运筹学04对偶理论

s .t .
2 y1 3 y 2 y 3 3 y1 5 y 2 y 3 2 3 y1 y 3 1 y1 0, y 2 0
第14页
第三节 线性规划及单纯型法
对偶问题的基本性质
第15页
§3 对偶的基本性质
max z cx Ax b x0
(Ⅱ)
2 2 y 1 4 y 2 s.t . 2 y 1 5 y3 3 y , y , y 0 1 2 3
第 4页
背景3
从数学公式中推导：
复习单纯形表的矩阵形式：
xB
I
0
xN
B 1 N
B 1 b
1 - cB B b
xB
-Z
cN cB B 1 N
第 5页
两个规划的最优解之间存在着密切的关系，通过 一个规划可以得到另一个规划的最优解。 同时从 形式上两者之间也有本质的相似：给定 ( A, b, c ) ，两 个规划相伴而存在，称这两个规划互为对偶规划。第 Leabharlann 页第二节 线性规划及单纯型法
原问题与对偶问题
第 9页
§2 原问题与对偶问题
规范形式的对偶规划
第16页
§3 对偶的基本性质
max z cx Ax b x0
性质 3（无界性） 如果原规划有无界解，则其对偶规划无可行解。如果对偶规划 有无界解，则原规划无可行解。 性质 4（强对偶性） 如果原规划有最优解，则对偶规划也一定有最优解，且
max z min w
第17页
min b' y A' y c' y0
2 y1 4 y2 2, 2 y1 5 y3 3,
并且希望租金越低越好，其线性模型为
m in w 12 y 1 16 y2 15 y3
(Ⅱ)
2 2 y 1 4 y 2 s .t . 2 y 1 5 y3 3 y , y , y 0 1 2 3
第 3页
清华紫光集团想租用北航的设备，那么出什么价格时北航才肯出租设备呢？ 设备 A, B, C 的每工时的出租价为 y1 , y2 , y3 ，为能租到设备，租金不能低于产品 所得的利润，即应有
2 y1 4 y2 2, 2 y1 5 y3 3,
并且希望租金越低越好，其线性模型为
min w 12 y 1 16 y2 15 y3
第21页
解出： y1* 4 / 5, y2 * 3 / 5, w* 5 z *
据松紧定理，由 y1 * 0, y2 * 0 可知：
x1 x2 2 x3 x4 3 x5 4 2 x1 2 x2 3 x2 x4 x5 3
由于 y*使左侧 2，3，4 为不等式约束，可知
如何安排生产计划，使预期的利润最大？线性规划模型为 max z 2 x 1 3 x2
(I)
2 x 1 2 x2 12 16 4 x 1 s.t . 5 x2 15 x 1 , x2 0
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清华紫光集团想租用北航的设备，那么出什么价格时北航才肯出租设备呢？ 设备 A, B, C 的每工时的出租价为 y1 , y2 , y3 ，为能租到设备，租金不能低于产品 所得的利润，即应有
§3 对偶的基本性质
max z cx Ax b x0 性质 5（互补松弛性，松紧定理） 在线性规划的最优解中，
min b' y A' y c' y0
如果某一约束条件的对偶变量非零，则该约束条件必取等式。 反之，若约束条件取严格不等式，则其对偶变量一定为零。
若 yi 0, 则
用单纯形求解，还要增加两个剩余变量，以及两个人工变量， 变量维数高，计算量大。 用对偶规划求解，2 个约束条件对应 2 个对偶变量， 变量维数低，可用图解法。
第20页
对偶规划： m ax w 4 y1 3 y 2
y1 2 y 2 2 y1 2 y 2 3 2 y1 3 y 2 5 s .t . y1 y 2 2 3 y1 2 y 2 3 y j 0, j 1,2
设备（资源）的潜在价格 y1 , y2 , y3 称为“影子价格” ，也就是对偶单纯形 的解。 第28页
A′ b′
c′ y
第10页
原问题（求极大）
c1 x1 b1
对偶 问题 （求 极小） 右端项
c2
x2
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。

cn
右端项
xn
y1
y2

a11 a 21
a12 a 22
a1n
a2n
b1 b2

b2

bm
ym
am1
am 2
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
a mn cn
bm
c1
c2
第11页
一般形式的对偶规划
目标 max z = cx
目标 min w = b ’y
变量 x
变 量 个 数n 0 0 无 约 束
约束 A’
约 束 个 数n




即 y 有约束
~ y AC
所以， ~ y 是下列规划的可行解
m i n ~ yb s .t . ~ yA c
(Ⅱ)
第 7页
对于规划(Ⅰ)的任意可行解 x 和规划(Ⅱ) 的任意可行解 y ，由于 x 0 , 所以有
yb yAx cx z * cx
y 是规划(Ⅱ)的最优解，反之亦然。 由此可知 ~
性质 1（弱对偶性） 若 x 和 y 分别是原规划和对偶规划的可行解，则 z cx b' y w 。 性质 2（最优性） 若 x * 和 y * 分别是原规划和对偶规划的可行解，且 cx* b' y * 。 则 x * 和 y * 分别是原规划和对偶规划的最优解。
min b' y A' y c' y0
北航天华集团用 A, B, C 三种设备生产甲、乙两种产品， 每件产品 所用工时 产品甲 产品乙 设备能力 设备 A 2 2 12 设备 B 4 0 16 设备 C 5 15 产品价格 2 3
如何安排生产计划，使预期的利润最大？线性规划模型为 max z 2 x 1 3 x2
(I)
2 x 1 2 x2 12 16 4 x 1 s.t . 5 x2 15 x 1 , x2 0
第13页
例2：
m i nz 3 x1 2 x 2 x 3
2 x1 x 2 3 x 3 2 3 x1 5 x 2 5 s .t . x1 x 2 x 3 1 x1 0, x 3 0 解：直接对偶转换 m ax 2 y1 5 y 2 y 3
max w 12 y1 16 y2 15 y3 0 y4 0 y5
LP2
y4 2 2 y1 4 y2 s.t . 2 y1 5 y3 y5 3 y 0, i 1, ,5 i
第23页
基互补性
原问题变量 原问题松弛变量
x2 x3 x4 0
进而可解出
x1 x5 1
第22页
例2
基互补性
max z 2 x1 3 x2 0 x3 0 x4 0 x5
LP1
12 2 x1 2 x2 x3 x4 16 4 x1 s.t . 5 x2 x5 15 x j 0, j 1, , 5
性质 6（基互补性） 原规划和对偶规划之间存在一对互补的基解 x * 和 y * ： （1）原规划的松弛变量对应对偶规划的变量， 对偶问题的剩余变量对应原问题的变量； （2）若在一个问题中是基变量，则在对偶问题中是非基变量 （3）这对互补基解满足 cx* b' y * 。 则 x * 和 y * 分别是原规划和对偶规划的最优解。
考虑线性规划的标准形式
m ax z cx Ax b s .t . x 0
(I)
~ 是最优基可行解，则有 根据单纯形理论，若 x 其对应的基矩阵为 B，则其检验数为 B cB cB B1b 0 ， 对应的非基矩阵为 N, 检验数为 N cN cB B1 N 0 ，
第19页
min b' y A' y c' y0
例1
min z 2 x1 3 x2 5 x3 2 x4 3 x3 x1 x2 2 x3 x4 3 x5 4 s.t .2 x1 2 x2 3 x2 x4 x5 3 x 0, j 1, ,5 j
并且 最优值为
~ B 1b ， x B ~ 0， x N ~ c B1b 。 z* c x
B
第 6页
如果令 ~ y cB B 1 ，则有 其中
~ ， ~ ybc x
~ y A c c B B 1 ( B , N ) c c B , c B B 1 N c B , c N 0, c B B 1 N c N 0
第一节 线性规划及单纯型法
对偶问题的提出
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§1 对偶问题的实际意义
背景1 最优化问题的两个侧面：
面积给定， 求周长最小 表面积给定， 求容积最大 收益给定， 求用资源最少
周长给定， 求面积最大 容积给定， 求表面积最小 资源给定， 求挣钱最多
对偶问题
第 2页
背景2
出租机器还是搞生产？卖产品还是卖资源？