第11章 动量定理

第十一章 动量定理

§11—1 动量与冲量

一、动量

质点的质量与速度的乘积。

单位：kg ·m/s

质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。

质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。 如图1所示，几种几何形状规则的均质刚体和刚体系动量。

图 1

C

C i i v m r m dt

d

r m dt d p ===∑i

n

i i m ∑==1

i i i i

i i m dt

d

dt r d m m ∑∑∑===m

m i

i C ∑=

m =

二、冲量

作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。

若力F 为变量，在d t 时间间隔内，力F 的冲量称为元冲量

力在时间t 内的冲量为

单位：N ·s

例1 OA 杆绕O 轴逆时针转动，均质圆盘沿OA 杆纯滚动。已知圆盘的质量m ＝20 kg ，半径R ＝100 mm 。在图示位置时，OA 杆的倾角为30o ，其角速度ω1＝1 rad/s ，圆盘相对OA 杆转动的角速度ω2＝4 rad/s ，求圆盘的动量。 解： 取C 为动点，动系与OA 固连

于是

所以

方向水平向右。

⎰=t

dt

dt

d =t

=120.210.2m/s 0.140.4m/s e r v OC v R ωω=⋅=⨯===⨯

=sin 600.40.3464m/s

2C a r v v v ===⨯=200.3464 6.93N s C p mv ==⨯=⋅

§11—2 动量定理

一、质点的动量定理

二、质点系的动量定理

三、质点系的动量守恒定理

（1）当作用在质点系上外力的主矢量等于零时，即∑==n

i e i 10F ，质点系动

量=P 恒矢量，则质点系动量守恒。

（2）当作用在质点系上外力的主矢量在某一轴上投影等于零时，例如

01

=∑=n

i e

xi F

，质点系沿该轴x 的动量=x P 恒量，则质点系沿该轴x 的动量守恒。

()

I

dt F v m v m m dt

d

t

==-=⎰00()

()()()()dt dt dt m d i i e i i i e i i i +=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=()

()

()

∑∑∑===+=n

i i i n

i e i n i i i dt

F dt F v m d 1

1

1

()

∑==-n

i e i

I p p 1

例2 如图3所示椭圆规尺，已知杆AB 的质量为12m ,曲柄OC 的质量为1m ，滑块A 、B 的质量均为2m ，OC=AC=CB=l ，曲柄OC 和杆AB 为均质，曲柄OC 以匀角速度绕O 轴转动，初始时，曲柄OC 水平向右。试求质点系质心的运动方

程、轨迹以及质点系动量。

解：建立如图所示的坐标系，质点系质心的坐标为

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

++=++++=++=++++=t sin ωl )m m (m m m m m t

sin ωl m t sin ωl

m t sin ωl m y t cos ωl )

m m (m m m m m t ωcos l m t cos ωl m t cos ωl m x c

c 2121211211212121121123245222222324522222 （1） 式（1）为质点系质心的运动方程，上式消去时间t ，得

123245232452

212

12

2121=⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++l )m m (m m y l )m m (m m x c c 即为质心的轨迹为一圆。

对式（1）求导得质点系动量，

t sin ωωl m m x

M P c x 2452

1+-== t cos ωωl m m y M P c y 2452

1+-==

质点系的总动量大小为

ωl m m P P P y x 2

452

122+=

+= （2）

质点系的总动量方向为

)t ωπ

cos(t sin ωP P )cos(x +=-==

2

i P, t ωcoc P

P )cos(y

==j P,

质点系的总动量与x 、y 的方向角为

ωt π

)(+=

∠2

i P, ωt )(=∠j P, （3）

§11—3 质心运动定理

一、 质量中心

直角坐标形式为

二、质心运动定理

质心运动定理：质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外

力的矢量和（等于外力的主矢）。

m

m m

m i

i

i i

i C

∑∑∑=

=

m z m m

z m z m y m m y m y m x m m x m x i

i i

i

i C

i

i

i

i

i

i C i

i

i

i

i

i C ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==

====()

()∑==n i e i C m dt d

1

()

∑==n

i e i

C m

1