半角旋转模型
专题01 旋转中的三种全等模型(手拉手、半角、对角互补模型)(解析版)
专题01 旋转中的三种全等模型（手拉手、半角、对角互补模型）本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。
其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
1）双等边三角形型条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型条件：△ABC 和△DCE 均为等腰三角形，C 为公共点；连接BE ，AD 交于点F 。
结论：①△ACD ≌△BCE ；②BE =AD ；③∠ACM =∠BFM ；④CF 平分∠AFD 。
4）双正方形形型条件：△ABCFD 和△CEFG 都是正方形，C 为公共点；连接BG ，ED 交于点N 。
结论：①△△BCG ≌△DCE ；②BG =DE ；③∠BCM =∠DNM=90°；④CN 平分∠BNE 。
例1．（2022·黑龙江·中考真题）ABC V 和ADE V 都是等边三角形．(1)将ADE V 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC +=（或PA PC PB +=）成立；请证明．(2)将ADE V 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE V 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：PB PA PC =+，证明见解析 (3)图③结论：PA PB PC+=【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，PA =0，即可得出结论；（2）在BP 上截取BF CP =，连接AF ，证明BAD CAE V V ≌（SAS ），得ABD ACE Ð=Ð，再证明CAP BAF ≌△△（SAS ），得CAP BAF Ð=Ð，AF AP =，然后证明AFP V 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论；（3）在CP 上截取CF BP =，连接AF ，证明BAD CAE V V ≌（SAS ），得ABD ACE Ð=Ð，再证明BAP CAF ≌△△（SAS ），得出CAF BAP Ð=Ð，AP AF =，然后证明AFP V 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论：PA PB PF CF PC +=+=．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵点P 与点A 重合，∴PB =AB ，PC =AC ，PA =0，∴PA PB PC +=或PA PC PB +=；(2)解：图②结论：PB PA PC=+证明：在BP 上截取BF CP =，连接AF ，∵ABC V 和ADE V 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE Ð=Ð=°∴BAC CAD DAE CAD Ð+Ð=Ð+Ð，∴BAD CAE Ð=Ð，∴BAD CAE V V ≌（SAS ），∴ABD ACE Ð=Ð，∵AC =AB ，CP =BF ， ∴CAP BAF ≌△△（SAS ），∴CAP BAF Ð=Ð，AF AP =，∴CAP CAF BAF CAF Ð+Ð=Ð+Ð，∴60FAP BAC Ð=Ð=°，∴AFP V 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PC PF BF PB +=+=；(3)解：图③结论：PA PB PC +=，理由：在CP 上截取CF BP =，连接AF ，∵ABC V 和ADE V 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE Ð=Ð=°∴BAC BAE DAE BAE Ð+Ð=Ð+Ð，∴BAD CAE Ð=Ð，∴BAD CAE V V ≌（SAS ），∴ABD ACE Ð=Ð，∵AB =AC ，BP =CF ，∴BAP CAF ≌△△（SAS ），∴CAF BAP Ð=Ð，AP AF =，∴BAF BAP BAF CAF Ð+Ð=Ð+Ð，∴60FAP BAC Ð=Ð=°，∴AFP V 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PB PF CF PC +=+=，即PA PB PC +=．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．例2．（2023·湖南·长沙市八年级阶段练习）如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4，点D ，E 分别为边AB ，BC 上的中点，且BD ＝BE ．(1)如图2，将△BDE 绕点B 逆时针旋转任意角度α，连接AD ，EC ，则线段EC 与AD 的关系是 ；(2)如图3，DE ∥BC ，连接AE ，判断△EAC 的形状，并求出EC 的长；(3)继续旋转△BDE ，当∠AEC ＝90°时，请直接写出EC 的长．例3．（2023·黑龙江·虎林市九年级期末）已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB ＝90°，F 为AB 边的中点，且DF =EF ，∠DFE ＝90°，D 是BC 上一个动点．如图1，当D 与C 重合时，易证：CD 2＋DB 2＝2DF 2；（1）当D 不与C 、B 重合时，如图2，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（2）当D 在BC 的延长线上时，如图3，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）CD 2+DB 2=2DF 2 ；（2）CD 2+DB 2=2DF 2，证明见解析【分析】（1）由已知得222DE DF =，连接CF ，BE ，证明CDF BEF D @D 得CD =BE ，再证明BDE D 为直角三角形，由勾股定理可得结论；（2）连接CF ，BE ，证明CDF BEF D @D 得CD =BE ，再证明BDE D 为直角三角形，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）CD 2+DB 2=2DF 2证明：∵DF =EF ，∠DFE ＝90°，∴222DF EF DE += ∴222DE DF = 连接CF ，BE ，如图∵△ABC 是等腰直角三角形，F 为斜边AB 的中点∴CF BF =，CF AB ^，即90CFB Ð=° ∴45FCB FBC Ð=Ð=°，90CFD DFB Ð+Ð=°又90DFB EFB Ð+Ð=° ∴CFD EFB Ð=Ð在CFD D 和BFE D 中CF BF CFD BFE DF EF =ìïÐ=Ðíï=î∴CFD D @BFED ∴CD BE =，45EBF FCB Ð=Ð=° ∴454590DBF EBF Ð+Ð=°+°=° ∴222DB BE DE +=∵CD BE =，222DE DF =∴CD 2+DB 2=2DF 2 ；（2）CD 2+DB 2=2DF 2 证明：连接CF 、BE∵CF =BF ，DF =EF 又∵∠DFC +∠CFE =∠EFB +∠CFB=90°∴∠DFC =∠EFB ∴△DFC ≌△EFB ∴CD =BE ，∠DCF =∠EBF =135°∵∠EBD =∠EBF －∠FBD =135°－45°=90° 在Rt △DBE 中，BE 2+DB 2=DE 2∵ DE 2=2DF 2 ∴ CD 2+DB 2=2DF 2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例4．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若ABC V 和ADE V 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边.求证：BD CE =；(2)解决问题：如图2，若ACB △和DCE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，点A ，D ，E 在同一条直线上，CM 为DCE V 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系并说明理由.图1 图2【答案】(1)见解析 (2)90DCE Ð=°；2AE AD DE BE CM=+=+【分析】（1）先判断出∠BAD =∠CAE ，进而利用SAS 判断出△BAD ≌△CAE ，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△BAD ≌△CAE ，得出AD =BE ，∠ADC =∠BEC ，最后用角的差，即可得出结论．【解析】(1)证明：∵ABC V 和ADE V 是顶角相等的等腰三角形，∴AB AC =，AD AE =，BAC DAE Ð=Ð，∴BAC CAD DAE CAD Ð-Ð=Ð-Ð，∴BAD CAE Ð=Ð．在BAD V 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BAD CAE SAS ≌△△，∴BD CE =．(2)解：90AEB =°∠，2AE BE CM =+，理由如下：由（1）的方法得，≌ACD BCE V V ，∴AD BE =，ADC BEC ÐÐ=，∵CDE △是等腰直角三角形，∴45CDE CED Ð=Ð=°，∴180135ADC CDE Ð=°-Ð=°，∴135BEC ADC Ð=Ð=°，∴1354590AEB BEC CED Ð=Ð-Ð=°-°=°．∵CD CE =，CM DE ^，∴DM ME =．∵90DCE Ð=°，∴DM ME CM ==，∴2DE CM =．∴2AE AD DE BE CM =+=+．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD ≌△BCE 是解本题的关键．3）15°模型2.半角模型【模型解读】半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④D AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
半角旋转模型结论及证明
半角旋转模型结论及证明一、引言半角旋转模型是一种常见的物理模型，广泛应用于工程、物理学等领域。
本文将探讨半角旋转模型的结论及其证明，并对其在实际应用中的重要性进行讨论。
二、半角旋转模型的定义半角旋转模型是指一个刚体绕一个固定点旋转的模型，最典型的例子就是地球绕着太阳旋转。
在这种模型中，刚体的转动角度小于180度，即为半角旋转模型。
三、半角旋转模型的结论1. 转动方向：根据右手法则，刚体的转动方向与旋转轴的方向相同。
2. 角速度的变化：根据角动量守恒定律，刚体在旋转过程中，角速度保持不变。
3. 角位移的计算：根据角速度和旋转时间的乘积，可以计算刚体的角位移。
4. 转动惯量的影响：刚体的转动惯量决定了其转动的难易程度。
转动惯量越大，刚体的转动越困难。
四、半角旋转模型的证明1. 转动方向的证明根据右手法则，可以证明刚体的转动方向与旋转轴的方向相同。
右手握住旋转轴，螺旋指向刚体旋转的方向。
2. 角速度的变化的证明根据角动量守恒定律，可以证明刚体在旋转过程中，角速度保持不变。
角动量守恒定律表明，在没有外力矩的情况下，刚体的角动量保持不变，因此角速度也保持不变。
3. 角位移的计算的证明根据角速度和旋转时间的乘积，可以证明刚体的角位移。
角速度定义为单位时间内角度的变化率，因此将角速度乘以旋转时间，得到刚体的角位移。
4. 转动惯量的影响的证明刚体的转动惯量可以通过质量和几何形状来计算。
转动惯量越大，代表刚体的分布越分散，因此刚体的转动越困难。
这一点可以通过实际观察不同形状的物体进行旋转实验来证明。
五、半角旋转模型的实际应用半角旋转模型在工程、物理学等领域有广泛的应用。
例如，对于机械工程师来说，了解半角旋转模型的结论和证明可以帮助他们设计更稳定的旋转机械装置。
在物理学研究中，半角旋转模型提供了理解地球自转、分子旋转等现象的重要工具。
六、结论半角旋转模型是一个常见的物理模型，通过对其结论和证明的讨论，我们可以更深入地理解旋转运动的特性和规律。
中考数学 几何专题——半角模型
几何模型之半角模型一、旋转性质1.图形对应边相等（易得等腰，且等腰均相似）2.对应角相等3.对应点与旋转中心连线构成旋转角，旋转角处处相等二、半角模型半角模型（90°含45°）条件模型结论①等腰直角△ABC;②∠DAE=45°DE2=BD2+CE2①等腰直角△ABC;②∠DAE=45°DE2=BD2+CE2①正方形ABCD;②∠EAF=45°①EF=BE+DF；②△CEF的周长是正方形周长的一半；③点A到EF的距离等于正方形的边长.①正方形ABCD;②∠EAF=45°EF=DF-BE三、模型演练1.如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、AE、AF，过A作AH⊥EF 于点H．若EF=BF+DF．那么下列结论：①AE平分∠BEF；②FH=FD；③∠EAF=45°；④S△E A F=S△A B E+S△A D F；⑤△CEF的周长为2．其中正确结论的是．2.在Rt△ABC中，AB=AC，D､E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论①△AEF≌△AED；②∠AED=45°；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的是（）A.②④B.①④C.②③D.①③3如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．4.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE=25．若∠EOF=45°，则F点的坐标是．5.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）6.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E是BC边上的任意两点，且∠DAE=45°．（1）将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，请在图（1）中画出△ACF．（2）在（1）中，连接EF，探究线段BD，EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．（3）如图2，M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BM+DN=MN，试求∠MAN的大小．。
2023中考数学常见几何模型《全等模型-半角模型》含答案解析
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模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ∠∠=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =，若在M ，N 之间修一条直路，则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m 1.7≈）．2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '．E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O 的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系．3．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且45EAF∠=︒，则EF，BE，DF之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=，求AF的长．4．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF12=∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时， CEF的周长等于．（4）如图4，正方形ABCD中， AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝，求EF的长．（5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2=BM2．课后专项训练：1．（2022·重庆市育才中学二模）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．2．（2022·江西九江·一模）如图（1），在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AB AD =，以点A 为顶点作EAF ∠，且12EAF BAD ∠=∠，连接EF ．(1)观察猜想 如图（2），当90BAD B D ∠=∠=∠=︒时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．(2)类比探究 如图（1），线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题 如图（3），在ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D ，E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若BD =，求DE 的长．3．（2022·山东聊城·九年级期末）（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，求证：EF BE DF =+，试说明理由．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，若B Ð、D ∠都不是直角，则当B Ð与D ∠满足等量关系______时，仍有EF BE DF =+，试说明理由．（3）联想拓展：如图3，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45，若1BD =，2EC =，求DE 的长．4．（2022·黑龙江九年级阶段练习）已知：正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，（如图1），易证BM +DN =MN ．(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．5．（2022·重庆南川·九年级期中）如图，正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），证明：2MN BM =；(2)绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），求证：MN BM DN =+；(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．6．（2022·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，猜想并写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，2BAD EAF ∠∠=．请写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O 处）北偏东20°的A 处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ，D 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．7．（2022·上海·九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 在边BC 上，∠DAE ＝45°．若BD ＝3，CE ＝1，求DE 的长．小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是，DE的长为．参考小明思考问题的方法，解决问题：(2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．且∠EAF＝128．（2022·黑龙江·哈尔滨市九年级阶段练习）已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD 于M，N．(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．9．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关∠EAF=12系．并证明你的猜想．10．（2022·北京四中九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB 上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°)，射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
中考数学二轮专题复习 半角旋转模型 课件
半角旋转模型
一阶 认识模型
模型分析 1. 正方形含半角模型 特点：如图，在正方形ABCD中，E，F 分别为BC，CD上的点，连接AE，AF， EF，若∠EAF＝45°.
辅助线作法： 作法一：将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG，使得AD与AB重合，连接 FG； 作法二：延长线段CB到点G，使得BG＝ DF，连接AG，FG. 结论：(1)△AEF与△AEG的关系是 __△__A_E_F__≌__△__A_E_G___； (2)△AGF为__等__腰__直__角__三__角__形___； (3)BE＋DF＝___E__F___．
②△AFE≌__△__A_D_E__； 【解法提示】由旋转的性质，得∠ACF＝∠ABD，CF＝BD，AF＝AD， 由①得∠EAF＝∠EAD且AE＝AE， ∴△AFE≌△ADE(SAS)．
③若BD＝2，CE＝4，则DE＝___2__5___；
【解法提示】由(2)②得△AFE≌△ADE，∴FE＝DE， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠ECF＝∠ECA＋∠ACF＝∠ECA＋∠B＝ 45°＋45°＝90°， ∵BD＝2，∴CF＝2，∴EF＝ CE2＋CF2＝2 5， ∴DE＝2 5.
2. 如图，在四边形ABCD中，点E是直线BC上一点，将射线AE绕点A逆 时针旋转α交直线CD于点F. (1)如图①，若四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，α＝60°，则AE与AF之 间的数量关系是________；
【解法提示】如图①，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC. ∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ACD＝∠BAC＝60°. ∵∠EAF＝60°， ∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF. 【答案】(1)AE＝AF；
九年级中考几何模型之半角模型详解
中考几何模型之半角模型【模型由来】半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。
如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。
【模型思想】通过旋转变化后构造全等三角形，实线边的转化。
【基本模型】类型一、90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。
结论①：图1、2中，EF=BE+FD；证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF。
结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，且AM=AM，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN ’，∠ABD=45°，∴∠MBN ’=∠ABD+∠ABN ’=45°+45°=90°，∴在Rt △MBN ’中，MN ’²=BM ²+BN ’²，即MN ²=BM ²+BN ’²。
结论③：图1、2中EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE 。
旋转半角模型条件结论
旋转半角模型条件结论1. 嘿，你知道旋转半角模型的条件吗？就好像拼图的关键一块！比如在正方形 ABCD 中，∠EAF=45°，这就是典型的例子呀！这不是很神奇吗？2. 哎呀呀，旋转半角模型的结论可重要啦！就如同找到了打开宝藏的钥匙。
像三角形 AEF 的面积就等于三角形 ABE 和三角形 ADF 的面积之和，在很多题目里都能看到呢，是不是很厉害？3. 旋转半角模型的条件之一，那可是至关重要的呀！好比是大楼的基石。
比如当有共顶点的等线段时，这就是个明显信号呀，你能想到吗？4. 哇塞，旋转半角模型的结论有时候真让人惊叹！就像突然看到了美丽的彩虹。
像证明某些线段相等，这可太有用了，在那个三角形问题里不就是这样嘛！5. 你瞧，旋转半角模型的条件真的很特别呢！如同黑夜中的一盏明灯。
比如有相等的角，这就是线索呀，你理解了吗？6. 嘿呀，旋转半角模型的结论有时候真的很巧妙！好比是魔术师的神奇魔法。
像得出特殊的角度关系，在那个图形里不就完美呈现了嘛！7. 旋转半角模型的条件，这可是不能忽视的呀！就像前进道路上的指示牌。
例如有特定的图形结构，这不就是关键所在嘛，对不对？8. 哇哦，旋转半角模型的结论真的超有趣！如同发现了一个新的世界。
像找到图形之间的隐藏联系，在那个复杂问题里可派上大用场了呢！9. 旋转半角模型的条件，那可是很有讲究的哟！好像是解开谜题的密码。
比如出现半角的情况，这不就是暗示嘛，你明白了吧？10. 哎呀，旋转半角模型的结论真的会让人眼前一亮！如同看到了璀璨的星星。
像利用结论快速解题，这多棒呀，就像那次我们一起做的那道题一样！我的观点结论就是：旋转半角模型条件结论很重要，我们要好好掌握和运用它呀！。
旋转模型-角含半角模型
旋转模型-角含半角模型【内容介绍】本次资料主要包含数学科目，重点指导学生了解旋转模型相关知识，掌握不同旋转模型的解题方法；主要是通过要点梳理，帮助大家综合掌握角含半角模型的含义和解题方法，再通过典型例题的分析，帮助大家了解常考题型。
建议大家深入学习掌握要点梳理，认真研读例题，并在日常学习中注重练习，实现对学习目标的综合把握。
【要点梳理】1）半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半2）思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化3）基本模型要点一、正方形含半角图1 图2△△△△AEF AEB AFDS S +S ）4（；BEF 分平 EA ，DFE 分平 FA ）3（；半一的长周形方正是长周的(2) CEF EF=BE+DF;）1（：论结的下以明证，EAF=45，点的上边CD 、BC 是别分F 、E ，中ABCD 形方正在：1图如：题例=∠∠∠︒。
化转的角和段线现实，形角三等全造构转旋过通，型模角半合符，角45有含中角90：析分︒︒△△△△△△△△△AEG AEF AEG AEF G AFE AFD CEF BE BG BE DF AEF AEG AEB AEG AEB AFD 证得S S =S S S S ；证得；证得EF+CE+CF=BE+CE+DF+CF=BC+CD,(2)长周的。
立成=+=+≅∴∠=∠∠=∠=∠∴∴+=+,(4),,,(3)=(1),△△△△△EF EG AEG AEF AE AE AEG AEF EAG EAF AG AF EAG EAF EAF G B C GBC ABG ABC ABG AG AF ABG D BG DF ABCD AD AB ，，中和在，，线共点三、、则，到得，转旋针时顺点沿将，中形方正在，图如：答解∴==∴≅⎩=⎪⎨∠∠⎪⎧=∴∠∠︒∠︒∴∴∠∠+∠︒∠︒∆=∠=∠=︒=∠=︒=︒,===45=45==180ABC =90,90,,GAF 90,2,ADF A 90。
初三旋转模型之正方形45°半角模型的13个结论
正方形半角模型13个结论特点：①共顶点 常见角：45°→90° ②两个角存在一般系 60°→120° 通过旋转变化构造全等三角形，实现边的转化如图，已知正方形ABCD ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且45EAF ∠=︒。
结论4：2CEF C AB =△；证明：由结论1可知：BE DF EF +=， 因为CEF C CE CF EF =++△，所以=2CEF BE C DF CD CB B C A E CF =++=++△结论5：AH AB =（见图2）；证明：由结论1可知：GAE FAE ∆≅∆，所以GAE FAE S S ∆∆=， 因为GE EF =， 所以AB AH =。
结论7：BME AMN DFN DMA BAN AFE ∆∆∆∆∆∆∽∽∽∽∽； 证明：通过倒角证明两个角相等，推导出相似。
因为=45,=,MBE NAM AMN BME ∠∠=︒∠∠ 所以BME AMN ∆∆∽。
同理，其他结论都可以进行证明。
GBN DM（见图∽，BAN∆BN DM。
结论10：A N E B 、、、四点共圆；A M F D 、、、四点共圆；C F N M E 、、、、四点共圆；证明：因为A N E B 、、、四点共圆，90,ABE ∠=︒ 所以AE 为圆的直径，所以90,ANE ∠=︒因为45,EAN ∠=︒ 所以ANE ∆为等腰直角三角形； 同理可证AMF ∆为等腰直角三角形。
结论12：2CE CF BE DF =； 证明：因为BME DFN ∆∆∽，所以,BE DN BM DF=由结论8可知,CE CF =， 所以2CE CF BE DF =。
半角模型的变式
【中考数学专题】半角模型进阶提升，攻克难点效果立显几何是初中数学中非常重要的内容，尤其是近几年中考题更注重考察图形的变换，如平移、旋转、翻折等，一般会在压轴题中出现，几何模型之于几何题目，便是如虎添翼，能够极大的提高几何的解题效率, 掌握常见几何模型将有助于学生理清思路、节省大量时间。
在平时教学过程中，若能抓住基本图形，举一反三，定能引领学生领略到"一图一世界"的风采.本文就中考常见的半角模型及应用特点举例说明如下半角模型剖析旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。
经典考题透视1．（2019秋•南京月考）问题背景："半角问题"（1）如图：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究此"半角问题"的方法是：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；（直接写结论，不需证明）探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？（2）若将（1）中"∠BAD＝120°，∠EAF＝60°"换为∠EAF＝1/2∠BAD．其它条件不变．如图1，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．（3）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝1/2∠BAD，请直接写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系．（不需要证明）（4）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝1/2∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．【解析】证明：（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，易证△ABE≌△ADG, ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝60°，∴∠EAF＝∠FAG＝60°，易证△EAF≌△GAF，∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF；（2）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．易证△ABG≌△ADF．∴AG＝AF，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝1/2∠BAD＝∠EAF．∴∠GAE＝∠EAF．又AE＝AE，易证△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD.（3）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．理由是：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D，易证△ABG≌△ADF．∴AG＝AF，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝1/2∠BAD＝∠EAF．∴∠GAE＝∠EAF．又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD.（4）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．易证△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝1/2∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，易证△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．2．已知，如图1，四边形ABCD是正方形，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，我们把这种模型称为"半角模型"，在解决"半角模型"问题时，旋转时一种常用的方法．（1）在图1中，连接EF，为了证明结论"EF＝BE+DF"，小明将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；（2）如图2，当∠EAF的两边分别与CB、DC的延长线交于点E、F，连接EF，试探究线段EF、BE、DF之间的数量关系，并证明．【解析】（1）证明：由旋转可得GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，易证△AGE≌△AFE，∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（2）解：EF＝DF﹣BE，证明如下：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，同（1）可证得△AEF≌△AGF，∴EF＝GF，且DG＝BE，∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE．3．（2018秋•京口区校级月考）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝ADC ＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系，他的结论应是______．象上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．拓展如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝1/2∠BAD，则BE，EF，FD之间的数量关系是______．请证明你的结论．实际应用如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离是海里（直接写出答案）．图（3）【解析】：如图1，EF＝BE+DF，理由如下：易证△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝1/2∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，易证△AEF≌△AGF，∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为EF＝BE+DF；如图2，EF＝BE+DF，理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，易证△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝1/2∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，易证△AEF≌△AGF，∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；图3如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝1/2∠AOB，∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝1.2×（60+80）＝168（海里）．4.问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______关系时，仍有EF＝BE+FD．【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD ＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40（√3﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：√2＝1.41，√3＝1.73）图（3）【解析】【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠FAE，易证△AFG≌△AFE．∴GF＝EF．又∵DG＝BE，∴GF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF．图（2）【类比引申】∠BAD＝2∠EAF．理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，易证△ABM≌△ADF，∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，易证△FAE≌△MAE，∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，即EF＝BE+DF．故答案是：∠BAD＝2∠EAF．【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H．图（3）∵∠BAD＝150°，∠DAE＝90°，∴∠BAE＝60°．又∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝80米．根据旋转的性质得到：∠ADG＝∠B＝60°，又∵∠ADF＝120°，∴∠GDF＝180°，即点G在CD的延长线上．易得，△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵AH＝80×√3/2＝40√3，HF＝HD+DF＝40+40（√3﹣1）＝40√3，,故∠HAF＝45°，∴∠DAF＝∠HAF﹣∠HAD＝45°﹣30°＝15°从而∠EAF＝∠EAD﹣∠DAF＝90°﹣15°＝75°又∵∠BAD＝150°＝2×75°＝2∠EAF∴根据上述推论：EF＝BE+DF＝80+40（√3﹣1）≈109（米）即这条道路EF的长约为109米．规律方法总结1.半角模型的基本条件是：①共端点且相等的线段；②共顶点的倍半角；③对角互补。
全等三角形模型之 - 半角模型
半角模型（一）把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
1、常见的图形正方形，正三角形，等腰直角三角形等。
特点：①大角内部有一小角，且小角角度是大角角度的一般②大角的两边相等，保证旋转之后能够完全重合③大角的两边与其他两边形成的两个角互补，保证旋转之后的两个三角形两边能在同一直线上2、解题思路①将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形；②证明与半角形成的三角形全等；③通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决问题。
二、基本模型1、正方形内含半角例题1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF。
2、等边三角形内含半角例题2、如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D 是△ABC 外一点，DB = DC 且∠BDC = 120°，∠EDF = 60°，DE ，DF 分别交AB ，AC 于点E , F 。
求证：EF = BE + CF3、等腰直角三角形内含半角例题3、如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，点D ,E 在BC 上，且满足∠DAE = 45°。
求证：DE^2 = BD^2 + CE^2半角模型练习（二）条件：ABCD为正方形，∠MAN=45°，AM 与AN 分别与BC 边和CD 边交与M,N 两点，连接MN.思路：1、旋转辅助线；①延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FE=DM ，连AF②将三角形AND 绕点A 顺时针旋转90°，得到三角形ABF 。
注意：旋转需证F,B.M 三点共线结论：MN=BM+DN（2）C 三角形CMN=2AB（3）AM,AN 分别平分∠BMN,∠MND2、翻转（对称）辅助线：①做AP 垂直MN ，交MN 于点P②将三角形AND,三角形ABM 分别沿着AM,AM 翻转，但一定要证明M,P ,N 三点共线如图，正方形ABCD 的边长为2，点EF 分别是在AD ，CD 上，若∠EBF=45°，则三角形EDF 的周长等于多少？例题： 已知，如图1，四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转时一种常用的方法．（1）在图1中，连接EF ，为了证明结论“EF=BE+DF ”，小明将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程； （2）如图2，当∠EAF 的两边分别与CB 、DC 的延长线交于点E 、F ，连接EF ，试探究线段EF 、BE 、DF 之间的数量关系，并证明：。
2023秋季初二AA第4讲半角模型和其他模型
第4讲 半角模型和其他模型 模块1 半角模型【知识梳理】知识点1 “半角”旋转模型“半角”旋转模型，经常会出现在等腰直角三角形、正方形中，在一般的等腰三角形中也会有涉及．【经典例题】例1 E、F 分别是正方形ABCD 的边BC、CD 上的点，且∠EAF=45°，AH⊥EF， H 为垂足，求证： AH=AB．例2 如图所示，在四边形ABCD 中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K、N 分别是AB AB 、BC 上的点，若△BKN 的周长为AB 的2倍，求∠KDN 的度数．模块2 等腰与辅助线CHFE DB A KNDCB A【知识梳理】知识点2 等腰相关辅助线1.“等腰+垂直=中点+角平分线”若AB=AC，则辅助线可描述为_______________，可以推出________________________,依据是____________________2.“等腰+平行=等腰”若AB=AC，则辅助线可描述为_______________，可以推出________________________,依据是____________________3.“60°造等边”若∠BAC=60°，则辅助线可描述为_______________，可以推出________________________,依据是____________________________________________________________4.“30°+垂直=线段比1：2”若∠BAC=30°，则辅助线可描述为_______________，可以推出________________________,依据是____________________________________________________________【经典例题】例3 如图，在△ABC 中，已知∠ABC ＝45°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，过点B 作BM ⊥AC 于点M ，CD 与BM 相交于点E ，且点E 是CD 的中点，连接MD ，过点D 作DN ⊥MD ，交BM 于点N ．（1）求证：△DBN ≌△DCM ；（2）请探究线段NE 、ME 、CM 之间的数量关系，并证明你的结论．例4 （1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC 边长为2，过AB 边上一点P 作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，且AP ＝CQ ，连接PQ 交AC 于D ，求DE 的长．小明同学经过认真思考后认为，可以通过点P 作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE 的长．（2）【类比探究】BCC B老师引导同学继续研究：①等边△ABC边长为2，如图2当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP＝CQ，连接PQ交AC于D．求DE的长并证明．②已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为BC延长线上一点，且AP＝CQ，连接PQ交直线AC于点D，请在图3中补全图形，并证明DE长度保持不变．例5 已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，△ABD为等边三角形，E是BD中点，AE，CD相交于O点．（1）求∠DCB的度数；（2）求证：BC＝2DO．例6 如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．附加题1 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点且∠ADC＝60°，CE⊥AD于点E，点A关于CE的对称点为点F，CF交AB于点G．（1）依题意补全图形；（2）求∠AGC的度数；（3）写出BD与DF之间的数量关系，并证明．附加题2 已知：如图，等边△ABC和等边△ADE，连接BD、CE交于点O．（1）求证：BD＝CE；（2）连接AO，猜想线段AO、BO、CO的数量关系，并证明．【作业】作业1 已知等边△ABC的边长为6，点M是射线AB上的动点，点N是边BC延长线上的动点，在运动的过程中始终满足AM＝CN，作MD垂直于射线AC于D，连接MN交射线AC于E．（1）如图1，当点M为AB的三等分点（靠近点A）时，DE的长为 ___．（2）点M、N分别从点A、C同时出发、分别在射线AB、边BC的延长线上以相同的速度开始运动，动点M、N在运动过程中，DE的长会 ____（变小、变大、不变）．作业2 如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证：（1）△ABE≌△CAD；（2）BP＝2PQ．作业3 如图1，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点．（1）以AD为边构造等边△ADE（其中点D、E在直线AC两侧），连接CE，猜想CE与AB 的位置关系，并证明你的结论；（2）若过点C作CM∥AB，在CM上取一点F，连AF、DF，使得AF＝DF，试猜想△ADF 的形状，并证明你的结论．。
八年级上册数学半角模型
八年级上册数学半角模型
半角模型是指以等腰三角形顶角的顶点为端点，引两条射线，与等腰三角形顶角相邻的边重合，这两条射线所形成的夹角为等腰三角形顶角的一半。
在八年级上册的数学中，半角模型可以用于解决一些几何问题。
例如，在一个等边三角形ABC中，点D是BC的中点，连接AD并延长到E 点，使得DE等于AE。
求证：角BAE等于角BCE。
这个问题可以通过半角模型来解决。
首先，将三角形ABD绕点A旋转到三角形ACD'的位置，使得AD'与AE重合。
由于旋转过程中只改变了角度，所以旋转前后的图形全等，因此角BAE等于角D'CE。
而由于DE等于AE，所以角D'CE 等于角BCE。
因此，角BAE等于角BCE。
总之，半角模型是一种有用的几何工具，可以用于证明一些等角、等线段的问题。
旋转中的几何模型(角含半角模型)(解析版)
旋转中的几何模型模型一角含半角模型模型特征：角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。
它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。
解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。
1综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF= 45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．李伟同学是这样解决的：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，再证明△GAF≌△EAF，可得结论．(1)如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC AD>BC，∠D=90°，AD=CD=10，且∠BAE= 45°，DE=4，求BE的长；(2)类比(1)证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，在旋转过程中，等式BD2+CE2=DE2始终成立，请说明理由．【思路点拨】(1)过A作AG⊥BC，交BC延长线于G，由正方形的性质得出CG=AD=10，再运用勾股定理和方程求出BE的长；(2)运用旋转性质和勾股定理判断说明等式成立．【解题过程】解：(1)如图2，过点A作AG⊥BC，交CB延长线于点G．四边形ADCG中，∠D=∠C=∠G=90°，AD=DC，∴四边形ADCG是正方形．∴CG=AD=10．已知∠BAE=45°，根据已知材料可得：BE=GB+DE．设BE=x，则BG=x-4，∴BC=14-x．在Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2，∴x2=14-x2+62，解得x=58 7．∴BE=587．(2)如图3，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，则CE=BH，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．连接HD，在△EAD和△HAD中，AE=AH∠HAD=∠EAD AD=AD，∴△EAD≌△HAD SAS．∴DH=DE．又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，∴BD2+BH2=HD2，∴BD2+CE2=DE2．2如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E在BC边上，∠DAE=45°，将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF．(1)求证：BF⊥BC；(2)连接DF，求证：△ADF≌△ADE；(3)若BD=3，CE=4，则DF=，四边形AFDE的面积=．【思路点拨】(1)由旋转的性质得∠C=∠ABF，从而得到∠DBF=∠ABC+∠ABF=90°，即可证明结论；(2)由旋转的性质得AF=AE，∠BAF=∠CAE，则∠BAD+∠BAF=∠BAD+∠CAE=45°，再利用SAS即可证明；(3)如图，过点A作AH⊥BC于H，由(1)得，∠DBF=90°，在Rt△DBF中，由勾股定理得DF= BD2+BF2=32+42=5，则BC=BD+DF+CE=3+5+4=12，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AH，再利用S四边形AFDE=2S△ADE可得出答案．【解题过程】(1)证明：∵将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF，∴∠C=∠ABF，∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，∴∠DBF=∠ABC+∠ABF=45°+45°=90°，∴BF⊥BC．(2)证明：∵将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF，∴AF=AE，∠BAF=∠CAE，∵∠DAE=45°，∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°-45°=45°，∴∠BAD+∠BAF=∠BAD+∠CAE=45°，∴∠DAF=∠DAE，在△ADF和△ADE中，AF=AE∠DAF=∠DAE AD=AD，∴△ADF≌△ADE SAS．(3)解：如图，过点A作AH⊥BC于H，∵将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF，BD=3，CE=4，∴BF=CE=4，由(1)得，∠DBF=90°，在Rt△DBF中，DF=BD2+BF2=32+42=5，由(2)得，△ADF≌△ADE，∴DE=DF=5，S△ADF=S△ADE，∴BC=BD+DE+CE=3+5+4=12，∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC∴BH=CH，∴AH=12BC=6，∴四边形AFDE的面积：S四边形AFDE=S△ADF+S△ADE=2S△ADE=2×12×DE×AH=DE×AH=5×6=30．故答案为：5；30．针对训练13如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，分别连接EF、BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N(1)求证：EF=BE+DF为了证明“EF=BE+DF”，小明延长CB至点G，使BG=DF，连接AG，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程．(2)若BE=2，DF=3，请求出正方形ABCD的边长．(3)请直接写出线段BN、MN、DM三者之间的数量关系【分析】(1)延长BC 到G ，使BG =DF ，连接AG ，证得△ABG ≌△ADF ，△AEF ≌△AEG ，最后利用等量代换求得答案即可；(2)根据(1)中的结论，设正方形的边长为x ，列方程可解答；(3)在AG 截取AH =AM ，连接NH 、BH ，证得△ABH ≌△ADM ，△AMN ≌△AHN ，最后利用勾股定理求得答案即可．【解析】(1)证明：如图1，延长CB 至点G ，使BG =DF ，连接AG，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD ，∠BAD =∠ADF =∠ABE =∠ABG =90°，在△ABG 和△ADF 中，AB =AD ∠ABG =∠ADF BG =DF，∴△ABG ≌△ADF (SAS )，∴∠DAF =∠BAG ，AF =AG ，∴∠GAE =∠BAG +∠BAE =∠DAF +∠BAE =90°-45°=45°=∠EAF ，在△AEF 和△AEG 中，AF =AG ∠FAE =∠GAE AE =AE，∴△AEF ≌△AEG (SAS )，∴EF =EG ，∵EG =BE +BG ，∴EF =BE +DF ；(2)解：设正方形的边长为x ，∵BE =2，DF =3，∴CE =x -2，CF =x -3，由(1)得：EF =BE +DF =2+3=5，Rt △CEF 中，EF 2=CE 2+CF 2，52=(x -2)2+(x -3)2，解得：x =6或-1(舍)，答：正方形ABCD 的边长为6．(3)解：BN 2+DM 2=MN 2；理由是：如图2，在AG 上截取AH =AM ，连接HN 、BH ，在△AHB 和△AMD 中，AB =AD ∠HAB =∠MAD AH =AM，∴△AHB ≌△AMD (SAS )，∴BH =DM ，∠ABH =∠ADB =45°，又∵∠ABD =45°，∴∠HBN =90°．∴BH 2+BN 2=HN 2．在△AHN 和△AMN 中，AH =AM ∠HAN =∠MAN AN =AN，∴△AHN ≌△AMN (SAS )，∴MN =HN ．∴BN 2+DM 2=MN 2．4如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF =BE ．(1)求证：CE =CF ；(2)在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE =45°，则GE =BE +GD 成立吗？为什么？(3)根据你所学的知识，运用(1)、(2)解答中积累的经验，完成下列各题：①如图2，在四边形ABCD 中，AD ∥BC (BC >AD )，∠B =90°，AB =BC =6，E 是AB 的中点，且∠DCE =45°，求DE 的长；②如图3，在△ABC 中，∠BAC =45°，AD ⊥BC ，BD =4，CD =6，则△ABC 的面积为60(直接写出结果，不需要写出计算过程)．【分析】(1)因为ABCD 为正方形，所以CB =CD ，∠B =∠CDA =90°，又因为DF =BE ，则△BCE ≌△DCF ，即可求证CE =CF ；(2)因为∠BCD =90°，∠GCE =45°，则有∠BCE +∠GCD =45°，又因为△BCE ≌△DCF ，所以∠ECG =∠FCG ，CE =CF ，CG =CG ，则△ECG ≌△FCG ，故GE =BE +GD 成立；(3)①过点C 作CG ⊥AD 交AD 的延长线于点G ，利用勾股定理求得DE 的长；②由题中条件，建立图形，根据已知条件，运用勾股定理，求出AD 的长，再求得△ABC 的面积．【解析】(1)在正方形ABCD 中CB =CD ，∠B =∠CDA =90°，∴∠CDF =∠B =90°．在△BCE 和△DCF 中，CB =CD ∠B =∠CDF BE =DF，∴△BCE ≌△DCF (SAS )．∴CE =CF ．(2)GE =BE +GD 成立．理由如下：∵∠BCD =90°，∠GCE =45°，∴∠BCE +∠GCD =45°．∵△BCE ≌△DCF (已证)，∴∠BCE =∠DCF ．∴∠GCF =∠GCD +∠DCF =∠GCD +∠BCE =45°．∴∠ECG =∠FCG =45°．在△ECG 和△FCG 中，CE =CF ∠ECG =∠FCG CG =CG，∴△ECG ≌△FCG (SAS )．∴GE =FG ．∵FG =GD +DF ，∴GE =BE +GD ．(3)①如图2，过点C 作CG ⊥AD ，交AD 的延长线于点G ，由(2)和题设知：DE =DG +BE ，设DG =x ，则AD =6-x ，DE =x +3，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 2+AE 2=DE 2，∴(6-x )2+32=(x +3)2，解得x =2．∴DE =2+3=5；②如图3，将△ABD 沿着AB 边折叠，使D 与E 重合，△ACD 沿着AC 边折叠，使D 与G 重合，可得∠BAD =∠EAB ，∠DAC =∠GAC ，∴∠EAG =∠E =∠G =90°，AE =AG =AD ，BD =EB =4，DC =CG =6，∴四边形AEFG 为正方形，设正方形的边长为x ，则BF =x -4，CF =x -6，在Rt △BCF 中，根据勾股定理得：BF 2+CF 2=BC 2，即(x -4)2+(x -6)2=(4+6)2，解得：x =12或x =-2(舍去)，∴AD =12，∴S △ABC =12BC •AD =12×10×12=60．故答案为：60拓展类型 构造旋转模型解题方法指导：若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度，通常是以等线段的公共端点为旋转中心进行旋转，使得相等的边重合，得出特殊的图形．1请阅读下列材料：问题：如图1，在等边△ABC 内有一点P ，且PA =2，PB =3，PC =1，求∠BPC 的度数和等边△ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形(如图2)，连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，所以∠BPC =∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为7，问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= 5，BP=2，PC=1.求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A.∴AP′=PC=1，BP′=BP=2.易证∠PBP′=∠ABC=90°.连接PP′，在Rt△BP′P中，∵BP=BP′=2，∠PBP′=90°，∴PP′=2，∠BP′P=45°.在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=5，∵12+22=(5)2，即AP′2+PP′2=AP2，∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°.∴∠AP′B=∠AP′P+∠BP′P=135°.∴∠BPC=∠AP′B=135°.过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E，则△BEP′是等腰直角三角形．∵BP′=2，∴EP′=BE=1.∴AE=2.∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=5.∴∠BPC=135°，正方形ABCD的边长为5.2如图1，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．(1)求证：EB=GD且EB⊥GD；(2)若AB=2，AG=2，求BE的长；【答案】(1)见解析；(2)10；(3)不变，△ABG与△DAE的面积之差为0【分析】(1)在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB，从而△EAB≌△GAD，即EB=GD；由∠AEB=∠AGD，∠EOH=∠AOG，即可得出∠EHG=∠EAG=90°；(2)设BD与AC交于点O，由AB=AD=2，在Rt△ABD中求得DB，在Rt△GOD中利用勾股定理即可求得结果；【详解】(1)如图1，∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，∴AG=AE，AB=AD，∠EAG=90°，∠DAB=90°，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，∴∠GAD=∠EAB，在△EAB和△GAD中，AB=AD∠EAB=∠GAD AE=AG，∴△EAB≌△GAD(SAS)，∴EB=GD；∠AEB=∠AGD，∵∠EOH=∠AOG，∴∠EHG=∠EAG=90°，∴EB=GD且EB⊥GD；(2)如图2，连接BD，BD与AC交于点O，∵AB=AD=2，在Rt△ABD中，DB=AB2+AD2=22+22=22，∴AO=DO=2，∴OG=OA+AG=2+2=22，∴EB=GD=OG2+OD2=222+22=10；【点睛】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的性质，作出辅助线，利用三角形全等是解题的关键．针对训练25以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE=AB，AC=AD，CE与BD相交于M，∠EAB=∠CAD=α．(1)如图1，若α=40°，求∠EMB 的度数；(2)如图2，若G 、H 分别是EC 、BD 的中点，求∠AHG 的度数(用含α式子表示)；(3)如图3，连接AM ，直接写出∠AMC 与α的数量关系是 90°+12α ．【分析】(1)由“SAS ”可证△AEC ≌△ABD ，可得∠AEC =∠ABD ，由外角的性质可得结论；(2)由“SAS ”可证△ACG ≌△ADH ，可得AG =AH ，∠CAG =∠DAH ，即可求解；(3)由全等三角形的性质可得S △ACG =S △ADH ，EC =BD ，由面积法可求AP =AN ，由角平分线的性质可求∠AMD ，即可求解．【解答】解：(1)∵∠EAB =∠CAD =α，∴∠EAC =∠BAD ，在△AEC 和△ABD 中，AE =AB ∠EAC =∠BAD AC =AD，∴△AEC ≌△ABD (SAS )，∴∠AEC =∠ABD ，∵∠AEC +∠EAB =∠ABD +∠EMB ，∴∠EMB =∠EAB =40°；(2)连接AG ，AH ，由(1)可得：EC =BD ，∠ACE =∠ADB ，∵G 、H 分别是EC 、BD 的中点，∴DH =CG ，在△ACG 和△ADH 中，AC =AD ∠ACE =∠ADB CG =DH，∴△ACG ≌△ADH (SAS )，∴AG =AH ，∠CAG =∠DAH ，∴∠AGH =∠AHG ，∠CAG -∠CAH =∠DAH -∠CAH ，∴∠GAH =∠DAC ，∵∠DAC =α，∴∠GAH =α，∵∠GAH +∠AHG +∠AGH =180°，∴∠AHG =90°-12α；(3)如图3，连接AM ，过点A 作AP ⊥EC 于P ，AN ⊥BD 于N ，∵△ACE ≌△ADB ，∴S △ACE =S △ADB ，EC =BD ，∵12EC ×AP =12×BD ×AN ，∴AP =AN ，又∵AP ⊥EC ，AN ⊥BD ，∴∠AME =∠AMD =180°-α2，∴∠AMC =∠AMD +∠DMC =90°+12α，故答案为：90°+12α．6在△ABC 中，∠BAC =90°，AC =AB ，点D 为直线BC 上的一动点，以AD 为边作△ADE (顶点A ､D ､E 按逆时针方向排列)，且∠DAE =90°，AD =AE ，连接CE ．(1)如图1，若点D 在BC 边上(点D 与B ､C 不重合)，①求证：△ABD ≌△ACE ；②求证：DE 2=BD 2+CD 2(2)如图2，若点D 在CB 的延长线上，若DB =5，BC =7，则△ADE 的面积为．(3)如图3，若点D 在BC 的延长线上，以AD 为边作等腰Rt △ADE ，∠DAE =90°，连结BE ，若BE =10，BC =6，则AE 的长为．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)1694；(3)34【分析】(1)①根据∠BAC =∠DAE ，推出∠BAD =∠CAE ，再结合AB =AC ，AD =AE ，即可证明△ABD ≌△ACE ，②根据∠ABD =∠ACE ，可得∠ABD +∠ACB =∠ACE +∠ACB =∠BCE ，根据BD =CE ，即可证明结论；(2)过点A 作AF ⊥DE 于点F ，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质，易得AF =12DE ，利用全等三角形的判定定理可得△ABD ≌△ACE ，由全等三角形的性质可得∠ADB =∠AEC ，DB =EC ，易得EC =5，DC =12，利用勾股定理可得DE 的长，利用三角形的面积公式可得结论；(3)根据Rt △BCE 中，BE =10，BC =6，求得CE =102-62=8，进而得出CD =8-6=2，在Rt △DCE 中，求得DE =22+82=68，最后根据△ADE 是等腰直角三角形，即可得出AE 的长．【详解】(1)①∵∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ，又∵AB =AC ，AD =AE ，∴△ABD ≌△ACE ，②∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，∴∠ABD+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=CD2+BD2；(2)过点A作AF⊥DE于点F．∵AD=AE，∴点F是DE的中点，∵∠DAE=90°，∴AF=12DE，同理可证△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC，DB=EC，∵DB=5，BC=7，∴EC=5，DC=12，∵∠DAE=90°，∴∠ADE+∠AED=90°，∴∠ADC+∠CDE+∠AED=90°，∴∠AEC+∠AED+∠CDE=90°，即∠CED+∠CDE=90°，∴∠ECD=90°，∴DE2=CE2+CD2=25+144=169，∵DE>0，∴DE=13，∴AF=132，∴△ADE的面积为=12DE•AF=12×13×132=1694；(3)由(1)可知：△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∴∠BCE=∠ACB+∠∠ACE=∠ACB+∠ABD=90°，∴Rt△BCE中，BE=10，BC=6，∴CE=102-62=8，∴BD=CE=8，∴CD=8-6=2，∴Rt△DCE中，DE=22+82=68，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE2=682=34．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，还有等腰三角形的性质等，综合利用定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．巩固练习1已知在△ABC中，BC=4。
半角旋转模型
小伟遇到这样一个问题：如图 1,在正方形 ABCD 中，点 E 、F 分别为 DC 、BC 边上的点,/ EAF =45° ，连结 EF ，求证: DE+BF=EF .小伟是这样思考的： 要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段△ ADE 绕点A 顺时针旋转 90得到△ ABG （如图2）,此时GF 即是DE + BF . 请回答：在图2中，/ GAF 的度数是 参参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：D （1）如图3C 在直角梯形 ABCD E 中, A•内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型探究：（1）如图1,在正方形 ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且/ EAF = 45 ° 试判断 BE 、DF 与 EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结 果： ；（2） 如图2,若把（1）问中的条件变为 在四边形ABCD 中，AB = AD , / B + Z D = 180° E 、1F 分别是边BC 、CD 上的点，且/ EAF= — / BAD ，则（1）问中的结论是否仍然成立？若2成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3） 在（2）问中，若将△ AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别 E 、F 运动到BC 、CD 延长 线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予 以证明..R E CB图1OCBx图3B 图4上•他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题•他的方法是将 图3AD // BC (AD >BC ),/ D=90° AD=CD=10, E 是 CD 上一点，若/ BAE=45° DE=4，贝U BE= _________________ .(2)如图4,在平面直角坐标系 xOy 中，点B 是x 轴上一 动点，且点 A ( _3，2)，连结AB 和AO ,并以AB 为边向上作 正方形ABCD ，若C ( x ，y )，试用含x 的代数式表示y ， 贝 y y= .已知：正方形 ABCD 中, .MAN =45；，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB 、DC(或它们的延长线)于点M 、N .(1)如图1,当.MAN(2)当.MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM , DN 和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想, 并证明.绕点A 旋转到BM 二DN 时，有BM DN 二MN •当.MAN绕点A 旋转到BM = DN 时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由;24.如图1,在等腰直角 △ ABC 中，/ BAC=90 ° AB=AC=2，点E 是BC 边上一点，/ DEF =45 ° 且角的两边分别与边 AB ，射线CA 交于点P, Q.(1) 如图2,若点E 为BC 中点，将/ DEF 绕着点E 逆时针旋转，DE 与边AB 交于点P,EF 与CA 的延长线交于点 Q.设BP 为x, CQ 为y,试求y 与x 的函数关系式，并写 出自变量x 的取值范围；（用含k 的代数式表示）；(2) （2）如图3,点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动（不与 B, C 重合），且DE 始终经过 点A,EF 与边AC 交于Q 点•探究：在/ DEF 运动过程中，△ AEQ 能否构成等腰三 角形，若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由.海淀25.如图1,两个等腰直角三角板 ABC 和DEF 有一条边在同一条直线 I 上, DE = 2 , AB =1 .将直线EB 绕点E 逆时针旋转45 ,交直线AD 于点M •将图1中的三角板ABC 沿直线I 向右平移，设 C 、E 两点间的距离为k .①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得 如 的值为DM②在平移过程中，如的值为DM将图2中的三角板 ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变•当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请补全图形，计算 如 的值；DM（3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转:-度，0：：： : <90，原题中的其他条件保 持不变•计算如的值（用含k 的代数式表示）DM图3图3(1)BAP C ，连接PP'，得到两昌平22.阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题：如图1 ,在正三角形 ABC 内有一点 P,且PA=3 , PB=4 , PC=5,求/ APB 的度数.小伟是这样思考的：如图 2,利用旋转和全等的知识构造△个特殊的三角形，从而将问题解决.请你回答：图1中/APB 的度数等于 ___________ .参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：(1) 如图 3,在正方形 ABCD 内有一点 P,且 PA=2、、2, PB=1 , PD=、_17，则/ APB 的 度数等于 _____ ，正方形的边长为 _______ ;(2) 如图4，在正六边形 ABCDEF 内有一点 P,且FA= 2 , PB=1, PF=、_13，则/ APB 的 度数等于 _____ ，正六边形的边长为 ________ .通州24. ( 9分)在平面直角坐标系 xOy 中，点B(0, 3)，点C 是x 轴正半轴上一点，连结 BC ,过点C 作直线CP // y 轴.(1) 若含45。
11.2图形的旋转之“半角”模型
45°
如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CB、DC的延长线上.且∠EAF=45°，则BE、DF、EF有怎样的数量关系.
分析：利用旋转变换构造全等.
EF=DF-BE
如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，点M、N在边BC上.且∠MAN=45°，试探究BM、MN、CN的数量关系.
青岛版八年级下册
第11章 图形的平移与旋转
如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上.且∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF.
条件：①正方形ABCD；②∠EAF=45°
结论：①EF=BE+DF；②△CEF的周长是正方形周长的一半
方法：把半角一侧的三角形通过旋转变换构造新的三角形与含半角的三角形全等，从而进行等量代换，来转化边和角，以此探究新的边边关系.
模型2：等腰直角三角形中的半角模型
条件：①等腰RT△ABC；②∠MAN=45°
结论：①MN²=BM²+CN²；
方法：把半角一侧的三角形通过旋转变换构造新的全等三角形来转化边和角，以此探究新的边边关系.
如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长是 .
模型3：含120°的等腰三角形中的半角模型
半角模型的特征：①共顶点；②等腰；③顶角为半角关系.
解题思路：把半角一侧的三角形通过旋转变换构造新的三角形与半角所在三角形全等，从而进行等量代换，来转化边和角，以此探究新的边边关系.
方法破译：半角模型出现，旋转是关键，证全等是必要条件.
如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、DC上.且∠EAF=4华
半角旋转模型
•内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型探究：(1)如图1 ,在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且/ EAF = 45 °试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；(2)如图2,若把(1)问中的条件变为在四边形ABCD中，AB = AD，/ B+Z D= 180E；,1F分别是边BC、CD上的点，且Z EAFd Z BAD”则U (1)问中的结论是否仍然成立？若成2立，请给出证明，若不成立，请说明理由；(3)在(2)问中，若将△ AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则(1)问中的结论是否发生变化?若变化，请给出结论并予以证明..小伟遇到这样一个问题如图1,在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，D，连结EF,求证：DE+BF=EF.图2A DEB C图3小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上•他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题•他的方法是将△ ADE绕点A顺时针旋转90。
得到△ ABG (如图2),此时GF即是DE+BF.请回答:在图2中，/GAF的度数是D A D k D参考小伟得至C的结论和思考问题的方法,解决下列问题:E(1)如图3,在直角梯形ABCD中，AD //BC (AD >BC),OB x B F C G B F C /D=90 图4AD=CD=10 ,图是CD 上一点,若J BAE=45 ° ,DE=4 ,则BE= ___________ •(2)如图4,在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一动点，且点A ( 3 , 2),连结AB和AO,并以AB为边向上作正方形ABCD,若C (x, y),试用含x的代数式表示y,已知：正方形ABCD中，MAN 45°,绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N •(1)如图1，当MAN绕点A旋转到BM DN时，有BM DN MN •当MAN绕点A旋转到BM DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(2)当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM, DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明.24 .如图1 ,在等腰直角△ ABC中，/BAC=90 °,AB=AC=2，点E是BC边上一点，/DEF =45。
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.内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型，EAF＝45°分别是BC、CD上的点，且∠ABCD 探究：（1）如图1，在正方形中，E、F结判断，直接写出系三条线段之间的数量关断试判BE、DF与EF ；果：、，E＋∠D＝180°在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“1）问中的结论是否仍然成立？若1∠BAD”，则（BCF分别是边、CD上的点，且∠EAF=2成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；延长CDF运动到BC、AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、3（）在（2）问中，若将△线上时，）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予1如图3所示，其它条件不变，则（..以证明边上的点，BC分别为DC、1，在正方形ABCD中，点E、F小伟遇到这样一个问题：如图=45°EF．DE，连结EF，求证：+BF=∠EAF yDADADDAC首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段要想解决这个问题，小伟是这样思考的：EEEA上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将BOCCBGBFBFCx90°顺时针旋转BFDE+．A（如图△ADE绕点得到△ABG2），此时GF即是4图3图图1图2y．中，∠请回答：在图2GAF的度数是DDAADAD参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：C BC，＞AD∥BC（ADABCD）（1）如图3，在直角梯形中，EEEA∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°，yBOCCBFBCGBFx，则DE=4BE= ．D4图3图图1图2（2）如图4，在平面直角坐标系xOy 中，点B是x轴上一C1 / 7AOBx4图动点，且点A（，2），连结AB和AO，并以AB为边向上作3 正方形ABCD，若C（x，y），试用含x的代数式表示y，则y= ．?MAN?45AABCD、DC已知：正方形顺时针旋转，它的两边分别交中，，绕点CB、N．（或它们的延长线）于点MABM?DNBM?DN?ANMN?MAN?M时，有绕点旋转到．当（1）如图1，当ABM?DN 时，如图2，旋转到请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请绕点给予证明，如果不成立，请说明理由；AMNDNMAN，BM?之间有怎样的等绕点和旋转到如图3（2）当的位置时，线段量关系？请写出你的猜想，并证明．24．如图在，1腰等角直△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF 与CA的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF 与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．lABCDEFDE?2，和有一条边在同一条直线上，，25海淀．如图1两个等腰直角三角板MEBE?45ABCADAB?1．于点．将图1中的三角板将直线绕点逆时针旋转，交直线E klC．沿直线向右平移，设、两点间的距离为2 / 7图3 图1 图2解答问题：AM FC与点重合时，如图2所示，可得；的值为（1）①当点DM AM k②在平移过程中，；的值为（用含的代数式表示）DM C ABCA落在逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变绕点.当点（2）将图2中的三角板AM DF所示，请补全图形，计算线段3的值；上时，如图DM??90?0，原题中的其他条件保度，）将图（31中的三角板ABC绕点C逆时针旋转≤AM的值（用含k的代数式表示）．.持不变计算DM昌平22.阅读下面材料：，=5=4，PCABC 内有一点P，且PA=3 ，PB小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形.APB的度数求∠??CAPPP，得到两，利用旋转和全等的知识构造△，连接小伟是这样思考的：如图2 个特殊的三角形，从而将问题解决．AACD'PPPPBBABCC 4图图 2 图 3 图1DECFPBA请你回答：图1中∠APB的度数等于.参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：1722，则∠APB，A，且内有一点，在正方形）如图（13ABCDPP=PB，=1PD=的3 / 7度数等于，正方形的边长为；132，则∠APB=的，PB=1，PF（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=度数等于，正六边形的边长为．通州24.（9分）在平面直角坐标系xOy中，点B(0，3)，点C是x轴正半轴上一点，连结BC，过点C作直线CP∥y轴.（1）若含45°角的直角三角形如图所示放置．其中，一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC上，另一个顶点E在CP上．求点C的坐标；（2）若含30°角的直角三角形一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC上，另一个顶点E 在CP上，求点C的坐标．PABC yy x中，正方形1，将其沿xOy轴的正(西城19)如图所示，在平面直角坐标系的边长为yPAB得到第二个90为旋转中心将正方顺时针旋方向连续滚动即先以顶方形再以顶为旋转中心将第二个正方形顺时针旋90得到第三个正方形，依方法继续滚动下去得到第四个正方形，个正方形．设滚动过程中的点P的标为xxxCOOO的坐标；1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P（备用图备用图题图第24x),yP(x x轴所围成区域的面）0≤，并直接写出该曲线与≤4）画出点（2运动的曲线（积．东城24. 问题1：如图1，在等腰梯形AD∥BCABCD中，，AB=BC=CD，在AD，CD点M，N 分别上，若1∠ABC，试探∠MBN=2究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在1∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AMDA，CD的延长线上，若∠MBN=，2CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.昌平24．在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△ABC．（1）如图1，当点C在线段CA的延长线上时，求∠CCA的度数；11111（2）如图2，连接AA，CC．若△CBC的面积为3，求△ABA的面积；1111（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P，直接写出线段EP长度的最大值与最小值．114 / 7C1APC1A CA11AA1E1PCBCBCB3图图1图2A1AC分别为AB、上的点．ABC中，∠A=90°，D、E朝阳24．在Rt△，交EB于点G∥EB，且CF=EB，连接DF（1）如图1，CE=AB，BD=AE，过点C作CFEB连接BF，请你直接写出的值；DC1EB，求kkAB，BD=kAE，的值．（2）如图2，CE=?2DC AA?EE在△，点中，∠ACB=90°，∠ABC=ABC的内部．西城24P．在Rt△ABC?D如图分别在(1) PB=3，点M、BC边上，则cosN=_______，1，AB=2AC，AB、DG PMN 周长的最小值为_______△；BCBC10 ，求△=ABC，PC的面积；2，若条件AB=2AC不变，而PA=1=，PB(2) 如图2??nm k sin?k?mcosn，直接写出∠，且=APB，PC=(3) 若PA=的度数．，PB F21 图图边上一点，点是ABD为BC边的中点，点F门头沟24．已知：在△ABC中，AB＝AC，点E在线段DF的延长线上，点M在线段DF上，且∠BAE＝∠BDF，∠ABE＝∠DBM．（1）如图1，当∠ABC＝45°时，线段DM 与AE之间的数量关系是；（2）如图2，当∠ABC＝60°时，线段DM 与AE之间的数量关系是；?<90?<?0?）时，线段DM 与AE（3）①如图3，当（之间的数量关系??ABC是；②在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连结CP，若AB＝7，AE＝，72求sin∠ACP的值．ABCDABCDE A与正方形将三角板放在正方形使三角板的直角顶点上，24顺义．如图1，G.CBCDFA的顶点，另一边交重合．三角板的一边交于点的延长线于点EE EG?EF；（1）求证：AEA ACABCDE始终在正方形使顶点移动三角板，）如图2，的对角线上，其他条件不变，（2FFFM（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；MM ABCDABCD”，且使三角板”改为“矩形的一边经3（）如图3，将（2）中的“正方形BBBDCD EF CDC AB?aBC?bB，其他条件不变，若，，求的值．过点图1图2图3EG朝阳5 / 722．阅读下列材料：ABC，AC=5，在△1 小华遇到这样一个问题，如图,△ABC中，∠ACB=30o，BC=6AD 的最小值．PB+PC求，连接PA、PB、PC，PA+内部有一点P EA首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分要解决这个问题，小华是这样思考的：DAB离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线CPCB，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，段最短”3P1图C△顺时针旋转60发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如，APC绕点CB ．BE、BE，则的长即为所求得到△EDC，连接PD2 图；中，PA+PB+PC的最小值为（1）请你写出图2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：（2=60o，在菱形ABCD 内部有一点ABCP，请在图3 ①如图3，菱形ABCD中，∠中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．丰台24．在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．（1）当点O为AC中点时，①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；AO1，若于E、F两点，AB当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交，BC2）?AC4OE的值．求OF A A A CD?ABCAB???ACB?90DEACBE在于点25朝阳期末已知：在，上，中，点交EF?BEABCDGF O 。