b

C.a b

D. a b与一定不相等是的相反向量12. ABCD 的两条对角线相交于点M , 且

AB a,AD b , 则MA ______,

MB ______, MC ______, MD ______.

2. 已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C 1

3.

已知向量a和b不共线,实数x , y 满足

的向量分别为 a 、b 、c , 则向量OD 等于( )

(2x y)a 4b 5a ( x 2 y)b , 则x y ______ A.a b c B . a b c C . a b- c D . a- b- c

3. ( 如图) 在平行四边形ABCD 中, 下列正确的是( ).

4. 14. 化简: ①AB BC CD ______;

A.AB CD B . AB AD BD

②AB AD DC ______;

C.AD AB AC D . AD BC 0

③(AB CD) (AC BD) ______

A D C

B

15. 化简下列各式:

( 1) AB DF CD BC FA ______;

( 2) ( AB MB) (BO BC) OM ______.

16. 在ABCD 中, AB a,AD b , 则

AC ______, DB ______.

4. OA OC BO CO 等于( )

A.AB

B. BA

C.AC

D.CA 17. 在四边形ABCD中有AC AB AD , 则它的形状一

定是______

5. 化简O P QP PS SP的结果等于( )

A、Q P B 、OQ C 、SP D 、S Q

6. ( 如图) 在正六边形ABCDEF中, 点O为其中心, 则下列判断错误的是( ) 18. 已知四边形ABCD 中, AB 1 DC

2

则四边形ABCD 的形状是______.

, 且AD BC

A A

B O

C B AB ∥DE

C A

D B

E D AD FC

19. 化简: ( AC DP BA) (CP BD) ______.

7. 下列等式中, 正确的个数是( )

20. 在△ABC中, 设BC a , CA b , 则AB =______ ①a b b a ②a- b b- a③0 a a

④⑤( a) a a ( a ) 0