第四章向量组的线性相关性目标测试题(参考答案)

合集下载

线性代数答案第四版(高等教育出版社)

−ab ac ae (3) bd −cd de ;
bf cf −ef
a 1 00 (4) −1 b 1 0 .
0 −1 c 1 0 0 −1 d
解: (1)
4 124
1 202
1202
1 2 0 2 ==r1=↔=r=2= − 4 1 2 4 ==r=2−=4=r=1= − 0 −7 2 −4
10 5 2 0
(2) ay + bz az + bx ax + by = (a3 + b3) y z x ;
az + bx ax + by ay + bz
zxy
4
第一章行列式
证明: ax + by ay + bz az + bx
x ay + bz az + bx
y ay + bz az + bx
ay + bz az + bx ax + by ==按=第==1=列== a y az + bx ax + by + b z az + bx ax + by
xyz
yzx
=再==次=a3 y z x + b3 z x y
裂开
zxy
xyz
xyz
xyz
xyz
=a3 y z x + b3(−1)2 y z x = (a3 + b3) y z x .
zxyzxyzxy源自此题有一个 “经典” 的解法:
ax + by ay + bz az + bx
ax ay az
by bz bx
ay + bz az + bx ax + by = ay az ax + bz bx by

4第四章向量组的线性相关性习题解答

习题四A 组1．填空题(1) 设T=(2,3,7)x ，T=(4,0,2)y ，T=(1,0,2)z ，且2()3()-++=x a y a z ，则a = ．解由2()3()-++=x a y a z 得1523618-⎛⎫⎪=--+=- ⎪ ⎪-⎝⎭a x y z ．(2) 单个向量α线性无关的充分必要条件是．解 ≠α0．(3) 已知向量组(1,0,1)=1α,(2,2,3)=2α，(1,3,t)=3α线性相关，则．解因为12310110022322125013131t t t ===-=-ααα，所以52t =． (4) 设有向量组,12ββ，又112=-αββ，2212=+αββ，2312=5-αββ，则向量组,,123ααα线性．解 123,,ααα可由12,ββ线性表示，所以123,,ααα的秩小于等于2，从而可知123,,ααα线性相关．(5) 若向量组,,123ααα线性相关，则向量组12+αα，23+αα，31+αα线性．解因为121232313110011101+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪+= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααααααα，又11001120101=≠，所以矩阵110011101⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭可逆，从而1112223331110011101-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααααααα，即123,,ααα与122331,,+++αααααα等价．故12+αα，2331,++αααα线性相关．(6) 设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则．解 12a =．(7) 设向量组()()()123,0,,,,0,0,,a c b c a b ===ααα线性无关，则,,a b c 必满足关系式．解 0abc ≠．(8)设三阶矩阵122212304-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭A =，三维列向量()T ,1,1a =α．已知A α与α线性相关，则a = ．解 1a =-．2．选择题(1) n 维向量组12s ,,,a a a (3≤s ≤n )线性无关的充分必要条件是．(A)存在一组全为零的数12,,,s k k k ，使1122s s k k k +++=ααα0； (B)存在一组不全为零的数12,,,s k k k ，使1122s s k k k +++≠ααα0；(C)12s ,,,a a a 中任意两个向量都线性无关；(D)12s ,,,a a a 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示．答（D ）．12,,,s ααα线性相关的充分必要条件是：12,,,s ααα中至少有一个向量可由其余1s -个向量线性表示．所以12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是：12,,,s ααα中任意一个向量都不能由其余1s -个向量线性表示．(2) 设有两个n 维向量组,,,s 12ααα、,,,s 12βββ，若存在两组不全为零的数12,,,s k k k ；12,,,s λλλ，使111111()()()()s s s s s s k k k k λλλλ+++++-++-=0ααββ；则．(A) ,,s s 11++αβαβ，,,s s 11--αβαβ线性相关；(B) ,,,s 12ααα、,,,s 12βββ均线性无关； (C) ,,,s 12ααα、,,,s 12βββ均线性相关；(D),,s s 11++αβαβ，,,s s 11--αβαβ线性无关．答（A ）．因为111111()()()()s s s s s s k k k k λλλλ+++++-++-=ααββ0， 111111()()()()s s s s s s k k λλ-++-+++++=αβαβαβαβ0，所以1111,,,,,s s s s --++αβαβαβαβ线性相关．(3) 设向量组12,,,m ααα和向量组,,,m 12βββ为两个n 维向量组(2m ≥)，且1,,,m mm m 12321312-=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩αβββαβββαβββ 则有．(A) 12,,,m ααα的秩小于,,,m 12βββ的秩； (B) 12,,,m ααα的秩大于,,,m 12βββ的秩； (C) 12,,,m ααα的秩等于,,,m 12βββ的秩；(D) 无法判定．答（C ）．因为1122011101110m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭αβαβαβ，又1011101(1)(1)0110m m -=--≠，所以有11122011101110m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βαβαβα，即12,,,m ααα与12,,,m βββ等价，从而知12,,,m ααα与12,,,m βββ的秩相等．(4) 设有两个n 维向量组12,,,m ααα和,,,m 12βββ均线性无关，则向量组12,,,m m 12+++αβαβαβ ．(A) 线性相关； (B) 线性无关；(C) 可能线性相关也可能线性无关； (D) 既不线性相关，也不线性无关．答（C ）．例如，121211110,1;0,10000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ，则12,αα和12,ββ都线性无关，但1122,++αβαβ线性相关．又如， 121211110,1;0,1,0000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ则12,αα和12,ββ都线性无关，1122,++αβαβ也线性无关．(5) 设有向量组12,,,s A : ααα与,,,t B 12:βββ均线性无关，且向量组A 中的每个向量都不能由向量组B 线性表示，同时量组B 中的每个向量也不能由向量组A 线性表示，则向量组12,,,,,,s t ,12αααβββ的线性相关性为．(A) 线性相关； (B) 线性无关；(C) 可能线性相关也可能线性无关； (D) 既不线性相关，也不线性无关．答（C ）．例如，当121211000,1;0,1,0011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ则12,αα和12,ββ都线性无关，且12,αα不能由12,ββ线性表示，12,ββ也不能由12,αα线性表示．但12,αα，12,ββ线性相关．又例如121211000100,;,,00010011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ则12,αα和12,ββ都线性无关，且12,αα不能由12,ββ线性表示，12,ββ也不能由12,αα线性表示．但12,αα，12,ββ线性无关．(6) 设向量组I:12,,,r ααα可由向量组Ⅱ:12,,,s βββ线性表示，则．（A ）当r s <时，向量组II 必线性相关；（B ）当r s >时，向量组II 必线性相关；（C ）当r s <时，向量组I 必线性相关；（D ）当r s >时，向量组I 必线性相关．答（D ）． (7) 设12,,,s ααα均为n 维向量，下列结论不正确的是．(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有1122s s k k k +++≠0ααα，则12,,,sααα线性无关；(B) 若12,,,s ααα线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有1122s s k k k +++=0ααα；(C) 12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ； (D) 12,,,s ααα线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．答（B ）．(8) 设A ,B 为满足AB =O 的任意两个非零矩阵，则必有． (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； (C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； (D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关．答（A ）． 3．将b 表示为123,,a a a 的线性组合.(1)T 1(1,1,1)=-a ，T 2(1,2,1)=a ，T 3(0,0,1)=a ，T(1,0,2)=-b ； (2)T 1(1,2,3)=a ，T 2(1,0,4)=a ，T 3(1,3,1)=a ，T(3,1,11)=b ．解（1）令112233x x x ++=a a a b ，即123110112001112x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为11012010111D ==≠-，所以由Cramer 法则，得 1232,1,1x x x ==-=，故1232=-+b a a a ．（2）令112233x x x ++=a a a b ，即1231113203134111x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为11120330341D ==≠，所以由Cramer 法则，得123810,,33x x x ===．故12381033=++b a a a ．4．已知向量组12,,,r a a a 线性无关，且112=+b a a ，223=+b a a ，…，1r r =+b a a ．证明当r 为奇数时12,,,r b b b 线性无关；当r 为偶数时12,,,r b b b 线性相关．解令1122r r x x x +++=b b b 0，得1122231()()()r r x x x ++++++=a a a a a a 0， 111221()()()r r r r x x x x x x -++++++=a a a 0．因为12,,,r a a a 线性无关，所以有11210,0,0r r r x x x x x x -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩．该方程组的系数行列D 为11000111000011002, 1(1)0, .0001000011r r D r +⎧==+-=⎨⎩为奇数为偶数；当r 为奇数时0≠D ，方程组只有零解，即12,,,r b b b 线性无关；当r 为偶数时0D =，方程组有非零解，即12,,,r b b b 线性相关．5．已知12,,,r a a a 线性无关，且11=b a ，212=+b a a ，…，12r r =+++b a a a ，证明12,,,r b b b 线性无关．证明因为1122100110111r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a b a b a ，100110111⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭可逆，即 11122100110111r r -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b a b a b ．从而12,,,r a a a 与12,,,r b b b 等价，于是得12,,,r a a a 线性无关．6．设有两个n 维向量组12:(,,,)i i i in A a a a =a ，12:(,,,)n i ip ip ip B a a a =b ，其中1,2,,i m =，而12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的某个排列，证明向量组A 与向量组B 的线性相关性相同．证明令1122m m x x x +++=a a a 0，即1112121121222211220,0,0m m m mn n mn m a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，上下交换方程，可得1112221122112211220,0,0n n n p p mp m p p mp m p p mp m a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩．即1122m m x x x +++=b b b 0．因为1122m m x x x +++=a a a 0与1122m m x x x +++=b b b 0同解，所以12,,,m a a a 与12,,,m b b b 的线性相关性相同．7．m 个r 维向量的每个向量添上n r -个分量，成为m 个n 维向量．若m 个r 维向量线性无关，证明m 个n 维向量亦线性无关．证明设有m 个r 维向量111211212,,,m m r r rm a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a ，因为12,,,m a a a 线性无关，所以当1122m m x x x +++=a a a 0时，有且仅有120m x x x ====，即方程组111122111220,m m r r rm m a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪⎨⎪+++=⎩只有零解，从而方程组1111221112211220,0,0m m r r rm m n n nm n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪⎩ 也只有零解．令11121112212,,,m r r m rm n n nm a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，b b b则当1122m m x x x +++=b b b 0时，有120m x x x ====，所以12,,,m b b b 线性无关．8．判别下列向量组的线性相关性． (1) (1,1,0)，(0,1,1)，(3,0,0)；(2) (1,1,3)，(2,4,5)，(1,1,0)-，(2,2,6)； (3) (2,1)，(3,4)，(1,3)-；(4) (2,1,7,3)-，(1,4,11,2)-，(3,6,3,8)-； (5) (1,0,0,2)，(2,1,0,3)，(3,0,1,5)．解（1）因为 11011303=≠，所以（1，1，0），（0，1，1），（3，0，0）线性无关．（2） 4个3维向量一定线性相关．（3） 3个2维向量也一定线性相关．（4）因为2131461460117113000328000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，所以()2R =A ，所以向量组的秩也等于2，故3个向量线性相关．（5）因为在矩阵100221033015⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 中，有一个3阶子式10021010301=≠，所以3个向量线性无关．9．利用初等行变换，求下列矩阵的列向量组的最大无关组．（1）2531174375945313275945413425322048⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；（2）11221021512031311041⎛⎫⎪-⎪⎪- ⎪⎪-⎝⎭．解（1）因为123425311743253117437594531320123(,,,)7594541340135253220480135⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a a a2531174325311743012301230012001200120000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以123,,a a a 或124,,a a a 是最大无关组．（2）因为()123451122102151,,,,2031311041⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭a a a a a 11221021510011100000⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪- ⎪⎪⎝⎭，所以123,,a a a 或124,,a a a 或125,,a a a 是最大无关组．10．求下列向量组的秩，并求一个最大无关组．（1）12319221004,,1102448-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a ；（2）123141213,,154367⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a ．解（1）因为12319219221004010(,,)1102000448000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A a a a ，所以向量组的秩等于2．12,a a 或23,a a 都是最大无关组．（2）因为123141141213095(,,)154000367000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A a a a ，所以向量组的秩等于2．12,a a 或13,a a 都是最大无关组．23,a a 也是最大无关组．11．已知n 维单位坐标向量12,,,n e e e 可由n 维向量组12n ,,,a a a 线性表示，证明12,,,n a a a 线性无关．证明因为12,,,n e e e 可由12,,,n a a a 线性表示，所以12,,,n e e e 的秩小于或等于12,,,n a a a 的秩，即12,,,n a a a 的秩大于或等于n ，从而可得12,,,n a a a 的秩等于n ．故12,,,n a a a 线性无关．12．证明n 维向量组12n ,,,a a a 线性无关的充分必要条件是，任一n 维向量都可由12,,,n a a a 线性表示．证明必要性．已知12,,,n a a a 线性无关，又对于任意n 维向量a ，有12,,,,n a a a a 线性相关，所以a 可以12,,,n a a a 线性表示（且表示式惟一）．充分性．根据已知可得，12,,,n e e e 可由12,,,n a a a 线性表示，所以由11题可知，12,,,n a a a 线性无关．13．向量组12,,,s ααα的秩为1r ，向量组,,,t 12βββ的秩为2r ，向量组12,,,,,,s t ,12αααβββ的秩为3r ，证明12312max{,}r r r r r ≤≤+．证明因为1,,s αα可由11,,,,,s t ααββ线性表示，又1,,t ββ也可由11,,,,,s t ααββ线性表示，所以得13r r ≤且23r r ≤，即123max{,}r r r ≤．设1,,s αα的最大无关组为121,,,r n n n ααα，1,,t ββ的最大无关组为122,,,r m m m βββ，则1,,s αα，1,,t ββ可由121212,,,,,,,r r n n n m m m αααβββ线性表示，所以312r r r ≤+．14．设,A B 是同型矩阵，证明()()()R R R +≤+A B A B ．证明将同型矩阵m n ⨯A ，m n ⨯B 表示为1212(,,,),(,,,)n n ==A a a a B b b b则1122(,,,)n n =+++A B a b a b a b +．因为1122,,,n n +++a b a b ab 可由12,,,n a a a ，12,,,n b b b 线性表示，所以1122,,,n n +++a b a b a b 的秩小于或等于12,,,n a a a ，12,,,n b b b 的秩．又根据13题可知，1122,,,n n +++a b a b a b 的秩小于或等于12,,,n a a a 的秩与12,,,n b b b 的秩之和，所以()()()R R R +≤+A B A B ．15．判别下列向量集合V 是否为向量空间？为什么？ (1) T11{(,,)|0;,1,2,,}nn i i i V x x x x i n ====∈=∑R x ；(2) T11{(,,)|1;,1,2,,}nn i i i V x x x x i n ====∈=∑R x ；(3) T 11{(,,)|;,1,2,,}n n i V x x x x x i n ====∈=R x ．解（1）V 是向量空间．因为任取,V ∈αβ，T 12(,,,)n x x x =α，T 12(,,,)n y y y =β，则T 1122(,,,)n n x y x y x y +=+++αβ．由于0)(111=+=+∑∑∑===ni i n i i ni i iy x y x，故V +∈αβ．又当λ为任意实数时，T 12(,,,)n x x x λλλλ=α，由于∑∑====ni ni i ix x110λλ，故V λ∈α．（2）V 不是向量空间．因为，若V ∈α，则有T 12(,,,)n x x x =α，且∑==ni ix11．对于2=λ，有T 122(2,2,,2)n x x x λ==αα，其中12nii x==∑1221ni i x ==≠∑，故V λ∉α．（3）V 是向量空间．因为任取,V ∈αβ，则有T 12(,,,)n x x x =α，T 12(,,,)n y y y =β，且12n x x x ===，12n y y y ===．于是T 1122(,,,)n n x y x y x y +=+++αβ，且1122n n x y x y x y +=+==+，所以V +∈αβ．又当V ∈α，λ为任意实数，则有T 12(,,,)n x x x λλλλ=α，且n x x x λλλ=== 21，所以V λ∈α．16．证明由T T T 123(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)===ααα所生成的向量空间就是3R ．证明设123,,ααα所生成的向量空间为112233123{|,,}V k k k k k k ==++∈R x ααα．任取V ∈α，则有123,,k k k ，使得T 112233233112(,,)k k k k k k k k k =++=+++αααα．可知3∈R α，从而得3V ⊂R ．又任取3∈R α，则123,,,αααα线性相关，又因为123,,ααα线性无关，所以α可用123,,ααα线性表示且表示式惟一，即有惟一的123,,k k k ，使得112233k k k =++αααα．从而可知V ∈α，于是得3V ⊂R ．综上可知3V =R ．17．设V 1是由T1(1,1,0,0)=a ，T 2(1,0,1,1)=a 所生成的向量空间，V 2是由T 1(2,1,3,3)=-b ，T 2(0,1,1,1)=--b 所生成的向量空间，试证V 1= V 2．证明因为12121120112010110131()0131000001310000⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a ab b ，可见，12,a a 及12,b b 都线性无关，但121,,a a b 和122,,a a b 都线性相关，且121,,b b a 和122,,b b a 也都线性相关，即12,a a 可由12,b b 线性表示，12,b b 也可由12,a a 线性表示，所以12,a a 与12,b b 等价，从而21V V =．18．验证T 1(1,1,0)=-α，T 2(2,1,3)=α，T 3(3,1,2)=α为3R 的一个基，并求T (5,0,7)=α在这个基下的坐标．解因为()12312311160,032=-=-≠ααα所以123,,ααα线性无关，故123,,ααα是3R 的基．对于T(5,0,7)=α，令112233x x x ++=αααα，则有12312323235,0,327,x x x x x x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩解之得122,3,1x x x ===-３，所以α在基123,,ααα下的坐标是(2,3,1)-．B 组1．已知向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关，证明 (1) 1α可由23,αα线性表示； (2) 4α不能由123,,ααα线性表示．证明（1）因为234,,ααα线性无关，所以23,αα线性无关；又因为123,,ααα线性相关，所以1α可由23,αα线性表示（且表示式惟一）．（2）反证法，假设4α可由123,,ααα线性表示，又由（1）知，1α可由23,αα线性表示．所以4α可由23,αα线性表示，这与234,,ααα线性无关相矛盾．于是得1α不能由123,,ααα线性表示．2．设A 是n 阶方阵，123,,a a a 是n 维列向量，且1≠a 0，11=Aa a ，212=+Aa a a ，323=+Aa a a ．证明123,,a a a 线性无关．证明根据已知条件，得12132(),(),()-=-=-=A E a 0A E a a A E a a ，设112233λλλ++=a a a 0，上式两边左乘-A E ，得2132λλ+=a a 0，上式两边再左乘-A E 得31λ=a 0，因为1≠a 0，所以得30λ=．又由2132λλ+=a a 0及112233λλλ++=a a a 0可得，210λλ==，所以123,,ααα线性无关．3．设12,,s ααα线性无关，12+++s s λλλ12=βααα，其中i λ≠0，证明11+1,,,,,i -i sααβαα线性无关．证明令111111i i i i i s s k k k k k --++++++++=ααβαα0，则由1122s s λλλ=+++βααα，得111111()()i i i i i i i i k k k k k λλλ---+++++ααα111()()i i i i s i s s k k k k λλ++++++++=αα0，从而有1111110,0,0,0,0i i i i i i i i i s i s k k k k k k k k k λλλλλ--+++=⎧⎪⎪⎪+=⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎪+=⎩．因为0i λ≠，所以得0i k =，根据上述方程组又可得1110i i s k k k k -+======，即111,,,,,,i is-+ααβαα线性无关． 4．设向量组12,,,m A :ααα线性无关，向量1β可由向量组A 线性表示，而向量2β不能由向量组A 线性表示．证明向量组1212,,,,m l +αααββ线性无关(其中l 为常数)．证明若122,,,,m αααβ线性相关，而12,,,m ααα线性无关，由定理２可知2β可由1,,m αα线性表示，矛盾．所以122,,,,m αααβ线性无关．因为1β可由1,,m αα线性表示，所以有一组数m μμμ,,,21 使111m m μμ=++βαα．又令1122112()n m m k k k k l ++++++=αααββ0，则有1111112()()m m m m m m k lk k lk k μμ++++++++=ααβ0，从而有111212110000m m m m mm k lk k lk k lk k μμμ+++++=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪+=⎪=⎪⎩，，，．解之得，1210m m k k k k +=====，所以112,,,m l +ααββ线性无关． 5．设有一个含m 个向量的向量组12,,,m ααα(m ≥2),且12+++m =βααα，证明向量组12,,,m β-αβ-αβ-α线性无关的充分必要条件是12,,,m ααα线性无关．证明因为12312132121011110111110m m m m m --+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，βαααααβαααααβααααα 又101101010(1)(1)0111m m -=--≠，于是有11122011110111110m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αβααβααβα 即12,,,m ααα与12,,,m ---βαβαβα等价．故12,,,m ααα与12,,,m ---βαβαβα的线性相关性相同，即12,,,m ααα线性无关的充分必要条件为12,,,m ---βαβαβα线性无关．6．设向量组12:,,,r B b b b 能由向量组12:,,,s A a a a 线性表示为 1212(,,,)(,,,)r s =b b b a a a K ，其中K 为s r ⨯矩阵，且向量组A 线性无关，证明向量组B 线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩()R r =K ．证明令12(,,,)r B =b b b ，12(,,,)s A =a a a ，并将K 按列分块为12(,,,)r K =k k k ．必要性．由于B 组向量线性无关，有()()r R R r =≤≤B K故()R r =K ．充分性．设有一组数12,,,r λλλ使1122r r λλλ+++=b b b 0，则有112212121122(,,,)(,,,)s r r r r r λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++=a a a K =b b b b b b 0.而12,,,s a a a 线性无关，所以12r λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K =0，即1122r r λλλ+++=k k k 0，而12,,,r k k k 线性无关，故120r λλλ====．说明12,,,r b b b 线性无关．7．设有两个向量组12:,,,r A ααα；112:B =-βαα，223=-βαα,…,11r r r --=-βαα，1r r =+βαα，证明向量组A 的秩等于向量组B 的秩．证明因为11221100001100001000001110001r r -⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭βαβαβα，由于11000011000010200001111--=≠-，所以11122110000110000100000111001r r --⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭αβαβαβ，即12,,,r ααα与12,,,r βββ等价，所以12,,,r ααα与12,,,r βββ有相同的秩．8．设A 是n 阶方阵，α是n 维列向量，若1m -≠αA 0, m =αA 0，试证α,αA ,2αA ,…,1m -αA 线性无关(2m ≥)．证明因为m =αA 0，所以12m m ++===ααAA 0．令210121m m λλλλ--++++=ααααA A A 0，上式两边左乘1m -A ，则有10m λ-=αA 0．因为1m -≠αA0，所以00=λ，从而有21121m m λλλ--+++=αααA A A 0，上式两边左乘2m -A，则有11m λ-=αA 0，从而，又得01=λ．以此类推，还可以得012===-m λλ ，所以21,,,,m -ααααA A A 线性无关．9．已知向量组123,,ααα的秩为3，向量组1234,,,αααα的秩为3，而向量组1235,,,αααα的秩为4．证明向量组12354,,,-ααααα的秩为4．证明因为123,,ααα的秩为3，所以123,,ααα线性无关．又由1234,,,αααα的秩为3，可得1234,,,αααα线性相关．故4α可由123,,ααα线性表示，即存在一组数123,,λλλ．使4112233λλλ=++αααα．令112233454()k k k k +++-=ααααα0，则有11223345112233[()]k k k k λλλ+++-++=ααααααα0，得14112422343345()()()k k k k k k k λλλ-+-+-+=αααα0．因为1235,,,αααα的秩为4，所以1235,,,αααα线性无关．从而有14124234340,0,0,0k k k k k k k λλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩．解之得12340k k k k ====．于是可知12354,,,-ααααα线性无关．10．已知向量组12,,m ααα中任一向量i α都不是它前面i -1个向量的线性组合，且1≠0α，证明12,,m ααα的秩为m ．证明令1122m m k k k +++=ααα0．首先证明0m k =．反证法，假设0m k ≠，则有1111m m m m m k k k k --⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ααα．这与题设矛盾．所以得0m k =．同理可证120m k k -===，最后得11k =α0．又因为1≠α0，所以又得10k =．综上得120m k k k ====，故12,,,m ααα线性无关，即12,,,m ααα的秩为m ．11．设12:,,n A ααα；,,,n B 12:βββ都是n 维空间V 的基．;),,1,2,,n ni i i i i i i i W x x x i n =1=1⎧⎫=|=(-=∈=⎨⎬⎩⎭∑∑R ααααβ0 证明W 是V 的子空间．证明任取W ∈α，则有1122n n x x x =+++αααα因为12,,,n ααα是n 维向量，所以α也是n 维向量，即V ∈α，故W V ⊂．又设,W ∈αβ，则有11n n x x =++ααα且11n n x x =++αββ， 11n n y y =++βαα且11n n y y =++βββ，从而111()()n n n x y x y +=++++αβαα，且111()()n n n x y x y +=++++αβββ，于是可知W +∈αβ．又对于V ∈α及实数λ，有11n n x x =++ααα且11n n x x =++αββ，从而11n n x x λλλ=++ααα且11n n x x λλλ=++αββ，即W λ∈α．所以W 是向量空间，且是V 的子空间．。

线性代数练习——向量组的线性相关性参考答案

线性代数练习——向量组的线性相关性参考答案一、填空题1、12332βααα=−+；2、5；3、相关；4、-1；5、相关。

二、单项选择题 1、（B）；2、（C）；3、（C）三、计算题1、秩为3；123,,ααα为一个最大无关组，4123234αααα=++。

2、 0,0a b ≠=。

3、 3a =。

4、讨论对于2b =时，秩为2，1α，2α为一个最大无关组；2b ≠时，秩为3，1α，2α，3α为一个最大线性无关组。

5、 1k =±。

四、证明题 1、（略）2、设1β=1α+2α，2β=2α+3α，3β=3α+4α，4β=4α+1α，证明1β，2β，3β，4β线性相关。

证明：11223344k k k k ββββ+++=0，即()()()()112223334441k k k k αααααααα+++++++=0()()()()141212323434k k k k k k k k αααα+++++++=0无论1234,,,αααα线性相关还是线性无关，上式总成立。

令141223340000k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，由于此方程组系数行列式10011100001100011=，所以此方程组必有非零解，所以存在不全为零的数1234,,,k k k k ，使得11223344k k k k ββββ+++=0成立，所以1β，2β，3β，4β线性相关。

另证：因为1234ββββ−+−=0，所以1β，2β，3β，4β线性相关。

3、设n 维向量β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示，证明表示式唯一的充分必要条件是1α，2α，…，m α线性无关。

证明：β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示，则()()1212,,,,,,,m m R R ααααααβ=""（必要性）若β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示式唯一，则有()()1212,,,,,,,m m R R m ααααααβ==""，所以1α，2α，…，m α线性无关（因为向量组的秩等于向量的个数）。

向量的线性运算经典测试题附答案

向量的线性运算经典测试题附答案一、选择题1．在ABCD中，AC与BD相交于点O，AB a=，AD b=，那么OD等于（）A．1122a b+B．1122a b--C．1122a b-D．1122a b-+【答案】D 【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得12OD BD=，，又由BD BA AD=+，即可求得OD的值．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD=12 BD，∴12OD BD=，∵BD BA AD a b=+=-+，∴12OD BD==111()222a b a b-+=-+故选：D．【点睛】此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．2．如果向量a与单位向量e方向相反，且长度为12，那么向量a用单位向量e表示为（）A．12a e=B．2a e=C．12a e=-D．2a e=-【答案】C 【解析】由向量a与单位向量e方向相反，且长度为12，根据向量的定义，即可求得答案．解：∵向量a 与单位向量e 方向相反，且长度为12， ∴12a e =-．故选C ．3．已知3a →=，2b =，而且b 和a 的方向相反，那么下列结论中正确的是（） A ．32a b →→=B ．23a b →→=C ．32a b →→=-D ．23a b →→=- 【答案】D 【解析】【分析】根据3,2a b ==，而且12,x x R ∈和a 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】 ∵3,2a b ==，而且12,x x R ∈和a 的方向相反 ∴32a b =-故选D.【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.4．已知a 、b 为非零向量，下列判断错误的是（）A ．如果a ＝3b ，那么a ∥bB ．||a ＝||b ，那么a ＝b 或a ＝-bC ．0的方向不确定，大小为0D ．如果e 为单位向量且a ＝﹣2e ，那么||a ＝2【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的性质解答即可．【详解】解：A 、如果a ＝3b ，那么两向量是共线向量，则a ∥b ，故A 选项不符合题意． B 、如果||a ＝||b ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意． C 、0的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意． D 、根据向量模的定义知，||a ＝2|e |＝2，故D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.5．若向量a 与b 均为单位向量，则下列结论中正确的是（）．A ．a b =B ．1a =C ．1b =D ．a b =【答案】D 【解析】【分析】由向量a 与b 均为单位向量，可得向量a 与b 的模相等，但方向不确定．【详解】解：∵向量a 与b 均为单位向量，∴向量a 与b 的模相等， ∴a b =.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．6．下列说法正确的是（）．A ．一个向量与零相乘，乘积为零B ．向量不能与无理数相乘C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的定义和性质进行判断．【详解】解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误；B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确.故答案是：D.【点睛】考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．7．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =，AC b =，则AM 等于（）．A ．()12a b -B ．()12b a -C ．()12a b +D ．()12a b -+ 【答案】C【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM . 【详解】解：∵AB a =，AC b =∴CB AB AC a b =-=-∵AM 是ABC △的边BC 上的中线∴()1122CM CB a b ==- ∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.8．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（）．①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【答案】D【解析】【分析】根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可.【详解】解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误； ③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误. 故选D.【点睛】此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.9．已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为、、，则向量等于（）A．++B．-+C．+-D．--【答案】B【解析】【分析】利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论．【详解】如图，，则-+故选B．【点睛】此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.10．下列判断错误的是（）A．0•=0aB．如果a+b=2c，a-b=3c，其中0c ，那么a∥bC．设e为单位向量，那么|e|=1D．如果|a|=2|b|，那么a=2b或a=-2b【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答．【详解】A、0•=0a，故本选项不符合题意．B、由a+b=2c，a-b=3c得到：a＝52c，b＝﹣12c，故两向量方向相反，a∥b，故本选项不符合题意．C、e为单位向量，那么|e|=1，故本选项不符合题意．D 、由|a |=2|b |只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意．故选D ．【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．11．如图，在ABC 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =,BC b =，那么AD 等于（）A ．a b +B ．2233a b +C ．23a b -D ．23a b + 【答案】D【解析】【分析】根据2BD CD =，即可求出BD ，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．【详解】解：∵2BD CD = ∴2233BD BC b == ∴23AD AB BD a b =+=+故选D ．【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．12．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（） A ．AB BA =- B ．AB BA = C ．AB BCAC D ．AB BC AB BC +=+【答案】D【解析】【分析】根据向量的性质，逐一判定即可得解.【详解】A 选项，AB BA =-，成立；B 选项，AB BA =，成立；C 选项，AB BC AC ，成立；D 选项，AB BC AB BC +=+不一定成立；故答案为D.【点睛】此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.13．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =，那么BA 用a 表示正确的是（） A ．34a B ．34a - C ．43a D ．43a - 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案.【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =，∴BA=43AC ， ∵BA 与AC 方向相反，∴BA =43a -，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.14．已知5a b =，下列说法中，不正确的是（） A ．50a b -=B ．a 与b 方向相同C ．//a bD ．||5||a b =【答案】A 【解析】【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【详解】A 、50a b -=，故该选项说法错误B 、因为5a b =，所以a 与b 的方向相同，故该选项说法正确，C 、因为5a b =，所以//a b ，故该选项说法正确，D 、因为5a b =，所以||5||a b =；故该选项说法正确，故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．15．已知非零向量a 、b ，且有2a b =-，下列说法中，不正确的是（）A ．||2||a b =；B ．a ∥b ；C ．a 与b 方向相反；D ．20a b +=．【答案】D【解析】【分析】根据平行向量以及模的知识求解即可.【详解】A.∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴||2||a b =，该选项不符合题意错误；B. ∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -与b 方向相反，但还是相互平行，∴a ∥b ，该选项不符合题意错误；C. ∵2a b =-，而2b -与b 方向相反，∴a 与b 的方向相反，该选项不符合题意错误；D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；故选：D【点睛】本题主要考查了平面向量的基本知识.16．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（）A ．12CA AB = B ．12CB AB = C ．0AC BC += D ．0AC CB +=【答案】B【解析】根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答．解：A 、12CA BA =，故本选项错误； B 、12CB AB =，故本选项正确；C 、0AC BC +=，故本选项错误；D 、AC CB AB +=，故本选项错误．故选B ．17．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的加法即可解答.【详解】解：根据题意得＝, ＋ .故选D.【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.18．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n =.已知11(,OA x y =），22(,)OB x y =，如果12120x x y y +=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（）A ．(4,3)OC =-；(3,4)OD =-B ．(2,3)OE =-； (3,2)OF =-C ．(3,1)OG =；(3,1)OH =-D ．(22,4)OM =；(22,2)ON =-【答案】D【解析】【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可.【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意；B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意；C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意；D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意；故选D.【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.19．已知e 是一个单位向量，a 、b 是非零向量，那么下列等式正确的是（） A ．a e a = B ．e b b = C ．1a e a = D ．11a b a b= 【答案】B【解析】【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.20．下列各式正确的是（）．A ．()22a b c a b c ++=++B ．()()330a b b a ++-=C ．2AB BA AB +=D ．3544a b a b a b ++-=- 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量计算法则依次判断即可.【详解】 A 、()222a b c a b c ++=++，故A 选项错误；B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-，故B 选项错误；C 、0AB BA +=，故C 选项错误；D、3544++-=-，故D选项正确；a b a b a b故选D.【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.。

第四章向量组的线性相关性线性代数含答案.docx

第四章向量组的线性相尖性441基础练习1.设有斤维向量组e，，•••、％与几，02,...，仇若存在两组不全为零的数人、入，…，九和k], kzM使(人+灯⑦+—(心+k丿a卄(石一k) 0汁…+(入一n『#m=0则( )(A)(X、，吆…,J和0户卩2,…,“也都线性相矢(B)(ZI,么2,…，么加和0F“2,..., 0加都线性无矢(C)么汁伤，…，时门曲g—fip…，久线性无矢(D)e+伤，…，皤//”，5_卩[，…，线性相尖2.设如如一os与为，卩2,…，久为两个料维向量组，且R@\, a2, -,a s) = /?(/?… /?2,= r，则( )(A)当s = t吋，两向量组等价；(B)两向量组等价；(C)幻…,冬，卩7几)二”(D)当向量组如S被向量组伤，卩2,…,戸,线性表示时，两个向量组等价.3.设/是4阶方阵，且同=0,则/中( )(A)必有一列元素全为零；(B)必有两列元素成比例；(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.4.设力是矩阵，〃是矩阵，贝％)(A)当m > n时，必有14B | HO ；(B)当m > n时，必有(C)当HKD时，必有IMIW；(D)当m < n时，必有IMIP5.设向量组勺，血，他线性无尖，向量几可由勺，么2,么3线性表示，而向量02不能由(A) z a2,k/?7+/?2线性无尖；(B)血竝,冬，k/?7+y?2线性相矢；(C) a J9购么3, 0/+k“2线性无尖；(D)么勿，/ 线性相尖.6.设有向量组勺=(1,- 1,2,4), « = 0,3,1,2), «=(3,0,7,14),勺=(1,-2,2,0)与冬=(2丄5,10), 则向量组的极大线性无尖组是( )(A) °人3 ；(B) ar a2,弘；(C) ap a?, a.门(D) z av a4, as.7.设有向量组a=(a,0,c)fa=(b,c,0),a5=(0,a,b)线性无尖，则a,也c必须满足矢系式.& 向量组a=(l,2,3,4), (i2=(2,3,4,5), a3=(3,4,5,6),恥=(4,5,6,7)的秩等于 ___________________ . 9•已知向量组a =(1,2,-1,1),血=(2,0,0),购=(0,-4,5,-2)的秩为2,则.r 1 2 -2-10 •设矩阵/=2 1 2，向量a=(a,l,l),,已知/la与么线性无矢，则心_________________30 411•向量空间r二(x,2x,y)lx,yG R ｝的维数是______________________________ ，它的基a= _________ ,a2 = __________ .向量么=(3,6,-4)在基勺下的坐标是________________ . 12 ・设有向量组a, =(2,4,7); a2 =(3,2,5);^=(5,6,Q; “ = (1,3,5),当上为何值时，“能由舛42 线性表示？13.设有向量组a, =(2,1,5,3)；血=(1,-1,2,1);佝=(0,3,1,1);恥=(1,2,3,2);少=(-1,1,-2,-8)求向量组的秩和它的一个极大线性无尖组•14.设有向量组© =(1,1,1);血=(1,1,-1);试把P表为a, ,a2用3的线性组合.X,-2X2+X3+X4 • X5 二02XI+x 厂Xq-Xd+Xq 二015 •求方程组12 3 4 5的基础解系和通解.X(+7X2 ・ 5%3 ・5x4+5x5 二03x r X2-2X3+X4-X5 二0*X!-2X2+3X3-4X4=4x?-x.+xd =316•求方程组 2 3 4的通解.XI • 3X2-3X4 二1-7X2+3X3+X4 二-34.4.2提高练习1 .已知a, =(1,0,2,5/, a? =(1,1,3,5/, =Q,」a + 2,l)r他二(l,2,4，a+ 8 几0 = (1,10 +3,5)T(1)a,b为何值时，0不能表示为a…a2,a3,a4的线性组合；(2)a, b为何值时，“有⑦皿2,偽皿4的唯一线性表示，并写出该表达式.2.设向量线性相矢，而其屮任何卩1个向量线性无矢，证明存在不全为零的数《,©, • • •& 便滋+••• + ©%=()・3•设ai9a29a3线性无尖，证明 /?( =a)-2a2 +2a3，/?2 二加-a A py = 2a)-a2 +3a3 线性无尖•4.验证向量a. =(l,-l,0)r,a2 =(2丄3/,=(3,1,2/是疋的一个基，并分别将向量件二(5Q7)丁，仏二(一9,一&・13卩用这个基表示.5.已知H的两个基T3<3<5><A:a)=1/<2 二11；B卩严3,02 =-1'03 二4<2<2><2<3,J2求基力到基〃的过渡矩阵C6•设由向量么〕二(0丄2),血二(1,3,5)，么3二(2丄0)生成的向量空间为V】，由向量几二(1,2,3),仏二(一1，0,1)生成的向量空间为V2,试证匕二V2・7•设/?”的3个基分别为1）求由基（2）到基（1）的过渡矩阵;2）求向S.a 二e 【+e2"・e3在基（2）下的坐标; 3）求向量fl = 3ej+ 2es -3A4在基（1）下的坐标;4）求由基（2）到基（3）的过渡矩阵.8.设加个n 维向量a 〕9ay«”线性无矢，P 为n 阶方阵‘证明:向量组Pa?Pa2, - .Pan1,<o>v9、6具有相同的秩，且“3可由向量组（2）线「7(3)： VI(--I疋2 =1 0 <0 • •<i>r-P了-1 1 、6 二 ?.1<o><0,[1 1 ?也二 311d 丿线性无尖的充耍条件是IPL0.na29•已知向量组（1）：fi 二T0]],“2= ri 丿< 1、n3向量组（2） : a2，亿>二佝二严）A \/(?)作性表不，求* b 的值.，03=10•已知3阶方阵力与3维向量X，使得向量组X9AX9A2X线性无尖，且满足A3X =3A X-2A2X ;1)记P二(x, Axjxj.求3 阶方阵B使A = PBP-;2）计算行列式・A%! + 兀 2 + 兀 3= 1问2取何值时,(1) o 可由勺，J 么3线性表示，且表达式唯一？ (2) "可由勺，《2,冬线性表示，但表达式不唯一？ (3) “不能由勺，色线性表示？x ( +X2+&3 =413. k 为何值时，线性方程组w -x, + kx 2 + x 3 = A:2X]_ 勺 + 2 兀 3 =-4有唯一解、无解、有无穷个解?在有解时求出其全部解. 14. 己知二（1，0,2,3）,力二（1丄3,5）,«3二（1，一 1 卫 + 2,1）,如二（124卫 + &）,，（1 丄/? +3,5）.(1)心b 为何值时，“不能表示为勺，j s 他的线性组合?(2)么/?为何值时，“可表示为么” J 5么4的线性组合？并写出该表示式.11 •讨论并求解方程组<%! + AX2 +X3 = A.12•设有3维列向量a =x]+兀 2+ 7C 3 = Q215. 已知下列线性方程组兀1+兀〉一2兀4 = 一6(1){4 西-X2 -X3-X4 = 1； 3兀L 兀2_兀3 = 3 ⑴求出方程组⑴的通解；(2)当⑵中的参数明/为何值时‘方程组⑴与(2)同解?X] + inx? -XS -XA --5 72X1 —七一2 兀二—1 121第四章参考解答4.4.1基础练习：1. （D ）提示：由题设知，入 5+0） + 希 a+02 + - • • + An J&+Q + kg-卩）+・・・=o又知人，易，…，无，k 、，心…，红不全为零，均+伤,a 2+#2,臥盘，a 厂卩p 卩卫…，亦仇线性相尖.2. （D ）提示：设向量组A ：弘幻 …，匕：向量组B ： P],'T（因向量组/可被向量组B 表示），则用為？仞二/? （C ）o L所以％® r 故选（D ）3. （C ）提示：因仏2,则R （/） v4, /经初等列变换化为阶梯阵〃，〃必有零列，该列就是其余列的线性组合.4. （B ）提示：也习时，R （4） <n<m,又R （4B ）vR 么），则«BX m ，为降阶方阵,所以AB=O.«/'a /A =orf4-k(A ir/+A 2 厂2+7丿Ta 、 M =B «3«3g+02_A_又勺，j 冬线性无尖，且肉不能由勺，叫冬线性表示，则R勺，J 他，妙+几线性无尖•这个结论肯定了（A ）而排除了（B ），对条件（C ），取R 二0即与5. （A ）提示：由可由勺,5幺3线性表示知件二人勺+入么仝+入冬，那么 (4)二R0?>4,即题设矛盾，可排除•对于（D），取21时与（A）中炉1相同，已知（A）正确，从而否定（D）・6.(B)1. abcO ・提示:ar n 冬线性无尖。

第四章向量组的线性相关性线性代数含答案

第四章向量组的线性相关性4.4.1 基础练习1. 设有n 维向量组12m ⋅⋅⋅ααα，，,与⋅⋅⋅12m ββ,β，，若存在两组不全为零的数 12m λλλ⋅⋅⋅，，,和12k k k m ⋅⋅⋅，，,使11111m m m k k k k 0m m m λλλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅1ααββ（＋）＋＋（＋）＋（－）＋＋（－）＝则（）（A ）12m ⋅⋅⋅ααα，，,和⋅⋅⋅12m ββ,β，，都线性相关 (B) 12m ⋅⋅⋅ααα，，,和⋅⋅⋅12m ββ,β，，都线性无关 (C) 1m m 1m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11αβαβαβαβ＋，，＋，－，，－线性无关 (D) 1m m 1m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11αβαβαβαβ＋，，＋，－，，－线性相关 2. 设12s ⋅⋅⋅ααα，，,与t ⋅⋅⋅12ββ,β，，为两个n 维向量组，且 12s t ()()r R R ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=12αααββ,β，，,，，，则（）（A ）当s t =时，两向量组等价；（B ）两向量组等价；（C ）12s t ()r R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12αααββ,β，，,，，，＝；（D ）当向量组12s ⋅⋅⋅ααα，，,被向量组t ⋅⋅⋅12ββ,β，，线性表示时，两个向量组等价. 3. 设A 是4阶方阵，且0A ＝，则A 中（） (A) 必有一列元素全为零；（B ）必有两列元素成比例； (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合；（D ）任一列向量是其余列向量的线性组合. 4. 设A 是矩阵，B 是矩阵，则( )（A ）当m n >时，必有0≠AB ；（B ）当m n >时，必有0AB ＝（C ）当m n <时，必有0≠AB ；（D ）当m n <时，必有0AB ＝5. 设向量组231ααα，，线性无关，向量1β可由231ααα，，线性表示，而向量2β不能由231ααα，，线性表示，则对于任意常数k ，必有（）（A ）232k 11αααββ，，，＋线性无关；（B ）232k 11αααββ，，，＋线性相关；（C ）232k 11αααββ，，，＋线性无关；（D ）232k 11αααββ，，，＋线性相关.6. 设有向量组1α＝(1,-1,2,4)，2α＝(0,3,1,2)，3α＝(3,0,7,14)，4α＝(1,-2,2,0)与5α＝(2,1,5,10)，则向量组的极大线性无关组是（）（A ）231ααα，，； (B) 241ααα，，； (C) 251ααα，，； (D) 2451αααα，，，.7. 设有向量组(,0,)(,,0)(0,,)a c b c a b 123ααα＝,＝,＝线性无关，则a ，b ，c 必须满足关系式 .8.向量组(1,2,3,4)(2,3,4,5)(3,4,5,6)(4,5,6,7)1234αααα＝,＝,＝,＝的秩等于 .9. 已知向量组23(1,2,-1,1)(2,0,,0),(0,-4,5,-2)t 1ααα＝,＝＝的秩为2，则t ＝ . 10. 设矩阵122212304⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A －＝，向量(,1,1)Ta α＝，已知A α与α线性无关，则a ＝ .11. 向量空间{}V ∈=x=(x,2x,y)|x,y R 的维数是，它的基2________,________.=1αα＝向量 ()α＝3,6,-4 在基21αα,下的坐标是 . 12. 设有向量组 123(2,4,7);(3,2,5);(5,6,);(1,3,5)k ====αααβ，当k 为何值时， β能由123ααα,,线性表示？ 13. 设有向量组12345(2,1,5,3);(1,1,2,1);(0,3,1,1);(1,2,3,2);(1,1,2,8)==-===---ααααα求向量组的秩和它的一个极大线性无关组.14. 设有向量组 123(111);(111);(111);(121)==-=-=αααβ，，，，，，，，，试把β表为123ααα,,的线性组合.15. 求方程组12345123451234512345x -2x +x +x -x 02x +x -x -x +x 0x +7x -5x -5x +5x 03x -x -2x +x -x 0=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩的基础解系和通解.16. 求方程组1234234124234x -2x +3x -4x 4x -x +x 3x -3x -3x 1-7x +3x +x 3=⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=-⎩的通解.4.4.2 提高练习1. 已知 123(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1)T T Ta ===-+ααα4(1,2,4,8),(1,1,3,5)T T a b =+=+αβ（1）a ,b 为何值时，β不能表示为1234,,,αααα的线性组合；（2）a ,b 为何值时，β有1234,,,αααα的唯一线性表示，并写出该表达式. 2. 设向量12,,,r ααα线性相关，而其中任何r -1个向量线性无关，证明存在不全为零的数12,,,r k k k 使110r r k k ++=αα.3. 设123,,ααα线性无关，证明 1123223312322,,23=-+=-=-+βαααβααβααα 线性无关.4. 验证向量123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)T T T =-==ααα是3R 的一个基，并分别将向量12(5,0,7),(9,8,13)T T ==---ββ用这个基表示.5. 已知3R 的两个基123123333536:1,1,1;:3,1,422211312⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=====-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A αααB βββ，求基A 到基B 的过渡矩阵C .6. 设由向量()1230,1,2,(1,3,5),(2,1,0)===ααα生成的向量空间为V 1，由向量()121,2,3,(1,0,1)==-ββ生成的向量空间为V 2，试证V 1= V 2.7. 设4R 的3个基分别为12341234110000100(1):,,,;0010000120100101(2):,,,;1012010021(3):01⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛=e e e e εεεεη234021113,,,.211222-⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ηηη 1) 求由基（2）到基（1）的过渡矩阵； 2) 求向量123=++αe e e 在基（2）下的坐标； 3) 求向量134323=+-βεεε在基（1）下的坐标； 4) 求由基（2）到基（3）的过渡矩阵.8. 设m 个n 维向量12,,,n ααα线性无关，P 为n 阶方阵，证明：向量组12,,,nP αPαPα线性无关的充要条件是0≠P .9. 已知向量组（1）：1230a b 121110⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ＝，＝，＝，向量组（2）：123⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα139＝2，＝0，＝6－31－7具有相同的秩，且3β可由向量组（2）线性表示，求a ，b 的值.10. 已知3阶方阵A 与3维向量x ，使得向量组2x,Ax,A x 线性无关，且满足332=-2A x Ax A x ；1) 记(),,=2P x Ax A x ，求3阶方阵B ，使1-A =PBP ; 2）计算行列式+A I .11. 讨论并求解方程组 12312321231x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩.12. 设有3维列向量 2321110111111λλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1αααβ＋＝，＝＋，＝，＝＋问λ取何值时，（1）β可由231ααα，，线性表示，且表达式唯一？（2）β可由231ααα，，线性表示，但表达式不唯一？（3）β不能由231ααα，，线性表示？13. k 为何值时，线性方程组 1232123123424x x kx x x x k x x x +=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩＋k有唯一解、无解、有无穷个解？在有解时求出其全部解. 14．已知234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8),(1,1,3,5).a a b ===-+=+=+1ααααβ（1）a 、b 为何值时，β不能表示为234,1αααα，，的线性组合？（2）a 、b 为何值时，β可表示为234,1αααα，，的线性组合？并写出该表示式. 15. 已知下列线性方程组1234124123413412334526(1)41;(2)2113321x mx x x x x x x x x x nx x x x x x x x t +--=-+-=-⎧⎧⎪⎪---=--=-⎨⎨⎪⎪--=-=-+⎩⎩(1) 求出方程组(1)的通解;(2) 当(2)中的参数m 、n 、t 为何值时，方程组(1)与(2)同解？第四章参考解答4.4.1 基础练习：1. （D ）提示：由题设知，1122211222m m m m m k k k λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+11αβαβαβαβαβαβ（+）+（+）++（+）+（-）+（-）+（-）=m 0又知12m 12m k k k λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，不全为零， 122122m m m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11αβαβαβαβαβαβ＋，＋，，＋，-，-，，-线性相关.2.（D ）提示：设向量组12s ⋅⋅⋅αααA ：，，,：向量组t B ⋅⋅⋅12ββ,β：，， ⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A O CB B （因向量组A 可被向量组B 表示），则()()()R R R r ===A B C ，所以AB ，故选（D ）3.（C ）提示：因0A ＝，则()4R <A ，A 经初等列变换化为阶梯阵B ，B 必有零列，该列就是其余列的线性组合.4.（B ）提示：m n >时，n m ≤<A R ()，又≤AB A R ()R ()，则AB R ()<m ，AB 为降阶方阵，所以0AB ＝.5.（A ）提示：1β由可由231ααα，，线性表示知12233λλλ11βααα＝＋＋，那么42233()2233122r k r r r K λλλβββ-++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111ααααA B αα 又231ααα，，线性无关，且2β不能由231ααα，，线性表示，则A B R ()=R ()=4，即2312k +1αααββ，，，线性无关.这个结论肯定了（A ）而排除了（B ）,对条件（C ）,取k =0即与题设矛盾，可排除. 对于（D ）,取k =1时与（A ）中k =1相同，已知（A ）正确，从而否定（D ）. 6.（B ）7. 0abc ≠.提示：231ααα，，线性无关230⇔≠1ααα，，，即0000a cbc a b≠，由此求得0abc ≠.8. 向量组的秩为2. 提示：因为234123412341234234501230123345602460000456703690000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1αααα－－－－－－＝－－－－－－9. t =3. 提示：2312111211121120t 004t 2204t 2204520452003t 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1ααα－－－＝－＋－－＋－－－－－－向量组的秩为22t ⇔＝ 10. a ＝－1. 提示：1221a 21212a 3,2a 312a 2130413a 43a 413a 31⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A αAααB －aa 0a ＝＝＋（，）＝＋＋＋＋＋a =-1时，010101R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B A ααB －＝，（，）＝R ()=1<2（向量个数），则A α与α线性相关. 11. V 的维数是2，它的基()()21αα＝1,2,0,＝0,0,1.向量α的坐标是（3，－4）.提示：对V 中任意向量()()(),2,x x y x y x ==1,2,0+0,0,1，向量()(),1,2,00,0,1线性无关.12. 12k ≠. 13. 秩为3，125ααα,,是它的一个极大线性无关组. 14. 12331022βααα＝＋－. 15. 基础解系为(0,0,0,1,1)T=ξ，通解为(0,0,0,,)Tk k k ==x ξ（k 为任意常数）. 16. (8,0,0,3)T=--x4.4.2 提高练习：1. 解设有数1234,,,x x x x ，使11223344x x x x +++=ααααβ即 123411111111110112101121,(,)2324300103518500010x x x a b a b x a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪⎪+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A β （1）当a ＝－1，b 时，方程组无解，此时β不能表示为1234,,,αααα的线性组合；（2）当a ＝－1，b 时，方程组有唯一的解，此时β有1234,,,αααα的唯一线性表示，求解线性方程组12342344321341234121b ,0,,(1)(1)0b 0x x x x x x x x x x x a x b a x +++=⎧⎪-+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩+++βααααa+b+1-2b 解出＝，＝＝＝a+1a+1a+1-2b a+b+1＝a+1a+1a+1.2. 解：反证法：若110r r k k ++=αα 至少有一个0i k =，那么11111100i i i i r r k k k k --++++++==αααα，由于r -1个向量是线性无关的，必有1110i i r k k k k -+======，这样，12,,,r ααα线性无关，与假设矛盾.3. 提示：利用过渡矩阵可逆.4. 提示：1231210023(,,,,)010*******⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭αααββ初等变换123,,ααα与123,,e e e 等价，则123,,ααα是3R 的一个基，并且 1123212333+βαααβααα＝2－，＝3－－2.5. ()()1123123312,,,,111203-⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭C αααβββ6. 提示：只需证()()R R R ⎛⎫== ⎪⎝⎭A AB B ， 012123135012210000123000101000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A CB ,所以()()2R R R ⎛⎫===⎪⎝⎭A AB B ，A B ,由此V 1= V 2. 7. 解：()12341234(,,,),,,=e e e e εεεεC1）()1123412120001,,,14240101-----⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭C εεεε; 2）设α在基（2）下的坐标为1234,,,l l l l ，已知α在基（1）下的坐标为()()1234,,,1,1,1,0k k k k =-，根据坐标变换公式11223344121210000110142411010101l k l k l k l k ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 所以α在基（2）下的坐标为0，0，-1，1. 3) 13432=+-βεεε在基（1）下的坐标112213344121238000101142423010110k l k l k l k l ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 所以，β在基（1）下的坐标是-8，1，3，0.4）设由基（2）到基（3）的过渡矩阵为Q ，它可以认为是由基（2）到基（1）（过渡矩阵C ），再由基(1)到基(3)的变换，设由基(1)到基(3)的过渡矩阵为G ，则()()12341234,,,,,,==ηηηηe e e e G G ，于是由基(2)到基(3)的过渡矩阵为()12341212202168512000111131222,,,1424021110161223010112222335---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q CG C ηηηη.8. 提示：已知12,,,n ααα线性无关，则1212120,0n n n ≠=≠αααP αααPαPαPα，所以0≠P9. 提示：()123⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭ααα139,,012000，则()1232R =ααα,,且12αα,为一个最大无关组 ()1231211013003a b ⎛⎫⎪ ⎪⎪→ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭βββ,,，因()123123(,,)2R R ==βββααα,,，则03a b -=，即3a b =，又3β可由向量组（2）线性表示，即可由最大无关组12αα,线性表示，那么123131302010*********0103b b b b b===--=--ααβ，则5,15b a ==.10. 提示： 1)()()()2322232000103012==-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭AP Ax A x A x Ax A x Ax A x x Ax A x PB，故000103012⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B2) 由111,---+=+A =PBP A I PBPPP ，所以 1001134011+=+==--A I B I11. 提示： 2222231111111011110021λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→---⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭B （1）有唯一解21λ⇔≠－，，这时唯一解为 ()2111,,222x x x λλλλλ++=-==+++123. （2） 2λ=－时无解.（3） 1λ＝有无穷多解，这时通解为 12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ＝（k 1，k 2为任意常数）.12.提示：（1）β可由123ααα，，线性表示()123⇔=αααx β，，有唯一解0λ⇔≠，且11 / 1111 / 11 3λ≠－；（2）β可由123ααα，，线性表示，但表达式不唯一()123⇔=αααx β，，有无穷多解0λ⇔＝；（3）β不能由123ααα，，线性表示()123⇔=αααx β，，无解3λ⇔＝－13. 提示：（1）1,4k ≠-时，有唯一解 221232242,,111k k k k k x x x k k k+++-===+++；（2）k ＝1时，无解；（3） k =4时有无穷多解，全部解为 034101k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x （k 为任意常数）. 14. 提示：设234(,,,)=1A αααα，则本题是要求a 、b 为何值时，=Ax β有解和无解.（1）1a =-且0b ≠时，β不能由1234αααα，，，线性表示；（2）1a ≠- 时，β可由1234αααα，，，唯一线性表示 1234b 1011a b b a a +++++++βαααα－2＝a +1；当1a =-且0b =时，β可由1234αααα，，，线性表示为1234(12)++-++βαααα121212＝(-2c +c )c c c c （,12c c 为任意常数）15. 提示：先求出（1）的解，然后代入（2），定出m 、n 和t 的值1）(2,4,5,0)(1,1,2,1)T T k =---+x ； 2）将(2,4,5,0)T---代入（2），得关于m 、n 和t 的线性方程组 2455451151m n t --+=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=-+⎩解之得2,4,6m n t ===当2,4,6m n t ===时，（2）的系数矩阵的秩等于（1）的系数矩阵的秩，都是2，则基础解系含一个向量，可由验证（1）的基础解系()T1,1,2,1也是（2）的基础解系. 所以（1）与（2）是同解方程组.。

线性代数习题册(第四章向量组的线性相关性参考答案)

r4 − r2

0
5
2
0 0 2

0
0
2
8
6

r2
−
r3Leabharlann 0506 6
2
2

1 2 r2

0 0
0 0
1 0
2
4

3 1
0
0

1

0 →

0 0
6 1 0 0
0 0 1 0
3 2 5 3 0
4 4 5 1 0

注：整体无关，部分无关。
14. 设三阶行列式=D = aij 0 ，则（ A ）. ( A) D 中至少有一个行向量是其余行向量的线性组合；
(B) D 中每一个行向量都是其余行向量的线性组合；
(C ) D 中至少有两个行向量线性相关；
(D) D 中每一个行向量都线性相关.
分析：行列式为零，所以构成行列式的矩阵的行向量组一定线性相关，故至少有一个行向量可以由其他行向量线表示，从而知（A）是正确的。
β=3 α3 + α4 的秩为（ C ）.
( A) 1
(B) 2
(C ) 3
(D) 4
1 0 0
分析：
(
β1
,
β
2
,
β
3
)
=
(α1
,α
2
,
α
3
,
α
4
)

1 0
1 1
0

1

0 0 1

1 0 0 1 0 0
⇒
R ( β1 ,

第四章向量组的线性相关性

海南大学三亚学院《经济数学》（经管类）课程单元自测题第四章向量组的线性相关性第 1 页共 3 页分院专业班级姓名学号封装线一：填空题1、设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===, 则=-+32123v v v 。

2、已知,)2,0,2,1(,)1,2,3,1(TT--=-=βα 且βα32=+u , 则=u 。

3、若)1,2,2,1(2),4,3,2,1(32-=+=+βαβα, 则=α , =β 。

4、已知),3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t a a a ===线性相关, 则=t 。

5、若T T T c b a ),,(,)0,1,1(,)0,0,1(321===ααα是线性无关的, 则≠c 。

6、向量组T T T a a a )6,5,2(,)2,1,0(,)0,1,1(321-=-==是线性 (“相关”或“无关”) 。

7、一个向量线性相关的充分必要条件是它是。

8、两个向量线性相关的充分必要条件是它们的每一个分量。

9、设向量组A 的秩为r , 则A 的一个极大无关组中所含向量的个数为。

二：判断题：在正确的命题后面的括号内打(√),错误打(×)1、单个的非零向量必然线性相关。

( )2、一个线性相关的向量组增加若干个向量后仍线性相关。

( )3、已知T T T a a a )3,0,0(,)2,1,1(,)1,1,1(321==-=, 则321,,a a a 线性相关。

( )4、如果向量组n ααα ,,21线性无关, 则其中的每一个向量都不是其余向量的线性组合。

( )5、若向量组n ααα ,,21线性相关, 则1α可由 n αα,,2 线性表示。

( )6、矩阵的行向量组的秩与其列向量组的秩相等。

( )7、齐次线性方程组0=Ax 有两个解21,ξξ, 则2211ξξk k +仍是解。

( )8、若η是0=Ax 的解, ξ是b Ax =的解, 则ηξk + )(R k ∈是b Ax =的解。

向量组的线性相关性线性代数习题集

线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系专业班姓名学号第一节向量组及其线性组合第二节向量组的线性相关性一．选择题1．n维向量1,2,,s ( 1 0)线性相关的充分必要条件是[ D ](A)对于任何一组不全为零的数组都有k + k + +k =0(B)1,2,,s中任何j (j s)个向量线性相关 (C)设A=(1,2,,s)，非齐次线性方程组AX = B有唯一解(D)设A = (1,2,,s)，A的行秩 < s.2．若向量组, ,线性无关，向量组, ,线性相关，则[ C ](A)必可由,,线性表示(B)必不可由,,线性表示(C)必可由, ,线性表示(D)比不可由, ,线性表示二．填空题：1．设 1 = (1,1,0)T , 2 = (0,1,1)T , 3 = (3,4,0)T则 1 - 2 = (1,0, -1)T31+ 22-3= (0,1,2)T2．设3(1-) + 2(2+) = 5(3+)，其中1= (2,5,1,3)T，2= (10,1,5,10)T3= (4,1,-1,1)T，则= (1,2,3,4)T3．已知1= (1,1,2,1)T ,2= (1,0,0,2)T ,3= (-1,-4,-8,k)T线性相关，则k = 24．设向量组1= (a,0,c),2=(b,c,0),3= (0,a,b) 线性无关，则a,b,c满足关系式abc0计算题： 1．设向量1 =(+1,1,1) ，2 = (1,+1,1)T ，3 = (1,1,+1)T ，= (1,,1 2)T，试问当为何值时 (1) 可由1,2,3线性表示，且表示式是唯一？(2) 可由1,2,3线性表示，且表示式不唯一？(3)不能由1, 2,3线性表示？解因为1 +1 1 011 1+ 2(1,2,3,)=1 1+1⎯r⎯1r⎯3→11+ 111 1 +21+111 1 + 12rL → 0- -20 -(+ 3) (1- 2-2)1 1+1 2→ 0--2,0 0-(+3)(1-2-2)1 0且 -3时, R (, , ,) = R (,,) =3, 可由1,2,3线性表示,且表达式唯一;2= 0时, R (,, ,) = R ( , ,) =13, 可由1,2,3线性表示,但表达式不唯一; (3)当= -3时, R (, ,,) = 3 R (,,)=2, 不能由1,2,3线性表示.线性代数练习题第四章向量组的线性相关性系专业班姓名学号第三节向量组的秩一．选择题：1．已知向量组1,2,3, 4 线性无关，则下列向量组中线性无关的是[ C ]（A） + , +,+, +（B） - , - , - , -（C）1+2,2+3,3+4,4-1（D）1+2,2+3,3-4,4-1 2．设向量可由向量组1,2,,m线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：1,2,,m-1线性表示，记向量组（Ⅱ）：1,2,,m-1, ，则[ B ]（A）m不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示（B）m不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示（C）可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示（D）可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示3．设n维向量组1,2,,s的秩为3，则[ C ]（A）1,2,,s中任意3 个向量线性无关（B）1,2,,s中无零向量（C）1,2,,s中任意4个向量线性相关（D）1,2,,s中任意两个向量线性无关4．设n维向量组1, 2 ,,s的秩为r，则[ C ]（A）若r=s，则任何n维向量都可用1,2,,s线性表示（B）若s = n，则任何n维向量都可用1,2,,s线性表示（C）若r = n，则任何n维向量都可用1,2,,s线性表示（D）若s n，则r =n二．填空题：1．已知向量组1= （1,2,-1,1） ,2=（2,0,t,0）,3= （0,-4,5,-2）的秩为2，则t = 3 2．已知向量组1= （1,2,3,4），2= （2,3,4,5）， 3 = （3,4,5,6），4=（4,5,6,7），则该向量组的秩为22．向量组1= （a,3,1）T，2= （2,b,3）T，3= （1,2,1）T，4= （2,3,1）T的秩为2，则a = 2 b = 5计算题： 1．设1 = (3,1,1,5)T，2 = (2,1,1,4)T，3 = (1,2,1,3)T，4 = (5,2,2,9)T，= (2,6,2,d )T (1)试求1,2,3,4 的极大无关组 (2)d为何值时，可由1,2,3,4 的极大无关组线性表示，并写出表达式3 2 1 51 1 1 2解：(1)(1,2,3,4)= 1 1 2 2r⎯1r⎯3→1 12 21 1 1 23 2 1 55 4 3 954 3 91 1 1 21 1 1 2r 2-r 1⎯r⎯3 -3⎯r 1→0 0 1 0r 4-r 3 r 3(-1)0 0 1⎯r ⎯5-5⎯r →0 -1 -2 -10 1 21-1 -2 -10 0 011 1 2⎯r⎯2 r⎯3 →0 1 2 10 1 00 0 0因为R (1,2 ,3 ) = 3,则1,2 ,3线性无关，且4=1+2. 故1,2,3为1,2,3,4的一个极大无关组.3 2 1 23 2 1 23 2 1 2(2)1 12 6 r 4-r 1 r 4-r 2 1 1 2 6 r 3-r 2 r 4-r 31 12 6 1 1 1 2⎯⎯⎯→ r 4-r 31 1 12 ⎯⎯⎯→ 0 0 -1 -44 3 d0 -1 d -100 0 d - 6只有d =6时 R (1,2,3,) = R (1,2,3)=3, 即可由1,2,3,4的极大无关组1,2,3表示.3 2 1 20 -1 0 41 12 6 ⎯r⎯→ 1 0 0 2 0 0 -1 -4 ⎯⎯→ 00 -1 -40 0 0 00 0 0 所以 = 2 -4 +4.3．已知3阶矩阵A ，3维向量x 满足A 3 x = 3Ax - A 2 x ，且向量组x , Ax , A 2x 线性无关。

4第四章向量组的线性相关性习题解答

习题四A 组1 •填空题⑴设x =(2,3,7)T , y =(4,0,2)T , z = (1,0, 2)T,且2 X- a ) 3y a 扌，z 则a = ____________ •解由2(x -a) - 3(y a) = z得=15 'a =—2x -3y +z=—61-18」(2)单个向量：•线性无关的充分必要条件是______________ •解為-0•(3)已知向量组：•= (1, 0,1) ■= (2, 2,3), : ^(1, 3,t)线性相关，则__________________相关.a - -1选择题(A) 存在一组全为零的数 k 1, k 2,|l( , k s ,使 k r 1 k 2： 2 丨1( ■ k s ： s = 0 ; (B) 存在一组不全为零的数 k 1,k 2,|l(,k s ，使k ；-1 - k^^\人»= 0 ; (C) a 1, a 2 JU , a s 中任意两个向量都线性无关;匕 +口广1 1 0¥务、1 1 0(1 1 0、解因为5+^3 = 0 11卜2 ,又 0 1 1 =2老,所以矩阵0 1 1«^«1」0 1人1 0 10 b可逆，从而■1 1 0④ +a 2a2 = 0 1 103丿<1 0 h03 +% J：3»11 0 11 0 0= 2 2 3 = 2 2 1 «31 3 t1 3 t -15=2t -5 =0，所以 t 二一2(4)设有向量组又:---——、，】、= '---2^- 2、，则向量组：••,〉、,「；线1'可由-1,j 线性表示，所以：'1, ：'2, ：'3的秩小于等于 2,从而可知：'1, ：' 2, ■■ 3线性若向量组 —，〉、，〉线性相关，则向量组即：'1, ：'2, ：'3 与 M >2, >2*3,->1 等价.故 >1*2 , ：' 2 *3, >3：'1 线性相关.设行向量组(2,1,1,1), (2,1,a,a), 1 a =2设向量组(3,2,1, a), (4,3,2,1)线性相关，且(8)设三阶矩阵「1 p a, 0 c ：，2 耳b c , 0,3,令 a 线性无关，则a, b, c 必满足关系-2维列向量a = (a,1,1/ .已知A 与〉线性相关，则(1)n 维向量组 a 1, a2^1, a s (3 < s w n)线性无关的充分必要条件是解因为(D) a i, a2, |l(, a s中任意一个向量都不能由其余向量线性表示.答(D ). G1,鱼，川，O s线性相关的充分必要条件是：。

第四章向量组的线性相关性目标测试题(参考答案)

第四章向量组的线性相关性目标测试题（参考答案）一、填空题.1.设向量组α1=(a ,0,c ),α2=(b ,c ,0),α3=(0,a ,b )线性无关，则a ,b ,c 必满足关系式abc ≠0.2.已知向量组α1=(2,1,3,-1),α2=(3,-1,2,0),α3=(4,2,6,-2),α4=(4,-3,1,1)，则该向量组的秩为___2__.⎛12-2⎫⎛a ⎫ ⎪ ⎪3.设三阶矩阵A = 212⎪，三维向量α= 1⎪，若向量A α与α线性相关，则a =-1．304⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭4.已知向量组α1=(1,2,-1,1)T ,α2=(2,0,t ,0)T ,α3=(0,-4,5,-2)T 的秩为2，则t ＝3．5.设α1,α2,α3线性无关，问k =__1_时，α2-α1,k α3-α2,α1-α3线性相关.6．设η1,η2,ηs为非齐次线性方程组Ax =b 的解，若k 1η1+k 2η2+，k s应满足条件k 1+k 2++k s ηs也是方程组Ax =b 的解，则k 1，k 2，+k s=1.二、选择题.1．设有向量组α1=(1,-1,2,4),α2=(0,3,1,2),α3=(3,0,7,14),α4=(1,-2,2,0),α5=(2,1,5,10),则该向量组的最大线性无关组(B ).(A )α1,α2,α3,(B )α1,α2,α4,(C )α1,α2,α5, (D )α1,α2,α4,α5．2.设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组线性相关的是(C ).(A )α1+α2,α2+α3,α3+α1, (B )α1,α1+α2,α1+α2+a 3,(C )α1-α2,α2-α3,α3-α1, (D )α1+α2,2α1+α3,3α3+α1.3．设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β1可由α1,α2,α3线性表示，而β2不能由α1,α2,α3线性表示，则对任意常数k ，必有（A ）．（A）α1,α2,α3,k β1+β2线性无关；（B）α1,α2,α3,k β1+β2线性相关；（C）α1,α2,α3,β1+k β2线性无关；（C）α1,α2,α3,β1+k β2线性相关．4 .设α1=(1,0,0)T ,α2=(0,0,1)T ，则β＝（B ）时，β可由α1,α2线性表示．（A）(2，0，0)（B）（3，0，4）（C）（1，1，0）（D）（0，1，0）5.下列命题正确的是(D ).(A )对于向量组α1,α2, ,αs，若有不全为零的数组k 1,k 2, ,k s ，使得k 1α1+k 2α2+ +k sαs≠0，则α1,α2, ,αs线性无关,(B )对于向量组α1,α2, ,αs，若有不全为零的数组k 1,k 2, ,k s ，使得k 1α1+k 2α2+ +k sαs=0，则α1,α2, ,αs线性无关,(C )若向量组α1,α2, ,αs线性相关，则其中每个向量都可由其余向量线性表示,(D )任何n +1个n 维向量必线性相关.T T T 6.设α1=(1,2,1),α2=(0,5,3),α3=(2,14,8)，则向量组α1,α2,α3的秩是（C）（A）0（B）1（C）2（D）37．设A 为m ⨯n 矩阵，且r (A )=n -1，α1,α2是Ax =0的两个不同的解向量，k 为任意的常数，则Ax =0的通解为（C）（A）k α1（B）k α2(C)k (α1-α2) (D)k (α1+α2)三、计算题.1．设α=(2,1,-2),β=(-4,2,3),γ=(-8,8,5)，求数k 使得T T T 2α+k β=γ．(k =3)≠4)=4)2.设α1=(1,1,2),α2=(1,2,3),α3=(1,3,t ).(1)当t 为何值时，α1,α2,α3线性无关. (t(2)当t 为何值时，α1,α2,α3线性相关. (t(3)当α1,α2,α3线性相关时，将α3用α1,α2线性表示. (α3=2α2-α1)3.求向量组α1=(3,1,2,1),α2=(-6,4,-1,-5),α3=(-7,-1,-3,-4),α4=(3,2,1,2)的一个最大无关组，并用最大无关组表示其余向量.313（α1,α2,α3;α4=-α1+α2-α3.）2224.确定常数a 和b 使得α1=(1,0,-1,2),α2=(2,-1,3,a ),α3=(1,-2,b ,0)线性相关.(a =3,b =9.)5．设α1,α2,α3线性无关，问当h ,k 满足什么条件时，h α2-α1,k α3-α2,α1-α3也线性无关．(hk ≠1.)6．设t 1,t 2,t 3为互不相等的常数，讨论向量组2T 2T α1=(1,t 1,t 12)T ,α2=(1,t 2,t 2),α3=(1,t 3,t 3)的线性相关性.（线性无关）7.已知非齐次线性方程组⎧x 1+x 2-2x 3+3x 4=0，⎪2x +x -6x +4x =-1，⎪1234⎨3x +2x +ax +7x =-1，234⎪1⎪⎩x 1-x 2-6x 3-x 4=b .讨论参数a ，b 取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解.（（1）当b ≠-2时，r (B )≠r (A )，方程组无解；（2）当b =-2时，r (B )=r (A )，方程组有解,(a)若a =-8，原方程组的通解为⎛-1⎫⎛4⎫⎛-1⎫ ⎪ ⎪ ⎪1-2-2⎪* ⎪ ⎪ x =η+c 1ξ1+c 2ξ2=+c +c，（c 1,c 2∈ 0⎪1 1⎪2 0⎪⎪ ⎪ ⎪00⎝⎭⎝⎭⎝1⎭）.(b)若a ≠-8，原方程组的通解为⎛-1⎫⎛-1⎫⎪ ⎪1-2*x =η+c ξ= ⎪+c⎪，（c ∈ 0⎪ 0⎪ ⎪ ⎪⎝0⎭⎝1⎭）.）四、证明题.1.设有向量组α1,α2,,αm(m >1),且β1=α2+α3+ +αm ,β2=α1+α3+ +αm ,βm =α1+α2+ +αm -1.证明：当向量组β1,β2, ,βm线性无关时，向量组α1,α2, ,αm也线性无关.2.证明，对任意实数a ，向量组α1=(a ,a ,a ,a )T ,α2=(a ,a +1,a +2,a +3)T ,α3=(a ,2a ,3a ,4a )T线性相关．3．设A 为m ⨯n 矩阵，η1，η2为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同解，证明：向量组η1，η1-η2线性无关.。

《线性代数》向量组的线性相关性精选习题及解答

{ } L = x = λ1a1 + λ2a2 +L + λmam λ1, λ2 ,L, λm ∈ R
3
4．基设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1 , a2 ,L , ar ∈V ，且满足
① a1 , a2 ,L , ar 线性无关； ② V 中任何一向量都可由 a1 , a2 ,L , ar 线性表示，那
5 ．定理 2 向量组 b1,b2 ,L,bl 能由向量组 a1, a2,L, am 线性表示的充要条件是
R(a1, a2 ,L, am ) = R(a1,L, am , b1,L, bl ) .
4.2.4 线性方程组的解的结构
1．对齐次线性方程组
AX = 0
⎛ a11
的坐标. 4.2.6 基变换公式与坐标变换公式
1．设向量组 a1, a2 ,L, an 与 b1, b2 ,L, bn 是 V 的两组基，且有
(b1, b2 ,L, bn ) = (a1, a2 ,L, an ) A
其中
⎛ a11 a12 L a1n ⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜
a21 M
a22 M
L
a2n
⎟ ⎟
α1, α2 , α3 线性表示 β .
解：设 β = x1α1 + x2α2 + x3α3 ，即
求解上述方程组，方程组的增广矩阵为
⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜⎜1⎟⎟
x1
+
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
x2
+
⎜ ⎜
3 ⎟⎟
x3
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜⎝1⎟⎠ ⎜⎝ 4⎟⎠ ⎜⎝ 9⎟⎠ ⎜⎝ 3⎟⎠

线性代数习题[第四章] 向量组的线性相关性

习题 4-1 向量组的线性相关性1．向量组12,,,s ααα（s ≥2）线性无关的充分条件是。

a ．12,,,s ααα均不是零向量； b ．12,,,s ααα中任意两个向都不成比例；c ．12,,,s ααα中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量表示；d ．存在12,,,s ααα的一个部分组是线性无关的。

2．如果向量β可由向量组s ααα,,,21 线性表示，则a ．存在一组不全为0的数s i k i ≤≤1,，使得i s i i k αβ∑==1成立； b ．对β的线性表示式不唯一；c ．向量组s ααβ ,,1是线性相关；d ．存在一组全为0的数s i k i ≤≤1,，使得isi i k αβ∑==1成立。

3．设向量组)1,0,0(),0,0,1(21==αα，当=β 时，β能由21,αα线性表示。

a ．（2，0，0），（3-，0，4）；b ．（2，0，0），（1，1，0）；c ．（3-，0，4），（1，1，0）；d ．（2，0，0），（0，1-，0）。

4．设向量组γβα,,线性无关而δβα,,线性相关，则。

a ．α必可由δγβ,,线性表示；b ．β必不可由δγα,,线性表示；c ．δ必不可由γβα,,线性表示；d ．δ必可由γβα,,线性表示。

5．设向量组321,,ααα线性无关，则向量组线性无关。

a ．133221,,αααααα-++；b ．32132212,,ααααααα++++；c ．1332213,32,2αααααα+++；d ．321321321553,2232,ααααααααα-++-++.6. 设)(5)(2)(3321αααααα+=++-，其中)0,1,5,2(1=α， )1,1,1,4(),10,5,1,10(32-==αα，试求α。

7. 判断下列向量组的线性相关性。

(1) T T T T )1,0,1,0(,)1,1,0,0(,)0,1,0,1(,)0,0,1,1(4321====αααα(2) T T T T )2,0,0,0(,)1,1,0,0(,)4,0,0,1(,)0,0,1,1(4321====αααα8. 设321,,ααα线性无关，讨论133221,,αααααα---线性相关性。

线性代数课后习题答案04

第四章向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3⨯1+2⨯0-3, 3⨯1+2⨯1-4, 3⨯0+2⨯1-0)T =(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61T T T --+==(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.解因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0, 由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=, 设211λλλ+-=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. 解不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示.解设a 1=e 1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0), a 2=a 3= ⋅ ⋅ ⋅ =a m =0, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示. (2)若有不全为0的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0成立, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性相关. 解有不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0,原式可化为λ1(a 1+b 1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm (a m +b m )=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,⋅⋅⋅,a m=e m=-b m,其中e1,e2,⋅⋅⋅,e m为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,⋅⋅⋅,a m和b1,b2,⋅⋅⋅,b m均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0才能成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性无关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式由λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,a m+b m线性无关.取a1=a2=⋅⋅⋅=a m=0,取b1,⋅⋅⋅,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关.(4)若a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m=0,λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0同时成立.解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,λ1a1+λ2a2 =0⇒λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2 =0⇒λ1=-(3/4)λ2,⇒λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3, b4线性相关.证明由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3 =b 1-b 2+b 3-a 4 =b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ⋅ ⋅ ⋅, b r =a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a r , 且向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关. 证明已知的r 个等式可以写成⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7). 解由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~rr r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211. 解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221113142~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------22201512015120122112343~r r r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5200111031116110111031113111332221) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.16. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法一记A =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ), E =(e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使E =AK .两边取行列式, 得|E |=|A ||K |.可见|A |≠0, 所以R (A )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法二因为e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 所以R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )≤R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ),而R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )=n , R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )≤n , 所以R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.17. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n 维向量都可由它们线性表示.证明必要性: 设a 为任一n 维向量. 因为a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关,而a1,a2,⋅⋅⋅,a n,a是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,且表示式是唯一的.充分性:已知任一n维向量都可由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,⋅⋅⋅,e n能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,于是有n=R(e1,e2,⋅⋅⋅,e n)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)≤n,即R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)=n,所以a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关.18.设向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量a k (2≤k≤m),使a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.证明因为a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,所以存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm,使λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λm a m=0,而且λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm不全为零.这是因为,如若不然,则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k(2≤k≤m),使λk≠0,λk+1=λk+2=⋅⋅⋅=λm=0,于是λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk a k=0,a k=-(1/λk)(λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk-1a k-1),即a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.19.设向量组B:b1,⋅⋅⋅,b r能由向量组A:a1,⋅⋅⋅,a s线性表示为(b1,⋅⋅⋅,b r)=(a1,⋅⋅⋅,a s)K,其中K为s⨯r矩阵,且A组线性无关.证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.证明令B=(b1,⋅⋅⋅,b r),A=(a1,⋅⋅⋅,a s),则有B=AK.必要性: 设向量组B 线性无关.由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有 r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r . 因此R (K )=r .充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使⎪⎭⎫⎝⎛=O E KC r 为K 的标准形. 于是(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )C =( a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )KC =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r ).因为C 可逆, 所以R (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=R (a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r )=r , 从而b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 线性无关.20. 设⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-1321312321 n n nn ααααβαααβαααβ, 证明向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价. 证明将已知关系写成⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为0)1()1(0111101*********||1≠--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ;解因为AP =A (x , A x , A 2x )=(A x , A 2x , A 3x )=(A x , A 2x , 3A x -A 2x )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110301000) , ,(2x x x A A , 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110301000B . (2)求|A |.解由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3, |A |=0. 22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A , 于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x . 解对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A , 于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .(3)nx 1 +(n -1)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +2x n -1+x n =0.解原方程组即为x n =-nx 1-(n -1)x 2- ⋅ ⋅ ⋅ -2x n -1.取x 1=1, x 2=x 3= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-n ;取x 2=1, x 1=x 3=x 4= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-(n -1)=-n +1;⋅ ⋅ ⋅ ;取x n -1=1, x 1=x 2= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -2=0, 得x n =-2.因此方程组的基础解系为ξ1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n )T ,ξ2=(0, 1, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n +1)T ,⋅ ⋅ ⋅,ξn -1=(0, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 1, -2)T .23. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛--=82593122A , 求一个4⨯2矩阵B , 使AB =0, 且 R (B )=2.解显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=8/118/5108/18/101 82593122~rA , 所以与方程组AB =0同解方程组为⎩⎨⎧+=-=432431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(8, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 5)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 8)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 11)T .方程组AB =0的基础解系为ξ1=(1, 5, 8, 0)T , ξ2=(-1, 11, 0, 8)T .因此所求矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=800811511B .24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .解显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x , (k 1, k 2∈R ), 消去k 1, k 2得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.25. 设四元齐次线性方程组I : ⎩⎨⎧=-=+004221x x x x , II : ⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x . 求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解.解 (1)由方程I 得⎩⎨⎧=-=4241x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T .因此方程I 的基础解系为ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T .由方程II 得⎩⎨⎧-=-=43241x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T .因此方程II 的基础解系为ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T .(2) I 与II 的公共解就是方程III : ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-=+00004323214221x x x x x x x x x x 的解. 因为方程组III 的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000210010101001 1110011110100011~r A , 所以与方程组III 同解的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==-=4342412x x x x x x . 取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为 ξ=(-1, 1, 2, 1)T .因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .26. 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明R (A )+R (A -E )=n .证明因为A (A -E )=A 2-A =A -A =0, 所以R (A )+R (A -E )≤n . 又R (A -E )=R (E -A ), 可知R (A )+R (A -E )=R (A )+R (E -A )≥R (A +E -A )=R (E )=n ,由此R (A )+R (A -E )=n .27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明⎪⎩⎪⎨⎧-≤-===2)( 01)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当. 证明当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有|AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0,所以R (A *)=n .当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有AA *=|A |E =0,即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1. 当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故A *=O , 从而R (A *)=0.28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ; 解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1, η2, η3是它的三个解向量. 且η1=(2, 3, 4, 5)T , η2+η3=(1, 2, 3, 4)T ,求该方程组的通解.解由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T为其基础解系向量, 故此方程组的通解:x =k (3, 4, 5, 6)T +(2, 3, 4, 5)T , (k ∈R ).30. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T , 及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时(1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一;(3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++---βαβαα34001110121 ~r . (1)当α=-4, β≠0时, R (A )≠R (A , b ), 此时向量b 不能由向量组A 线性表示.(2)当α≠-4时, R (A )=R (A , b )=3, 此时向量组a 1, a 2, a 3线性无关, 而向量组a 1, a 2, a 3, b 线性相关, 故向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一.(3)当α=-4, β=0时, R (A )=R (A , b )=2, 此时向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一.当α=-4, β=0时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1105402111421) , , ,(123b a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000013101201 ~r , 方程组(a 3, a 2, a 1)x =b 的解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c c c x x x 1312011132321, c ∈R . 因此 b =(2c +1)a 3+(-3c -1)a 2+c a 1,即 b = c a 1+(-3c -1)a 2+(2c +1)a 3, c ∈R .31. 设a =(a 1, a 2, a 3)T , b =(b 1, b 2, b 3)T , c =(c 1, c 2, c 3)T , 证明三直线 l 1: a 1x +b 1y +c 1=0,l 2: a 2x +b 2y +c 2=0, (a i 2+b i 2≠0, i =1, 2, 3)l 3: a 3x +b 3y +c 3=0,相交于一点的充分必要条件为: 向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333222111c y b x a c y b x a c y b x a , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+333222111c y b x a c y b x a c y b x a 有唯一解. 上述方程组可写为x a +y b =-c . 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c 能由a , b 唯一线性表示, 而c 能由a , b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关. 32. 设矩阵A =(a 1, a 2, a 3, a 4), 其中a 2, a 3, a 4线性无关, a 1=2a 2- a 3. 向量b =a 1+a 2+a 3+a 4, 求方程A x =b 的通解.解由b =a 1+a 2+a 3+a 4知η=(1, 1, 1, 1)T 是方程A x =b 的一个解. 由a 1=2a 2- a 3得a 1-2a 2+a 3=0, 知ξ=(1, -2, 1, 0)T 是A x =0的一个解. 由a 2, a 3, a 4线性无关知R (A )=3, 故方程A x =b 所对应的齐次方程A x =0的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1, -2, 1, 0)T 是方程A x =0的基础解系.方程A x =b 的通解为x =c (1, -2, 1, 0)T +(1, 1, 1, 1)T , c ∈R .33. 设η*是非齐次线性方程组A x =b 的一个解, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r ,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明:(1)η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关;(2)η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r线性无关.证明(1)反证法, 假设η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关.因为ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,而η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关,所以η*可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r 线性表示,且表示式是唯一的,这说明η*也是齐次线性方程组的解,矛盾.(2)显然向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r与向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r可以相互表示,故这两个向量组等价,而由(1)知向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,所以向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r也线性无关.34.设η1,η2,⋅⋅⋅,ηs是非齐次线性方程组A x=b的s个解,k1,k2,⋅⋅⋅,k s 为实数,满足k1+k2+⋅⋅⋅+k s=1. 证明x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是它的解.证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηs都是方程组A x=b的解,所以Aηi=b (i=1, 2,⋅⋅⋅,s),从而A(k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs)=k1Aη1+k2Aη2+⋅⋅⋅+k s Aηs=(k1+k2+⋅⋅⋅+k s)b=b.因此x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是方程的解.35.设非齐次线性方程组A x=b的系数矩阵的秩为r,η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1, (其中k1+k2+⋅⋅⋅+k n-r+1=1).证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1均为A x=b的解,所以ξ1=η2-η1,ξ2=η3-η1,⋅⋅⋅,ξn-r=η n-r+1-η1均为A x=b的解.用反证法证:ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.设它们线性相关,则存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn-r,使得λ1ξ1+λ2ξ2+⋅⋅⋅+λ n-rξ n-r=0,即λ1(η2-η1)+λ2(η3-η1)+⋅⋅⋅+λ n-r(ηn-r+1-η1)=0,亦即-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)η1+λ1η2+λ2η3+⋅⋅⋅+λ n-rηn-r+1=0,由η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1线性无关知-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)=λ1=λ2=⋅⋅⋅=λn-r=0,矛盾.因此ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r为A x=b的一个基础解系.设x为A x=b的任意解,则x-η1为A x=0的解,故x-η1可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表出,设x-η1=k2ξ1+k3ξ2+⋅⋅⋅+k n-r+1ξn-r=k2(η2-η1)+k3(η3-η1)+⋅⋅⋅+k n-r+1(ηn-r+1-η1),x=η1(1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1)+k2η2+k3η3+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.令k1=1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1,则k1+k2+k3⋅⋅⋅-k n-r+1=1,于是x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.36.设V1={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=0},V2={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=1},问V1,V2是不是向量空间？为什么？解V1是向量空间,因为任取α=(a1,a2,⋅ ⋅ ⋅,a n)T∈V1,β=(b1,b2,⋅ ⋅ ⋅,b n)T∈V1,λ∈∈R,有a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n=0,b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n=0,从而(a1+b1)+(a2+b2)+⋅ ⋅ ⋅ +(a n+b n)=(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=0,λa 1+λa 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λa n =λ(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )=0,所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∈V 1,λα=(λa 1, λa 2, ⋅ ⋅ ⋅, λa n )T ∈V 1.V 2不是向量空间, 因为任取α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1,有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =1,b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =1,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n )=(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=2,所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∉V 1.37. 试证: 由a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 0, 1)T , a 3=(1, 1, 0)T 所生成的向量空间就是R 3.证明设A =(a 1, a 2, a 3), 由02011101110||≠-==A , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3是三维空间R 3的一组基, 因此由a 1, a 2, a 3所生成的向量空间就是R 3.38. 由a 1=(1, 1, 0, 0)T , a 2=(1, 0, 1, 1)T 所生成的向量空间记作V 1,由b 1=(2, -1, 3, 3)T , b 2=(0, 1, -1, -1)T 所生成的向量空间记作V 2, 试证V 1=V 2. 证明设A =(a 1, a 2), B =(b 1, b 2). 显然R (A )=R (B )=2, 又由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000000013100211 1310131011010211) ,(~r B A , 知R (A , B )=2, 所以R (A )=R (B )=R (A , B ), 从而向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价. 因为向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价, 所以这两个向量组所生成的向量空间相同, 即V 1=V 2.39. 验证a 1=(1, -1, 0)T , a 2=(2, 1, 3)T , a 3=(3, 1, 2)T 为R 3的一个基, 并把v 1=(5, 0, 7)T , v 2=(-9, -8, -13)T 用这个基线性表示. 解设A =(a 1, a 2, a 3). 由06230111321|) , ,(|321≠-=-=a a a , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3为R 3的一个基. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 1, 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=2, x 2=3, x 3=-1, 故线性表示为v 1=2a 1+3a 2-a 3. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 2, 则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=3, x 2=-3, x 3=-2, 故线性表示为v 2=3a 1-3a 2-2a 3.40. 已知R 3的两个基为 a 1=(1, 1, 1)T , a 2=(1, 0, -1)T , a 3=(1, 0, 1)T , b 1=(1, 2, 1)T , b 2=(2, 3, 4)T , b 3=(3, 4, 3)T . 求由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵P . 解设e 1, e 2, e 3是三维单位坐标向量组, 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a , 1321321111001111) , ,() , ,(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a e e e , 于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=341432321) , ,() , ,(321321e e e b b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-341432321111001111) , ,(1321a a a , 由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1010104323414323211110011111P .。

线性代数的向量组习题答案

线性代数的向量组习题答案线性代数的向量组习题答案在学习线性代数的过程中，向量组是一个非常重要的概念。

向量组的性质和运算规则是我们理解线性代数的基础。

在这篇文章中，我将为大家提供一些线性代数中常见的向量组习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。

1. 向量组的线性相关性题目：判断以下向量组是否线性相关：(a) { (1, 2), (3, 4), (5, 6) }(b) { (1, 2), (2, 4), (3, 6) }(c) { (1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9) }答案：(a) 这个向量组是线性相关的，因为第三个向量可以由前两个向量线性表示，即(5, 6) = 2(1, 2) + (-1)(3, 4)。

(b) 这个向量组是线性相关的，因为第三个向量可以由前两个向量线性表示，即(3, 6) = 3(1, 2)。

2. 向量组的线性无关性题目：判断以下向量组是否线性无关：(a) { (1, 0), (0, 1), (1, 1) }(b) { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1) }(c) { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0) }答案：(a) 这个向量组是线性无关的，因为无法找到非零的标量使得它们的线性组合等于零向量。

(b) 这个向量组是线性相关的，因为第四个向量可以由前三个向量线性表示，即(1, 1, 1) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (0, 0, 1)。

3. 向量组的秩题目：计算以下向量组的秩：(a) { (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9) }(b) { (1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9) }(c) { (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) }答案：(a) 这个向量组的秩为2，因为第三个向量可以由前两个向量线性表示，即 (7, 8,9) = 3(1, 2, 3) + (-2)(4, 5, 6)。

向量组的线性相关性和矩阵的秩练习题答案

第三章向量组的线性相关性和矩阵的秩（一）基本要求：（二）内容分析和教学指导（1）从解方程的过程引出所要解决的问题，每个方程对应于一个行向量，某个方程可由其它方程表示，则该方程可去掉，为无效方程。

这对应于讨论向量组中是否有某个向量可由其它向量线性表示，即向量的线性相关性问题。

去掉无效方程后的方程求解，需要确定自由未知量和保留未知量，涉及最后的方程系数行列式不等于零的问题（2）向量的线性运算及其性质，和矩阵的运算相对应。

（3）向量线性相关性的定义和判断：线性相关性定义使用于理论证明，把相关性问题转化为向量方程（即方程组）有无非零解的问题，而等价定义使相关性的含义更加明确。

为了加深相关性的定义，对与一个向量，两个向量和三个向量线性相关的几何意义加以强调：单个零向量是线性相关的，两个向量相关是指两个向量共线，三个向量相关是共面。

通过利用相关性定义来判断向量组线性相关，重点培养学生的利用概念分析判断，进行逻辑推理的能力。

定义理解中的误区：（1）定义中的系数是独立的，（2）非零组合系数是相对向量组的，不同向量组对应的系数可能不同，（3）向量组线性相关则至少有一个向量可以由其它向量线性表示，至于是那一个向量是依赖于具体的向量组，并不是每个向量都可由其它向量变来表示。

列向量组的线性相关性和线性表示的矩阵表示，行向量组线性相关性和线性表示的矩阵表示。

重点是列向量组表示的矩阵形式。

（4）相关表示式的分量形式是理解相关性定理的基础和本质，一个分量对应一个方程，一个向量对应一个未知数。

用子式判断向量的线性相关性的方法，子式不等于对应于只有零解，对应于线性无关，子式等于零对应于有非零解，对应线性相关。

（5）最大无关组和矩阵的秩：重点理解矩阵秩的定义和含义，牢固建立矩阵和向量组的对应关系。

矩阵的秩等于行向量组的秩，等于列向量组的秩，就是非零子式的最高阶数。

掌握最高阶非零子式和向量组的最大无关组之间的对应关系，子式为零对应于线性相关，子式非零对应于线性无关。

第四章向量组的线性相关性测试题

第四章向量组的线性相关性测试题一、选择题1．下列向量组线性无关的是（）。

A. (1,-1,0,2)，(0,1,-1,1)，(0,0,0,0)； B. (a,b,c)，(b,c,d)，(c,d,a)，(d,a,b)； C. (a,1,b,0,0)，(c,0,d,1,0)，(e,0,f,0,1)； D. (1,2,1,5)，(1,2,1,6)，(1,2,3,7)，(0,0,0,1)。

2．设向量组1234,,,αααα线性无关，则下列向量组线性无关的是（）。

A. 12233441,,,;αααααααα---- B. 12233441,,,;αααααααα++++ C. 12233441,,,;αααααααα++-- D. 12233441,,,.αααααααα+--- 3．设向量组β可由向量组12,,,m ααα线性表示，但不能由向量组(I)：121,,,m ααα-线性表示，记向量组(II): 121,,,,m αααβ-，则( )。

A. m α不能由(I)线性表示，也不能由(II)线性表示；B. m α不能由(I)线性表示，但能由(II)线性表示；C. m α能由(I)线性表示，也能由(II)线性表示；D. m α能由(I)线性表示，但不能由(II)线性表示。

4. 设向量组 (I)：12,,,r ααα可由向量组(II)：12,,,s βββ线性表示，则（）。

A. 当 r<s 时，向量组(II)必线性相关；B. 当 r>s 时，向量组(II)必线性相关；C. 当 r<s 时，向量组(I)必线性相关；D. 当 r>s 时，向量组(I)必线性相关。

5. 下列向量组中，线性无关的是（）。

A. (1,2,3,4)，(4,3,2,1)，(0,0,0,0)；B. (a,b,c)，(b,c,d)，(c,d,e)，(d,e,f)；C. (a,1,b,0,0)，(c,0,d,2,3)，(e,4,5,5,6)；D. (a,1,2,3)，(b,1,2,3)，(c,4,2,3)，(d,0,0,0)。

线性代数第四章答案

线性代数第四章答案第四章向量组的线性相关性1 设v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T求v1v2及3v12v2v3解v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T(10 11 01)T(1 0 1)T3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T(31203 31214 30210)T(0 1 2)T2 设3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求a其中a1(2 5 1 3)Ta2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得(1 2 3 4)T3 已知向量组A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)TB b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示证明由知R(A)R(A B)3 所以B组能由A组线性表示由知R(B)2 因为R(B)R(B A) 所以A组不能由B组线性表示4 已知向量组A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)TB b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T证明A组与B组等价证明由知R(B)R(B A)2 显然在A中有二阶非零子式故R(A)2 又R(A)R(BA)2 所以R(A)2 从而R(A)R(B)R(A B) 因此A组与B组等价5 已知R(a1a2a3)2 R(a2a3a4)3 证明(1) a1能由a2a3线性表示(2) a4不能由a1a2a3线性表示证明 (1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由R(a1 a2a3)2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示(2)假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关(1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T(2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为所以R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为所以R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关7 问a取什么值时下列向量组线性相关？a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T解以所给向量为列向量的矩阵记为A由如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关（具体看书后相应答案）8 设a1a2线性无关a1b a2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解因为a1b a2b线性相关故存在不全为零的数12使(a1b)2(a2b)01由此得设则b c a1(1c)a2c R9 设a1a2线性相关b1b2也线性相关问a1b1a2b2是否一定线性相关？试举例说明之（也可看书后答案）解不一定例如当a1(1 2)T, a2(2 4)T, b1(1 1)T, b2(0 0)T时有a1b1(1 2)T b1(0 1)T, a2b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T而a1b1a2b2的对应分量不成比例是线性无关的10 举例说明下列各命题是错误的(1)若向量组a1a2a m是线性相关的则a1可由a2a m线性表示解设a1e1(1 0 0 0) a2a3a m0则a1a2a m线性相关但a1不能由a2a m线性表示(2)若有不全为0的数12m使a1m a m1b1m b m01成立则a1a2a m线性相关, b1b2b m亦线性相关解有不全为零的数12m使a1m a m 1b1m b m01原式可化为(a1b1) m(a m b m)01取a1e1b1a2e2b2a m e m b m其中e1e2e m为单位坐标向量则上式成立而a1 a2a m和b1b2b m均线性无关(3)若只有当12m全为0时等式a1m a m1b1m b m01才能成立则a1a2a m线性无关, b1b2b m亦线性无关解由于只有当12m全为0时等式由1a1m a m1b1m b m0成立所以只有当12m全为0时等式(a1b1)2(a2b2) m(a m b m)01成立因此a1b1a2b2a m b m线性无关取a1a2a m0取b1b m为线性无关组则它们满足以上条件但a1a2a m线性相关(4)若a1a2a m线性相关, b1b2b m亦线性相关则有不全为0的数12m使a1m a m0 1b1m b m01同时成立解a1(1 0)T a2(2 0)T b1(0 3)T b2(0 4)Ta12a2 01221b12b2 01(3/4)210 与题设矛盾1211 设b1a1a2b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1证明向量组b1b2b3b4线性相关证明由已知条件得a1b1a2a2b2a3 a3b3a4 a4b4a1于是a1 b1b2a3b1b2b3a4b1b2b3b4a1从而b1b2b3b40这说明向量组b1b2b3b4线性相关12 设b1a1b2a1a2b r a1a2 a r且向量组a1a2a r线性无关证明向量组b1b2b r线性无关证明已知的r个等式可以写成上式记为BAK因为|K|10 K可逆所以R(B)R(A)r从而向量组b1b2b r线性无关13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组(1)a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T a3(2 4 2 8)T解由知R(a1a2a3)2 因为向量a1与a2的分量不成比例故a1a2线性无关所以a1 a2是一个最大无关组(2)a1T(1 2 1 3) a2T(4 1 5 6) a3T(1 3 4 7)解由知R(a1T a2T a3T)R(a1a2 a3)2 因为向量a1T与a2T的分量不成比例故a1T a2T 线性无关所以a1T a2T是一个最大无关组14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组(1)解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组（关于14的说明：14题和书上的14题有些不同，答案看书后的那个）15 设向量组(a 3 1)T (2 b 3)T(1 2 1)T (2 3 1)T的秩为2 求a b解设a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T因为而R(a1a2a3a4)2 所以a2 b516 设a1a2a n是一组n维向量已知n维单位坐标向量e1e2e n 能由它们线性表示证明a1a2a n线性无关证法一记A(a1a2a n) E(e1e2e n) 由已知条件知存在矩阵K使EAK两边取行列式得|E||A||K|可见|A|0 所以R(A)n从而a1a2a n线性无关证法二因为e1e2e n能由a1a2a n线性表示所以R(e1e2e n)R(a1a2a n)而R(e1e2e n)n R(a1a2a n)n所以R(a1a2a n)n从而a1a2a n线性无关17 设a1a2a n是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示证明必要性设a为任一n维向量因为a1a2a n线性无关而a1a2a n a 是n1个n维向量是线性相关的所以a能由a1a2a n线性表示且表示式是唯一的充分性已知任一n维向量都可由a1a2a n线性表示故单位坐标向量组e1 e2e n能由a1a2a n线性表示于是有nR(e1e2e n)R(a1a2a n)n即R(a1a2a n)n所以a1a2a n线性无关18 设向量组a1a2a m线性相关且a10证明存在某个向量a k (2km) 使a k能由a1a2a k1线性表示证明因为a1a2a m线性相关所以存在不全为零的数12m使a12a2m a m01而且23m不全为零这是因为如若不然则1a10由a10知10 矛盾因此存在k(2km) 使0 k1k2m0k于是a12a2k a k01a k(1/k)(1a12a2k1a k1)即a k能由a1a2a k1线性表示19 设向量组B b1b r能由向量组A a1a s线性表示为(b1b r)(a1a s)K其中K为sr矩阵且A组线性无关证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)r证明令B(b1b r) A(a1a s) 则有BAK必要性设向量组B线性无关由向量组B线性无关及矩阵秩的性质有rR(B)R(AK)min{R(A) R(K)}R(K)及R(K)min{r s}r因此R(K)r充分性因为R(K)r所以存在可逆矩阵C使为K的标准形于是(b1b r)C( a1a s)KC(a1a r)因为C可逆所以R(b1b r)R(a1a r)r从而b1b r线性无关20 设证明向量组12n与向量组12n等价证明将已知关系写成将上式记为BAK因为所以K可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量组12n与向量组12n可相互线性表示因此向量组12n与向量组12n等价21 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3A x A2x且向量组x A x A2x线性无关(1)记P(x A x A2x) 求3阶矩阵B使APPB解因为APA(x A x A2x)(A x A2x A3x)(A x A2x 3A x A2x)所以(2)求|A|解由A3x3A x A2x得A(3x A x A2x)0因为x A x A2x线性无关故3x A x A2x0即方程A x0有非零解所以R(A)3 |A|0（从22题开始，凡涉及到基础解系问题的，答案都不是唯一的，可以参考本文答案，也可以看书后的答案，不过以书后的答案为主。

第四章向量组的线性相关性目标测试题(参考答案)

线性代数答案第四版(高等教育出版社)

4第四章向量组的线性相关性习题解答

线性代数练习——向量组的线性相关性参考答案

向量的线性运算经典测试题附答案

第四章向量组的线性相关性线性代数含答案.docx

第四章向量组的线性相关性线性代数含答案

线性代数习题册(第四章 向量组的线性相关性参考答案)

第四章 向量组的线性相关性

向量组的线性相关性 线性代数习题集

4第四章向量组的线性相关性习题解答

第四章向量组的线性相关性目标测试题(参考答案)

《线性代数》 向量组的线性相关性精选习题及解答

线性代数习题[第四章] 向量组的线性相关性

线性代数课后习题答案04

线性代数的向量组习题答案

向量组的线性相关性和矩阵的秩练习题答案

第四章 向量组的线性相关性测试题

线性代数第四章答案

线性代数习题册(第四章向量组的线性相关性参考答案)

第四章向量组的线性相关性

向量组的线性相关性线性代数习题集

《线性代数》向量组的线性相关性精选习题及解答

第四章向量组的线性相关性测试题