高中物理力学中的临界问题

高中物理力学中的临界问题分析一. 运动学中的临界问题在在追及与相遇问题中常常会出现临界现象，仔细审题，挖掘题设中的隐含条件，寻找与“刚好”、“最多”、“至少”等关键词对应的临界条件是解题的突破口。

一般来说两物体速度相等是题中隐含的临界条件，解题时正确处理好两物体间的时间关系和位移关系是解题的关键。

例题一：一辆汽车在十字路口等待绿灯,当绿灯亮时汽车以3m/s 2的加速度开始行驶,恰在这时一辆自行车以6m/s 的速度匀速驶来,从后边超过汽车.试问:（1）汽车从路口开动后,在赶上自行车之前经过多长时间两车相距最远此时距离是多少（2）当两车相距最远时汽车的速度多大解析：（1）设两车运动时间为t 时,自行车的位移X 1=v 0t ，汽车的位移为2221at x = 两车相距的距离22013x v t at 6t t .22∆=-=- 当s t 2)23(26=-⨯-=时，Δx 有最大值Δx=6m. （2）当t=2s 时，汽车的速度v=at=6m/s=v 0，此时两车相距最远。

例题二、在水平轨道上有两列火车A 和B 相距s ，A 车在后面做初速度为v 0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，而B 车同时做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A 车的初速度v 0应满足什么条件解析：要使两车不相撞，A 车追上B 车时其速度最多只能与B 车速度相等.设A 、B 两车从相距s 到A 车追上B 车时，A 车的位移为s A ，末速度为v A ，所用时间为t ；B 车的位移为s B ，末速度为v B ，两车运动的速度时间图象如图所示，由匀变速直线运动规律有: 对A 车有 对B 车有两车有s=sA-sB 追上时，两车刚好不相撞的临界条件是v A =v B以上各式联立解得故要使两车不相撞，A 的初速度v0应满足的条件是：点评：在追及问题中，当同一时刻两物体在同一位置时，两物体相遇，此时若后面物体的速度大于前面物体的速度即相撞，因此两物不相撞的临界条件是两物体的速度相等。

若两物体相向运动，当两物体发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇，此时只要有一个物体的速度不为零则为相撞。

针对练习：（07海南卷）两辆游戏赛车a 、b 在两条平行的直车道上行驶。

0=t 时两车都在同一计时线处，此时比赛开始。

它们在四次比赛中的t v -图如图所示。

哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆(AC)解析:由v-t 图象的特点可知，图线与t 轴所围面积的大小，即为物体位移的大小.观察4个图象，只有A 、C 选项中，a 、b 所围面积的大小有相等的时刻，故选项A 、C 正确.二、平衡现象中的临界问题在平衡问题中当物体平衡状态即将被打破时常常会出现临界现象，分析这类问题要善于通过研究变化的过程与例题：跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A 和物体B ，物体A 放在倾角为θ的斜面上，如图甲所示．已知物体A 的质量为m ，物体A 与斜面的动摩擦因数为μ(μ<tan θ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A 静止在斜面上，求物体B 的质量的取值范围(按最大静摩擦力等于滑动摩擦力处理)．解析：先选物体B 为研究对象，它受到重力m B g 和拉力F T 的作用，根据平衡条件有：F T ＝m B g ①再选物体A 为研究对象，它受到重力mg 、斜面支持力F N 、轻绳拉力F T 和斜面的摩擦力作用，假设物体A 处于将要上滑的临界状态，则物体A 受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A 的受力情况如图乙所示，根据平衡条件有：F N －mgcos θ＝0②F T －F fm －mgsin θ＝0③ 由摩擦力公式知：F fm ＝μF N ④联立①②③④四式解得m B ＝m(sin θ＋μcos θ)．再假设物体A 处于将要下滑的临界状态，则物体A 受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：F N －mgcos θ＝0⑤ F T ＋F fm －mgsin θ＝0⑥ 由摩擦力公式知：F fm ＝μF N ⑦联立①⑤⑥⑦四式解得m B ＝m(sin θ－μcos θ)．综上所述，物体B 的质量的取值范围是：m(sin θ－μcos θ)≤m B ≤m(sin θ＋μcos θ)．点评：此题用假设法与极限法分析临界问题，解题思路是：先假设物体处于某个状态，然后恰当地选择某个物理量并将其推向极端(“极大”、“极小”)从而把比较隐蔽的临界现象(“各种可能性”)暴露出来，再根据平衡条件及有关知识列方程求解.针对练习1：如图所示，水平面上两物体m 1、m 2经一细绳相连，在水平力F 的作用下处于静止状态，则连结两物体绳中的张力可能为( )A 、零B 、F/2C 、FD 、大于F解析： 当m 2与平面间的摩擦力与F 平衡时，绳中的张力为零，所以A 对；当m 2与平面间的最大静摩擦力等于F/2时，则绳中张力为F/2，所以B 对，当m 2与平面间没有摩擦力时，则绳中张力为F ，所以C 对，绳中张力不会大于F ，因而D 错。

针对练习2：(98)三段不可伸长的细绳OA 、OB 、OC 能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB 是水平的，A 端、B 端固定。

若逐渐增加C 端所挂物体的质量，则最先断的绳A 、必定是OAB 、必定是OBC 、必定是OCD 、可能是OB ，也可能是OC解析：三根绳所能承受的最大拉力相同，在增大C 端重物质量过程中，判断哪根绳上的拉力先达到临界值是关键。

OC 下悬挂重物，它的拉力应等于重物的重力G.就是OC 绳的拉力产生两个效果，使OB 在O 点受到向左的作用力F 1，使OA 在O 点受到斜向下沿绳长方向的作用力F 2，F 1、F 2是G 的两个分力.由平行四边形可作出力的分解图如下图所示，当逐渐增大所挂物体的质量,哪根绳子承受的拉力最大则最先断.从图中可知：表示F 2的有向线段最长,F 2分力最大，故OA 绳子最先断.三、动力学中的临界问题在动力学的问题中，物体运动的加速度不同，物体的运动状态不同，此时可能会出现临界现象。

分析这类问题时挖掘隐含条件，确定临界条件，对处于临界准确状态的研究对象进行受力分析，并灵活应用牛顿第二定律是解题的关键，常见的解题方法有极限法、假设法等。

例题一：如图所示,在光滑水平面上叠放着A 、B 两物体,已知m A =6 kg 、m B =2 kg ，A 、B 间动摩擦因数μ=，在物体A 上系一细线,细线所能承受的最大拉力是20N ，现水平向右拉细线，g 取10 m/s 2，则 ( )A.当拉力F<12 N 时,A 静止不动B.当拉力F>12 N 时,A 相对B 滑动C.当拉力F=16 N 时,B 受A 的摩擦力等于4 ND.无论拉力F 多大,A 相对B 始终静止解析 设A 、B 共同运动时的最大加速度为a max ,最大拉力为F max对B:μm A g=m B a max a max = B A m g m =6 m/s 2对A 、B 系统:F max =(m A +m B )a max =48 N 当F<F max =48 N 时,A 、B 相对静止。

因为地面光滑,故A 错,当F 大于12 N 而小于48 N 时,A 相对B 静止,B 错。

当F=16 N 时,其加速度a=2 m/s 2。

对B:f=4 N,故C 对。

针对练习：（2007）江苏卷如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg 。

现用水平拉力F 拉其中一个质量为2 m 的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m 的最大拉力为A 、5mg 3μB 、4mg 3μC 、2mg 3μ D 、mg 3μ 解析：分别对整体、右端一组及右端个体受力分析，运用牛顿第二定律，由整体法、隔离法可得F ＝6ma ① F －μmg ＝2ma ② μmg －T ＝ma ③由①②③联立可得T ＝3/4μmg 所以B 正确．例题二：如图所示，在光滑的水平面上放着紧靠在一起的A 、B 两物体，B 的质量是A 的2倍，B 受到向右的恒力F B ＝2 N ，A 受到的水平力F A ＝(9－2t ) N(t 的单位是s)．从t ＝0开始计时，则( )A 、A 物体在3 s 末时刻的加速度是初始时刻的511倍 B 、t ＞4 s 后，B 物体做匀加速直线运动 C 、t ＝ s 时，A 物体的速度为零D 、t ＞ s 后，A 、B 的加速度方向相反解析：对于A 、B 整体根据牛顿第二定律有F A ＋F B ＝(m A ＋m B )a ，开始时合力为11 N,3秒末合力为5N ，故A 正确．设A 、B 间的作用力为F N ，则对B 进行分析，由牛顿第二定律可得：F N ＋F B ＝m B a ，解得F N ＝m B F A ＋F B m A ＋m B－F B ＝16－4t 3 N ．当t ＝4 s 时，F N ＝0，A 、B 两物体开始分离，此后B 做匀加速直线运动，故B 正确；而A 做加速度逐渐减小的加速运动，当t ＝ s 时，A 物体的加速度为零而速度不为零，故C 错误．t ＞ s 后，A 所受合外力反向，即A 、B 的加速度方向相反，故D 正确．当t ＜4 s 时，A 、B 的加速度均为a ＝F A ＋F B m A ＋m B.综上所述，选项A 、B 、D 正确．点评：相互接触的两物体脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零，即N=0。

针对练习1：不可伸长的轻绳跨过质量不计的滑轮，绳的一端系一质量M ＝15kg 的重物，重物静止于地面上，有一质量m ＝10kg 的猴子从绳的另一端沿绳上爬，如右图所示，不计滑轮摩擦，在重物不离开地面的条件下，猴子向上爬的最大加速度为(g 取10m/s 2)( ）A 、25m/s 2B 、5m/s 2C 、10m/s 2D 、15m/s 2解析：本题的临界条件为F ＝Mg ，以猴子为研究对象，其受向上的拉力F ′和mg ，由牛顿第二定律可知，F ′－mg ＝ma ，而F ′＝F ，故有F －mg ＝ma ，所以最大加速度为a ＝5m/s 2.点评：此题中的临界条件是：地面对物体的支持力为零。

针对练习2：一弹簧秤的秤盘质量m 1=1．5kg ，盘内放一质量为m 2=10．5kg 的物体P ，弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m ，系统处于静止状态，如图所示。

现给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0．2s 内F 是变化的，在0．2s 后是恒定的，求F 的最大值和最小值各是多少（g=10m/s 2）解析： 依题意， s 后P 离开了托盘， s 时托盘支持力恰为零，此时加速度为： a=（F 大－mg ）/m ① (式中F 大为F 的最大值)此时M 的加速度也为a. a=（kx －Mg ）/M ②所以 kx=M （g+a ） ③ 原来静止时，压缩量设为x 0，则：kx 0=（m+M ）g ④ 而 x 0－x=at 2/2 ⑤由③、④、⑤有： 即mg －Ma=a=mg/（M+）=6 m/s 2 ⑥ ⑥代入①：F max =m （a+g ）=（6+10）N=168 N F 最大值为168 N.刚起动时F 为最小，对物体与秤盘这一整体应用牛顿第二定律得F 小+kx 0－（m+M ）g=（m+M ）a ⑦ ④代入⑦有：F min =（m+M ）a=72 N F 最小值为72 N.点评：此题中物块与秤盘刚分离时，二者具有相同的速度与加速度，此时二者间相互作用的弹力为零，在求拉力F 的最大值与最小值时要注意弹簧所处的状态，例题三、表演“水流星”节目，如图所示，拴杯子的绳子长为l ，绳子能够承受的最大拉力是杯解析：要使水在最高点恰不流出杯子，此时绳子对杯子拉力等于零，杯子和水做圆周运动的向心力仅由其重力mg 提供，由牛顿第二定律，在最高点处对杯子和水列方程：mg=mv 12/L ，所以，杯子通过最高点时速度的最小值1v gl =。