第四章向量组的线性相关性目标测试题(参考答案)

第四章 向量组的线性相关性目标测试题

（参考答案）

一、填空题.

1. 设向量组) , ,0( ),0 , ,( ), ,0 ,(321b a c b c a ===ααα线性无关，则c b a ,,必满足关系式0abc ≠.

2. 已知向量组)1 ,1 ,3 ,4( ),2 ,6 ,2 ,4( ),0 ,2 ,1 ,3( ),1 ,3 ,1 ,2(4321-=-=-=-=αααα，则该向量组的秩为___2__.

3. 设三阶矩阵122212304A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，三维向量11a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，若向量A α与α线性相关，则a = -1 ．

4. 已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)T T T t ααα=-==--的秩为2，则t ＝ 3 ．

5. 设321,,ααα线性无关，问=k __1_时，312312,,αααααα---k 线性相关.

6．设12,,s ηηηL 为非齐次线性方程组Ax b =的解，若1122s s k k k ηηη+++L 也是方程组Ax b =的解，

则12s k k k L ，，，应满足条件12s + 1k k k ++=L .

二、选择题.

1．设有向量组

),0 ,2 ,2 ,1( ),14 ,7 ,0 ,3( ),2 ,1 ,3 ,0( ),4 ,2 ,1 ,1(4321-===-=αααα),10 ,5 ,1 ,2(5=α 则该向量组的最大线性无关组( B ).

(A ) 321 , ,ααα, (B ) 421 , ,ααα,

(C ) 521 , ,ααα, (D ) 5421 , , ,αααα．

2. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是(C ).

(A ) 21αα+,,32αα+13αα+, (B ) ,1α21αα+,321a ++αα,

(C ) 21αα-,,32αα-13αα-, (D ) 21αα+,,231αα+133αα+.

3．设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而2β不能由123,,ααα线性表示，则对任意常数k ，必有（A ）．

（A ）12312,,,k αααββ+线性无关；（B ）12312,,,k αααββ+线性相关；

（C ）12312,,,k αααββ+线性无关；（C ）12312,,,k αααββ+线性相关．

4 . 设12(1,0,0),(0,0,1)T T αα==，则β＝（B ）时，β可由12,αα线性表示．

（A ）(2，0，0) （B ）（3，0，4） （C ）（1，1，0） （D ）（0，1，0）

5.下列命题正确的是( D ).

(A ) 对于向量组s ααα,,,21Λ，若有不全为零的数组s k k k , , ,21Λ，使得

02211≠+++s s k k k αααΛ，则s ααα,,,21Λ线性无关,

(B ) 对于向量组s ααα,,,21Λ，若有不全为零的数组s k k k , , ,21Λ，使得

2211=+++s s k k k αααΛ，则s ααα,,,21Λ线性无关,

(C ) 若向量组s ααα,,,21Λ线性相关，则其中每个向量都可由其余向量线性表示,

(D ) 任何1+n 个n 维向量必线性相关.

6.设123(1,2,1),(0,5,3),(2,14,8)T T T ααα===，则向量组123,,ααα的秩是（ C ）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

7．设A 为m n ⨯矩阵，且()1r A n =-，12,αα是0Ax =的两个不同的解向量，k 为任意的常数，则0Ax =的通解为（ C ）

（A ） 1k α （B ） 2k α (C) 12()k αα- (D) 12()k αα+

三、计算题.

1．设(2,1,2),(4,2,3),(8,8,5)T T T

αβγ=-=-=-，求数k 使得 2k αβγ+=．(3k =)

2. 设). ,3 ,1( ),3 ,2 ,1( ),2 ,1 ,1(321t ===ααα (1) 当t 为何值时，321,,ααα线性无关. (4t ≠)

(2) 当t 为何值时，321,,ααα线性相关. (4t

=) (3) 当321,,ααα线性相关时，将3α用21,αα线性表示. (3

212ααα=-)

3. 求向量组)2 ,1 ,2 ,3( ),4 ,3 ,1 ,7( ),5 ,1 ,4 ,6( ),1 ,2 ,1 ,3(4321=----=---==αααα的一个最大无关组，并用最大无关组表示其余向量. （1234123313,,;.222

ααααααα=-+- ） 4. 确定常数a 和b 使得)0 , ,2 ,1( ), ,3 ,1 ,2( ),2 ,1 ,0 ,1(321b a -=-=-=ααα线性相关.

(3,9.a b ==)

5．设123,,ααα线性无关，问当,h k 满足什么条件时，213213,,h k αααααα---也线性无关．( 1.hk ≠)

6．设123,,t t t 为互不相等的常数，讨论向量组

222111222333(1,,),(1,,),(1,,)T T T t t t t t t ααα===的线性相关性.（线性无关）

7.已知非齐次线性方程组

1234123412341234230 2641 32716.

x x x x x x x x x x ax x x x x x b +-+=⎧⎪+-+=-⎪⎨+++=-⎪⎪---=⎩，

，，

讨论参数a b ，取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解. （ （1）当2b ≠-时，()()r B r A ≠，方程组无解；

（2）当2b =-时，()()r B r A =，方程组有解,

(a)若8a =-，原方程组的通解为

*112212141122 010001x c c c c ηξξ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，（12,c c ∈¡）. (b)若8a ≠-，原方程组的通解为

*1112 0001x c c ηξ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，（c ∈¡）.） 四、证明题.

1. 设有向量组),1(,,,21>m m αααΛ且