高中物理力学中的临界问题

高中物理力学中的临界问题分析
一. 运动学中的临界问题
在在追及与相遇问题中常常会出现临界现象，仔细审题，挖掘题设中的隐含条件，寻找与“刚好”、“最多”、“至少”等关键词对应的临界条件是解题的突破口。

一般来说两物体速度相等是题中隐含的临界条件，解题时正确处理好两物体间的时间关系和位移关系是解题的关键。

例题一：一辆汽车在十字路口等待绿灯,当绿灯亮时汽车以3m/s 2的加速度开始行驶,恰在这时一辆自行车以6m/s 的速度匀速驶来,从后边超过汽车.试问:（1）汽车从路口开动后,在赶上自行车之前经过多长时间两车相距最远此时距离是多少（2）当两车相距最远时汽车的速度多大
解析：（1）设两车运动时间为t 时,自行车的位移X 1=v 0t ，汽车的位移为2221at x = 两车相距的距离22013x v t at 6t t .22∆=-=- 当s t 2)2
3(26
=-⨯-=时，Δx 有最大值Δx=6m. （2）当t=2s 时，汽车的速度v=at=6m/s=v 0，此时两车相距最远。

例题二、在水平轨道上有两列火车A 和B 相距s ，A 车在后面做初速度为v 0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，而B 车同时做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A 车的初速度v 0应满足什么条件
解析：要使两车不相撞，A 车追上B 车时其速度最多只能与B 车速度相等.设A 、B 两车从相距s 到A 车追上B 车时，A 车的位移为s A ，末速度为v A ，所用时间为t ；B 车的位移为s B ，末速度为v B ，两车运动的速度时间图象如图所示，由匀变速直线运动规律有: 对A 车有 对B 车有
两车有s=sA-sB 追上时，两车刚好不相撞的临界条件是v A =v B
以上各式联立解得
故要使两车不相撞，A 的初速度v0应满足的条件是：
点评：在追及问题中，当同一时刻两物体在同一位置时，两物体相遇，此时若后面物体的速度大于前面物体的速度即相撞，因此两物不相撞的临界条件是两物体的速度相等。

若两物体相向运动，当两物体发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇，此时只要有一个物体的速度不为零则为相撞。

针对练习：（07海南卷）两辆游戏赛车a 、b 在两条平行的直车道上行驶。

0=t 时两车都在同一计时线处，此时比赛开始。

它们在四次比赛中的t v -图如图所示。

哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆(AC)
解析:由v-t 图象的特点可知，图线与t 轴所围面积的大小，即为物体位移的大小.观察4个图象，只有A 、C 选项中，a 、b 所围面积的大小有相等的时刻，故选项A 、C 正确.
二、平衡现象中的临界问题
在平衡问题中当物体平衡状态即将被打破时常常会出现临界现象，分析这类问题要善于通过研究变化的过程与
例题：跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A 和物体B ，物体A 放在倾角为θ的斜面上，如图甲所示．已知物体A 的质量为m ，物体A 与斜面的动摩擦因数为μ(μ<tan θ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A 静止
在斜面上，求物体B 的质量的取值范围(按最大静摩擦力等于滑动摩擦力处理)．
解析：先选物体B 为研究对象，它受到重力m B g 和拉力F T 的作用，根据平衡条件有：F T ＝m B g ①
再选物体A 为研究对象，它受到重力mg 、斜面支持力F N 、轻绳拉力F T 和斜面的摩擦力作用，假设物
体A 处于将要上滑的临界状态，则物体A 受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A 的受力情况
如图乙所示，根据平衡条件有：F N －mgcos θ＝0②
F T －F fm －mgsin θ＝0③ 由摩擦力公式知：F fm ＝μF N ④
联立①②③④四式解得m B ＝m(sin θ＋μcos θ)．
再假设物体A 处于将要下滑的临界状态，则物体A 受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：F N －mgcos θ＝0⑤ F T ＋F fm －mgsin θ＝0⑥ 由摩擦力公式知：F fm ＝μF N ⑦
联立①⑤⑥⑦四式解得m B ＝m(sin θ－μcos θ)．
综上所述，物体B 的质量的取值范围是：m(sin θ－μcos θ)≤m B ≤m(sin θ＋μcos θ)．
点评：此题用假设法与极限法分析临界问题，解题思路是：先假设物体处于某个状态，然后恰当地选择某个物理量并将其推向极端(“极大”、“极小”)从而把比较隐蔽的临界现象(“各种可能性”)暴露出来，再根据平衡条件及有关知识列方程求解.
针对练习1：如图所示，水平面上两物体m 1、m 2经一细绳相连，在水平力F 的作用下处于静止状态，则连结两物体绳中的张力可能为( )
A 、零
B 、F/2
C 、F
D 、大于F
解析： 当m 2与平面间的摩擦力与F 平衡时，绳中的张力为零，所以A 对；当m 2与平面间的最大静摩擦力等于F/2时，则绳中张力为F/2，所以B 对，当m 2与平面间没有摩擦力时，则绳中张力为F ，
所以C 对，绳中张力不会大于F ，因而D 错。

针对练习2：(98)三段不可伸长的细绳OA 、OB 、OC 能承受的最大拉力相同，它们共
同悬挂一重物，如图所示，其中OB 是水平的，A 端、B 端固定。

若逐渐增加C 端所挂物体的质量，
则最先断的绳
A 、必定是OA
B 、必定是OB
C 、必定是OC
D 、可能是OB ，也可能是OC
解析：三根绳所能承受的最大拉力相同，在增大C 端重物质量过程中，判断哪根绳上的拉力先
达到临界值是关键。

OC 下悬挂重物，它的拉力应等于重物的重力G.就是OC 绳的拉力产生两个
效果，使OB 在O 点受到向左的作用力F 1，使OA 在O 点受到斜向下沿绳长方向的作用力F 2，F 1、
F 2是
G 的两个分力.由平行四边形可作出力的分解图如下图所示，当逐渐增大所挂物体的质量,哪
根绳子承受的拉力最大则最先断.从图中可知：表示F 2的有向线段最长,F 2分力最大，故OA 绳子最先断.
三、动力学中的临界问题
在动力学的问题中，物体运动的加速度不同，物体的运动状态不同，此时可能会出现临界现象。

分析这类问题时挖掘隐含条件，确定临界条件，对处于临界准确状态的研究对象进行受力分析，并灵活应用牛顿第二定律是解题的关键，常见的解题方法有极限法、假设法等。

例题一：如图所示,在光滑水平面上叠放着A 、B 两物体,已知m A =6 kg 、m B =2 kg ，A 、B 间动摩擦因数μ=，在物体A 上系一细线,细线所能承受的最大拉力是20N ，现水平向右拉细线，g 取10 m/s 2，则 ( )
A.当拉力F<12 N 时,A 静止不动
B.当拉力F>12 N 时,A 相对B 滑动
C.当拉力F=16 N 时,B 受A 的摩擦力等于4 N
D.无论拉力F 多大,A 相对B 始终静止
解析 设A 、B 共同运动时的最大加速度为a max ,最大拉力为F max
对B:μm A g=m B a max a max = B A m g m =6 m/s 2
对A 、B 系统:F max =(m A +m B )a max =48 N 当F<F max =48 N 时,A 、B 相对静止。

因为地面光滑,故A 错,当F 大于12 N 而小于48 N 时,A 相对B 静止,B 错。

当F=16 N 时,其加速度a=2 m/s 2。

对B:f=4 N,故C 对。

针对练习：（2007）江苏卷如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg 。

现用水平拉力F 拉其中一个质量为2 m 的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m 的最大拉力为
A 、5mg 3μ
B 、4mg 3μ
C 、2
mg 3μ D 、mg 3μ 解析：分别对整体、右端一组及右端个体受力分析，运用牛顿第二定律，由整体法、隔离法可得
F ＝6ma ① F －μmg ＝2ma ② μmg －T ＝ma ③
由①②③联立可得T ＝3/4μmg 所以B 正确．
例题二：如图所示，在光滑的水平面上放着紧靠在一起的A 、B 两物体，B 的质量是A 的2倍，B 受到向右的恒力F B ＝2 N ，A 受到的水平力F A ＝(9－2t ) N(t 的单位是s)．从t ＝0开始计时，则( )
A 、A 物体在3 s 末时刻的加速度是初始时刻的511
倍 B 、t ＞4 s 后，B 物体做匀加速直线运动 C 、t ＝ s 时，A 物体的速度为零
D 、t ＞ s 后，A 、B 的加速度方向相反
解析：对于A 、B 整体根据牛顿第二定律有F A ＋F B ＝(m A ＋m B )a ，开始时合力为11 N,3
秒末合力为5N ，故A 正确．设A 、B 间的作用力为F N ，则对B 进行分析，由牛顿第二定律可得：F N ＋F B ＝m B a ，
解得F N ＝m B F A ＋F B m A ＋m B
－F B ＝16－4t 3 N ．当t ＝4 s 时，F N ＝0，A 、B 两物体开始分离，此后B 做匀加速直线运动，故B 正确；而A 做加速度逐渐减小的加速运动，当t ＝ s 时，A 物体的加速度为零而速度不为零，故C 错误．t ＞ s 后，
A 所受合外力反向，即A 、
B 的加速度方向相反，故D 正确．当t ＜4 s 时，A 、B 的加速度均为a ＝F A ＋F B m A ＋m B
.综上所述，选项A 、B 、D 正确．
点评：相互接触的两物体脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零，即N=0。

针对练习1：不可伸长的轻绳跨过质量不计的滑轮，绳的一端系一质量M ＝15kg 的重物，重物静止于地面上，有一质量m ＝10kg 的猴子从绳的另一端沿绳上爬，如右图所示，不计滑轮摩擦，在重物不离开地面的条件下，猴子向上爬的最大加速度为(g 取10m/s 2)( ）
A 、25m/s 2
B 、5m/s 2
C 、10m/s 2
D 、15m/s 2
解析：本题的临界条件为F ＝Mg ，以猴子为研究对象，其受向上的拉力F ′和mg ，由牛顿第二定律可知，F ′－mg ＝ma ，而F ′＝F ，故有F －mg ＝ma ，所以最大加速度为a ＝5m/s 2.
点评：此题中的临界条件是：地面对物体的支持力为零。

针对练习2：一弹簧秤的秤盘质量m 1=1．5kg ，盘内放一质量为m 2=10．5kg 的物体P ，弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m ，系统处于静止状态，如图所示。

现给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止
开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0．2s 内F 是变化的，在0．2s 后是恒定的，求F 的最大值和最
小值各是多少（g=10m/s 2）
解析： 依题意， s 后P 离开了托盘， s 时托盘支持力恰为零，此时加速度为： a=（F 大－mg ）/m ① (式中F 大为F 的最大值)此时M 的加速度也为a. a=（kx －Mg ）/M ②
所以 kx=M （g+a ） ③ 原来静止时，压缩量设为x 0，则：
kx 0=（m+M ）g ④ 而 x 0－x=at 2/2 ⑤
由③、④、⑤有： 即mg －Ma=
a=mg/（M+）=6 m/s 2 ⑥ ⑥代入①：
F max =m （a+g ）=（6+10）N=168 N F 最大值为168 N.
刚起动时F 为最小，对物体与秤盘这一整体应用牛顿第二定律得
F 小+kx 0－（m+M ）g=（m+M ）a ⑦ ④代入⑦有：F min =（m+M ）a=72 N F 最小
值为72 N.
点评：此题中物块与秤盘刚分离时，二者具有相同的速度与加速度，此时二者间相互作用的弹
力为零，在求拉力F 的最大值与最小值时要注意弹簧所处的状态，
例题三、表演“水流星”节目，如图所示，拴杯子的绳子长为l ，绳子能够承受的最大拉力是杯
解析：要使水在最高点恰不流出杯子，此时绳子对杯子拉力等于零，杯子和水做圆周运动的向心力仅由其重力mg 提供，由牛顿第二定律，在最高点处对杯子和水列方程：mg=mv 12/L ，所以，杯子通过最高点时速度的最小值
1v gl =。

在最低点处对杯子和水应用牛顿第二定律22v F mg m L -=，当F=8mg 取最大值时，速度v 2也取最大值，而228v mg mg m L
-=，故通过最低点时速度的最大值27v gl = 点评：重力场中，在竖直平面内作圆周运动的物体恰好能通过最高点的临界条件是：仅由重力提供作圆周运动的向心力，此时与物体连的细绳、细杆、或其他接触物对作圆周运动的物体的作用力为零。

针对练习:(04甘肃理综)如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O 。

现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F （ D ）
A 、一定是拉力
B 、一定是推力
C 、一定等于0
D 、可能是拉力，可能是推力，也可能等于0
例题四：如图所示，细绳一端系着质量m ′＝ kg 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的
小孔吊着质量m ＝ kg 的物体，m ′的重心与圆孔距离为 m ，并知m ′和水平面的最大静摩擦力为
2 N ．现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围，m 会处于静止状态．(取g ＝10 m/s2)
解析：要使m 静止，m ′也应与平面相对静止，而m ′与平面静止时有两个临界状态：
当ω为所求范围最小值时，m ′有向着圆心运动的趋势，水平面对m ′的静摩擦力的方向背离圆心，
大小等于最大静摩擦力2 N.此时，对m ′运用牛顿第二定律，有T －f max ＝m ′ω12r ，
且T ＝mg 解得ω1＝ rad/s.
当ω为所求范围最大值时，m ′有背离圆心运动的趋势，水平面对m ′的静摩擦力的方向向着圆心，
大小还等于最大静摩擦力2 N.再对m ′运用牛顿第二定律，有T ＋f max ＝m ′ω22r ，且T ＝mg 解
得ω2＝ rad/s.
所以，题中所求ω的范围是： rad/s<ω< rad/s.
点评：分析“在什么范围内……”这一类的问题时要注意分析两个临界状态。

最大静摩擦力的方向与物体的相对运动趋势方向有关，当角速度最小时，有向着圆心的方向运动的趋势，当角速度达到最大的时候，有远离圆心的方向运动的趋势，因此出现了极值情况。

例题五、如图所示，质量为M=4kg 的木板长L=，静止在光滑且足够长的水平地面上，其水平顶面右端静置一质量m=1kg 的小滑块（可视为质点），其尺寸远小于L ，小滑块与木板间的动摩擦因数μ=。

（1）现用恒力F 的作用于木板M 上为使m 能从M 上滑落，F 的大小范围是多少（2）其他条件不变，若恒力F=且始终作用于M 上，最终使m 能从M 上滑落，m 在M 上滑动的时间是多少（不计空气阻力，g=10m/s 2）
解析：（1）小滑块与木板间的滑动摩擦力为F f =μf N =μmg ，小滑块在滑动摩擦力作用下向右做匀加速运动，由牛顿第二定律有，F f =ma 1, 21/4s m g m F a f
===μ,
对木板有：2Ma F F f =- 木板的加速度M
F F a f
-=2 使m 能从M 上滑落的条件为a 1＞a 2
M F F f -＞m F f 由以上各式得，F ＞μ
(M+m)g=20N ， 即F ＞20N 。

(2)设m 在M 上面滑行的时间为t ，木板的加速度M F F a f -=
2= m/s 2 2121
还原物理情景，构建物体模型，探寻临界状态的特征，寻求解题问题的突破口。

针对练习：如图所示，物体A 的质量为M ＝1 kg ，静止在光滑水平面上的平板车B 的质量为m ＝ kg 、长L ＝1 m ．某时刻A 以v 0＝4 m/s 向右的初速度滑上平板车B 的上表面，在A 滑上B 的同时，给B 施加一个水平向右的拉力．忽略物体A 的大小，已知A 与B 之间的动摩擦因数为μ＝，取重力加速度g ＝10 m/s 2.试求：如果要使A 不至于从B 上滑落，拉力F 应满足的条件。

解析：（1）物体A 不从车右端滑落的临界条件是A 到达B 的右端时，A 、B 具有共同的速度v 1，对A 物体有：A Ma Mg =μ A A x a v v 22120=-
对B 物体有：B ma Mg F =-μ B B x a v 22
1= 又：两物体运动时间相等，则，B
A a v a v v 110=- 由以上各式，可得：a
B =6 m/s 2 代入①式得： F=1 N
若F ＜1N ，则A 滑到B 的右端时，速度仍大于B 的速度，于是将从小车B 的右端滑落。

（2）当F 较大时，在A 到达B 的右端之前，就与B 具有相同的速度，之后，A 必须相对B 静止，才不会从B 的左端滑落．对整体和A 分别应用牛顿第二定律得：F ＝(m ＋M)a ′，μMg ＝Ma ′解得：F ＝3 N
若F 大于3 N ，A 就会相对B 向左滑下．
综合得出力F 应满足的条件是：1 N ≤F ≤3 N.。