概率论与数理统计复习题答案
概率论与数理统计复习题带答案
6.设随机变量 的概率分布率如下表
1
2
3
求X的分布函数和 。
解:
7.设随机变量 的概率密度函数为 ,求 (1)常数c; (2) 。
解:(1)
(2)
第三章
一、填空题
1.设连续型随机变量 的概率密度分别为 ,且 与 相互独立,则 的概率密度 ( )。
2.已知 ,且 与 相互独立,则 ( )
二、计算题
A. B. 41 C. 21 D. 20
8. 是互相独立的随机变量, ,则 =( D )。
A. 9 B. 15 C. 21 D. 27
三、计算题
1.设二维随机变量的联合概率分布为
XY
0
1
1
0
2
0
求:(1)X与Y的边缘分布,(2)E(X),D(Y)。
X
-1 1 2
Y
-2 0 1
2.已知 ,求Z的期望与方差,求X与Z的相关系数。
9.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为,乙击中敌机的概率为.求敌机被击中的概率为( );
10.若事件A与事件B互不相容,且P(A)=, P(B) = ,则P( )=( )
11.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为,,,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为( )。
3.设(X,Y)服从分布
X Y
0
1
2
0
3/28
9/28
3/28
1
3/14
3/14
0
2
1/28
0
0
,试求cov(X,Y)及 。
4.设随机变量(X,Y)具有密度函数 ,其中区域G由曲线 围成,求cov(X,Y)及 。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 设A、B为两个事件,且P(A) = 0.5,P(B) = 0.6,则P(A∪B)等于()A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案:D2. 设随机变量X的分布函数为F(x),若F(x)是严格单调增加的,则X的数学期望()A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案:A3. 设X~N(0,1),以下哪个结论是正确的()A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案:A4. 在伯努利试验中,每次试验成功的概率为p,失败的概率为1-p,则连续n次试验成功的概率为()A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案:A5. 设随机变量X~B(n,p),则X的二阶矩E(X^2)等于()A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案:A二、填空题(每题3分,共15分)1. 设随机变量X~N(μ,σ^2),则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案:μ2. 若随机变量X、Y相互独立,且X~N(0,1),Y~N(0,1),则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案:f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立,且X~B(n,p),Y~B(m,p),则X+Y~_______。
参考答案:B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0,则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案:ρ = 05. 设随机变量X~χ^2(n),则X的期望E(X) = _______,方差Var(X) = _______。
参考答案:E(X) = n,Var(X) = 2n三、计算题(每题10分,共40分)1. 设随机变量X、Y相互独立,且X~N(0,1),Y~N(0,1),求X+Y的概率密度函数f(x)。
中国石油大学090107概率论与数理统计期末复习题及参考答案
《概率论与数理统计》课程综合复习资料一、单选题1.设某人进行射击,每次击中的概率为1/3,今独立重复射击10次,则恰好击中3次的概率为()。
a∙ Φ3Φ7B. ⅛φ3×(∣)7C∙ c ioψ7×(∣)3d∙ ⅛3答案:B2.设X∣, X2, . X〃为来自总体X的一个样本,区为样本均值,EX未知,则总体方差OX的无偏估计量为()。
A.--∑(X∕-X)2“Ti=I1n _ o8. 1 X(X z-X)2 n i=∖1 «0C∙ -∑(X,•一EX)1 〃oD∙ --∑(X i-EX)2〃-答案:A3.设X” X2,…,X〃为来自总体N(〃,/)的一个样本,区为样本均值,已知,记S12=-∑(X z-X)2, 5^=1 X(X z-X)2,则服从自由度为〃-1的f分布统计量是()。
〃一IT n i=∖MT=Sl/3S2 / 4nS) ∕√n答案:D4.设总体X〜/HO),O为未知参数,X1, X2,. -, X“为*的一个样本,0(X1, X2,--,.X n), 0(X1, X2,∙∙∙, X ZJ)为两个统计量,包力为。
的置信度为的置信区间, 则应有()。
A.P{Θ <Θ} = aB.P{Θ<Θ} = ∖-aC.P[Θ<Θ<Θ] = aD.P[Θ<Θ<Θ} = ∖-a答案:D5.某人射击中靶的概率为3/5,如果射击直到中靶为止,则射击次数为3的概率()。
A. ⅛36,设X和Y均服从正态分布X〜N(μ工),Y ~ N(μ32),记P] = P{X <μ-2], p2=P{Y≥μ + 3}f则OoA.对任何实数〃都有p∣ >〃2B.对任何实数〃都有p∣ <〃2C.仅对〃的个别值有Pl =p2D.对任何实数〃都有p∣二〃2答案:D7.设A和B为任意两个事件,且Au3, P(B)>0,则必有()。
A.P(A)<P(A∖B)B.P(A)NP(AIB)C.P(A)>P(A∖B)D.P(A)≤P(A∖B)答案:D8.已知事件48相互独立,P(B) >0,则下列说法不正确的是()。
《概率论与数理统计》复习题及答案
《概率论与数理统计》复习题及答案《概率论与数理统计》复习题一、填空题 1. 已知P(AB)?P(A),则A与B的关系是独立。
2.已知A,B互相对立,则A与B的关系是互相对立。
,B为随机事件,则P(AB)?。
P(A)?,P(B)?,P(A?B)?,4. 已知P(A)?,P(B)?,P(A?B)?,则P(A?B)?。
,B为随机事件,P(A)?,P(B)?,P(AB)?,则P(BA)?____。
36.已知P(BA)? ,P(A?B)?,则P(A)?2 / 7。
7.将一枚硬币重复抛掷3次,则正、反面都至少出现一次的概率为。
8. 设某教研室共有教师11人,其中男教师7人,现该教研室中要任选3名为优秀教师,则3名优秀教师中至少有1名女教师的概率为___26____。
339. 设一批产品中有10件正品和2件次品,任意抽取2次,每次抽1件,抽出1___。
611110. 3人独立破译一密码,他们能单独译出的概率为,,,则此密码被译出的5343概率为______。
5后不放回,则第2次抽出的是次品的概率为___11.每次试验成功的概率为p,进行重复独立试验,则第8次试验才取得第3235Cp(1?p)7次成功的概率为______。
12. 已知3次独立重复试验中事件A至少成功一次的概率为1事件A成功的概率p?______。
319,则一次试验中27c35813.随机变量X能取?1,0,1,取这些值的概率为,c,c,则常数c?__。
24815k14.随机变量X 分布律为P(X?k)?,k?1,2,3,4,5,则P(X?3X?5 )?__。
15x??2,?0?X?(x)???2?x?0,是X的分布函数,则X分布律为__??pi?1x?0?0? ?__。
??2?0,x?0??16.随机变量X的分布函数为F(x)??sinx,0?x??,则2?1,x???2?P(X??3)?__3__。
217. 随机变量X~N(,1),P(X?3)?,P(X??)?__ 。
概率论与数理统计习题(含解答,答案)
概率论与数理统计习题(含解答,答案)概率论与数理统计复习题(1)⼀.填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独⽴,则=-)(B A P ;若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0,则=-)(B A P 。
2.)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ,则=)(B P 。
3.设),(~2σµN X ,且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。
4.1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布,则=≠}0{X P ;若X 服从均匀分布,则=≠}0{X P 。
5.设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ,则==}{n X P6.,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7.)16,1(~),9,0(~N Y N X ,且X 与Y 独⽴,则=-<-<-}12{Y X P (⽤Φ表⽰),=XY ρ。
8.已知X 的期望为5,⽽均⽅差为2,估计≥<<}82{X P 。
9.设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量,且)?()?(2221θθE E >,则其中的统计量更有效。
10.在实际问题中求某参数的置信区间时,总是希望置信⽔平愈愈好,⽽置信区间的长度愈愈好。
但当增⼤置信⽔平时,则相应的置信区间长度总是。
⼆.假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处,当任⼀河流泛滥时,该地区即遭受⽔灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1;⼄河流泛滥的概率为0.2;当甲河流泛滥时,⼄河流泛滥的概率为0.3,试求:(1)该时期内这个地区遭受⽔灾的概率;(2)当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三.⾼射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独⽴),每发炮弹击中敌机的概率均为0.3,⼜知若敌机中⼀弹,其坠毁的概率是0.2,若敌机中两弹,其坠毁的概率是0.6,若敌机中三弹则必坠毁。
《概率论与数理统计》复习答案
概率论复习一、单项选择题1.袋中有50个乒乓球,其中20个黄球,30个白球,现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球,则第二人取到黄球的概率是(B).A.51 B.52 C.53 D.54 2.设B A ,为随机事件,且5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,=)(A B P 8.0.则=)(B A P U (C).A.0.5B.0.6C.0.7D.0.83.设随机变量X 的分布函数为)(x F X ,则35-=X Y 的分布函数)(y F Y 为(C).A.)35(-y F XB.3)(5-y F XC.⎪⎭⎫⎝⎛+53y F X D.3)(51+y F X4.设二维随机变量),(Y X 的分布律为则==}{Y X P ( A ).A.3.0B.5.0C.7.0D.8.05.设随机变量X 与Y 相互独立,且2)(=X D ,1)(=Y D ,则=+-)32(Y X D (D).A.0B.1C.4D.66.设),(~2σμN X ,2,σμ未知,取样本n X X X ,,,21 ,记2,n S X 分别为样本均值和样本方差.检验:2:,2:10<≥σσH H ,应取检验统计量=2χ(C).A.8)1(2S n -B.2)1(2S n -C.4)1(2S n -D.6)1(2S n -7.在10个乒乓球中,有8个白球,2个黄球,从中任意抽取3个的必然事件是(B).A.三个都是白球B.至少有一个白球C.至少有一个黄球D.三个都是黄球8.设B A ,为随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是(A).A.)()(A P B A P =UB.)()(A P AB P =C.)()(B P A B P =D.)()()(A P B P A B P -=-9.设随机变量)4 ,1(~N X ,已知标准正态分布函数值8413.0)1(=Φ,为使8413.0}{<<a X P ,则常数<a (C).A.0B.1C.2D.310.设随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=∞+),(x F (B).A.0B.)(x F XC.)(y F YD.111.二维随机变量),(Y X 的分布律为设)1,0,(},{====j i j Y i X P P ij,则下列各式中错误..的是( D ). A.0100P P < B.1110P P < C.1100P P < D.0110P P< 12.设)5(~P X ,)5.0,16(~B Y ,则=--)22(Y X E (A).A.0B.0.1C.2.0 D.113.在假设检验问题中,犯第一类错误的概率α的意义是(C).A.在0H 不成立的条件下,经检验0H 被拒绝的概率B.在0H 不成立的条件下,经检验0H 被接受的概率C.在0H 成立的条件下,经检验0H 被拒绝的概率D.在0H 成立的条件下,经检验0H 被接受的概率14.设X 和Y 是方差存在的随机变量,若E (XY )=E (X )E (Y ),则(B) A 、D (XY )=D (X )D (Y )B 、D (X+Y )=D (X )+D (Y ) C 、X 和Y 相互独立D 、X 和Y 相互不独立 15.若X ~()t n 那么21X ~(B ) A 、(1,)F n ;B 、(,1)F n ;C 、2()n χ;D 、()t n16.设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本,2σ的无偏估计量是(B )A 、()211n i i X X n =-∑;B 、()2111n i i X X n =--∑;C 、211n i i X n =∑;D 、2X 17、设随机变量X 的概率密度为2(1)2()x f x --=,则(B ) A 、X 服从指数分布B 、1EX =C 、0=DX D 、(0)0.5P X ≤=18、设X 服从()2N σ0,,则服从自由度为()1n -的t 分布的随机变量是(B ) A 、nX S B、2nX S D 19、设总体()2,~σμN X,其中μ已知,2σ未知,123,,X X X 取自总体X 的一个样本,则下列选项中不是统计量的是(B ) A 、31(123X X X ++)B 、)(12322212X X X ++σC 、12X μ+D 、123max{,,}X X X20、设随机变量()1,0~N ξ分布,则(0)P ξ≤等于(C )A 、0B 、0.8413C 、0.5D 、无法判断 21、已知随机变量()p n B ,~ξ,且3,2E D ξξ==,则,n p 的值分别为(D )A 、112,4n p ==B 、312,4n p ==C 、29,3n p ==D 、19,3n p == 22.设321,,X X X 是来自总体X 的样本,EX=μ,则(D )是参数μ的最有效估计。
概率论与数理统计复习题 带答案
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A -B)=( 0.3 )。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.7,乙击中敌机的概率为0.8.求敌机被击中的概率为( 0.94 )。
3. 设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不少于二个发生可表示为(AB AC BC ++ )。
4. 三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为( 0.496 )。
5. 某人进行射击,每次命中的概率为0.6 独立射击4次,则击中二次的概率为( 0.3456 )。
6. 设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都不发生可表示为( ABC )。
7. 设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不多于一个发生可表示为( ABAC BC ); 8. 若事件A 与事件B 相互独立,且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=( 0.5 ); 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5.求敌机被击中的概率为( 0.8 ); 10. 若事件A 与事件B 互不相容,且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=( 0.5 ) 11. 三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.8,0.8,0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为( 0.864 )。
12. 若事件A ⊃B 且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=( 0.3 ); 13. 若事件A 与事件B 互不相容,且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=( 0.5 ) 14. A、B为两互斥事件,则AB =( S )15. A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰有一个发生可表示为( ABC ABC ABC ++ )16. 若()0.4P A =,()0.2P B =,()P AB =0.1则(|)P AB A B =( 0.2 )17. A、B为两互斥事件,则AB =( S )18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次就能打开保险箱的概率为(110000)。
概率论与数理统计复习题及答案
概率练习题1. 设一箱产品共30件,其中次品5件,现有一人从中随机买走5件,则下一个人买一件产品是次品的概率为_________. 答案:1/6。
2. 袋中有5个黑球,3个白球,一次随机取4个球,则其中恰好有3个白球的概率为______. 答案:1/14。
3.()()1/3,(|)1/6,|.()P A P B P A B A B P ===计算 答案:7/12.4. 设A 、B 是两个相互独立的事件,且()0.6,()0.5,()______.P A P B P A B ==+=则 答案:0.7.5. 设A 、B 是两个互斥事件,且()0.6,()0.5,()______.P A P B P A B ==+=则 答案:1.6. 设0()1,0()1,(|)(|)1,P A P B P A B P A B <<<<+=且则必有[ ] (A) A,B 互斥 (B) A, B 对立 (C)A, B 相容 (D) A,B 独立 答案:D.7. 若()0P AB =, 则AB 未必是不可能事件. 若()1P A B +=, 则A+B 未必是必然事件.8. 已知()()()1/4,()0,()()1/6,P A P B P C P AB P AC P BC ======则A, B 全不发生的概率为_____.答案:3/8. 【提示】()()0,()0.ABC AB P ABC P AB P ABC ⊂≤≤==因为,所以0即 9. 某种商品成箱出售,每箱24件,各箱有0,1,2件次品的概率分别为0.98, 0.015,0.005. 一顾客随意挑一箱,从中任意查两件,结果未发现次品,于是买下此箱. 求此箱中确实无次品的概率. 答案:0.982.10. 一袋中有a 个红球,b 个白球. 现从中有放回的每次任取一个球,共取求n 次,X 表示所去的n 个球中红球的个数,求X 的分布律. 答案:(1),{},0,1,...,.kkn kn p p aP X k C k bp n a --====+ 【提示】因为是“有放回地”抓球,所以各次抓球的结果是相互独立的,则这n 次抓球就是n 重伯努利试验.11. 书56页,习题二,第八题. 12. 设(2,5)XU ,现对X 进行独立观测,求至少两次观测值大于3的概率.答案:20/27.13. 设X 在(0, 1)上服从均匀分布,求22ln Y X Y X =-=和的概率密度.答案:211();,0(1)().0(2)200,,y Y Y y e f y y y y f -⎧<<⎪>==⎨⎪⎩≤⎩其它 14. 已知随机变量X 的密度函数为20,1,0().k f x x x ≤≤+⎧=⎨⎩其它求(1) k; (2) F (x ); (3) {13}P X <<; (4){}4.P X π=答案:2,010,011,()2,{13}1/4,{}0.2442,k x x x F x x x P X P X π<⎧⎪⎪=-≤≤<<===⎨⎪>⎪⎩=-+15. 设,00,(),(0)x x otherwiseA Be XF x λλ-⎧+⎨⎩>=>. 则A=_____, B=_____,答案: 1,-1,1eλ--, 密度函数略.16. 已知(X, Y )的分布密度为1(),0180,(,).x y y x otherwisef x y +≤≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩ 1{}.P X Y ≤+求答案:1/48.17. 设(X, Y)的密度函数为220,,).,1(cx x y otherwisey f x y ≤≤⎧=⎨⎩ (1)试确定常数c ;(2) 求X ,Y 的边缘密度.答案:c=21/4;22(1)(),21,1180,X x x otherwise x f x -≤≤⎧-⎪=⎨⎪⎩52,0107(,).2Y y y otherwis y e f ⎧<<⎪=⎨⎪⎩18. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为22,0,0(,)0,.x y e x y otherwis f x y e--=>⎧⎨⎩> 问X, Y 是否独立?答案:独立. 2(),,02(),00,0,.Y x y X e x e y otherwise otherw ey i f x f s --⎧⎧=>=⎨>⎨⎩⎩求(1) a =? ; (2) 边缘分布律;(3) X, Y 是否独立? 答案:(1)a =1/6; (2)略;(3) 不独立.答案:略. 21. 设(0,1),(1,1)XN Y N 且X 与Y 独立,则{}___.1___P X Y +=≤答案:0.5. 22. 设(0,4)XN , 则1{0}P X <<=[ ].(A) 281xd x -⎰ (B)14014xe dx -⎰答案:A. 【提示】要记住一般正态分布的密度函数表达式. 23. 设2(3,2)XN , 且{}{},P x c P X c ≤>=则c=_______.答案:3. 24. 设2(2,)XN σ, 且{24}0.3,P X <<=求{0}.P X <答案:0.2.25. 设21211,,...,0,,Cov(,)_____.nn i i X X X Y X X n Y σ=>==∑独立同分布,且则答案:2nσ.26. X 的密度函数为2,0)10,(ax f x bx c x +⎨+<=<⎧⎩其它,已知EX=0.5,DX=0.15,求a , b , c .答案:12,12, 3.a b c ==-=27. 若X 的密度为2,1(0,)1a f x bx x ⎧-≤≤-=⎨⎩其它且27{0.5}32P X ≤=, 求a , b .答案:0.75.a b ==28. 已知2,33__{_}_,_.E P X DX X μσμσμσ==-<<+≥则 答案:8/9. 29. 设(,), 2.4, 1.44,____,_____.Xb n p EX DX n p ====则答案:6, 0.4.30. 设X, Y 相互独立,EX=EY=0,DX=DY=1,则2(2)_____.E X Y ⎡⎤=⎣⎦+答案:5. 31. 设(0,1)XN ,则2____.EX =答案:2.32. 设X 的密度函数为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它. 则(21)_____.E X -=答案:1/3.33. 书117页,习题四,32题.。
《概率论与数理统计》复习题(含答案)
概率论与数理统计复习题一、选择题(1)设0)(,0)(>>B P A P ,且A 与B 为对立事件,则不成立的是 。
(a)A 与B 互不相容;(b)A 与B 相互独立; (c)A 与B 互不独立;(d)A 与B 互不相容(2)10个球中有3个红球,7个白球,随机地分给10个人,每人一球,则最后三个分到球的人中恰有一个得到红球的概率为 。
(a))103(13C ;(b)2)107)(103(;(c)213)107)(103(C ;(d)3102713C C C (3)设X ~)1,1(N ,概率密度为)(x f ,则有 。
(a)5.0)0()0(=≥=≤X P X p ;(b)),(),()(∞-∞∈-=x x f x f ; (c)5.0)1()1(=≥=≤X P X P ;(d)),(),(1)(∞-∞∈--=x x F x F (4)若随机变量X ,Y 的)(),(Y D X D 均存在,且0)(,0)(≠≠Y D X D ,)()()(Y E X E XY E =,则有 。
(a)X ,Y 一定独立;(b)X ,Y 一定不相关;(c))()()(Y D X D XY D =;(d))()()(Y D X D Y X D -=-(5)样本4321,,,X X X X 取自正态分布总体X ,已知μ=)(X E ,但)(X D 未知,则下列随机变量中不能作为统计量的是 。
(a)∑==4141i i X X ;(b)μ241-+X X ;(c)∑=-=4122)(1i i X X K σ;(d)∑=-=4122)(31i i X X S(6)假设随机变量X 的密度函数为)(x f 即X ~)(x f ,且)(X E ,)(X D 均存在。
另设n X X ,,1 取自X 的一个样本以及X 是样本均值,则有 。
(a)X ~)(x f ;(b)X ni ≤≤1min ~)(x f ;(c)X ni ≤≤1max ~)(x f ;(d)(n X X ,,1 )~∏=ni x f 1)((7)每次试验成功率为)10(<<p p ,进行重复独立试验,直到第10次试验才取得4次成功的概率为 。
(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A -B)=( 0.3 )。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.7,乙击中敌机的概率为0.8.求敌机被击中的概率为( 0.94 )。
3. 设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不少于二个发生可表示为(AB AC BC ++ )。
4. 三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为( 0.496 )。
5. 某人进行射击,每次命中的概率为0.6 独立射击4次,则击中二次的概率为( 0.3456 )。
6. 设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都不发生可表示为( ABC )。
7. 设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不多于一个发生可表示为( ABAC BC I I ); 8. 若事件A 与事件B 相互独立,且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=( 0.5 ); 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5.求敌机被击中的概率为( 0.8 ); 10. 若事件A 与事件B 互不相容,且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=( 0.5 ) 11. 三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的概率依次为0.8,0.8,0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为( 0.864 )。
12. 若事件A ⊃B 且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=( 0.3 ); 13. 若事件A 与事件B 互不相容,且P (A )=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=( 0.5 ) 14. A、B为两互斥事件,则A B =U ( S )15. A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰有一个发生可表示为( ABC ABC ABC ++ )16. 若()0.4P A =,()0.2P B =,()P AB =0.1则(|)P AB A B =U ( 0.2 ) 17. A、B为两互斥事件,则AB =( S )18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次就能打开保险箱的概率为(110000)。
概率论与数理统计复习题答案
第一章 随机事件及其概率复习题一. 单选1. D2. A3. B4. C5. B6. D7. A8. B9. C 10. A. 二. 填空1. 0.9,2. 11(1)n p --, 3. 0.8, 4. 7/8, 5. 1/6, 6. 1/3, 7. 13/18, 1/2, 8. 0.863, 0.435, 9. 0.06, 10. 0.75. 三.计算与证明 1. 解: 6106610!()10104!P P A ==, 6668()0.810P B ==.2. 解:(1)4134411111(12)C P +=-=0.0372;(2)4124412!110.4271;12128!P P =-=-=(3)4132234444444666610.1004;0.1004.77C C C C P P +++=-===或3.解: ,0()()0,()0.ABC AB P ABC P AB P ABC ⊂∴≤≤=∴=则A ,B ,C 至少发生一个的概率为()()()()()()()()111115000.625.44416168P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+=++---+==A ,B ,C 全不发生的概率为3()()1()0.375.8P A B C P A B C P A B C =⋃⋃=-⋃⋃==4.解:设A 表示任意取出一个产品是次品,123,,B B B 分别表示取出一、二、三车间生产的产品,则(1)由全概率公式得112233()()(|)()(|)()(|)0.450.050.350.040.20.020.0405;P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=⨯+⨯+⨯=(2) 由贝叶斯公式得 111()(|)0.450.05(|)0.556.()0.0405P B P A B P B A P A ⨯===5.解:设12,A A 分别表示第一、第二次取出的零件是一等品,12,B B 分别表示取出第一、第二箱中的零件,则 (1)由全概率公式得1111212()()(|)()(|)0.50.20.50.60.4;P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=21121122122111()()(|)()(|)(2)(|)()()11091817()2504930290.4856.0.4P A A P B P A A B P B P A A B P A A P A P A +==⨯⨯+⨯==6.证明:{()}()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC ⋃=⋃=+- =()()()()()()()P A P C P B P C P A P B P C +- =(()()())()()()P A P B P AB P C P A B P C =+-=⋃ 故 A B ⋃与C 独立.第二章随机变量及其分布复习题一 选择题1. B2. B3. C4. D5. C 二 填空题 1.22(),0,1,2,;!kP X k e k k -=== 0.592.27193. ,1,21π==B A2111,,21x R xπ∈+4.,65,61 分布律:X -1 1 2P 616221三 解答题1. 解: X 的分布律为 X 1 2 3 4 P643764196476412. 解: X 的分布律为 1(),1,2,3,.k P X k q p k -=== 3. 解:设X 表示两次调整之间生产的合格品数,则X 的分布律为1()(1),0,1,2,.k P X k p p k -==-=4. 解: X 的概率分布为55()0.250.75,0,1,2,3,4,5.k k k P X k C k -=== 设A 表示“5道选择题至少答对两题”,则()1(0)(1)0.3672.P A P X P X =-=-==5. 解:1)一天中必须有油船转走意味着“X .>3”242(3)0.143;!kk P X ek ∞-=>==∑(查泊松分布表)2) 设设备增加到一天能为y 艘油船服务,才能使到达港口的90%的油船可以得到服务.则21212()0.910.9!20.1,15 4.!kk y kk y P X y ek ey y k ∞-=+∞-=+≤≥⇒-≥⇒≤+≥⇒≥∑∑反查泊松分布表得6. 解:21)()()31()31(3131=+=+⇒>=<⎰⎰∞dx b ax dx b ax X P X P47,23=-=⇒b a7.170170170:1)()0.01()()0.99666170(2.33)0.99 2.33184.6X h h P X h P h h ---≥<⇒<=Φ≥-Φ≈⇒≥⇒≥解查表得2)(182)P X ≥=1821701()1(2)0.02,6--Φ=-Φ≈设A 表示“100个男子中与车门碰头人数不多于2个”676.002.098.002.098.098.0)(2982100991100100=++=C C A P .8. 解:(1) X 的分布函数为 1,02()11,02xx e x F x e x -⎧-∞<≤⎪⎪=⎨⎪-<<+∞⎪⎩011(2)(1)(0)2211(1)(0),22xxP Y P X e dx P Y P X e dx ∞--∞==>===-=≤==⎰⎰故Y 的概率分布律为 Y -1 1P 1/2 1/2Y 的分布函数为 0,11(),1121,1Y y F y y y <-⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩ 第三章 多维随机变量及其分布复习题1. 解:()1由X 和Y 相互独立可知()()(),P X i Y j P X i P Y j =====,i =1,2,3; 0j =,1,2.则X 和Y 的联合概率分布为YX0 1 212311218 124 16 14 11211218124()2()()313P X Y P X Y +≠=-+=()()()()11,22,13,0P X Y P X Y P X Y =-==+==+==111951124412248⎛⎫=-++=-=⎪⎝⎭. 2. 解:由二维联合概率分布律及其性质可知:0.40.11a b +++=,即0.5a b += ()*()00.4P X a ==+, ()1P Y =0.1a =+()()10,1P X Y P X Y +====()1,00.5P X Y a b +===+=则由随机事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立可得: ()()()01P X X Y =⋂+=()1P Y ==0.1a =+()()01P X P X Y ==+=()()()0.40.50.4a a b a =++=+,即 0.10.5(0.4a a +=+可得:0.2a =,再有()*式得:0.3b =.3. 解:由题意可知(),X Y 的可能取值为()0,0,()0,1,()1,0,()1,1, 则(),X Y 的联合分布律为()0,0P X Y ==()()P A B P A B ==⋃()1P A B =-⋃()()()()1P A P B P AB =-+-1111211461233⎛⎫=-+-=-= ⎪⎝⎭()0,1P X Y ==()()()P AB P B P AB ==-11161212=-=()()()()1,0P X Y P A B P A P AB ====- ()()11,112P X Y P AB ====即YX0 1123 112161124. 解:由题意知Y 的密度函数为(),00,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其他,()12,X X 的可能取值为()0,0,()0,1,()1,0,()1,1,则()12,X X 的联合分布律为()()120,01,2P X X P Y Y ===≤≤()1P Y =≤111y e dy e --==-⎰()()()120,11,20P X X P Y Y P φ===≤>==()()()2121211,01,212y P X X P Y Y P Y e dy ee---===>≤=<≤==-⎰()()()21221,11,22yP X X P Y Y P Y e dy e +∞--===>>=>==⎰,即:2X1X0 1111e -- 012ee--- 2e-5. 解:()1由题意记区域G 的面积为()A G ,则()()1216A G x x dx =-=⎰,所以()()()6,,,0,,x y G f x y x y G∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩()2 关于X的边缘密度函数为()()22666,01,0,x x X dy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他关于Y 的边缘密度函数为()()()66,01,0,yy Y dx y y y f y f x y dx +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他()3 不独立. 因为当01,01x y ≤≤≤≤时()()(),X Y fx y f x f y ≠.6. 解:()1关于X 的边缘密度函数为()()2012,01,0,x X dy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他关于Y 的边缘密度函数为()()1211,022,0,y Y y dx y f y f x y dx +∞-∞⎧=-<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他 ()2()112211,,22P X Y fx y dxdy -∞-∞⎛⎫<<=⎪⎝⎭⎰⎰111222002131(1).216y dy dx y dy ==-=⎰⎰⎰第四章 随机变量的数字特征复习题一 选择题B D B D C二 填空题1.18.4 2.1 3.0.9 4.6三 计算题 1.解:⎰+∞∞-dx x f )(=⎰20axdx +42()2621bx c dx a b c +=++=⎰242433222856()()()()6233233a b c E X xf x dx xaxdx x bx c dx xx x a b c +∞-∞==++=++=++=⎰⎰⎰P( 1<x<3)=⎰21axdx +⎰+32)(dx c bx =23a+25b+c=43∴11,,144a b c ==-=2解: E(Z)=21E(X)+31E(Y)=67, Cov(X,Y)= X YρDX DY =1,D(Z)=41D(X)+91D(Y)+31cov(X,Y)=3637Cov(X,Z)= cov(X,2X+3Y )= 21D(X)+31cov(X,Y)=65第七章 参数估计复习题1.解 似然函数为 12222221111()(,)2(2)nii i x x n ni ni i L f x e eσσσσπσπσ=--==∑===∏∏,取对数 221122ln ()ln(2)ln 2ln 22nniii i xxL n n n σπσπσσσ===--=---∑∑令2122ln ()022nii xd n L d σσσσ==-+=∑,解得2σ的极大似然估计值为221ˆxσ=.2.解 记12m in(,,...,)n n X X X X *=,此时θ的似然函数等价于1,()0,ni i x n n n e x L x θθθθ=-+**⎧∑⎪≤=⎨⎪>⎩所以只有当n x θ*≤时,才有可能使()L θ取到最大值.又()L θ对n x θ*≤的θ是增函数,故当n x θ*=取到其最大值.即()m ax ()n L x L θθ*>=所以θ的极大似然估计值为 12ˆmin(,,...,)n n x x x x θ*==.3.解 由于[,1]X U θθ+ ,故总体的期望为212E X θ+=,从而得到方程ˆ21,2X θ+= 解得 1ˆ2X θ=-.所以θ的矩估计量为 1ˆ2X θ=-.又111ˆ()()()222E E X E X E X θθ=-=-=-= ,故1ˆ2X θ=-是θ的无偏估计量.4.证明2221122111ˆ[()]()1(2)nniii i ni i i E E XE X nnEX EX nσμμμμ====-=-=-+∑∑∑2222211(2)ni nμσμμσ==+-+=∑故2ˆσ是2σ的无偏估计量。
《概率论与数理统计(本科)》期末考试复习题答案
《概率论与数理统计(本科)》期末考试复习题答案《概率论与数理统计(本科)》期末考试复习题⼀、选择题1、以A 表⽰甲种产品畅销,⼄种产品滞销,则A 为( A).(A) 甲种产品滞销,⼄种产品畅销 (B) 甲、⼄产品均畅销(C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或⼄产品畅销2、假设事件,A B 满⾜(|)1P B A =,则( C).(A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A =(C) A B ? (D) A B ?3、设()0P AB =, 则有( D ).(A) A 和B 不相容 (B) A 和B 独⽴ (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)=P(A)4、设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件,则下列结论中肯定正确的是( D)(A )A 与B 不相容(B )A 与B 相容(C )()()()P AB P A P B = (D )()()P A B P A -=5、设,A B 为两个随机事件,且0()1P A <<,则下列命题正确的是( A )。
(A) 若()()P AB P A = ,则B A ,互不相容;(B) 若()()1P B A P B A += ,则B A ,独⽴;(C) 若()()1P AB P AB +=,则B A ,为对⽴事件;(D) 若()()()1P B P B A P B A =+=,则B 为不可能事件;6、设A,B 为两随机事件,且B A ?,则下列式⼦正确的是( A )(A )()()P A B P A ?=; (B )()P(A);P AB =(C )(|A)P(B);P B = (D )(A)P B -=()P(A)P B -7、设A ,B 为任意两个事件,0)(,>?B P B A ,则下式成⽴的为( B )(A )B)|()(A P A P < (B )B)|()(A P A P ≤(C )B)|()(A P A P > (D )B)|()(A P A P ≥8、设A 和B 相互独⽴,()0.6P A =,()0.4P B =,则()P A B =( B )(A )0.4 (B )0.6 (C )0.24 (D )0.59、设(),(),()P A a P B b P A B c ==?=,则()P AB 为( B ).(A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a -10、袋中有50个乒乓球,其中20个黄的,30个⽩的,现在两个⼈不放回地依次从袋中随机各取⼀球,则第⼆⼈在第⼀次就取到黄球的概率是( B )(A )1/5 (B )2/5 (C )3/5 (D )4/511、⼀部五卷的选集,按任意顺序放到书架上,则第⼀卷及第五卷分别在两端的概率是(A ). (A) 110 (B) 18 (C) 15 (D) 16 12、甲袋中有4只红球,6只⽩球;⼄袋中有6只红球,10只⽩球.现从两袋中各取1球,则2球颜⾊相同的概率是( D ). (A) 640 (B) 1540 (C) 1940 (D) 214013、设在10个同⼀型号的元件中有7个⼀等品,从这些元件中不放回地连续取2次,每次取1个元件.若第1次取得⼀等品时,第2次取得⼀等品的概率是( C ). (A) 710 (B) 610 (C) 69 (D) 79 14、在编号为1,2,,n 的n 张赠券中采⽤不放回⽅式抽签,则在第k 次(1)k n ≤≤抽到1号赠券的概率是( B ). (A) 1n k + (B) 11n k -+ (B) 1n (D) 11 n k ++ 15、随机扔⼆颗骰⼦,已知点数之和为8,则⼆颗骰⼦的点数都是偶数的概率为( A )。
概率论与数理统计复习题答案
概率论与数理统计复习题 一.填空题1.设, , A B C 为三个事件,用, , A B C 的运算关系式表示下列事件:, , A B C 都发生_____________;, , A B C 中不多于一个发生______________.解:ABC ; AB BC AC ABC ABC ABC ABC ⋃⋃=⋃⋃⋃2.一副扑克牌共52张,无大小王,从中随机地抽取2张牌,这2张牌花色不相同的概率为解:211413132521317C C C p C ==或者1241325213117C C p C =-= 3.同时掷甲、已两枚骰子,则甲的点数大于乙的点数的概率为 解:155{(,)|,1,,6},{},()3612S i j i j A i j P A ===>== 4.设随机事件A 与B 相互独立,()0.5,()0.6P A P B ==,则()P A B -= ,()P A B ⋃= 。
解:()()()()0.2P A B P AB P A P B -===, ()()()()()0.8P A B P A P B P A P B ⋃=+-=5.已知61)(,31)|(,41)(===B P A B P A P ,则()P A B ⋃=______________. 解:111()()(|)4312P AB P A P B A ==⨯=,1()()()()3P A B P A P B P AB ⋃=+-=6.已知()0.6,()0.3P A P AB ==,且,A B 独立,则()P A B ⋃= . 解:()()()0.3()0.5()0.5P AB P A P B P B P B ==⇒=⇒=()()()()()()()()0.8P A B P A P B P AB P A P B P A P B ⋃=+-=+-=7.已知 P(A)=0.4,P(B)=0.3,且A,B 互不相容,则()_____,()_____P AB P AB ==. 解:()()()0.3,()()()0.3P AB P B P AB P AB P A P AB =-==-= 或()()1()()0.3P AB P A B P A P B =⋃=--=8.在三次独立的实验中,事件B 至少出现一次的概率为19/27,若每次实验中B 出现的概率均为p, 则p=_______________解:设X 表示3次试验中事件B 出现的次数,则(3,)XB p ,3191{1}1{0}1(1),273P X P X p p ≥=-==--=∴= 9.设(),0XP λλ>,则X 的分布律为解:{},0,1,2,!k e P X k k k λλ-===10.设随机变量X 服从泊松分布,且已知{1}{2}P X P X ===,那么{4}P X == 。
(完整word版)概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题一.事件及其概率1. 设,,A B C 为三个事件,试写出下列事件的表达式:(1) ,,A B C 都不发生;(2),,A B C 不都发生;(3),,A B C 至少有一个发生;(4),,A B C 至多有一个发生。
解:(1) ABC A B C =⋃⋃(2) ABC A B C =⋃⋃ (3) A B C ⋃⋃ (4) BC AC AB ⋃⋃2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ⋃-。
解:()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ⋃=+-=+-=; ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。
3. 设,A B 互斥,()0.5P A =,()0.9P A B ⋃=,求(),()P B P A B -。
解:()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =⋃-=-==。
4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===,求(),()P A B P AB ⋃。
解:()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==⋃=+-= ()()()()0.2P AB P A B P A P AB =-=-=。
5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ⋃⋃。
解:()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ⋃⋃=-⋃⋃=-=-=。
6. 袋中有4个黄球,6个白球,在袋中任取两球,求 (1) 取到两个黄球的概率;(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计一、单选题1.随机地掷一骰子两次,则两次出现的点数之和等于8的概率为()。
(4分)A :3/36B :4/36C :5/36D :2/362.A,B为任意两事件,若A,B之积为不可能事件,则称()。
(4分)A :A与B相互独立B :A与B互不相容C :A与B互为对立事件D :A与B为样本空间Ω的一个划分3.设A,B,C是三个事件,在下列各式中,不成立的是( ) .(4分)A :(A-B)UB=AUBB :(AUB)-B=AC :(AUB)-AB= UBD :(AUB)-C=(A-C)U(B-C)4.以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A为().(4分)A :“甲种产品滞销,乙种产品畅销”;B :“甲,乙两种产品均畅销”;C :“甲种产品滞销”;D :“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
5..掷二枚骰子,事件A为出现的点数之和等于3的概率为()。
(4分)A :11B :44,214C :44,202D :都不对6.设A,B为两个事件,且B A,则下列各式中正确的是( ).(4分)A :P(AUB)= P(A)B :P(AB)=P(A)C :P(BIA)= P(B)D :P(B-A)=P(B)- P(A)7.某小组共9人,分得一张观看亚运会的入场券,组长将一张写有“得票”字样和8张写有“不得票”字样的纸签混合后让大家依次各抽一张,以决定谁得入场券,则()。
(4分)A :A.第1个抽签者得“得票”的概率最大B :第5个抽签者“得票”的概率最大C :每个抽签者得“得票”的概率相等D :最后抽签者得“得票”的概率最小8.设A,B是两个事件,且P(A)≤P(AIB)则有( ).(4分)A :P(A)= P(AIB)B :P(B)>0C :P(A)≥P(AIB)D :前三者都不一定成立9.设有10个零件,其中2个是次品,现随机抽取2个,恰有一个是正品的概率为().(4分)A :8/45B :16/45C :8/15D :8/3010.设盒中有10个木质球,6个玻璃球,玻璃球有两个为红色,4个为蓝色;木质球有3个为红色,7个为蓝色,现从盒中任取一球,用A表示“取到蓝色球”;B表示“取到玻璃球”。
概率论和数理统计期末考试题及答案
概率论与数理统计期末复习题一一、填空题(每空2分,共20分)1、设X 为连续型随机变量,则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N (1,4)分布,Y 服从P(1)分布,且X 与Y 独立,则 E (XY+1-Y )=( 1 ) ,D (2Y-X+1)=( 17 ).5、已知随机变量X ~N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6且X 与Y 相互独立。
则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本,其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值,则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题(每题12分,共48分)1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解:(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上,以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1<X <1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解:(1)由归一性:λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以(2)⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x(3)⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=,求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解:(1)14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E (2)24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E(3)112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ~N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解:(1)E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ(2)D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题(12分)设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解:提出假设检验问题:H 0: μ=70, H 1 :μ≠70,nS X t /70-=-~t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题(每小题4分,共20分) 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为:32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ;)2(()X f x , )(y f Y ;)3( X 与Y 是否相互独立?)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ; )5( )(X D ,)(Y D . 附:Φ(1.96)=0.975; Φ(1)=0.84; Φ(2)=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t , 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =, 0.025(35) 2.0301t = 解:(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时,当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. (4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题(每题10分,共70分)1、设P (A )=1/3,P (B )=1/4,P (A ∪B )=1/2.求P (AB )、P (A-B ).解:P (AB )= P (A )+P (B )- P (A ∪B )=1/12P (A-B )= P (A )-P (AB )=1/42、设有甲乙两袋,甲袋中装有3只白球、2只红球,乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取两球,问两球都为白球的概率是多少?解:用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”, B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。
《概率论与数理统计》复习题(附答案)
概率练习题附答案06-07-1《概率论与数理统计》试题A一、填空题(每题3分,共15分)1. 设A ,B 相互独立,且2.0)(,8.0)(==A P B A P ,则=)(B P __________. 2. 设事件A 、B 、C 构成一完备事件组,且()0.5,()0.7,P A P B ==则()P C =3. 已知),2(~2σN X ,且3.0}42{=<<X P ,则=<}0{X P __________.4. 设X 与Y 相互独立,且2)(=X E ,()3E Y =,()()1D X D Y ==,则=-])[(2Y X E ___5. 设),3(~),,2(~p B Y p B X ,且95}1{=≥X P ,则=≥}1{Y P __________. 二、选择题(每题3分,共15分)1. 一盒产品中有a 只正品,b 只次品,有放回地任取两次,第二次取到正品的概率为 【 】(A) 11a a b -+-;(B) (1)()(1)a a a b a b -++-;(C) a a b +;(D) 2a ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.2. 设随机变量X 的概率密度为()130, 其他c x p x <<⎧=⎨⎩则方差D(X)= 【 】 (A) 2; (B)12; (C) 3; (D) 13. 3. 设A 、B 为两个互不相容的随机事件,且()0>B P ,则下列选项必然正确的是【 】()A ()()B P A P -=1;()B ()0=B A P ;()C ()1=B A P ;()D ()0=AB P .4. 设()x x f sin =是某个连续型随机变量X 的概率密度函数,则X 的取值范围是【 】()A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π;()B []π,0; ()C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ; ()D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,ππ. 5. 设()2,~σμN X ,b aX Y -=,其中a 、b 为常数,且0≠a ,则~Y 【 】 ()A ()222,b a b a N +-σμ; ()B ()222,b a b a N -+σμ; ()C ()22,σμa b a N +; ()D ()22,σμa b a N -.三、(本题满分8分) 甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.5和0.4,现已知目标被命中,求它是乙命中的概率.四、(本题满分12分)设随机变量X 的密度函数为xx e e Ax f -+=)(,求:(1)常数A ; (2)}3ln 210{<<X P ; (3)分布函数)(x F .五、(本题满分10分)设随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<-=其他,010),1(6x x x x f 求12+=X Y 的概率密度.六、(本题满分10分)将一枚硬币连掷三次,X 表示三次中出现正面的次数,Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值,求:(1)(X ,Y )的联合概率分布;(2){}X Y P >.七、(本题满分10分)二维随机变量(X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他,00,0,),()2(y x Ae y x f y x 求:(1)系数A ;(2)X ,Y 的边缘密度函数;(3)问X ,Y 是否独立。
概率论与数理统计期末复习20题及解答
概率论与数理统计期末复习20题及解答【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球,乙袋中有2个白球3个黑球,先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率.3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1,且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”,“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择,其中只有1个答案是正确的.某考生如果会做这道题,则一定能选出正确答案;若该考生不会做这道题,则不妨随机选取一个答案.设该考生会做这道题的概率为85.0.(1)求该考生选出此题正确答案的概率;(2)已知该考生做对了此题,求该考生确实会做这道题的概率.【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(.(1)求系数A 及B ;(2)求X 落在区间)1,1(-内的概率;(3)求X 的概率密度.6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ,求:(1)常数a ;(2))5.15.0(<<X P ;(3)X 的分布函数)(x F .7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求:(1)系数A ;(2)X 的边缘概率密度)(x f X ;(3)概率)(2X Y P ≤.8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求:(1)),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ,)(y f Y ;(2)概率)1,21(≤≤Y X P ;(3)判断X ,Y 是否相互独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,]2.0,0[~U X ,Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y(1)求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ;(2)求概率)(X Y P ≤.【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ,已知21)(=X E ,求:(1)b a ,的值;(2))32(+X E .11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x 求:(1)常数A ;(2))(X E 和)(X D .12、设),(Y X 的联合概率分布如下:XY1104/14/12/10(1)求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ,方差)(X D ,)(Y D .(2)求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相关系数),(Y X R .【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X (百分制)近似服从正态分布,已知满分为100分平均成绩为75分,95分以上的人数占考生总数的2.3%.(1)试估计本次考试的不及格率(低于60分为不及格);(2)试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ,9772.0)2(=Φ]14、两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量X (单位:mm )表示轴的直径,随机变量Y (单位:mm )表示轴衬的内径,已知)3.0,50(~2N X ,)4.0,52(~2N Y ,显然X 与Y 是独立的.如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间,则轴与轴衬可以配套使用.求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率.[已知9772.0)2(≈Φ]【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ,521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本,求常数0>k 使)3(~)2(25242321t XX X X X k T +++=.16、设总体)5 ,40(~2N X ,从该总体中抽取容量为64的样本,求概率)1|40(|<-X P .【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ.设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本,n x x x ,,,21 为样本观测值.(1)求参数λ的矩估计量.(2)求参数λ的最大似然估计量.18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ.设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值.(1)求参数λ的最大似然估计量.(2)你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计,请说明理由.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0(黄金分割)时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准,一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品,测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品?20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明,在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ(单位:mmHg ,毫米汞柱)的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品,并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值,计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ,样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 (取显著性水平05.0=α).解答部分【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球,乙袋中有2个白球3个黑球,先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.【解】设A 表示“从甲袋移往乙袋的是白球”,B 表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”,C 表示“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”,则AB C =, 又2163)(,74)(===A B P A P ,于是由概率乘法定理得所求概率为 )()(AB P C P =)()(A B P A P ==722174=⋅.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率.【解】 设i A 表示“此人第i 次拨号能拨通所需电话” )2,1(=i ,A 表示“此人拨号不超过两次而接通所需电话”,则211A A A A +=,由概率加法定理与乘法定理得所求概率为)()()()(211211A A P A P A A A P A P +=+=)()()(1211A A P A P A P +=2.091109101=⋅+=.3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1,且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”,“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.【解】设:1A 输入的是“101”,:2A 输入的是“010”,:B 输出的是“000”,则2/1)(1=A P ,2/1)(2=A P ,αα21)1()(-=A B P ,)1()(22αα-=A B P ,从而由全概率公式得)()()()()(2211A B P A P A B P A P B P +=)1(21)1(2122αααα-+-=)1(21αα-=.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择,其中只有1个答案是正确的.某考生如果会做这道题,则一定能选出正确答案;若该考生不会做这道题,则不妨随机选取一个答案.设该考生会做这道题的概率为85.0.(1)求该考生选出此题正确答案的概率;(2)已知该考生做对了此题,求该考生确实会做这道题的概率.【解】设A 表示“该考生会解这道题”,B 表示“该考生选出正确答案”,则85.0)(=A P ,2.0)(=A P ,1)(=A B P ,25.0)(=A B P .(1)由全概率公式得)()()()()(A B P A P A B P A P B P +=25.02.0185.0⨯+⨯=9.0=.(2)由贝叶斯公式得944.018179.0185.0)()()()(≈=⨯==B P A B P A P B A P .【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(.(1)求系数A 及B ;(2)求X 落在区间)1,1(-内的概率;(3)求X 的概率密度.【解】(1)由分布函数的性质可知0)2()(lim )(=-⋅+==-∞-∞→πB A x F F x ,12)(lim )(=⋅+==+∞+∞→πB A x F F x ,由此解得 π1,21==B A . (2)X 的分布函数为)(arctan 121)(+∞<<-∞+=x x x F π, 于是所求概率为21))1arctan(121()1arctan 121()1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P .(3)X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π.6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ,求:(1)常数a ;(2))5.15.0(<<X P ;(3)X 的分布函数)(x F .【解】(1)由概率密度的性质可知⎰∞+∞-dx x f )(121===⎰aaxdx , 由此得2=a .(2) )5.15.0(<<X P 75.000212/122/3112/1=+=+=⎰⎰x dx xdx .(3)当0<x 时,有00)(==⎰∞-xdx x F ;当10<≤x 时,有20020)(x xdx dx x F x=+=⎰⎰∞-;当1≥x 时,有1020)(1100=++=⎰⎰⎰∞-xdx xdx dx x F .所以,X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2x x x x x F7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求:(1)系数A ;(2)X 的边缘概率密度)(x f X ;(3)概率)(2X Y P ≤.【解】(1)由联合概率密度的性质可知=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(14)1(1111==+⎰⎰--A dy xy A dx ,由此得41=A . (2)当11<<-x 时,有=)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(214111=+⎰-dy xy ; 当1-≤x 或1≥x 时,显然有0)(=x f X .所以X 的边缘概率密度⎩⎨⎧<<-=.,0;11,2/1)(其它x x f X(3))(2X Y P ≤⎰⎰≤=2),(x y dxdy y x f dy xy dx x ⎰⎰--+=211141dx x x x )1221(412511+-+=⎰-32=.8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求:(1)),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ,)(y f Y ;(2)概率)1,21(≤≤Y X P ;(3)判断X ,Y 是否相互独立.【解】(1)当10<<x 时,有x dy dy y x f x f xX 2),()(20⎰⎰===+∞∞-;当0≤x 或1≥x 时,显然有0)(=x f X .于是X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其它x x x f X 当20<<y 时,有⎰⎰-===+∞∞-1221),()(y Y ydx dx y x f y f ; 当0≤y 或2≥y 时,显然有0)(=y f Y .于是Y 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0;20,21)(其它y y y f Y(2)⎰⎰⎰⎰===≤≤∞-∞2/12/102/11-41),()}1,21{(y dx dy dx y x f dy Y X P .(3)容易验证)()(),(y f x f y x f Y X ≠,故X 与Y 不独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,]2.0,0[~U X ,Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y(2)求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ;(2)求概率)(X Y P ≤.【解】(1)由题意知,X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;2.00,5)(其它x x f X因为X 和Y 相互独立,故X 和Y 的联合概率密度⎩⎨⎧><<==-.,0;0,2.00,25)()(),(5其它y x e y f x f y x f y Y X(2)12.005052.00)1(525),()(---≤=-===≤⎰⎰⎰⎰⎰e dx e dy e dx dxdy y x f X Y P x x y xy .【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ,已知21)(=X E ,求:(1)b a ,的值;(2))32(+X E . 【解】(1)由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(12)2(])[(2110=+=-++-⎰⎰ba dx x a dxb x b a ; 又dx x xf X E ⎰∞+∞-=)()(.216)2(])[(2110=+=-++-=⎰⎰b a dx x x a xdx b x b a联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,216,12b a b a 解得41=a ,23=b . (2) 由数学期望的性质,有432123)(2)32(=+⋅=+=+X E X E . 11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x求:(1)常数A ;(2))(X E 和)(X D .【解】(1)由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(122==⎰∞+-Adx Ae x , 由此得2=A .(2)由数学期望公式得⎰⎰∞++∞-=-=⋅=0022212)(dt te dx ex X E t tx x21)2(Γ21==. 由于⎰∞+-⋅=02222)(dx ex X E xdt e t t tx ⎰+∞-==0224121!241)3(Γ41=⋅==,故利用方差计算公式得41)21(21)]([)()(222=-=-=X E X E X D .12、设),(Y X 的联合概率分布如下:XY1104/14/12/10(1)求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ,方差)(X D ,)(Y D .(2)求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相 关系数),(Y X R .【解】 由),(Y X 的联合概率分布知Y X ,服从"10"-分布:4/1)0(==X P ,4/3)1(==X P , 2/1)0(==Y P ,2/1)1(==Y P ,由"10"-分布的期望与方差公式得16/3)4/11(4/3)(,4/3)(=-⨯==X D X E , 4/1)2/11(2/1)(,2/1)(=-⨯==Y D Y E ,由),(Y X 的联合概率分布知2/14/1114/1010104/100)(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=XY E ,从而8/12/14/32/1)()()(),cov(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ,=),(Y X R 334/116/38/1)()(),cov(==Y D X D Y X .【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X (百分制)近似服从正态分布,已知满分为100分平均成绩为75分,95分以上的人数占考生总数的2.3%.(1)试估计本次考试的不及格率(低于60分为不及格);(2)试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ,9772.0)2(=Φ]【解】 由题意,可设X 近似服从正态分布),75(2σN .已知%3.2)95(=≥X P ,即%3.2)20(1)7595(1)95(1)95(=-=--=<-=≥σΦσΦX P X P ,由此得977.0)20(=σΦ,于是220≈σ,10≈σ,从而近似有)10,75(~2N X .(1)0668.09332.01)5.1(1)5.1()107560()60(=-≈-=-=-=<ΦΦΦX P , 由此可知,本次考试的不及格率约为%68.6.(2))107565()107585()8565(---=≤≤ΦΦX P 6826.018413.021)1(2)1()1(=-⨯≈-=--=ΦΦΦ,由此可知,成绩在65分至85分之间的考生人数约占考生总数的%26.68.14、两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量X (单位:mm )表示轴的直径,随机变量Y (单位:mm )表示轴衬的内径,已知)3.0,50(~2N X ,)4.0,52(~2N Y ,显然X 与Y 是独立的.如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间,则轴与轴衬可以配套使用.求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率.[已知9772.0)2(≈Φ]【解】 设X Y Z -=,由X 与Y 的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知,)4.03.0,5052(~22+--=N X Y Z , 即)5.0,2(~2N Z .于是所求概率为)2()2()5.021()5.023()31(--=---=≤≤ΦΦΦΦZ P .9544.019772.021)2(2=-⨯≈-=Φ【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ,521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本,求常数0>k 使)3(~)2(25242321t X X X X X k T +++=.【解】 由)1,0(~N X 知)5,0(~221N X X +,于是)1,0(~5221N X X +,又由2χ分布的定义知)3(~2252423χX X X ++,所以)3(~2533/)(5/)2(2524232125242321t X X X X X X X X X X T +++⋅=+++=,比较可得53=k .16、设总体)5 ,40(~2N X ,从该总体中抽取容量为64的样本,求概率)1|40(|<-X P . 【解】 由题设40=μ,5=σ,64=n ,于是)1,0(~8540N X nX u -=-=σμ从而)58|8/540(|)1|40(|<-=<-X P X P .8904.019452.021)6.1(2)58|(|=-⨯≈-=<=Φu P【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ.设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本,n x x x ,,,21 为样本观测值.(1)求参数λ的矩估计量.(2)求参数λ的最大似然估计量. 【解】(1)21)2(),()(02)2(2+=+===-+∞=---+∞+∞∞-⎰⎰⎰λλλλλλdt e t dx ex dx x xf X E t tx x ,令)(X E X =,即21+=λX ,解得参数λ的矩估计量为21-=∧X λ. (2)样本似然函数为∑====--=--=∏∏ni i i n x nni x n i i eex f L 1)2(1)2(1),()(λλλλλλ,上式两边取对数得∑--==ni i n X n L 1)2(ln )(ln λλλ,上式两边对λ求导并令导数为零得=λλd L d )(ln 0)2(1=∑--=n i i n x nλ, 解得2121-=∑-==x nx nni i λ,从而参数λ的最大似然估计量为 21-=∧X λ. 18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ.设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值. (1)求参数λ的最大似然估计量.(2)你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计,请说明理由. 【解】(1)样本似然函数为,e1e1),()(1121211∏∏∏=-=-=∑⋅====n i x inni x i n i i ni iixx x f L λλλλλλ上式两边取对数得∑∑==-+-=ni i ni i x x n L 111ln ln 2)(ln λλλ, 求导数得∑=+-=ni i x n L d d 1212)(ln λλλλ, 令0)(ln =λλL d d解得2211x x n n i i==∑=λ,于是参数λ的极大似然估计量为 221ˆ1X X n n i i ==∑=λ. (2)dx x X E x λλ/202e 1)(-+∞⎰=dx x x λλ/20e )(-+∞⎰=dx t t t x -∞+=⎰=e 02λλλΓλ2)3(==, λλλ=⋅====221)(21)(21)2()ˆ(X E X E X E E , 于是221ˆ1X X n ni i ==∑=λ是λ的无偏估计.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0(黄金分割)时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准,一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品,测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品?【解】由题意,待检验的假设为0H : 618.00==μμ; 1H : 618.0≠μ.因为σ未知,所以检验统计量为)24(~)618.0(525/618.0/0t S X S X n S X t -=-=-=μ, 关于0H 的拒绝域为 06.2)24()1(||025.02/==->t n t t α. 现在646.0=x ,093.0=s ,所以统计量t 的观测值为505.1093.0)618.0646.0(5=-=t . 因为)24(06.2505.1||025.0t t =<=,即t 的观测值不在拒绝域内,从而接受..原假设,即可以认为这批产品是合格品.20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明,在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ(单位:mmHg ,毫米汞柱)的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品,并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值,计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ,样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 (取显著性水平05.0=α).【解】由题意,待检验的假设为0H : 220==μμ; 1H : 22<μ.因为σ未知,所以取统计量)15(~)22(4/0t S X nS X t -=-=μ, 且关于0H 的拒绝域为 753.1)15()1(05.0-=-=--<t n t t α. 现在5.19=x ,2.5=s ,所以统计量t 的观测值为923.12.5)225.19(4-≈-=t . 因为)15(753.1923.105.0t t -=-<-≈,即t 的观测值在拒绝域内,从而拒绝..原假设,即认为这次试验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论.。
《概率论与数理统计》期末复习试卷4套+答案
1、(10分)甲箱中有 个红球, 个黑球,乙箱中有 个黑球, 个红球,先从甲箱中随机地取出一球放入乙箱。混合后,再从乙箱取出一球,
(1)求从乙箱中取出的球是红球的概率;
(2)若已知从乙箱取出的是红球,求从甲箱中取出的是黑球的概率;
2、(8分)设二维随机变量的联合概率密度为:
求关于 的边缘概率密度,并判断 是否相互独立?
7、(8分)设有一种含有特殊润滑油的容器,随机抽取9个容器,测其容器容量的样本均值为10.06升,样本标准差为0.246升,在 水平下,试检验这种容器的平均容量是否为10升?假设容量的分布为正态分布。
( , )
第二套
一、 判断题(2分 5)
1、设 , 是两事件,则 。()
2、若 是离散型随机变量,则随机变量 的取值个数一定为无限个。()
2、(8分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为:
求边缘概率密度 ,并判断 与 是否相互独立?
3、(8分)设随机变量 的分布函数为:
求:(1) 的值;
(2) 落在 及 内的概率;
4、(8分)设随机变量 在 服从均匀分布,求 的概率密度;
5、(10分)设 及 为 分布中 的样本的样本均值和样本方差,求 ( )
第一套
一、 判断题(2分 5)
1、设 , 是两事件,则 。()
2、若随机变量 的取值个数为无限个,则 一定是连续型随机变量。()
3、 与 独立,则 。()
4、若 与 不独立,则 。()
5、若 服从二维正态分布, 与 不相关与 与 相互独立等价。()
二、选择题(3分 5)
1、对于任意两个事件 和 ()
5、袋中有5个球(3个新,2个旧),每次取一个,无放回地抽取两次,则第二次取到新球的概率是( )
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,那么P(X=2)等于:A. λ^2B. e^(-λ)λ^2C. λ^2/2D. e^(-λ)λ^2/2答案:D2. 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 25),那么长度在45到55之间的零件所占的百分比是:A. 68.27%B. 95.45%C. 99.74%D. 50%答案:B3. 一袋中有10个红球和5个蓝球,随机抽取3个球,那么抽到至少2个红球的概率是:A. 0.4375B. 0.5625C. 0.8125D. 0.9375答案:C4. 设随机变量Y服从二项分布B(n, p),那么E(Y)等于:A. npB. n/2C. p/nD. n^2p答案:A5. 以下哪个事件是不可能事件:A. 抛硬币正面朝上B. 抛骰子得到1点C. 一天有25小时D. 随机变量X取负无穷答案:C二、填空题(每题3分,共15分)6. 设随机变量X服从均匀分布U(0, 4),那么P(X>2)等于______。
答案:1/27. 随机变量Z服从标准正态分布,那么P(Z ≤ -1.5)等于______(结果保留两位小数)。
答案:0.06688. 设随机变量W服从指数分布Exp(μ),那么W的期望E(W)等于______。
答案:1/μ9. 从一副不含大小王的扑克牌中随机抽取一张,抽到黑桃A的概率是______。
答案:1/5210. 设随机变量V服从二项分布B(15, 0.4),那么P(V=5)等于______(结果保留三位小数)。
答案:0.120三、解答题(共75分)11. (15分)设随机变量ξ服从二项分布B(n, p),已知P(ξ=1) = 0.4,P(ξ=2) = 0.3,求n和p的值。
答案:根据二项分布的性质,我们有:P(ξ=1) = C(n, 1)p^1(1-p)^(n-1) = 0.4P(ξ=2) = C(n, 2)p^2(1-p)^(n-2) = 0.3通过解这两个方程,我们可以得到n=5,p=0.4。
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概率论与数理统计复习题 一.填空题1.设, , A B C 为三个事件,用, , A B C 的运算关系式表示下列事件:, , A B C 都发生_____________;, , A B C 中不多于一个发生______________.解:ABC ; AB BC AC ABC ABC ABC ABC ⋃⋃=⋃⋃⋃2.一副扑克牌共52张,无大小王,从中随机地抽取2张牌,这2张牌花色不相同的概率为解:211413132521317C C C p C ==或者1241325213117C C p C =-= 3.同时掷甲、已两枚骰子,则甲的点数大于乙的点数的概率为 解:155{(,)|,1,,6},{},()3612S i j i j A i j P A ===>== 4.设随机事件A 与B 相互独立,()0.5,()0.6P A P B ==,则()P A B -= ,()P A B ⋃= 。
解:()()()()0.2P A B P AB P A P B -===, ()()()()()0.8P A B P A P B P A P B ⋃=+-=5.已知61)(,31)|(,41)(===B P A B P A P ,则()P A B ⋃=______________. 解:111()()(|)4312P AB P A P B A ==⨯=,1()()()()3P A B P A P B P AB ⋃=+-=6.已知()0.6,()0.3P A P AB ==,且,A B 独立,则()P A B ⋃= . 解:()()()0.3()0.5()0.5P AB P A P B P B P B ==⇒=⇒=()()()()()()()()0.8P A B P A P B P AB P A P B P A P B ⋃=+-=+-=7.已知 P(A)=,P(B)=,且A,B 互不相容,则()_____,()_____P AB P AB ==. 解:()()()0.3,()()()0.3P AB P B P AB P AB P A P AB =-==-= 或()()1()()0.3P AB P A B P A P B =⋃=--=8.在三次独立的实验中,事件B 至少出现一次的概率为19/27,若每次实验中B 出现的 概率均为p, 则p=_______________解:设X 表示3次试验中事件B 出现的次数,则(3,)XB p ,3191{1}1{0}1(1),273P X P X p p ≥=-==--=∴= 9.设(),0XP λλ>,则X 的分布律为解:{},0,1,2,!k e P X k k k λλ-===10.设随机变量X 服从泊松分布,且已知{1}{2}P X P X ===,那么{4}P X == 。
解:由{1}{2}P X P X ===即221!2!e e λλλλλ--=⇒=,42222{4}4!3e P X e --=== 11.设随机变量(0,5)XU ,则方程22210Xx Xx ++=(x 为未知数)有实根的概率为 .解:23{0}{(2)420}{2}{0}5P P X X P X P X ∆≥=-⨯≥=≥+≤= 12.设(1,3),(2,4)XN Y N ,X 与Y 相互独立,则23Z X Y=-解:()2()3()4,()4()9()48E Z E X E Y Var Z Var X Var Y =-=-=+=,23(4,48)Z X Y N =--13.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,则其中至少有一件是不合格品的概率为 .解:26210121133C p C =-=-=14. 设随机变量),(Y X 的概率分布如 右表,则()E X = ,()Var X = 解:2212552{1},{2},(),()3,()3()33339P X P X E X E X Var X ====∴===-=15.已知随机变量X 服从[1,3]上的均匀分布,则()E X = ,()Var X = 。
解:13()22E X +==,2(31)1()123Var X -== 16.二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(,)f x y ,则(,)f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰1 。
17.设随机变量,X Y 独立且,X Y 的概率密度分别为201,() 0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它, 4,02,()0,Y y y f y <<⎧=⎨⎩其它, 则(,)X Y 的联合概率密度为 。
解:X,Y 独立,801,02(,)()()0,X Y xyx y f x y f x f y <<<<⎧==⎨⎩其它, 18.设随机变量序列12,,,n X X X 相互独立,且服从同一分布,()k E X μ=存在,则0ε∀>,有11lim {||}nk n k P X n με→+∞=-≥=∑ 0 。
19.设{}n X 是独立同分布的随机变量序列,(0,10),1,2,3,nX U n =,那么当n →+∞时11n i i X X n ==∑依概率收敛于 01052+=20.设X 、Y 相互独立且2()X m χ,2()Y n χ,则X Y +2()m n χ+。
21.设221212(,)(,,,,)X Y N μμσσρ,则(,)Cov X Y = 12ρσσ22.设12,,n X X X 是来自总体2(10)χ的样本,则统计量1nii Y X ==∑2(10)n χ。
23.设总体X 具有概率密度函数10()0xex f x elseθθ-⎧⎪≥=⎨⎪⎩,0θ>为已知,样本为12,,n X X X ,则()E X = ,()Var X = 。
解:()()E X E X θ==,2()()Var X Var X n nθ==。
24.在总体2(52,6.3)N 中随机抽一容量为36的样本,则样本均值X 落在到之间的概率为 。
解:()52E X =,26.3()36Var X =,226.3(52,)(52,1.05)36XN N =,53.85250.852{50.853.8}()()1.05 1.05(1.71)( 1.14)0.9564(10.8729)0.8293P X --<<=Φ-Φ≈Φ-Φ-=--= 25.设12,,n X X X 是来自总体X 的样本且2(),()E X Var X μσ==,2,μσ未知,则μ的矩估计量为 ,2σ的矩估计量为解:11222222221()()()[()]E X E X Var X E X μμμμμσμσμμ===⎧⎧∴⎨⎨==+==+=-⎩⎩22211,n i i X X X n μσ=∴==-∑26. 随机抽查某校的7名学生,测得他们的裸眼视力分别为:,,,,,,,则总体均值μ及方差2σ的矩估计值分别为=μˆ ,=2ˆσ .解:由上22211111.2143,0.1755n n i i i i x x x x n n μσ==∴====-=∑∑27.设1210,,X X X 是来自总体2(0,0.3)N 的样本,则1021{ 1.44}i i P X =>=∑解:10222211(0,1),()(1),(10)0.30.30.09ii ii X XN X χχ=∴∴∑10101022220.9011111{ 1.44}{16}1{16}0.90,((10)15.987)0.090.09ii i i i i P X P X P X χ===>=>=-≤==∑∑∑ 28.设1210,,X X X 是来自总体2()Xn χ的样本,()E X = ,()Var X = ,2()E S = .解:()()E X E X n ==,()2()10105Var X n nVar X ===,2()()2E S Var X n == 29.设在总体2(,)N μσ中抽取一容量为16的样本,这里2,μσ为未知参数,2S 为样本方差。
则22{2.041}S P σ≤= ,2()Var S =解:222(1)(1),16n S n n χσ--=222215{2.041}{30.615}S S P P σσ∴≤=≤20.990.99,((15)30.57830.615)χ==≈ 2222442222215152()()()()21515151515S S Var S Var Var σσσσσσ=⋅==⨯⨯=30.铅的密度测量值服从正态分布2(,)N μσ,测量16次,算得 2.705x =,0.029s =, 则μ的置信水平为0.95的双侧置信区间为 。
解:10.95,0.05αα-==,2σ未知,μ的置信区间为0.9750.9751122((1),(1))(2.705(15),2.705(15))(2.705 2.1314,2.705 2.1314)( 2.6895,2.7205)X n X n αα----=-=+=-二.计算题1.设某人按如下原则决定某日的活动:如该天天下雨,则以的概率外出购物,以的概率去探访朋友;如该天天不下雨,则以的概率外出购物,以的概率去探访朋友,设某地下雨的概率是。
(以下要求用字母表示随机事件,写出计算公式)(1)试求那天此人外出购物的概率。
(2)已知此人那天外出购物,试求那天下雨的概率。
解:设A:下雨,B: 购物 C:会友则()0.3P A =,()0.7P A =,(|)0.2,(|)0.8P B A P C A ==,(|)0.9,(|)0.1P B A P C A == (1)()()(|)()(|)()0.69P B P BA B A P B A P A P B A P A =⋃=+= (2)()(|)()0.20.32(|)()()0.6923P AB P B A P A P A B P B P B ⨯====2.设随机变量(1,4)X N ,现对X 进行三次独立观察,求至少有两次观察值大于1-的概率。
解:11{1}1{1}1()2P X P X -->-=-≤-=-Φ1(1(1))0.8413=--Φ=, 设Y 表示三次观察中观察值大于-1的次数,则(3,0.8413)YB ,则32{2}1{0}{1}1(10.8413)30.8413(10.8413)0.9403P Y P Y P Y ≥=-=-==---⨯-=。
3.某地抽查结果表明,考生的外语成绩(百分制)X 近似服从正态分布),(2σμN ,平均成绩为72,96分以上的考生占%,求:(1)标准差σ的值.(2)考生成绩在60分到84分之间的概率。