拉格朗日方程的应用及举例08讲

拉格朗日方程的应用及举例
拉格朗日方程有以下几个特点：（1）拉格朗日方程适用于完整系统，可以获得数目最少的运动微分方程，即可以建立与自由度数目相同的n个方程，是一个包含n个二阶常微分方程组，方程组的阶数为2n。

求解这个方程组可得到以广义坐标描述的系统运动方程。

（2）拉格朗日方程的形式具有不变性。

对于任意坐标具有统一的形式，即不随坐标的选取而变化。

特别是解题时有径直的程序可循，应用方便。

（3）所有的理想约束的约束反力均不出现在运动微分方程中。

系统的约束条件愈多，这个特点带来的便利越突出。

（4）拉格朗日方程是以能量的观点建立起来的方程，只含有表征系统运动的动能和表征主动力作用的广义力，避开了力、速度、加速度等矢量的复杂运算。

（5）拉格朗日方程不但可以建立相对惯性系的运动，还可以直接建立相对非惯性系的动力学方程，只要写出的动能是绝对运动的动能即可，至于方程所描述的运动是对什么参考系的运动，则取决于所选的广义坐标。

纵观拉格朗日方程，看出分析力学在牛顿力学的基础上，提出严密的分析方法，从描述系统的位形到建立微分方程都带有新的飞跃。

我们还应看到，虽然拉格朗日方法在理论上和应用上都有重要的价值，但是，牛顿力学的价值并未降低，特别是它的几何直观性和规格化的方法使人乐于应用，由于计算机的广泛使用，牛顿一欧拉方法又有所发展。

我们将会看到，用拉格朗日方程求解，在获得数量最少的运动微分方程时，其求导过程有时过于繁琐，并有较多的耦合项。

应用拉格朗日方程建立动力学方程时，应首先建立以广义坐标q 和广义速度q 表示的动能函数和广义力Q。

为此，首先讨论动能的计算和广义力的计算，在此基础上，再讨论拉格朗日方程的应用。

一、动能的计算
对于系统的动能，可以写出关于广义速度q 的齐次函数的表达式。

在实际计算中，应用理论力学的有关知识就可以建立以广义坐标和广义速度所表达的动能函数。

例1-1 已知质量为m ，半径为r 的均质圆盘D ，沿OAB 直角曲杆的AB 段只滚不滑。

圆盘的盘面和曲杆均放置在水平面上。

已知曲杆以匀角速度1绕通过O 点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。

解：取广义坐标x 和，x 为圆盘与曲杆接触点到曲杆A 点的距离，为曲杆OAB 的转角， = 1t 。

应用柯尼希定理求圆盘的动能。

为此，先求圆盘质心C 的速度和相对于质心平动坐标系的角速度。

若以曲杆OAB 为动参考系，C 为动点，
2
1221e r ,,ωυωυυx x x x
C +=== 再应用刚体绕二平行轴转动的合成方法，圆盘的角速度为
r
x
-
=1ωω 于是圆盘的动能为
2
12212241)(21⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-++=r x mr x x m T ωω 若将动能表达式展开，得到
212221124
1212143ωωωmr x m x mr x m T ++-=
可以看出，圆盘的动能包含广义速度x
的二次项，广义速度x 的一次项和它的零次项。

二、广义力的计算
概括地说，广义力有三种计算方法： 1）根据广义力的定义，有
N j q z F q y F q x F Q i i iz i i iy j i iz N
i j ,,2,11
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=
∑
=
我们可以按照这个公式来计算，但是，有时计算是繁冗的。

2）我们知道，作用在系统上的诸主动力对于任何虚位移元功之
和等于诸广义力对于相应的广义坐标的虚位移元功之和，即
j
j
n
i i i
N
i q
Q δδ1
1
∑∑===
⋅r F
对于完整系统，广义坐标的变分q 1，q 2，…，q n 是彼此独立的。

若给出某一广义坐标的变分为q j ，而令其它坐标变分均为零，即
q j ≠0，q 1 = q 2 = … = q j －1 = q j ＋1 = … = q n = 0
则上式为
j j i i
N
i q Q δδ1
⋅=⋅∑=r F
于是
n j q Q j
i
i
N
i j ,,2,1,δδ1
=⋅=
∑=r
F
由于系统的主动力在给定的虚位移中元功之和i i N
i r F δ1
⋅∑=的计算是我们
熟悉的，则广义力Q j 可较易地计算出。

依次给出不同序数的坐标变分的同时，令其它坐标变分为零，则可依次计算出与广义坐标对应的广义力。

这种方法是我们经常应用的。

3）若作用于系统上的主动力有势，则通过势能函数即可求出广义力。

设势能函数为V ，则可应用式
j
j q V
Q ∂∂-
= 进行广义力的计算。

例1-3 均质杆OA 和AB 在A 点铰链连接，并在O 点用铰链支承。

杆重分别为P 1和P 2，F 1为作用于B 点的水平力，试求对应于和的广义力。

解：系统具有两个自由度。

依题意，取
和为广义坐标，对应于和的广义力以Q 和Q 表示。

于是，
ψ
ψϕϕψ
ϕψψϕϕψϕϕ
ϕϕ
δsin 2δcos 2δsin 2sin 2δsin δsin 2δcos cos 2δsin δcos b a x b a x b a y b a y a y a y B B D D C C +=+=--=+=-== 当获得变分，而保持不变，即 = 0时，
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕsin 2sin cos 2δδδ)sin 2sin cos 2()
δδδ(δδ2111
211
1P a P a F C A Q a P a P a F z Z y Y x
X A i i i i i i
i
N
i --==
--=++=
⋅∑=∑=r F
当获得变分，而 = 0时，
ψψψ
ψψψψψsin cos 2δδδsin δcos 2δδ212
212b P b F A Q b P b F A -==
-=⋅∑=r
F
三、拉格朗日方程的应用
应用拉格朗日方程建立系统的动力学方程时，一般采用以下步骤：
1）分析系统的约束条件，判断系统的类型是否为完整系统，是定常还是非定常的，是保守的还是非保守的。

2）若系统为完整的，在确定其自由度数目后，选择恰当的广义坐标。

3）计算出以广义速度表达的动能T (q ，q ，t )、势能V (q ，t ) 或
广义力Q (q ，t )，若主动力有势，计算出拉格朗日函数L (q ，q ，t )。

4）列出拉格朗日方程。

例1-4 半径为R 、质量为m 的圆环挂在一半径
为r 的固定圆柱上。

设圆环与圆柱间有足够大的摩擦力阻止相对滑动，试写出圆环的运动微分方程，并求微幅摆动的周期。

解：圆环具有一个自由度，是完整系统。

取为广义坐标，圆环
的动能为
222
1
21ωO O J mv T +=
其中O O r R v θ )(-=，瞬心为A ，则
θω
R
r R R v O -==
于是
2222
2
222)()(21)(21θθθ r R m R
r R mR r R m T -=-+-= 主动力有势，系统的势能为
V =－mg (R －r ) cos
θθ
θ
θθθθsin )(0)(2d d )(222r R mg V
T r R m T t r R m T
-=∂∂=∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∂∂ 代入拉格朗日方程，得到系统的动力学方程：
0sin )()(22=-+-θθ
r R mg r R m 即
0sin )(2=+-θθ
g r R 考虑到微幅，有
0)
(2=-+θθ
θ
R g
周期为
g
r R )
2(π
2-=τ 由于主动力有势，可以写出拉格朗日函数：
θθ
cos )()(22r R mg r R m V T L ---=-= 代入式（1-25）中同样可以得到系统的动力学方程。

2. 已知摆线绕在固定圆柱上，尺寸如图；求此摆的运动微分方
程。

解 这是单自由度保守系统，选为广义坐标，选 = 0为系
统的零势能位置，则
]
cos )()sin [()(2
122θθθθθR l R l mg V R l m T +-+=+=
将T 、V 代入保守系统的拉格朗日方程
θ
θ
θ
∂∂=∂∂-
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V
T T t d d
或将拉格朗日函数L = T V 代入如下形式的拉格朗日方程
0d d =∂∂-
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂θ
θL
L t 皆可得运动微分方程
0sin )(2=+++θθθ
θg R R l 3. 已知三均质齿轮，半径皆为r ，质量都是m ，此机构位于水平
面内，若无重系杆受矩为M 的力偶作用；求系杆的角加速度。

解 这是单自由度非保守系统，选系杆的转角为广义坐标，则
有关的角速度和速度为
,24,2,3232==⋅=⋅==ωωωωωϕ
ωr v r v O O
该系统的广义力为 Q = M
动能为
2
22322222112
1212121ωωmr mv mr mv T O O =+⋅+=
代入拉格朗日方程
ϕϕ
ϕQ T
T t =∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ d d
得
2
22mr M
==ω
α
例1-9 试求例1-1中圆盘的运动微分方程。

又，若t = 0时，
x = 10cm ，x
= 0，求当x =20cm 时，x 为多少 例1-1 已知质量为m ，半径为r 的
均质圆盘D ，沿OAB 直角曲杆的AB 段只滚不滑。

圆盘的盘面和曲杆均放置在水平面上。

已知曲杆以匀角速度1绕通过O 点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。

解：由例1-1已求得动能T 为
2
12212241)(21⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-++=r x
mr x x m T ωω 水平台为零势面，则圆盘的势能为
V = 0
系统的拉格朗日函数L 为
x m x
L
x m x m x m x L t r x mr x m x L r x mr x x m T L 2112
122122,2321d d 2141)(21ωωωω=∂∂=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=∂∂⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-++==
代入拉格朗日方程，有
02
3
21=-x x ω
由于系统是非定常的，虽然作用于圆盘上的主动力有势，但并不存在能量积分，由于拉格朗日函数L 不显含时间t ，系统有广义能量积分。

由动能表达式得到
2
1
2221011224
121,2
1
,43ωωωmr x m T x mr T x m T +=
==
圆盘的广义能量积分为 T 2－T 0 + V ＝常数.
于是得到
h mr x m x m =--21222124
1
2143ωω 整理后，有
122122
1
43h x m x m =-ω 当t = 0时，x 0 = 10cm ，0x
= 0，则 21150ωm h -=
于是有
212
212502
143ωω-=-x x 当x = 20cm 时，212200ω=x
11.14ω=x
cm/s 例9 质量为m ，半径为r 的圆环O 竖立在一粗糙平面上。

圆环的
边缘上刚连一质量为m 的质点A 。

试写出系统的运动微分方程。

解：由圆环O 和质点A 组成的系统只能在地面上作纯滚动，自由度为1，取OA 与铅垂线的夹角ϕ为广义坐标，以系统为研究对象， O 点处水平面为零势能面，则系统的动能和势能分别为
[]
222222222
22)cos 2(cos )(2)()(2
1
)(2121212121ϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ -=-+++=++=
mr r r r m r m mr mv mv J T A
O O ϕcos mgr V -=
于是有
ϕϕϕsin mgr V Q -=∂∂-=
代入拉格朗日方程，导出
0sin )()cos 2(22=++-ϕϕϕ
ϕr g
例1-7 三角楔块A 可沿水平光滑
面作直线运动，楔块A 的质量为m 1，其上受有简谐力F ＝H sin t 的作用（H 和均为常量）。

楔块斜边BD 上有一质量为m 2、半径为r 的圆柱体，
沿BD 滚动而不滑动，二弹簧的刚体系数分别为k 1和k 2。

试建立系统的运动微分方程。

解：系统具有二个自由度。

取三角楔块的位移x 和圆柱体相对于
楔块的位移为广义坐标，二者均以其静平衡位置为原点。

楔块A 作平动，x
v A =，圆柱体作平面运动，质心速度v C 为 αξξcos 222 x x
v C ++= 角速度
为 r ξω
=
系统的动能T 为
αξξξαξξcos 4
3)(2141)cos 2(212122222122222221 x m m x m m r r m x x m x m T +++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=
系统的势能V 为
220221012)(2
1)(21sin δξδαξ++++-=k x k g m V 在平衡位置有关系式
0sin ,0)(2022101=+-=+δαδk g m x k
于是势能V 为
)(2
1212202221δξ++=k x k V 非有势力F 相应的广义力分别为
x k x V m x m m x T t x T m x m m x
T Q t H x x
t H Q x 1221221,cos )(d d 0,cos )(0
sin δδsin =∂∂++=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂⋅++=∂∂===αξξαωωξ
又，
ξξαξξξ
αξξ22222,cos 23d d 0,cos 23k V x m m T t T x m m T =∂∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂+=∂∂
代入拉格朗日方程，得到系统的运动微分方程： 023cos sin cos )(2221
221=++=+++ξξαωαξk m x m t H x k m x m m。