春季五年制小学奥数四年级数论问题——余数

一、带余除法的定义及性质

一般地，如果a 是整数，b 是整数(b ≠0)，若有a ÷b ＝q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r 。

0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：

⑴当r ＝0时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商。

⑵当r ≠0时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商。

二、余数定理：

1．余数一定要比除数小。

2．余数的加法定理

例如：

23÷5＝4 (3)

16÷5＝3 (1)

所以23＋16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3＋1。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：

23÷5＝4 (3)

19÷5＝3 (4)

所以：23＋19＝42

42÷5的余数等于3＋4＝7除以5的余数，即2。

和的余数＝余数的和(的余数)。

3．余数的乘法定理

a 与

b 的乘积除以

c 的余数，等于a ，b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。 例如：

23÷5＝4 (3)

16÷5＝3 (1)

所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

例如：

23÷5＝4 (3)

19÷5＝3 (4)

所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2。

积的余数＝余数的积(的余数)。

有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？

一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以

9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是

_________。

2

2003与20032的和除以7的余数是________。

12＋22＋32＋…＋20012＋20022除以7的余数是多少？

在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组。这样的数组共有______组。

六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》。一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本。这种《成语大词典》的定价是________元。

测试题

1．两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是多少？

2．一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。

3．求478×296×351除以17的余数。

4．商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个

顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克。

5．19967

77777⋅⋅⋅个除以41的余数是多少？

6．六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1

张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍，则丙手中卡片上的数是_______。

答案

1．答案：因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数4154884179---÷+=（）（），

所以，被除数为79。

2.答案：因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13×6＝78，并且小于13×(6＋1)

＝91；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78＋5＝83。

3.答案：余数，计算量较大。可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数478，

296，351除以17的余数分别为2，7和11，(2×7×11)÷17＝9……1。

4.答案：两个顾客买的货物重量是3的倍数。(151618192031)(12)119339...2+++++÷+=÷=，剩下

的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20千克。

5.答案：找规律：7417÷=⋅⋅⋅□，774136÷=⋅⋅⋅□，7774139÷=⋅⋅⋅□，77774128÷=⋅⋅⋅□，

77777410÷=⋅⋅⋅□，……，所以77777是41的倍数，而199653991÷=，所以19967

77777⋅⋅⋅个可

以分成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7。

6.答案：根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知，甲、乙手中五卡

上的数之和应是3的倍数。计算这六个数的总和是。

1193＋1258＋1842＋1866＋1912＋2494＝10565，10565除以3余2；因为甲、乙二人手中五张卡上的数之和是3的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以3余2。六个数中只有1193除以3余2，故丙手中卡片上的数为1193。