第二讲 半角模型
专题02 全等模型-半角模型(解析版)
专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D Ð+Ð=°，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ÐÐ=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D Ð=°，120ABC Ð=°，150BCD Ð=°，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =-，若在M ，N 之间修一条直路，则路线M N ®的长比路线M A N ®®的长少_________m 1.7»）．【答案】370【分析】延长,AB DC 交于点E ，根据已知条件求得90E Ð=°,进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得,EC EB ，,AE AD ，从而求得AN AM +的长，根据材料可得MN DM BN =+，即可求解．【详解】解：如图，延长,AB DC 交于点E ，连接,CM CN ，Q 60D Ð=°，120ABC Ð=°，150BCD Ð=°，30A \Ð=°，90E Ð=°，100DC DM ==Q DCM \V 是等边三角形，60DCM \Ð=°,90BCM \Ð=°,在Rt BCE V 中，100BC =，18030ECB BCD Ð=°-Ð=°，1502EB BC ==，EC ==100DE DC EC \=+=+Rt ADE △中，2200AD DE ==+150AE ==+，\200100100AM AD DM =-=+=+()AN AB BN AE EB BN =-=--())15050501=--150=，100150250AM AN \+=++=+Rt CMB △中，BM ==Q )50501EN EB BN EC =+=+==ECN \V 是等腰直角三角形()1752NCM BCM NCB BCM NCE BCE DCB \Ð=Ð-Ð=Ð-Ð-Ð=°=Ð由阅读材料可得))100501501MN DM BN =+=+-=，\路线M N ®的长比路线M A N ®®的长少)250501200370+-+=+»m ．答案：370．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键．2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE ¢△的位置，然后证明AFE AFE ¢≌△△，从而可得=EF E F ¢．E F E D DF BE DF ¢¢=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，12EAF BAD Ð=Ð，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，12EAF BAD Ð=Ð，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O e 的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系．由旋转可知ABE ADE ¢≌△△，∴BE ∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∴ADC ADE Ð+Ð∵12EAF BAD Ð=Ð，∴BAE DAF Ð+Ð∴12DAE DAF BAD ¢Ð+Ð=，∴FAE Ð∵AF ＝AF ，∴FAE FAE ¢≌△△，∴FE 由圆内接四边形性质得：∠AC P 即P ，C ，P ¢在同一直线上．∴∵BC 为直径，∴∠BAC =90°=∠BAP ∴△PAP ¢为等腰直角三角形，∴【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质等知识点．解题关键是利用旋转构造全等三角形．3．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF Ð=°，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG V ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF Ð=°，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E ，F 分别是BC ，CD 延长线上的动点，且45EAF Ð=°，则EF ，BE ，DF 之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD 的边长为6，AE =AF 的长．BAE DAG \Ð=Ð，AE AG =，90B ADG Ð=Ð=°，180ADF ADG \Ð+Ð=°，F \，D ，G 三点共线，45EAF Ð=°Q ，45BAE FAD \Ð+Ð=°，45DAG FAD \Ð+Ð=°，EAF FAG \Ð=Ð，AF AF =Q ，()EAF GAF SAS \D @D ，EF FG DF DG \==+，EF DF BE \=+；（2）①不成立，结论：EF DF BE =-；证明：如图2，将ABE D 绕点A 顺时针旋转90°至ADM D ，EAB MAD \Ð=Ð，AE AM =，90EAM =°∠，BE DM =，45FAM EAF \Ð=°=Ð，AF AF =Q ，()EAF MAF SAS \D @D ，EF FM DF DM DF BE \==-=-；②如图3，将ADF D 绕点A 逆时针旋转90°至ABN D ，4．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF12=∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时，V CEF的周长等于．（4）如图4，正方形ABCD中，V AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝，求EF的长．（5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2=BM2．（5）将△ADF 绕A 顺时针旋转120°，AD与AB 重合，F 转到G ，在AG 上取AH =AN ，连接BH 、MH ，利用△ABH ≌△ADN 和△AMH ≌△AMN ，证明MN =MH ，DN =BH ，再证明△BMH 为直角三角形即可．【详解】（1）EF =FC +AE ，理由如下：证明：将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM ，∴△DAE ≌△DCM ，∴DE =DM ，AE =CM ，∠ADE =∠CDM ，B 、C 、M 三点共线，∵∠EDF =45°，∴∠ADE +∠FDC =∠CDM +∠FDC =∠MDF =45°，在△DEF 和△DMF 中，45DE DM EDF MDF DF DF =ìïÐ=Ð=°íï=î，∴△DEF ≌△DMF （SAS ），∴EF =FM ∴EF =FM =FC +CM =FC +AE ；（2）解：如图，在DC 上取一点G ，使得DG =BE ，∵∠BAD =∠BCD =90°，∴∠ABC +∠D =180°，∠ABE +∠ABC =180°，∴∠ABE =∠D ，∵AB =AD ，BE =DG ，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE =AG ，∠BAE =∠DAG ，∵∠EAF =45°，∴∠EAB +∠BAF =∠DAG +∠BAF =45°，∵∠BAD =90°，∴∠FAG =∠FAE =45°，∵AE =AG ，AF =AF ，∴△AFE ≌△AFG （SAS ），∴EF =FG ，设BE =x ，则EC =EB +BC =x +7，EF =FG =18-x ，在Rt △ECF 中，∵EF 2=EC 2+CF 2，∴52+（7+x ）2=（18-x ）2，∴x =5，∴BE =5；（3）解：在DF 上截取DM =BE ，课后专项训练：1．（2022·重庆市育才中学二模）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．（2）仍成立，理由：如图2，延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，∵∠B +∠ADF =180°，∠ADG +∠ADF =180°，∴∠B =∠ADG ，又∵AB =AD ，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴∠BAE =∠DAG ，AE =AG ，∵EF =BE +FD =DG +FD =GF ，AF =AF ，∴△AEF ≌△AGF （SSS ），∴∠EAF =∠GAF =∠DAG +∠DAF =∠BAE +∠DAF ；1∠DAB ．证明：如图3，在DC 延长线上取一点G ，使得2．（2022·江西九江·一模）如图（1），在四边形ABCD 中，180B D Ð+Ð=°，AB AD =，以点A 为顶点作EAF Ð，且12EAF BAD Ð=Ð，连接EF ．(1)观察猜想 如图（2），当90BAD B D Ð=Ð=Ð=°时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．(2)类比探究 如图（1），线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题 如图（3），在ABC V 中，90BAC Ð=°，4AB AC ==，点D ，E 均在边BC 上，且45DAE Ð=°，若BD =，求DE 的长．（2）如下图，延长CD 至点H ，使得DH=BE ，∵B ADF Ð+а，∴B ADH Ð=Ð，同（1）②的证明方法得ABE ADH ≌△△，同理证AEF ≌△△，从而得BE FD EF +=．（3）如图过点C 作CM BC ⊥,且CM BD =，3．（2022·山东聊城·九年级期末）（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF Ð=°，连接EF ，求证：EF BE DF =+，试说明理由．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD Ð=°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，若B Ð、D Ð都不是直角，则当B Ð与D Ð满足等量关系______时，仍有EF BE DF =+，试说明理由．（3）联想拓展：如图3，在△ABC 中，90BAC Ð=°，AB AC =，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45，若1BD =，2EC =，求DE 的长．【详解】()1证明：如图1中，AB AD=Q，\把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，AB与AD重合．∠ADC=∠B=90°∠FDG=180°，点F、D、G三点共线，则DAG BAEÐÐ=，AE AG=，∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF即∠EAF=∠FAG，在△EAF和△GAF中，AF AFEAF GAFAE AG=ìïÐ=Ðíï=î，∴△AFG≌△()AFE SAS，∴EF=FG=BE+DF；()2当180B DÐ+Ð=°，仍有EF BE DF=+．理由：AB AD=Q，\把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2，BAE DAG\Ð=Ð，∠B=∠ADG90BADÐ=°Q，45EAFÐ=°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠FAG=45°∴∠EAF=∠FAG，180ADC BÐ+Ð=°Q，∴∠ADC+∠ADG=180°∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．在△AFE和△AFG中，AE AGFAE FAGAF AF=ìïÐ=Ðíï=î∴△AFE≌△AFG(SAS)．EF FG\=，即：EF BE DF=+．故答案为：180B DÐ+Ð=°．()3将△ACE绕点A旋转到△ABF的位置，连接DF，则∠FAB=∠CAE90BACÐ=°Q，45DAEÐ=°，∴∠BAD+∠CAE=45°．又∵∠FAB=∠CAE，∴∠FAB+∠BAD=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°．4．（2022·黑龙江九年级阶段练习）已知：正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，（如图1），易证BM +DN =MN ．(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【答案】(1)BM DN MN +=，理由见解析；(2)DN BM MN -=，理由见解析【分析】（1）把ADN D 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABE D ，然后证明得到AEM ANM D D ≌，从而证得ME MN =，可得结论；（2）首先证明ADQ ABM D D ≌，得DQ BM =，再证明AMN AQN D D ≌，得MN QN =，可得结论；（1）解：BM DN MN +=．理由如下：如图2，把ADN D 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABE D ，90ABE ADN \Ð=Ð=°，AE AN =，BE DN =，180ABE ABC \Ð+Ð=°，\点E ，点B ，点C 三点共线，90904545EAM NAM \Ð=°-Ð=°-°=°，又45NAM Ð=°Q ，在AEM D 与ANM D 中，AE AN EAM NAM AM AM =ìïÐ=Ðíï=î，AEM ANM \D D ≌（SAS ），ME MN \=，ME BE BM DN BM =+=+Q ，DN BM MN \+=；（2）解：DN BM MN -=．理由如下：在线段DN 上截取DQ BM =，在ADQ D 与ABM D 中，AD AB ADQ ABM DQ BM =ìïÐ=Ðíï=î，ADQ ABM \D D ≌（SAS ），DAQ BAM \Ð=Ð，QAN MAN \Ð=Ð．在AMN D 和AQN D 中，AQ AM QAN MAN AN AN =ìïÐ=Ðíï=î，AMN AQN \D D ≌（SAS ），MN QN \=，DN BM MN \-=．【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．5．（2022·重庆南川·九年级期中）如图，正方形ABCD 中，45MAN Ð=°，MAN Ð绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．(1)当MAN Ð绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），证明：2MN BM =；(2)绕点A 旋转到BM DN ¹时（如图2），求证：MN BM DN =+；(3)当MAN Ð绕点A 旋转到如图3位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)DN BM MN -=，见解析【分析】（1）把ADN △绕点A 顺时针旋转90°，得到ABE △，证得B 、E 、M 三点共线，即可得到AEM △≌ANM V ，从而证得ME MN =；（2）证明方法与（1）类似；（3）在线段DN 上截取DQ BM =，判断出ADQ △≌ABM V，同（2）的方法，即可得出结论．（1）证明：如图1，∵把ADN △绕点A 顺时针旋转90°，得到ABE △，ABE \V ≌ADN △，AE ANM \=，ABE D Ð=Ð，Q 四边形ABCD 是正方形，90ABC D \Ð=Ð=°，90ABE ABC \Ð=Ð=°，\点E 、B 、M 三点共线．90904545EAM NAM \Ð=°-Ð=°-°=°，又45NAM Ð=°Q ，在AEM △与ANM V 中，AE AN EAM NAM AM AM =ìïÐ=Ðíï=î，AEM \△≌()ANM SAS V ，ME MN \=，ME BE BM DN BM =+=+Q ，DN BM MN \+=，BM DN =Q ，2MN BM \=．（2）证明：如图2，把ADN △绕点A 顺时针旋转90°，得到ABE △，ABE \V ≌ADN △，AE ANM \=，ABE D Ð=Ð，Q 四边形ABCD 是正方形，90ABC D \Ð=Ð=°，90ABE ABC \Ð=Ð=°，\点E 、B 、M三点共线．90904545EAM NAM \Ð=°-Ð=°-°=°，又45NAM Ð=°Q ，在AEM △与ANM V 中，AE AN EAM NAM AM AM =ìïÐ=Ðíï=î，AEM \△≌()ANM SAS V ，ME MN \=，ME BE BM DN BM =+=+Q ，DN BM MN \+=．（3）解：DN BM MN -= 理由如下：如图3，在线段DN 上截取DQ BM =，连接AQ ，在ADQ △与ABMV 中，AD AB ADQ ABM DQ BM =ìïÐ=Ðíï=î，ADQ \V ≌()ABM SAS V ，DAQ BAM \Ð=Ð，QAN MAN \Ð=Ð．在AMN V 和AQN △中，AQ AM QAN MAN AN AN =ìïÐ=Ðíï=î，AMN\V ≌()AQN SAS V ，MN QN \=，DN BM MN \-=．【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．6．（2022·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90ABC ADC Ð=Ð=°，100BAD Ð=°，50EAF Ð=°，猜想并写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC Ð+Ð=°，2BAD EAF ÐÐ=．请写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O 处）北偏东20°的A 处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ，D 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．【答案】（1）EF =BE +DF ，理由见解析；（2）EF =BE +DF ，理由见解析；（3）85海里【分析】（1）延长CD 至点G ，使DG =BE ，连接AG ，可证得△ABE ≌△ADG ，可得到AE =AG ，∠BAE =∠DAG ，再由100BAD Ð=°，50EAF Ð=°，可证得△AEF ≌△AGF ，从而得到EF =FG ，即可求解；（2）延长CD 至点H ，使DH =BE ，连接AH ，可证得△ABE ≌△ADH ，可得到AE =AH ，∠BAE =∠DAH ，再由2BAD EAF ÐÐ=，可证得△AEF ≌△AHF ，从而得到EF =FH ，即可求解；（3）连接CD ，延长AC 、BD 交于点M ，根据题意可得∠AOB =2∠COD ，∠OAM +∠OBM =70°+110°=180°，再由（2）【迁移推广】得：CD =AC +BD ，即可求解．【详解】解：（1）EF =BE +DF ，理由如下：如图，延长CD 至点G ，使DG =BE ，连接AG ，∵90ABC ADC Ð=Ð=°，∴∠ADG =∠ABC =90°，∵AB =AD ，∴△ABE ≌△ADG ，∴AE =AG ，∠BAE =∠DAG ，∵100BAD Ð=°，50EAF Ð=°，∴∠BAE +∠DAF =50°，∴∠FAG =∠EAF =50°，∵AF =AF ，∴△AEF ≌△AGF ，∴EF =FG ，∵FG =DG +DF ，∴EF =DG +DF =BE +DF ；（2）EF =BE +DF ，理由如下：如图，延长CD 至点H ，使DH =BE ，连接AH ，∵180ABC ADC Ð+Ð=°，∠ADC +∠ADH =180°，∴∠ADH =∠ABC ，∵AB =AD ，∴△ABE ≌△ADH ，∴AE =AH ，∠BAE =∠DAH ，∵2BAD EAF ÐÐ=∴∠EAF =∠BAE +∠DAF =∠DAF +∠DAH ，∴∠EAF =∠HAF ，∵AF =AF ，∴△AEF ≌△AHF ，∴EF =FH ，∵FH =DH +DF ，∴EF =DH +DF =BE +DF ；（3）如图，连接CD ，延长AC 、BD 交于点M ，根据题意得： ∠AOB =20°+90°+40°=150°，∠OBD =60°+50°=110°，∠COD =75°，∠OAM =90°-20°=70°，OA =OB ，∴∠AOB =2∠COD ，∠OAM +∠OBM =70°+110°=180°，∵OA=OB，∴由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD，∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45，∴CD=40+45=85海里．即此时两舰艇之间的距离85海里．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用．7．（2022·上海·九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是，DE的长为．参考小明思考问题的方法，解决问题：(2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．∴BE ＝DG ，AE ＝AG ，∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠∴∠ADG ＋∠ADC ＝180°∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠8．（2022·黑龙江·哈尔滨市九年级阶段练习）已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ．(1)如图1，当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，求证：BM +DN =MN(2)如图2，当M ，N 分别在边BC ，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN =10，CN =6，MC =8，求CP 的长．【答案】（1）见解析；（2）BM DN MN -=；（3）3【分析】（1）延长CB 到G 使BG DN =，连接AG ，先证明AGB AND @△△，由此得到AG AN =，GAB DAN Ð=Ð，再根据45MAN Ð=°，90BAD Ð=°，可以得到45GAM NAM Ð=Ð=°，从而证明AMN AMG △≌△，然后根据全等三角形的性质即可证明BM DN MN +=；（2）在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，先证明AGB AND @△△，由此得到AG AN =，GAB DAN Ð=Ð，由此可得90GAN BAD Ð=Ð=°，再根据45MAN Ð=°可以得到45GAM NAM Ð=Ð=°，从而证明AMN AMG △≌△，然后根据全等三角形的性质即可证明BM DN MN -=；（3）在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，先证明ABM ADG V V ≌，再证明AMN AGN △≌△，设DG BM x ==，根据DC BC =可求得2x =，由此可得6AB BC CD CN ====，最后再证明ABP NCP △≌△，由此即可求得答案．【详解】（1）证明：如图，延长CB 到G 使BG DN =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90ABG ADN BAD Ð=Ð=Ð=°，在ABG V 与ADN △中，AB AD ABG ADN BG DN =ìïÐ=Ðíï=î， ()AGB AND SAS \△≌△，AG AN \=，GAB DAN Ð=Ð，45MAN Ð=°Q ，90BAD Ð=°，∴45DAN BAM BAD MAN Ð+Ð=Ð-Ð=°，45GAM GAB BAM DAN BAM \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，GAM NAM \Ð=Ð，在AMN V 与AMG V 中，AM AM GAM NAM AN AG =ìïÐ=Ðíï=î， ()AMN AMG SAS \△≌△，MN GM \=，又∵BM GB GM +=，BG DN =，BM DN MN \+=；（2）BM DN MN -=，理由如下：如图，在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90ABG ADN BAD Ð=Ð=Ð=°，在ABG V 与ADN△中，AB AD ABG ADN GB DN =ìïÐ=Ðíï=î，()AGB AND SAS \△≌△，AG AN \=，GAB DAN Ð=Ð，∴GAB GAD DAN GAD Ð+Ð=Ð+Ð，∴90GAN BAD Ð=Ð=°，又45MAN Ð=°Q ，45GAM GAN MAN MAN \Ð=Ð-Ð=°=Ð，在AMN V 与AMG V 中，AM AM GAM NAM AN AG =ìïÐ=Ðíï=î，()AMN AMG SAS \△≌△，MN GM \=，又∵BM BG GM -=，BG DN =，∴BM DN MN -=，故答案为：BM DN MN -=；（3）如图，在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD BC CD ===，90ABM ADG BAD Ð=Ð=Ð=°，//AB CD ，9．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A 重合，将此三角板绕点A 旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC ，DC 于点E ，F ，连接EF ．（1）猜想BE 、EF 、DF 三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A 作AM ⊥EF 于点M ，请直接写出AM 和AB 的数量关系；（3）如图2，将Rt △ABC 沿斜边AC 翻折得到Rt △ADC ，E ，F 分别是BC ，CD 边上的点，∠EAF =12∠BAD ，连接EF ，过点A 作AM ⊥EF 于点M ，试猜想AM 与AB 之间的数量关系．并证明你的猜想．【答案】（1）EF =BE +DF ．证明见解析；（2）AM =AB ；（3）AM =AB ．证明见解析10．（2022·北京四中九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°)，射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ 于点E，连接BE．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．【答案】(1)作图见解析．(2)结论：AD+BE=DE．证明见解析．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）结论：AD+BE=DE．延长DA至F，使DF=DE，连接CF．利用全等三角形的性质解决问题即可．（1）解：如图所示：（2）结论：AD+BE=DE．理由：延长DA至F，使DF=DE，连接CF．∵AD⊥CP，DF=DE，∴CE=CF，∴∠DCF =∠DCE =45°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠ECB =45°，∵∠DCA +∠ACF =∠DCF =45°，∴∠FCA =∠ECB ，在△ACF 和△BCE 中，CA CB ACF BCE CF CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ACF ≌△BCE （SAS ），∴AF =BE ，∴AD +BE =DE ．【点睛】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
九年级中考几何模型之半角模型详解
中考几何模型之半角模型【模型由来】半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。
如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。
【模型思想】通过旋转变化后构造全等三角形，实线边的转化。
【基本模型】类型一、90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。
结论①：图1、2中，EF=BE+FD；证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF。
结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，且AM=AM，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN ’，∠ABD=45°，∴∠MBN ’=∠ABD+∠ABN ’=45°+45°=90°，∴在Rt △MBN ’中，MN ’²=BM ²+BN ’²，即MN ²=BM ²+BN ’²。
结论③：图1、2中EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE 。
几何模型之半角模型
半角模型
结论三：∠AEB=∠AEF=∠ANM,∠AFD=∠AEF=∠AMN
半角模型
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
（3）求证：∠AEB=∠AEF=∠ANM,∠AFD=∠AEF=∠AMN
结论四：
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
（4）
半角模型
结论五： 作GE⊥BC,证N是DG中点
半角模型
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
(5)作GE⊥BC,证N是DG中点，AN⊥NE,AN=NE
作FH ⊥DB ,证BM=MH,AM⊥MF,AM=MF
(Q)
(Q)
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
（6）
半角模型
结论七：
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
(7)
半角模型
小 结：
“半角模型”①共端点的等线段；②共顶点的倍半角；
结论五：作GE⊥BC,N是DG中点,AN⊥NE,AN=NE
半角模型
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
(5)作GE⊥BC,N是DG中点,AN⊥NE,AN=NE
作FH ⊥DB ,BM=MH,AM⊥MF,AM=MF
结论六：
半角模型结论及证明
半角模型结论及证明半角模型是指使用坐标原点为两点或多点，考虑以每对对角线边长占比进行分解。
一、半角模型原理半角模型的原理是根据给定的坐标多边形，把这些点拆分成若干个环状，每个环状里的顶点数量都是偶数的多边形，以使每一对对角线边长是一样的，其边长的占比等于2π/N，其中N是所拆分的顶点数量。
二、半角模型的应用（1）用于计算机图形学。
如有一个多边形，想把它拆分成若干边数相等的多边形，就可以利用半角模型，将多边形一分为二，将每一对对角线边长占比分解。
（2）用于求解由多条曲线特点或逆时针走向组成的图形。
例如，当用铅笔画出一个圆形，先画一把半径等于一半圆周长的角，然后把圆形拆分成四个同样大小的三角形，用半角模型，一次画出一整圆。
三、半角模型的证明假设多边形的直角坐标原点是（0，0），且给定的多边形有N个顶点，对角线的边长占比是2π/n，则可以证明，凡是要使用半角模型拆分多边形，必须保证多边形的边长占比与2π/n相等。
首先，设从给定多边形的第一个顶点开始，往后逆时针经过的第i个顶点的坐标是(x_i,y_i)，最终能够得到的多边形的边长：ab=∑_(i=1)^N▒r↑i其中，r↑i表示第i条边的长度，由勾股定理可以求出：r↑i=(x_i-x__(i-1))^2+(y_i-y__(i-1))^2因此，多边形的面积：A=ab/2最后，把这两个式子带入：A=(1/2)∑_(i=1)^N▒(x_i-x__(i-1))^2+(y_i-y__(i-1))^2以上就是半角模型的证明。
综上所述，半角模型具有明确的原理，并能够在计算机图形学中应用。
它可以把多边形拆分成若干边数相等的多边形，使得每一对对角线边长的占比等于2π/N，其中N是给定的顶点数量。
此外，半角模型的证明也得到了佐证。
专题02 全等三角形中的半角模型(原卷版)
专题02 全等三角形中的半角模型【模型展示】【模型证明】【模型拓展】90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。
结论①：图1、2中，EF=BE+FD证明证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF 。
结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN 绕点A 顺时针旋转90°，N 点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN ，且AM=AM ，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN’，∠ABD=45°，∴∠MBN’=∠ABD+∠ABN’=45°+45°=90°，∴在Rt △MBN’中，MN’²=BM²+BN’²，即MN²=BM²+BN’²。
结论③：图1、2中EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE 。
证明过程见证明①中时△FAE ≌△F’AE 即可。
结论④：图1、2中ADF ABE AEF S S S ∆∆∆+=。
证明：如图5中，过A 点作AH ⊥EF 于H 点，由结论③可知：∠AEH=∠AEB ，且∠AHE=∠ABE=90°，AE=AE ，∴△AEB ≌△AEH(AAS)，∴AH=AB=AD ，进而可以证明△AHF ≌△ADF(AAS)，∴ADF ABE AHF AHE AEF S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=.【题型演练】一、单选题1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝AD ，∠BCD ＝120°，E 、F 分别为BC 、CD 上一点，∠EAF ＝30°，EF ＝3，DF ＝1．则BE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，点M 、N 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN ＝45°，连接EN 、FM 相交于点O ，以下结论：①MN ＝BM +DN ；②BE 2+DF 2＝EF 2；③BC 2＝BF •DE ；④OM OF （ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④二、填空题3．如图，在Rt △ABC 和Rt △BCD 中，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，BC ＝4，AB ＝AC ，∠CBD ＝30°，M ，N 分别在BD ，CD 上，∠MAN ＝45°，则△DMN 的周长为_____．4．如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF ∠=°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF V 绕点A 顺时针旋转90°得到ABG V ，若2BE =，则EF 的长为______．5．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，若F 是BC 的中点，且∠EDF ＝45°，则DE 的长为 _____．三、解答题6．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．7．已知，如图所示，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边BC ，CD 上，且45EAF ∠=°，AE ，AF 分别交BD于H ，G ，连EF ，求证：①DF BE EF += ②222DG BH HG +=.8．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，将ADF V 绕点A 顺时针旋转90° 后，得到ABM V ，连接EM ，AE ，且使得45∠=°MAE ．（1）求证：=ME EF ；（2）求证：222EF BE DF =+.9．已知：边长为4的正方形ABCD ，∠EAF 的两边分别与射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAF ＝45°，连接EF ．求证：EF ＝BE +DF ．思路分析：(1)如图1，∵正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠B ＝∠ADC ＝90°，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADE '，则F 、D 、E '在一条直线上，∠E 'AF ＝ 度，……根据定理，可证：△AEF ≌△AE 'F ．∴EF＝BE+DF．类比探究：(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；拓展应用：(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．10．如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝AC，BD相交于点O．(1)求边AB的长；(2)求∠BAC的度数；(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．11．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，∠ECG=45°，求证EG=BE+GD．（2）请用（1）的经验和知识完成此题：如图2，在四边形ABCD中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的长？12．如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．(1)求证：GEF EDC@V V (2)求证：四边形BFGH 是正方形；(3)求证：ED 平分∠CEI13．学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE ¢△的位置，然后证明AFE AFE ¢≌△△，从而可得=EF E F ¢．E F E D DF BE DF ¢¢=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O e 的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系．。
几何模型——半角模型
其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。
（2）解：EF=DF﹣BE， 证明如下： 如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD， 交CD于点G， 同（1）可证得△AEF≌△AGF， ∴EF=GF，且DG=BE， ∴EF=DF﹣DG=DF﹣BE．
基本模型（2）——等边三角形内含半 角
基本模型（3）——等腰直角三角形内 含半角
“不能。” “它能滋润你的干渴？”
“不能。”
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重，
相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！
择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。
人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。
人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。
几何模型——半角模型 ppt课件
几何模型——半角模型
基本模型（3）——等腰直角三角 形内含半角
几何模型——半角模型
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等， 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边 合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明 与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线 段之间的数量关系，从而解决问题。
三角形半角模型讲解
三角形半角模型讲解《三角形半角模型讲解篇一》嘿，同学们，今天咱们来唠唠三角形里超有趣的半角模型。
你可能一听这名字就有点懵，啥是半角模型呀？这就好比在三角形这个大家庭里，突然出现了一个有着特殊身份的小角色，它就像那种隐藏在人群里，但有着特殊能力的超级英雄。
咱先从一个最简单的直角三角形说起吧。
想象一下，有一个直角三角形ABC，角C是直角。
现在呢，假如我们把角A平分了，这个角平分线就像是一把神奇的刀，把角A一分为二，这被分出来的小角就是半角啦。
那这个半角会带来啥神奇的事情呢？这时候就有个超酷的定理登场了。
假如我们在这个三角形里做点文章，比如设一些边长为a、b、c啥的。
我记得我第一次遇到这种题的时候，那简直是脑袋一团浆糊。
就感觉这题目像是一团乱麻，根本找不到线头。
我当时就想，这半角到底和这些边有啥关系呢？难道是要我玩猜谜游戏吗？后来我才知道，这里面有个超厉害的关系。
这个半角的正切值和那些边的比例有着千丝万缕的联系。
比如说，它可能和两条直角边的比例有着一种像密码一样的对应关系。
就好像是这个三角形自己设定的一种暗号，只有懂这个半角模型的人才能破解。
咱们再说说等腰三角形里的半角模型。
等腰三角形就像一个对称的建筑物，两边的腰就像对称的柱子。
要是在这个等腰三角形里出现了半角，那画面可就更有趣了。
这时候的半角可能会让这个等腰三角形内部的一些线段关系变得像魔术一样神奇。
我给你讲个我自己瞎琢磨的故事啊。
有一次我做一道等腰三角形半角模型的题，我就自己在那画图，画得那叫一个乱。
我当时想，这半角就像个调皮的小猴子，在三角形这个大树上跳来跳去，把那些线段都搅得乱七八糟。
我一会儿觉得我好像找到了规律，一会儿又觉得自己完全搞错了方向。
我就问自己，这半角模型难道是专门来折磨我的吗？但后来我静下心来，重新梳理了一下那些边和角的关系，突然就像发现了新大陆一样。
原来这个半角和等腰三角形的底边、腰长还有底角之间有着一种微妙的平衡关系。
所以说，三角形半角模型虽然有点像个调皮的小精灵，总是让我们摸不着头脑，但只要我们耐着性子去探索，就会发现它其实是一个充满惊喜的宝藏。
半角模型
半角模型已知：AOB ∠=∠212，OB OA =做法：连接FB ，将△FOB 绕O 旋转至△FOA 位置，连接E F '，FE ，可得△OEF ≌△'OEF模型分析：∵△OBF ≌△OAF′，∴∠3=∠4，OF=OF′.∴∠2=12∠AOB，∴∠1+∠3=∠2∴∠1+∠4=∠2又∵OE 是公共边，∴△OEF≌△OEF′.（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.模型实例例1已知，正方形ABCD 中，∠︒=45MAN ，它的两边分别交线段CB 、DC 于点M 、N ．（1）求证：MN DN BM =+．（2）作MN AH ⊥于点H ，求证：AB AH =．证明：（1）延长ND 到E ，使BM DE =，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =．在△ADE 和△ABM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BMDE B ADE ABAD ∴△ADE ≌△ABM ．∴AM AE =，BAMDAE ∠=∠∵︒=∠45MAN ，∴︒=∠+∠45NAD BAM ．∴︒=∠=∠45EAN MAN ．在△AMN 和△AEN 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=ANAN EAN MAN EAMA ∴△AMN ≌△AEN ．∴EN MN =．∴MN EN DN DE DN BM ==+=+．（2）由（1）知，△AMN ≌△AEN ．∴S △AMN =S △AEN．即EN ADMN AH ⋅=⋅2121又∵EN MN =，∴AD AH =．即ABAH =已知：正方形ABCD 中，︒=∠45MAN ，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点M ，N ．当绕点A 旋转到DN BM =时（如图1），易证MN DN BM =+．（1）当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM ≠时（如图2），线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（3）图3中若3=AB ，5=MN ，求△AMN 的面积为5.7.在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在BC 、CD 上移动，且DN BM MN +=求证：（1）︒=∠45MAN （2）C △ABCMN 2=（3）AM 、AN 分别平分BMN ∠和DNM ∠已知，△ABC 是等边三角形，DC DB =，︒=∠120BDC ，︒=∠60EDF 求证：CFBE EF +=已知△ABC 为等边三角形，△BDC 为等腰三角形，︒=∠120BDC ，E 、F 分别为AB 和AC 上任一点，且︒=∠60EDF ，EF DG ⊥，求证：△BED ≌△GED ．（1）如图，在四边形ABCD 中，AD AB =，︒=∠=∠90D B ，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且BAD EAF ∠=∠21．求证：FD BE EF +=；（2）如图，在四边形ABCD 中，AD AB =，︒=∠+∠180D B ，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且BAD EAF ∠=∠21，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD 中，AD AB =，︒=∠+∠180ADC B ，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且BAD EAF ∠=∠21，（1）中的结论是否仍然成立？立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【操作发现】（1）如图1，△ABC 为等边三角形，先将三角板中的︒60角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于︒0且小于︒30），旋转后三角板角边与AB 交于点D ，在三角板斜边上取一点F ，使CD CF =，线段AB 上取点E ，使︒=∠30DCE ，连接AF ，EF ．①求EAF ∠的度数；②DE 与EF 相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，先将三角板的︒90角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于︒0且小于︒45）后三角板的一直角边与AB 交于点D，在三角板另一直角边上取一点F ，使CD CF =，线段AB 上取点E ，使︒=∠45DCE ，连接AF ，EF ．请直接写出探究结果①EAF ∠的度数；②线段AE ，ED ，DB 之间的数量关系．（初二上不做）如图，五边形ABCDE 中，AE AB =，CD DE BC =+，︒=∠+∠180AED ABC ，连接AD ．求证：AD 平分CDE∠如图，在四边形ABCD 中，BC AB =，︒=∠=∠90C A ，︒=∠135B ，K ，N 分别在AB 、BC 上，若△BKN 的周长是AB 的2倍，求KDN∠如图，正方形ABCD 的边长为1，AB ，AD 上各有一点P ，Q ，如果△APQ 的周长为2，求PCQ ∠的度数．如图所示，等腰直角△ABC 中，M 、N 为斜边AB 上两点，且︒=∠45MCN ，求证：以AM 、MN 、BN 三边为边长构成的三角形是直角三角形．请阅读下列材料：已知：如图1在Rt△ABC 中，︒=∠90BAC ，AC AB =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若︒=∠45DAE ．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转︒90，得到△'ABE ，连接D E '，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．在△ABC 中，AC AB =，α=∠BAC （︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转︒60得到线段BD ．（1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，︒=∠150BCE ，︒=∠60ABE ，判断△ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE ，若︒=∠45DEC ，求α的值．半角模型条件：βα21=且︒=+180γθ思路：（1）延长其中一个补角的线段（或旋转）延长CD 到E ，使BM ED =，连AE 或CB 到F ，使DN FB =，连AF（将△ABM 逆时针旋转︒90，得△ADE ）结论：①DN BM MN +=；②AB C 2△CNM =；③AM 、AN 平分BMN ∠、DNM∠（2）对称（翻着）思路：分别将△ABM 和△ADN 以AM 和AN 为对称轴翻着，但一定要证明M 、P 、N 三点共线（︒=∠+∠180D B ，且AD AB =）。
11.2图形的旋转之“半角”模型
方法：把半角一侧的三角形通过旋转变换构造新的三角形与 B E
C
含半角的三角形全等，从而进行等量代换，来转化边和角，
以此探究新的边边关系.
变式训练1
A
D
如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CB、DC的延长 线上.且∠EAF=45°，则BE、DF、EF有怎样的数量关系.
分析：利用旋转变换构造全等. EF=DF-BE
变式训练3
如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，
以D为顶点作一个60°的角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,
则△AMN的周长是
.
A
模型3：含120°的等腰三角形中的半角模型
M B
D
N C
模型总结
A
A
D
A
M
F
N
B
E
C
B
M
B
N
C
C
D
半角模型的特征：①共顶点；②等腰；③顶角为半角关系.
E
B
C
F
变式训练2
如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，点M、N在边BC上.且∠MAN=45°，
试探究BM、MN、CN的数量关系.
A
D
A
N F
M
B
E
C
B
M
N
C
模型2：等腰直角三角形中AN=45°
结论：①MN²=BM²+CN²；
方法：把半角一侧的三角形通过旋转变换构造新的全等三角 形来转化边和角，以此探究新的边边关系.
F
B
E
C
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半角模型专题训练思路：大角含半角+有相等且共端点的边，通过旋转使相等边重合，拼出特殊角，证全等；1.如图,点P是以O为圆心,AB为直径的半圆的中点,AB=2,等腰直角三角板45°角的顶点与点P重合,当此三角板绕点P旋转时,它的斜边和直角边所在的直线与直径AB分别相交于C. D两点。
设线段AD的长为x,线段BC的长为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是()A. B. C. D.2.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：①AB2=BN•DM；②AF平分∠DFE；③AM •AE=AN•AF；④BE+DF=2MN．其中正确的结论是A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④3.如图，E，F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF= 45°，AH⊥EF，H为垂足．有下列结论：①EF= BE+ DF；②∠BAH= 45°；③CE= CF；④AH= AB；⑤△ADF≌△AHF．其中一定正确的是（）A．①②④ B．②③⑤ C．①④⑤ D．①②③④⑤4.如图所示，在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN＝45°.记AM＝m，MN＝x，BN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角D.随x，m，n的变化而变化的5.如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数。
6.正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.(1)求证：EF=FM；(2)当AE=1时，求EF的长。
7.阅读下列材料：问题：如图(1),已知正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 边上的点,且∠EAF =45°.判断线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系，并说明理由。
小明同学的想法是：已知条件比较分散,可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起,于是他将△DAF 绕点A 顺时针旋转90°，得到△BAH ，然后通过证明三角形全等可得出结论。
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：(1)图(1)中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系是______；(2)如图(2),已知正方形ABCD 边长为5,E 、F 分别是BC 、CD 边上的点,且∠EAF =45°，AG ⊥EF 于点G ，则AG 的长为______，△EFC 的周长为______；(3)如图(3),已知△AEF 中,∠EAF =45°，AG ⊥EF 于点G ，且EG =2，GF =3，则△AEF 的面积为______.8.探究：(1)如图1,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且∠EAF =45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：___；(2)如图2,若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B +∠D =180°,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且∠EAF =21∠BAD ”,则(1)问中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；(3)在(2)问中,若将△AEF 绕点A 逆时针旋转,当点分别E. F 运动到BC 、CD 延长线上时,如图3所示,其它条件不变,则(1)问中的结论是否发生变化?若变化，请给出结论并予以证明。
9.已知：正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN.(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想。
10.已知：如图,正方形ABCD的边长为a,BM,DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45°，连接MC，NC，MN.(1)填空：与△ABM相似的三角形是△___,BM⋅DN=___;(用含a的代数式表示)(2)求∠MCN的度数；(3)猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论。
11.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两个顶点A，C分别在y 轴、x轴的正半轴上，点0在原点.现将正方形OABC绕点0顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N.(1)求最大的旋转角度数.(2)旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数.(3)设△MBN 的周长为p ，在正方形旋转过程中，p 值是否有变化？请说明.12.在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．(1)在图1中证明CE=CF ；(2)若∠ABC=90°，G 是EF 的中点(如图2)，直接写出∠BDG 的度数；(3)若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE ，分别连接DB 、DG(如图3)，求∠BDG 的度数．13.（2010重庆改编）等边△ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及△AMN 的周长Q 与等边△ABC 的周长L 的关系．（I ）如图1，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是_____________；此时LQ =___________；（II）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q=_________（用、L表示）．14.如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分别是 BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝21∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．15.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC(BC ＞AD),∠D=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°,若AE=10.求CE 的长度.16.1.如图25-1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD.求证:EF ＝BE ＋FD; 2.如图25-2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明. 3.如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF=21∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.17.请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 、E 分别为线段B C 上两动点，若∠DAE=45°．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ′，连接E ′D ，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图，等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．18.已知在△ABC 中,∠ACB =90°,CA =CB =2,CD ⊥AB 于D ,点E 在直线CD上,DE =21CD ，点F 在线段AB 上，M 是DB 的中点，直线AE 与直线CF 交于N 点。
(1)如图1，若点E 在线段CD 上，请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系：___，___；(2)在(1)的条件下,当点F 在线段AD 上,且AF =2FD 时,求证：∠CNE =45°；(3)当点E 在线段CD 的延长线上时,在线段AB 上是否存在点F ,使得∠CNE =45°?若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由。
(1)如图1,点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,∠EAF=45°,连接EF,则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是:EF=BE+FD.连结BD,交AE 、AF 于点M 、N,且MN 、BM 、DN 满足MN 2=BM 2+DN 2,请证明这个等量关系;(2)在△ABC 中,AB=AC,点D 、E 分别为BC 边上的两点.(1)如图2,当∠BAC=60°,∠EAD=30°时,BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是(2)如图3,当∠BAC=α,(0°＜α＜90°），∠EAD=21α,时,BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是19.如图1,平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =21x 2+b x +c 与x 轴交于A. B 两点，点C 是AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB .直线BE 与y 轴平行，点F 是射线BE 上的一个动点，连接AD 、AF 、DF .(1)若点F 的坐标为(29,1),AF =17 ①求此抛物线的解析式；②点P 是此抛物线上一个动点，点Q 在此抛物线的对称轴上，以点A. F. P 、Q 为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标；(2)若2b +c =−2,b =−2−t ,且AB 的长为kt ,其中t >0.如图2,当∠DAF =45°时，求k 的值和∠DFA 的正切值。