傅里叶级数课件
傅里叶ppt课件

t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
F()f(t)ejtdt
etejtdte(j)tdt 1
0
0
j
j 2 2
f(t)21 F()ejtd21 2 j2ejtd
10cos2t 2sintd
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33
因此
0
cost sint
0
2 2
0
0
其中
+
+
A () f() c o sd , B () f() s i nd .
(2.3)
(2.2) 是 f(t) 的傅里叶积分公式的三角形式
f(t) A(),B()
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20
傅里叶积分定理:若函数 f(t) 在区间 (,+) 上满足条件
(1) 在任意有限区间满足狄里克雷条件,
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40
(5)
F [ej0tf(t)]F(0)
像函数的 位移性质
F[ej0t f(t)] f(t)ej(0)tdt F(0).
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41
(6) 卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系
F[f1(t)]F1(), F[f2(t)]F2()
F [f1 ( t) f2 ( t) ] F 1 ()F 2 ()
kt
l
,
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10
偶函数 f(x) 有
f(t)a0
2
+
ak
k1
coskt,
l
ak
1 l
l f ( ) cos k d ,
l
l
bk
1 l
l f ( ) sin k d .
高等数学-第七版-课件-12-7 傅里叶级数

在 例3 将函数
上的傅里叶展开式
u
展开成傅里叶级数, 其中E 是正的常数 . O t
傅里叶级数
一、三角级数 二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
傅里叶级数
一、三角级数 二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶系数为
a0 f ( x) an cos nx bn sin nx 2 n 1
①
② 定义 由公式 ② 确定的 称为函数f(x)
的傅里叶系数 ; 以f (x)的傅里叶系数为系数的三角级数 a0 an cos nx bn sin nx 称为f(x)的傅里叶级数 . 2 n 1
x
分别展开成正弦级数和余弦级数.
将定义在[0,]上的函数展开成正弦级数与余弦级数 展开思路 在
奇延拓 (偶延拓) 傅里叶展开 在
上有定义 上, 上为奇函数(偶函数)
定义在 在
(0, π] 上 F ( x ) f ( x ) 的正弦级数 (余弦函数) 展开式
y
例6 将函数
O 分别展开成正弦级数和余弦级数.
2) 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 并且 当x 为f (x)的连续点时,级数收敛于 f ( x );
当x 为f (x)的间断点时,级数收敛于
1 [ f ( x ) f ( x )]. 2
例1 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为
引言
简单的周期运动 ( A:振幅 :角频率
?
复杂的周期运动
:初相 )
数学分析课件 傅里叶级数

证 由定理条件, 函数 f 在 [ , ] 上连续且可积. 对 (9)式逐项积分得
π
π
f ( x )dx
π π a0 π dx (an cos nxdx bn sin nxdx ). π π 2 π n 1
由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零. 所以
f ( x t ) f ( x 0) lim f ( x 0), t 0 t f ( x t ) f ( x 0) lim f ( x 0), t 0 t
(13)
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(iii) 在补充定义 f 在[a , b]上那些至多有限个不存在 导数的点上的值后 ( 仍记为 f ), f 在[a, b]上可积.
n 1
即
从第十三章§1 习题4知道, 由级数(9)一致收敛,可 得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积, 有
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π
π
f ( x )cos kxdx π a0 π cos kxdx (an cos nx cos kxdx π 2 π n 1 bn sin nx cos kxdx ).
π
π
cos nxdx sin nxdx 0,
π
π
(6)
cos mx cos nx d x 0 ( m n ), ππ (7) ππ sin mx sin nxdx 0 (m n), π cos mx sin nxdx 0 . 而(5)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都
所以
A0 An sin( nx n )
n 1
A0 ( An sin n cos nx An cos n sin nx ).
数学分析课件 傅里叶级数

03
工程学
在工程学中,傅里叶级数可以用于分析和设计各种周期性结构,例如在
机械工程和土木工程等领域中,可以通过傅里叶级数来描述和分析周期
性振动和波动等问题。
02
傅里叶级数的基本性质
三角函数的正交性
三角函数的正交性是指在一周期内,任何两个不同的三角函 数都不相交,即它们的乘积在全周期内的积分值为零。这一 性质在傅里叶级数的展开和重构中起到关键作用,确保了频 谱的纯净性和分离性。
三角函数的周期性使得我们能够将无限长的信号转化为有限长的频谱,从而方便 了信号的分析和处理。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性是指一个信号的傅里叶级数展开在一 定条件下能够无限接近原信号。这一性质保证了傅里叶级 数展开的精度和可靠性,使得我们能够通过有限项的级数 展开来近似表示复杂的信号。
收敛性的判定是数学分析中的重要问题,涉及到级数的收 敛半径、收敛域等概念。在实际应用中,我们需要根据信 号的特性和精度要求来选择合适的收敛域和级数项数,以 保证傅里叶级数展开的准确性。
首先,确定函数的周期和定义域;其次,计算正弦和余弦函数的系数;最后,将得到的系数代入正弦和余弦函数的线 性组合中,得到函数的傅里叶级数表示。
傅里叶级数的表示方法的优缺点
傅里叶级数具有简洁、易计算等优点,能够将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数。然而,傅 里叶级数也存在着一些缺点,例如在非周期函数的情况下,傅里叶级数可能无法得到正确的结果。
图像增强
利用傅里叶级数,可以对图像进行增 强处理,如锐化、降噪等,提高图像 的视觉效果。
数值分析中的傅里叶级数
数值逼近
傅里叶级数可以用于求解某些函数的 数值逼近问题,如求解函数的零点、 极值等。
《傅里叶级数》课件

FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展,尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法,用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法,但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域,使得图 像的频率特征更加明显,便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱,可以去除不重要的频率成 分,从而实现图像的压缩,节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用,通过 滤除噪声对应的频率成分,可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法,有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换,可以分 析信号的频率成分,这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式,可以设计各种滤波 器,用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程,通 过离散化和变换,将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用,可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合,通过选取适当的基 函数,可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换(DFT)是连续傅里叶变换的离 散化形式,用于将时域信号转换为频域信号。
《傅立叶级数》课件

特征提取
傅立叶级数可以用于图像特征提取 ,通过分析图像的频谱特性,提取 出图像中的边缘、纹理和结构等特 征。
数值分析中的应用
数值积分
傅立叶级数可以用于数值积分, 通过对被积函数进行展开,将积 分转换为一系列项的和,从而近 似计算积分值。
优点
思路清晰,易于理解。
步骤
将傅立叶级数的计算问题分解为若干个子问题,分别计算 每个子问题的傅立叶级数,最后合并得到原函数的傅立叶 级数。
缺点
需要仔细选择分治策略,否则可能影响计算的精度和效率 。
05
傅立叶级数的应用实例
信号处理中的应用
信号分析
频域分析
傅立叶级数可以将复杂的信号分解为 简单的正弦波和余弦波,从而方便分 析信号的频率、振幅和相位等特性。
傅立叶级数
目录
• 傅立叶级数简介 • 傅立叶级数的性质 • 傅立叶级数的展开 • 傅立叶级数的计算方法 • 傅立叶级数的应用实例 • 傅立叶级数的展望与未来发展
01
傅立叶级数简介
傅立叶级数的定义
1
傅立叶级数是一套将周期函数表示为无穷级数的 方法,由法国数学家约瑟夫·傅立叶在19世纪初提 出。
2
微分方程求解
傅立叶级数可以用于求解微分方 程,通过对微分方程进行变换, 将其转换为代数方程,从而求解 微分方程的解。
插值和拟合
傅立叶级数可以用于插值和拟合 ,通过对数据进行展开,找到数 据的最佳拟合函数,从而进行插 值和拟合计算。
06
傅立叶级数的展望与未来发展
傅立叶级数与其他数学分支的联系
调和分析
$$f(x) = sum_{n=0}^{infty} d_n e^{ifrac{2pi n}{T}x}$$
高数数学课件-D12_7傅里叶级数共39页文档

n 1
(谐波迭加)
A n sn c in n t o A n c s n s o n t is n
令
a0 2
A0,
a n A n sin n ,b nA nco n ,s tx
得函数项级数 a 2 0k 1(a nco nx sb nsinx n )
称上述形式的级数为三角级数.
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定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
f(x ) a 2 0 n 1 (a ncn o x s b nsn i) nx ①
右端级数可逐项积分, 则有
a b n n 1 1 π π π π f f( ( x x ) ) c sn n io d d n x x x x s ( ( n n 1 0 ,,2 1 , , ) ) ②
证: 由定理条件, 对①在 [π,π]逐项积分, 得
π π f( x ) d x a 2 0 π π d x n 1 a n π π cn x o d x b s n π π sn x id x n
a0π
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a0 1 π πf(x)dx
πf( x ) ck o x d x s a 0π ck o x d x s
π
2 π
n 1
an π πco kxc so nxd sxbn ππco kxsinx ndx
ak ππco2ksxdxak π
(利用正交性)
a k 1 π π πf(x )ck o x d x s(k 1 ,2 , )
1 consnx01 consnx0n21cons
n21(1)n
4 n
0,
,
当 n 1 ,3 ,5 , 当 n 2 ,4 ,6 ,
《傅里叶级数》课件

傅里叶系数: a_n和b_n,可 以通过积分计算 得到
傅里叶级数的收 敛性:对于满足 一定条件的函数, 傅里叶级数收敛 于该函数
傅里叶级数的计算步骤
傅里叶级数的计算实例
实例:计算正弦函数的傅里 叶级数
计算步骤:确定周期、确定 频率、确定振幅、确定相位
傅里叶级数的定义:将周期函 数分解为无穷多个正弦和余弦 函数的和
傅里叶级数未来的研究方向与挑战
傅里叶级数的快速算法研究 傅里叶级数的应用领域拓展 傅里叶级数的理论研究与证明 傅里叶级数的计算复杂性与优化
感谢您的观看
汇报人:PPT
实例:计算余弦函数的傅里 叶级数
实例:计算三角函数的傅里 叶级数
实例:计算复杂函数的傅里 叶级数
傅里叶级数的应 用实例
信号处理中的应用
滤波器设计:傅里叶级数可以用于设计各种滤波器,如低通滤波器、高通滤波器等。 信号分析:傅里叶级数可以用于分析信号的频率成分,如分析信号的频谱、功率谱 等。
信号处理:傅里叶级数可以用于处理信号,如信号的压缩、增强、去噪等。
傅里叶级数的周期性
傅里叶级数是一种周期函数 周期性是傅里叶级数的基本性质之一 周期性是指函数在一定区间内重复出现 周期性是傅里叶级数在信号处理、图像处理等领域里叶级数的展开式
傅里叶级数的定 义:将周期函数 分解为无穷多个 正弦函数和余弦 函数的线性组合
傅里叶级数的展 开式:f(x) = a_0 + Σ[a_n * cos(nωx) + b_n * sin(nωx)]
数值分析中的应用
傅里叶级数在信号处理中的应用 傅里叶级数在图像处理中的应用 傅里叶级数在音频处理中的应用 傅里叶级数在金融数据分析中的应用
其他应用领域
傅立叶(Fourier)级数的展开方法PPT幻灯片课件

k
ck
1 2l
l l
i kx
f ( x)e l dx
例5 把锯齿波f(x)在(0,T)这个周期上可表示
为f(x)=Hx/T,试把它展为复数形式的傅立叶 级数。
f (x)
解 函数曲线如图 x
T
27
周期为 2l T , l T
2
ck
1 2l
l l
i 2kx
f ( x)e T dx
1
T
H
i
xe
方法
将函数 f(x)解析延拓到[-l,l]区间,再将[-l,l] 区间的函数再延拓到[-∞∞]区间上,构成周期函数 g(x),其周期为2l
例4 定义在(0,l)上的函数f(x)=a(1-x/l),将
该函数展开为傅立叶级数。
解 函数曲线如图
f (x)
a x
l
21
延拓到(- l,l)后再周期延拓,如图做偶延拓:
16
三、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开
工程以及物理上用到的函数一般是定义在有限区间上的. 1、定义在 [-l, l] 上的函数 f(x)展开;
方法 将函数 f(x)解析延拓到[-∞,∞]区间, 构成的周期函数g(x),其周期为2l
f (x)
l
l
f (x)
l
l
x x
17
f (x)
l
l
x
f (x)
x
l
l
仅在 [-l,l]上,g(x)≡f(x).
例3 在(-1,1)上定义了函数f(x)为:
x
f
(
x)
1
1
(1,0)
(0, 1 ) 2
( 1 ,1) 2
《高数-傅里叶级数》课件

02
该公式将复杂的函数f(x)表示为简单的三角函数之和,便于分析函数的性质和求 解相关问题。
03
展开公式中的系数a0、an、bn可以通过函数的积分得到。
傅里叶级数的展开步骤
01
第一步是将待展开的函数f(x)进行傅里叶级数的展开,得到展开式。
02
第二步是求解展开式中的系数a0、an、bn,可以通过函数的积分得 到。
傅里叶级数的应用领域
傅里叶级数在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用。
在信号处理、图像处理、振动分析、 量子力学等领域,傅里叶级数被用于 分析信号和系统的频率成分,以及进 行频域分析和处理。
02
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
收敛的条件
傅里叶级数在满足一定条件下收敛, 如狄利克雷条件和黎曼条件等。这些 条件限制了周期函数的波形和振幅, 以确保级数收敛。
傅里叶级数的对称性可以通过数学证明得到。证明过程中需要利用三角函数的 性质和级数的运算规则。
傅里叶级数的周期性
周期性的应用
周期性在信号处理、图像处理等领域中有着广泛的应用。例如,在信号处理中, 可以利用周期性来分析信号的频率成分和周期性变化。
周期性的证明
傅里叶级数的周期性可以通过数学证明得到。证明过程中需要利用三角函数的周 期性和级数的运算规则。
03
第三步是将求解出的系数代入展开式中,得到函数的傅里叶级数展开 式。
04
第四步是利用傅里叶级数的性质和公式,对展开后的函数进行分析和 求解相关问题。
04
傅里叶级数的应用实例
信号处理中的傅里叶级数
信号分析
傅里叶级数提供了一种将复杂信号分解为简单正弦波的方法,有 助于信号的频谱分析和特征提取。
高数-傅里叶级数2.ppt

例 4.将函数 f (x) x2( x) 展开成傅里叶级数。
解:把 f ( x) 在(,] 上作周期延拓,
a0
1
1 f ( x)dx
x2dx 22 , 3
an
1
f ( x)cosnxdx 1
x2cosnxdx
(1)n n2
4(n1,
2,
)
,
bn
1
x2sinnxdx0 ,
如例 1:
即 S(
x 时,
xxn)1((10x),,n,)1xx时n2ys(,innn.x,1(),f 1()n10n2)2sinf n(x0f)
(x) x ,
0 2
。
3 2 o 2 3 y
3 2 o 2 3
x f (x)的图象. x S(x)的图象.
把 f (x) 在[, ] 上展开为傅里叶级数的步骤为 (1)用狄氏条件判断 f ( x) 能否展开为傅里叶级数; (2)求出傅里叶系数; (3)写出傅里叶级数并注明在何处收敛于f ( x) ; (4)画出 f ( x) 和S( x) 的图形(至少画出三个周期),
并写出 S( x)的表达式 。
例
2.设
f
(x)
以2
为周期,且
f
(
1,
x)
1,
x0 , 0 x
将 f ( x) 展开为傅里叶级数,并求其和函数S( x) 。
解: f ( x) 满足狄氏条件。求傅里叶系数:
a0
1
f
( x)dx
1
0
dx
1
0
dx0
,
1
10
1
an f ( x)cosnxdx (1)cosnxdx 0 cosnxdx
电子信号课件 4.4 三角形式的傅里叶级数

主要内容:1.周期信号三角形式的傅里叶级数2.狄里赫利条件3.吉布斯现象基本要求:1.掌握周期信号三角形式傅里叶级数和谐波的基本概念2.了解狄里赫利条件3.了解吉布斯现象的原理知识点Z4.4三角形式的傅里叶级数第四章 傅里叶变换与频域分析4.2周期信号的傅里叶级数Z4.4周期信号三角形式的傅里叶级数三角函数集{1,cos(nΩt),sin(nΩt),n=1,2,…}设周期信号f(t),其周期为T,角频率Ω=2π/T,当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时,可展开为三角形式的傅里叶级数。
系数an , bn称为傅里叶系数。
11()cos()sin() 2n nn naf t a n t b n t∞∞===+Ω+Ω∑∑1.三角形式的傅里叶级数11()cos()sin()2n n n n a f t a n t b n t ∞∞===+Ω+Ω∑∑222()cos()d T T n a f t n t tT-=Ω⎰余弦分量系数: 222()sin()d TT n b f t n t tT -=Ω⎰正弦分量系数:0221()d 2T T a f t tT-=⎰直流分量: 直流 n 次余弦分量n 次正弦分量2.狄里赫利(Dirichlet)条件:条件1:在一个周期内,函数连续或只有有限个第一类间断点;条件2:在一个周期内,函数极大值和极小值的数目应为有限个; 条件3:在一个周期内,函数绝对可积。
()f t O 18-t8212()sin(),(01)t f t t t=<≤O11-t1O121-2-t11(),(01)f t t t=<≤[]1()cos()sin()2n n n a f t a n t b n t ∞==+Ω+Ω∑合并n 次正余弦分量22arctann n n n n n A a b b a ϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩cos sin n n nn n na Ab A ϕϕ=⎧⎨=-⎩01()cos()2n n n A f t A n t ϕ∞==+Ω+∑3.余弦形式的傅里叶级数A0/2 为直流分量;A 1cos(Ωt+ϕ1) 称为基波或一次谐波,角频率与原周期信号相同;A 2cos(2Ωt+ϕ2) 称为二次谐波;…A n cos(nΩt+ϕn) 称为n次谐波。
高等数学课件--D127傅里叶级数

d
x
1 π
x2 2
0 π
π 2
an
1 π
π
π
f
(x)cos nxdx
1 π
0
π
x cos
nx
d
x
2019/9/16
1 xsin nx π n
cos nx n2
0 π
1
cos nπ n2 π
同济版高等数学课件
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cos
nx
d
x
1 π
π
0
1
cos
nx
d
x
0 ( n 0 ,1, 2 ,)
2019/9/16
同济版高等数学课件
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1
0
1
(1)sin nx d x
π
1sin nxdx
π π
π0
1
π
cos nx n
0 π
π
1 π
f
( x) sin
nx d
x
(n 1, 2, )
由公式 ② 确定的
称为函数
的傅里叶系数 ; 以 的傅里
叶系数为系数的三角级数 ① 称为
的傅里叶级数 .
2019/9/16
同济版高等数学课件
简介 目录 上页 下页 返回 结束
定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2 的
周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
定理 1. 组成三角级数的函数系
《傅里叶级数 》课件

信号处理:用于 分析信号的频率 成分,如音频、 视频信号等
工程领域:用于 分析机械振动、 电磁场等物理现 象
数学物理:用于 求解偏微分方程、 热传导等问题
计算机科学:用 于图像处理、数 据压缩等领域
03 傅里叶级数的基本原理
三角函数的定义与性质
三角函数:正弦、余弦、正切、余切、正割、余割 定义:以直角三角形的边长和角度为基础定义的函数 性质:周期性、奇偶性、对称性、单调性 应用:傅里叶级数、信号处理、工程计算等
傅里叶级数的历史背景
傅里叶级数是 由法国数学家 傅里叶在1807
年提出的
傅里叶级数是 傅里叶分析的 基础,是研究 信号处理、图 像处理等领域
的重要工具
傅里叶级数在 数学、物理、 工程等领域有 着广泛的应用
傅里叶级数在 信号处理、图 像处理等领域 的应用,推动 了这些领域的
发展
傅里叶级数的应用领域
06
傅里叶级数的扩展与展 望
傅里叶变换的推广与应用
傅里叶变换在信号 处理中的应用
傅里叶变换在图像 处理中的应用
傅里叶变换在语音 识别中的应用
傅里叶变换在金融 分析中的应用
傅里叶分析在其他数学领域的应用
信号处理:傅里叶变换在信号处理领域有着广泛的应用,如滤波、频谱分析等。 数值分析:傅里叶级数在数值分析中用于求解微分方程、积分等。 概率论与统计学:傅里叶变换在概率论与统计学中用于分析随机信号、随机过程等。 量子力学:傅里叶变换在量子力学中用于描述量子态的演化和测量。
傅里叶级数的收敛性:傅里叶级数在满足一定条件下是收敛的 收敛条件:傅里叶级数的收敛性取决于其系数的绝对值之和是否收敛 证明方法:可以通过积分法、极限法等方法进行证明 收敛速度:傅里叶级数的收敛速度可以通过其系数的绝对值之和的收敛速度来衡量
傅里叶Fourier级数课件

+
4
,
解得
π2 6
, 2
π2 24
.
37-19
3.正弦级数与余弦级数 在波动问题、热传导或热扩展问题等诸多实际问题中,经常需
22 1
3
2n 1
1 2 sin(2n 1)x .
2 π n1 2n 1 又 f (x) 在[π, π] 上满足狄利克雷条件,由狄利克雷收敛定理
知,在 f (x) 的间断点 x kπ(k 0,1, 2, ) 处, f (x) 的傅里叶级数
收敛于 f (kπ ) f (kπ ) 1 f (kπ) ,而在其它点处, f (x) 连续,
但函数 f (x) 的傅里叶级数是否收敛于 f (x) ?或者说函数 f (x)
是否可以展开成傅里叶级数?这个问题需要进一步讨论.为此记
f
(x)
~
a0 2
(an cos nx
n1
bn sin nx)
.
(13.7.6)
37-9
2.收敛定理与傅里叶展开式
定理 13.7.2 [狄利克雷(Dirichlet)收敛定理] 设 f (x) 是以 2π 为
a0 2
cos nx
k 1
(ak
cos kxcos nx
bk
sin
kxcos nx)
,
将上式两端在[- π, π]上逐项积分,有
37-7
(续证) π f (x)cosnxdx π
a0
2
π
cos nxdx
π
ak
k 1
π
π cos kx cos nxdx bk
π
sin kx cos nxdx
周期的周期函数,如果 f (x) 在[π, π] 上满足条件:
数学分析第十四章课件傅里叶级数

逐段光华 3.广义左右微商存在,即
lim f (xi t) f (xi 0) ,lim f (xi t) f (xi 0) 存在
t 0
t
t 0
t
综合:得:
定理14.5 P128 若
f (x),T 2 在 [ , ] 逐段可微,则f (x) 的 Fourier级数
第十四章 Fourier级数
两类重要的函数项级数
幂级数 un x n0
三角级数
a0 2
n1
an
cos nx
bn
sin
nx
问题
三角级数 给定函数
收敛? 表示的函数 能否用三角级数表示
研究函数
(i) f x 满足什么条件,可以展开成三角级数
(ii) 若可以展开,展开式是什么形式?
f (x)
2
n1
(1)n1 sin nx n
f (x), 0,
x x
看P131图
例3
f (x) x2, x . 求其 Fourier 展开式。
解: 1).画图
2).求 Fourier 系数。f (x) 为偶函数,
bn
0, a0
2
x cos nxdx
2
0
n
sin nxdx
0
看P118图
4
n2
,
n 为奇数
0, n 为偶数
f (x) 4 cos(2n 1)x 4 (cos x cos 3x cos 5x ...)
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A0 An sin( n x n ).
n 1
(3)
若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运
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动现象. 对于级数(3), 只须讨论 1 (如果 1 可 用 x 代换x )的情形. 由于
sin( nx n ) sin n cos nx cos n sin nx,
f ( x t ) f ( x 0) lim f ( x 0), t 0 t f ( x t ) f ( x 0) lim f ( x 0), t 0 t
(13)
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(iii) 在补充定义 f 在[a , b]上那些至多有限个不存在 导数的点上的值后 ( 仍记为 f ), f 在[a, b]上可积.
所以
A0 An sin( nx n )
n 1
A0 ( An sin n cos nx An cos n sin nx ).
n 1
(3)
a0 记 A0 , An sin n an , An cos n bn , n 1,2, 2
f ( x 0) f ( x 0) f ( x ), 2 即此时f的傅里叶级数收敛于 f ( x ) . 这样便有
推论 若 f 是以 2π 为周期的连续函数, 且在 [ π, π] 上按段光滑, 则 f 的傅里叶级数在 ( , ) 上收敛 于f .
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注1 根据收敛定理的假设,f 是以 2π 为周期的函数, 所以系数公式(10)中的积分区间 [ π, π] 可以改为长 度为 2π 的任何区间, 而不影响 an , bn 的值: 1 c2 π an f ( x )cos nxdx n 0,1,2, , π c 1 c2 π bn f ( x )sin nxdx n 1,2, , π c 其中 c 为任何实数.
,
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则级数( 3 )可写成 a0 (an cos nx bn sin nx ). 2 n1 它是由三角函数列(也称为三角函数系)
1,cos x ,sin x ,cos 2 x ,sin 2 x , ,cos nx ,sin nx ,
(4)
(5)
所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一
(10)
注2 在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时, 经常
只给出函数在 ( π, π] (或 [ π, π) )上的解析式, 但
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应理解为它是定义在整个数轴上以
2π为周期的函
数, 即在 ( π, π] 以外的部分按函数在 ( π, π] 上的对 应关系做周期延拓. 也就是说函数本身不一定是定 义在整个数轴上的周期函数, 但我们认为它是周期 函数. 如 f 为 ( π, π]上的解析表达式, 那么周期延拓 后的函数为
算术平均值, 即
f ( x 0) f ( x 0) a0 (an cos nx bn sin nx ), 2 2 n1
其中 an , bn 为f 的傅里叶系数.
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注 傅里叶级数的收敛性质与幂级数相比, 对 函数的要求要低得多, 所以应用更广. 而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉. 概念解释 1. 若f 的导函数在 [a , b]上连续, 则称f在[a, b]上光滑. 2. 如果定义在 [a , b]上函数f 至多有有限个第一类间 断点,其导函数在[a, b]上除了至多有限个点外都存 在且连续, 并且在这有限个点上导函数 f 的左、右 极限存在, 则称 f 在 [a , b]上按段光滑.
3π
π O
π
3π
5π
x
图 15 2 实线与虚线的全体表示 y f ( x )
§1 傅里叶级数
一个函数能表示成幂级数给研究函数带来 便利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果 函数没有这么好的性质, 能否也可以用一些简 单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数 呢? 这就是将要讨论的傅里叶级数. 傅里叶级 数在数学、物理学和工程技术中都有着非常 广泛的应用, 是又一类重要的级数.
π π
由三角函数的正交性, 右边除了以 ak 为系数的那一
项积分
π π
π
π
cos 2 kxdx π
外,其他各项积分都等于0,于是得出:
f ( x )cos kx dx ak π (k 1,2, ).
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即
1 π ak f ( x )cos kxdx ( k 1,2, ). π π
π
π
cos nxdx sin nxdx 0,
π
π
(6)
cos mx cos nx d x 0 ( m n ), ππ (7) ππ sin mx sin nxdx 0 (m n), π cos mx sin nxdx 0 . 而(5)中任何一个函数的平方在 [-π, π] 上的积分都
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证 由定理条件, 函数 f 在 [ , ] 上连续且可积. 对 (9)式逐项积分得
π
π
f ( x )dx
π π a0 π dx (an cos nxdx bn sin nxdx ). π π 2 π n 1
由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零. 所以
函数 f 出发, 按公式(10)求出其傅里叶系数并得到
傅里叶级数(12) , 这时还需讨论此级数是否收敛. 如果收敛, 是否收敛于 f 本身. 这就是下一段所要 叙述的内容.
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三、收敛定理
定理12.3(傅里叶级数收敛定理) 若以 2π 为周期的
函数 f 在 [ π, π]上按段光滑, 则在每一点 x [ π, π], f 的傅里叶级数(12)收敛于f 在点x 的左、右极限的
一、三角级数· 正交函数系
二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数 三、收敛定理
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一、三角级数·正交函数系
在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一 种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数
y A sin( x ) (1)
来描述. 由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动, 其中A为振幅. 为初相角, 为角频率, 于是简谐
n 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即
由级数(9)一致收敛,可得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积, 有
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π
π
f ( x )cos kxdx π a0 π cos kxdx (an cos nx cos kxdx π 2 π n 1 bn sin nx cos kxdx ).
根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论. 为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函
数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
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有函数具有共同的周期 2π. 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
的乘积在 [ , ]上的积分等于零,即
π
从几何图形上讲, 在 区间[a, b]上按段光滑
光滑函数,是由有限个 光滑弧段所组成,它至
y
y f ( x)
多有有限个第一类间
断点 (图15-1).
a O x1 x 2
x3
x4
b
x
图 15 1
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收敛定理指出, f 的傅里叶级数在点 x 处收敛于 f 在
该点的左、右极限的算术平均值 f ( x 0) f ( x 0) ; 2 而当 f 在点 x 连续时,则有
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二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4) 的和函数 f 与级数(4)的系数 a0 , an , bn 之间的关系. 定理12.2 若在[-π,π]上 a0 f ( x ) (an cos nx bn sin nx ) (9) 2 n1 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: 1 π an f ( x )cos nxdx , n 0,1,2, , (10a ) π π 1 π bn f ( x )sin nxdx , n 1,2, , (10b) π π
π
π
a0 f ( x )dx 2 π a0 π, 2
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1 π a0 f ( x )dx . π π 又以 cos kx 乘(9)式两边 (k为正整数), 得 a0 f ( x )cos kx cos kx 2
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx ). (11)
(12)
这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级
数, 由定理12.2知道: 若(9)式右边的三角级数在整
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个数轴上一致收敛于和函数 f , 则此三角级数就是 f 的傅里叶级数,即此时(12)式中的记号“~”可换为 等号. 然而, 若从以 2π 为周期且在 [ π, π] 上可积的
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在[a, b]上按段光滑的函数 f ,有如下重要性质: (i) f 在 [a , b]上可积. (ii) 在 [a , b] 上每一点都存在 f ( x 0), 如果在不连续 点补充定义 f ( x ) f ( x 0) , 或 f ( x ) f ( x 0) , 则 还有
f ( x ), x ( π,π], ˆ f ( x) f ( x 2kπ), x ((2k 1)π,(2k 1)π], k 1, 2, .