有限元第二次作业
2016年秋国科大有限元作业答案
∴ u(x) = ui +
1
有限元作业答案 smartsrh 2016 年秋季中国科学院大学张年梅教授
图 2: 题图 2
2. 利用梁单元计算以下结构的应力。
解：将此梁划分为两个单元 AB 和 BC 。首先计算节点等效载荷阵列 { } [ ]T P = RyA + FyA RθA + MθA FyB MθB RyC RθC [ ]T = RyA − P /2 RθA − P l/8 −P /2 9P l/8 RyC RθC 计算各个单元刚度矩阵如下 12 6l −12 6l [ ](AB ) 2EI 6l 4l2 −6l 2l2 = 3 K l −12 −6l 12 −6l 2 2 6l 2l −6l 4l
6l 4l2 2EI −12 −6l = 3 l 6l 2l2 0 0
12
6l−126l Nhomakorabea2
有限元作业答案 smartsrh 2016 年秋季中国科学院大学张年梅教授
[ ]AB [ ]AB [ ]AB { }AB ∴ σ =E ε =E B δ [
3
= Ey (6l − 12x)/l
3
有限元作业答案 smartsrh 2016 年秋季中国科学院大学张年梅教授
4. 证明三结点三角形单元的插值函数满足 Ni (xj , yj ) = δij 及 Ni + Nj + Nk = 1
证明： 假设三节点 i、j 、m 逆时针方向编号，不妨考虑横向位移，纵向位移与此同理 β1 β1 1 xi yi u ui xj ym − xm yj yi xm − xi ym xi yj − xj yi i uj = 1 xj yj β2 =⇒ β2 = 1 yj − ym ym − yi yi − yj uj 2∆ β3 β3 1 xm ym um um xm − xj xi − xm xj − xi β x y − x y y x − x y x y − x y u 1 j m m j i m i m i j j i [ ] ] i 1 [ ∴u= 1 x y = ym − yi yi − yj uj β2 2∆ 1 x y yj − ym β3 xm − xj xi − xm xj − xi um x y − x y y x − x y x y − x y j m m j i m i m i j j i [ ] ] 1 [ ∴ Ni Nj Nm = 1 x y yj − ym ym − yi yi − yj 2∆ xm − xj xi − xm xj − xi x y − x y 1 x y m j i i ] j m 1 1 [ det = ∴ Ni (xi , yi ) = 1 xi yi y − y 1 x y j m j j = 1 2∆ 2∆ xm − xj 1 xm ym xj ym − xm yj 1 yj − ym = 0 = Ni (xm , ym ) ∴ Ni (xj , yj ) = 2∆ xm − xj [ ] xj ym − xm yj 1 xi yi yi xm − xi ym xi yj − xj yi 1 x y yj − ym + ym − yi + yi − yj = 1 det 1 xj yj = 1 Ni +Nj +Nm = 2∆ 2∆ xm − xj 1 xm ym xi − xm xj − xi Ni + Nj + Nm = 1 ∴ Ni (xj , yj ) = δij
(完整版)有限元第二章课后题答案
2 弹性力学问题的有限单元法思考题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。
2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。
2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。
而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。
2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。
矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。
矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。
因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？ 答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。
计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。
2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。
在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。
若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。
2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。
《有限元分析》课程作业
《有限元分析》课程作业任课教师：徐亚兰学生姓名：陈新杰学号：班级：1304012时间：2016-01-05一、问题描述及分析问题：如图1所示，有一矩形平板，在右侧受到P=10KN/m 的分布力，材料常数为：弹性模量Pa E 7101⨯=；泊松比3/1=μ；板的厚度为t=；试按平面应力问题利用三角形与矩形单元分别计算各个节点位移及支座反力。
图1 平面矩形结构的有限元分析分析：使用两种方案：一、基于3节点三角形单元的有限元建模，将矩形划分为两个3节点三角形单元；二、基于4节点矩形单元的有限元建模，使用一个4节点矩形单元。
利用MATLAB 软件计算出各要求量，再将两种方案的计算结果进行比较、分析、得出结论。
二、有限元建模及分析1、基于3节点三角形单元的有限元建模及分析 （1）结构的离散化与编号如图2所示，将平面矩形结构分为两个3节点三角形单P=10KN/m1m1m元。
单元①三个节点的编号为1，2，4，单元②三个节点的编号为3，4，2，各个节点的位置坐标为(),,1,2,3,4i i x y i =，各个节点的位移（分别沿x 方向和y 方向）为(),,1,2,3,4i i u v i =。
图2 方案一：使用两个3节点三角形单元（2）各单元的刚度矩阵及刚度方程 a.单元的几何和节点描述单元①有6个节点位移自由度（DOF ）。
将所有节点上的位移组成一个列阵，记作(1)q ；同样，将所有节点上的各个力也组成一个列阵，记作(1)F ，则有(1)112244,,,,,)q u v u v u v =（(1)112244(,,,,,)x y x y x y F F F F F F F =同理，对于单元②，有(2)334422,,,,,)q u v u v u v =（1234X y ①②(2)334422(,,,,,)x y x y x y F F F F F F F =b.单元的位移场描述对于单元①，设位移函数012012(,)(,)u x y a a x a y v x y b b x b y ⎫=++⎪⎬=++⎪⎭(1-1)由节点条件，在,i i x x y y ==处，有(,)(,)i i i i i i u x y u v x y v =⎫⎬=⎭1,2,4i = (1-2) 将式(1-1)代入节点条件式(1-2)中，可求出式（1-1）中待定系数，即011122211223444411()22u x y a u x y a u a u a u AAu x y ==++ (1-3) 11122112234441111()221u y a u y b u b u b u AAu y ==++ (1-4) 21122112234441111()221x u a x u c u c u c u AAx u ==++ (1-5) 01122341()2b a v a v a v A =++(1-6) 11122341()2b b v b v b v A =++(1-7) 21122341()2b c v c v c v A =++(1-8)在式(1-3)~式(1-8)中1122123441111()221x y A x y a a a x y ==++ (1-9)2212442442124421244(1,2,3)1111x y a x y x y x y y b y y y x c x x x ⎫==-⎪⎪⎪⎪=-=-⎬⎪⎪⎪==-+⎪⎭ (1-10) 上式中的符号(1,2,3)表示下标轮换，如12,23,31→→→同时更换。
有限元习题及答案ppt课件
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
(完整word版)有限元分析大作业报告要点
有限元分析大作业报告试题1：一、问题描述及数学建模图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比较：（1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；（2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算；（3）当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。
该问题属于平面应变问题，大坝所受的载荷为面载荷，分布情况及方向如图所示。
二、采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算1、有限元建模（1）设置计算类型：两者因几何条件和载荷条件均满足平面应变问题，故均取Preferences 为Structural（2）选择单元类型：三节点常应变单元选择的类型是Solid Quad 4 node182；六节点三角形单元选择的类型是Solid Quad 8 node183。
因研究的问题为平面应变问题，故对Element behavior（K3）设置为plane strain。
（3）定义材料参数：弹性模量E=2.1e11，泊松比σ=0.3（4）建几何模型：生成特征点；生成坝体截面（5）网格化分：划分网格时，拾取lineAB和lineBC，设定input NDIV 为15；拾取lineAC，设定input NDIV 为20，选择网格划分方式为Tri+Mapped，最后得到600个单元。
（6)模型施加约束：约束采用的是对底面BC 全约束。
大坝所受载荷形式为Pressure ，作用在AB 面上，分析时施加在L AB 上，方向水平向右，载荷大小沿L AB 由小到大均匀分布。
以B 为坐标原点，BA 方向为纵轴y ，则沿着y 方向的受力大小可表示为：}{*980098000)10(Y y g gh P -=-==ρρ2、 计算结果及结果分析 （1） 三节点常应变单元三节点常应变单元的位移分布图三节点常应变单元的应力分布图（2）六节点三角形单元六节点三角形单元的变形分布图六节点三角形单元的应力分布图①最大位移都发生在A点，即大坝顶端，最大应力发生在B点附近，即坝底和水的交界处，且整体应力和位移变化分布趋势相似，符合实际情况；②结果显示三节点和六节点单元分析出来的最大应力值相差较大，原因可能是B点产生了虚假应力，造成了最大应力值的不准确性。
有限元方法例题解答
2023《有限元技术》习题一参考答案1、用欧拉方程求泛函()1022[()]'2(0)0,(1)0J y x y y xy dx y y ⎧=--⎪⎨⎪==⎩⎰的极值曲线。
解：22'2F y y xy =--，代入欧拉方程'0y y dF F dx-=， 得：''++0y y x =，解微分方程得通解：12sin cos y C x C x x =+-，代入边界条件(0)0,(1)0y y ==，解得sin sin1xy x =-。
2、如图所示，一长度为L 质量为M 的项链悬挂在跨度为2a 的A 和B 两点，项链在重力场中自然下垂，试求该链悬在稳定状态时的曲线方程。
（重力加速度为g ）解： （方法一）将原坐标系(),x y 向下平移1C 个单位(),x y ，拟采用1cosh y C t =代换求解 在新坐标系中，悬链在稳定状态时能量处于最小值。
悬链线质量密度MLλ=， 长度为dl 的势能为：()Mgy dW dmgy dl gy dl L λ====，悬链总势能泛函：(a a a a Mg W dW dx dx L --===⎰⎰⎰，约束条件为：悬链线长度aL -=⎰，泛函的被积函数：(),F y y '=，势能泛函取极小值时的欧拉方程为：'1'y F y F C -=， 即：21C -=，化简得：y C =于是：dx =x =，令1cosh y C t =（在新坐标系下才能作此代换），得：1sinh sinh dy C tdt t =⎧=，代入x =，得112x C dt C t C ==+⎰所以，21x C t C -=，21cosh cosh x C t C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭回代1cosh y C t =得：211cosh x C y C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线关于y 轴对称得20C =，1C由悬链线长度112sinhaaL C C -==⎰给出， 故新坐标系下所求曲线方程为11cosh x y C C ⎛⎫=⎪⎝⎭， 1C 由11sinh 2L aC C =确定。
有限元作业试题及答案.doc
2
答：一般选用三角形或四边形单元，在满足一定精度情况,
有限元划分网格的基本原则是:
1、拓朴正确性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接
2、几何保形原则。即网格划分后，单元的集合为原结构近似
3、特性一致原则。即材料相同，厚度相同
4、单元形状优良原则。单元边、角相差尽可能小
c j二elcm= —a
Ni = l/a2 • a x = x/a
同理可得：Nj二y/a
有限元方法及应用试题
1
答：单元离散（划分、剖分）一单元分析一整体分析
有限元分析的主要步骤主要有：
A结构的离散化
B单元分析。选择位移函数、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据物理方程建立应力
与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系（单元刚度方程）
C等效节点载荷计算
D整体分析，建立整体刚度方程
7、图示三角形ijni为等边三角形单元，边长为1,单位面积材料密度位P,集 中力F垂直作用于nij边的中点，集度为q的均布载荷垂直作用于im边。写出三 角形单元的节点载荷向量。
q:移到m, i点F:移到m, j点重力：移到m, I, j点
要证{8}=0
只需证，Nm = 0
Nm= 1/2A (am+bmx +cmy)
(d)平面三角形单元，29个节点，38个自由度
4、什么是等参数单元？。
如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函
数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。
5பைடு நூலகம்
v(x, y)=
答：不能取这样的位移模式，因为在平面三节点三角形单元中，位移模式应该是呈线性的。
有限元试卷和答案
a
图1
1、解： 设图 1 所示的各点坐标为 点 1（ a， 0） ，点 2（a，a） ，点 3（0，0） 于是，可得单元的面积为 (1) 形函数矩阵 N 为
1 (0 + ax − ay ) a2 1 N1 = 2 (0 + 0gx + ay ) a 1 N1 = 2 (a 2 − ax + 0gy ) a N1 =
判断正误 （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （×）9. 线性应力分析也可以得到极大的变形 （√）10. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数 V 和场函数 u 的选择没有任何限 制。 （ × ） （2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标 x、y 的一次函数。 （√ ） （3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值 相等。 续。 （√ ） （× ） （× ） （6）等参单元中 Jacobi 行列式的值不能等于零。 （√） （7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。 （× ） （4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数 C1 连 （5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。
完整版有限元法课后习题答案
1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法2、有限元法将连续的求解域离散为假设干个子域,得到有限个单元,单元和单元之间用节点连接3、直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力和弯矩两个.4、平面刚架结构在外力的作用下横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩.5、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角6、平面刚架有限元分析,节点位移有轴向位移、横向位移、转角 .7、在弹性和小变形下,节点力和节点位移关系是线性关系.8、弹性力学问题的方程个数有15个,未知量个数有15个.9、弹性力学平面问题方程个数有8,未知数8个.10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程11、物理方程是描述应力和应变关系的方程12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态14、9形函数在单元上节点上的值 ,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_15、形函数是三角形单元内部坐标的线性函数他反映了单元的位移状态16、在进行节点编号时,同一单元的相邻节点的号差尽量小.17、三角形单元的位移模式为_线性位移模式_-18、矩形单元的位移模式为双线性位移模式19、在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何各向同性20、单元刚度矩阵描述了节点力和节点位移之间的关系21、矩形单元边界上位移是连续变化的1.诉述有限元法的定义答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2.有限元法的根本思想是什么答：首先,将表示结构的连续离散为假设干个子域,单元之间通过其边界上的节点连接成组合体.其次,用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量.3.有限元法的分类和根本步骤有哪些答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化,单元分析,单元集成,引入约束条件,求解线性方程组,得出节点位移.4.有限元法有哪些优缺点答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构,得出其近似解；通过计算机程序,可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便, 对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合,以便发挥各自的优点.缺点：有限元计算,尤其是复杂问题的分析计算, 所消耗的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的. 对无限求解域问题没有较好的处理方法. 尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术, 但在具体应用时,采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验.5.梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定答：由每个节点位移分量的总和确定6.简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1,其他节点位移分量等于0时,对应的第m个节点力分量.7.有限元法根本方程中的每一项的意义是什么P14答：Q——整个结构的节点载荷列阵〔外载荷、约束力〕；整个结构的节点位移列阵；结构的整体刚度矩阵,又称总刚度矩阵.8.位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解,引入边界条件,使整体刚度矩阵求的唯一解.9.简述整体刚度矩阵的性质和特点P14答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正.10简述整体坐标的概念P25答：在整体结构上建立的坐标系叫做整体坐标,又叫做统一坐标系.11.简述平面钢架问题有限元法的根本过程答：1〕力学模型确实定,2〕结构的离散化,3〕计算载荷的等效节点力,4〕计算各单元的刚度矩阵,5〕组集整体刚度矩阵,6〕施加边界约束条件,7〕求解降价的有限元根本方程, 8〕求解单元应力,9〕计算结果的输出.12.弹性力学的根本假设是什么.答：连续性假定,弹性假定,均匀性和各向同性假定,小变形假定,无初应力假定.13.弹性力学和材料力学相比,其研究方法和对象有什么不同.答：研究对象：材料力学主要研究杆件,如柱体、梁和轴,在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移.弹性力学研究各种形状的弹性体,除杆件外,还研究平面体、空间体,板和壳等.因此,弹性力学的研究对象要广泛得多.研究方法：弹性力学和材料力学既有相似之外,又有一定区别.弹性力学研究问题,在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,在边界上严格考虑受力条件或约束条件,由此建立微分方程和边界条件进行求解,得出较精确的解答.而材料力学虽然也考虑这几方面的条件,但不是十分严格的,材料力学只研究和适用于杆件问题. 14.简述圣维南原理. 答；把物体一小局部上的面力变换为分布不同但静力等效的面力,但影响近处的应力分量, 而不影响远处的应力.“局部影响原理〞15.平面应力问题和平面应变问题的特点和区别各是什么试各举出一个典型平面应力和平面应变的问题的实例.答：平面应力问题的特点：长、宽尺寸远大于厚度,沿板面受有平行板的面力,且沿厚度均匀分布,体力平行于板面且不沿厚度变化,在平板的前后外表上无外力作用平面应变问题的特点：Z向尺寸远大于x、y向尺寸,且与z轴垂直的各个横截面尺寸都相同,受有平行于横截面且不沿z向变化的外载荷,约束条件沿z向也不变,即所有内在因素的外来作用都不沿长度变化.区别：平面应力问题中z方向上应力为零,平面应变问题中z方向上应变为零、应力不为零.举例：平面应力问题等厚度薄板状弹性体,受力方向沿板面方向,荷载不沿板的厚度方向变化,且板的外表无荷载作用.平面应变问题一一水坝用于很长的等截面四柱体,其上作用的载荷均平行于横截面,且沿柱长方向不变法.16.三角形常应变单元的特点是什么矩形单元的特点是什么写出它们的位移模式.答：三角形单元具有适应性强的优点,较容易进行网络划分和逼近边界形状,应用比较灵活.其缺点是它的位移模式是线性函数,单元应力和应变都是常数,精度不够理想.矩形单元的位移模式是双线性函数,单元的应力、应变式线性变化的,具有精度较高, 形状规整,便于实现计算机自动划分等优点,缺点是单元不能适应曲线边界和斜边界,也不能随意改变大小,适用性非常有限.17.写出单元刚度矩阵表达式、并说明单元刚度与哪些因素有关.答：单元刚度矩阵与节点力坐标变换矩阵,局部坐标系下的单元刚度矩阵,节点位移有关的坐标变换矩阵.18.如何由单元刚度矩阵组建整体刚度矩阵〔叠加法〕答：〔1〕把单元刚度矩阵扩展成单元奉献矩阵 ,把单元刚度矩阵中的子块按其在整体刚度矩阵中的位置排列, 空白处用零子块填充.〔2〕把单元的奉献矩阵的对应列的子块相叠加, 即可得出整体刚度矩阵 .19.整体刚度矩阵的性质.答：〔1〕整体刚度矩阵中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一节点沿坐标方形发生单位为移,而其他节点都保持为零的变形状态,在各节点上所需要施加的节点力；〔2〕整体刚度矩阵中的主对角元素总是正的；〔3〕整体刚度矩阵是一个对称阵；〔4〕整体刚度矩阵式一个呈带状分布的稀疏性矩阵.〔5〕整体刚度矩阵式一个奇异阵,在排除刚体位移后,他是正定阵.20.简述形函数的概念和性质.答：形函数的性质有：〔1〕形函数单元节点上的值,具有“本点为一、他点为零〞的性质；〔2〕在单元的任一节点上,三角函数之和等于1; 〔3〕三角形单元任一一条边上的形函数,仅与该端点节点坐标有关,而与另外一个节点坐标无关；〔4〕型函数的值在0〜1之间变换.21.结构的网格划分应注意哪些问题 .如何对其进行节点编号.才能使半带宽最小.P50, P8相邻节点的号差最小答：一般首选三角形单元或等参元.对平直边界可选用矩形单元,也可以同时选用两种或两种以上的单元.一般来说,集中力,集中力偶,分布在和强度的突变点,分布载荷与自由边界的分界点,支撑点都应该取为节点,相邻节点的号差尽可能最小才能使半带宽最小22.为了保证解答的收敛性,单元位数模式必须满足什么条件答：〔1〕位移模式必须包含单元刚体位移；〔2〕位移模式必须包含单元的常应变；〔3〕位移模式在单元内要连续,且唯一在相邻单元之间要协调.在有限单元法中,把能够满足条件1和条件2的单元称为完备单元,把满足条件3的单元叫做协调单元或保续单元.23有限元分析求得的位移解收敛于真实解得下界的条件.答：1.位移模式必须包含单元的刚体位移,2.位移模式必须包含单元的常应变,3.位移模式在单元内要连续,且位移在相邻单元之间要协调.24.简述等参数单元的概念.答：坐标变换中采用节点参数的个数等于位移模式中节点参数的个数,这种单元称为等参单元.25.有限元法中等参数单元的主要优点是什么答：1〕应用范围广.在平面或空间连续体,杆系结构和板壳问题中都可应用.2〕将不规那么的单元变化为规那么的单元后,易于构造位移模式.3〕在原结构中可以采用不规那么单元,易于适用边界的形状和改变单元的大小.4〕可以灵活的增减节点,容易构造各种过度单元.5〕推导过程具有通用性.一维,二维三维的推导过程根本相同.26.简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程.答：〔1〕通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元,并选取单元的唯一模式；〔2〕通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；〔3〕将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程,得到单元应变分量的计算式,再将单元应变代入平面问题的物理方程,得到平面四节点等参数单元的应力矩阵〔4〕用虚功原理球的单元刚度矩阵,,最后用高斯积分法计算完成.27.为什么等参数单元要采用自然坐标来表示形函数为什么要引入雅可比矩阵答：简化计算得到形函数的偏导关系.28. ANSYS软件主要包括哪些局部各局部的作用是什么答：1.前处理模块：提供了一个强大的实体建模及网络划分工具,用户可以方便地构造有限元模型.2.分析计算模块：包括结构分析、流体力学分析、磁场分析、声场分析、压电分析以及多种物理场的耦合分析,可以模拟多种物理介质的相互作用,具有灵敏度分析及优化分析水平.3.后处理模块：可将计算后果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示等图形方式显示出来,也可将计算结果以图表、曲线形式显示出来或输出.29. ANSYS软件提供的分析类型有哪些答：结构静力分析、机构动力分析、结构非线性分析、动力学分析、热分析、流体力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析.30.简述ANSYS软件分析静力学问题的根本流程.答：1.前处理器：1〕定义单元类型,2〕定义实常数,3〕定义材料属性,4〕创立实体几何模型,5〕划分网络；2.求解器：1〕定义分析类型,2〕施加载荷和位移约束条件,3〕求解；三角形三节点单元的位移是连续的,应变和应力在单元内是常数,因而其相邻单元将具有不同的应力和应变,即在单元的公共边界上和应变的值将会有突变.矩形单元的边界上,位移是线性变化的,显然,在两个相邻矩形单元的公共边界上,其位移是连续的.节点的选用原那么：一般说,集中力、集中力偶、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点、支承点都能赢取为节点.单元的划分原那么：〔1〕划分单元的数目,视要求的计算精度和计算机的性能而定.〔2〕单元的大小,可根据部位的不同而有所不同.1、试述街节点力和节点载荷的区别.节点力是单元与节点之间的作用力；如果取整个结构为研究对象,节点力为内力,节点载荷是作用在节点上的外载荷.2、试述求整体刚度矩阵的两种方法.分别建立各节点的平衡方程式,写成矩阵形式,可求得整体刚度矩阵；将各单元刚度矩阵按规律叠加,也可得整体刚度矩阵.3、平面问题中划分单元的数目是否越多越好不是越多越好.划分单元的数目,视要求的计算精度和计算机的性能而定.随着单元数目的接连多,有限元解逐步逼近于真实解,但是,单元数目接连加,刚求解的有限元线性方程组的数目接连多, 需要占用更多的计算机内存资源,求解时间接连长,所以,在计算机上进行有限元分析时,还要考虑计算机的性能.单元数过多并不经济.4、写出单元刚度矩阵的表达式,并说明单元刚度与那些因素有关[B]-单元应变矩阵,[D]-弹性矩阵,t-厚度〕单元刚度矩阵取决于单元的大小、方向、和弹性常数,而与单元的位置无关,即不随单元或坐标轴的平移而改变.5、选择多项式为单元的位移模式时,除了要满足单元的完备性和协调性要求,还须考虑什么因素还须考虑两个因素：1、所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关,即几何各向同性. 2、多项式位移模式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的自由度数,通常取多项式的项数与单元的外节点的自由度数想等.。
中科大工程中的有限元作业答案（最新）
、最小势能原理法
2
1 1 12 1 2 22 1 3 32 1 1 2 2
P = 2 k d + 2 k d + 2 k d - Fq - F q
2的位移。
d1 , d 2 , d 3分别代表弹簧 (1)，
( 2 )，( 3)的伸长量，q1和q2表示节点1，
= êêk21(1) k22(1) 0úú + êê0 k11(2) k12(2) úú
êë 0 0 0úû êë0 k21(2) k22(2) úû
k12(1)
0ù
ék11(1)
ê
(1)
(1)
(2)
= êk21 k22 + k11 k12(2) úú
êë 0
k21(2)
k22(2) úû
EA
é E1A1
ë
û
2
2
sinq cos
-cos q
-sinq cos
q
qù
é cos q
2
2
ê
AE sinq cosq
sin q
-sinq2cosq
-sin q úú
2
K=
ê
L ê -cos q
cos q
sinq cos
-sinq cos
q
qú
2
2
ê-sin cos
sinq cosq
cos q úû
ë q q -sin q
3
Þ RB = ql
8
3
R Bl
ql
, y BR =
= 3EI
8EI
4
3
ql
(完整版)有限元第二章课后题答案
2 弹性力学问题的有限单元法思考题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。
2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。
2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。
而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。
2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。
矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。
矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。
因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？ 答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。
计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。
2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。
在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。
若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。
2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。
有限元试题及答案[1]
![有限元试题及答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/124aad996bec0975f465e211.png)
一、如图所示的1D 杆结构，试用取微单元体的方法建立起全部基本方程和边界条件，并求出它的所有解答。
注意它的弹性模量为E 、横截面积A解：如图1.1所示的1D 杆结构，其基本变量为 位移 x u 应变 x ε 应力 x σ取微单元体Adx ，其应力状态如图1.2，由泰勒展开式知()⋅⋅⋅⋅⋅+∂∂+⋅∂∂+=+22221dx x dx x dx x x x x σσσσ略去2阶以上的商阶微量知()dx xdx x xx ⋅∂∂+=+σσσ 由力的平衡知0=∑i x ：0=-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+A A dx x x x x σσσ即力的平衡方程为：⋅⋅⋅⋅=0dxd xσ① 位移由图1.3知（泰勒展开，略去商阶微量）()dx xu u dx x u xx ⋅∂∂+=+ dxu dxdxdx u dx x uu ABABB A xx x x x ∂=-+-∂∂+=-=∴)(''ε应变 即几何方程为：⋅⋅⋅⋅=dxdu xx ε② 根据虎克定律知⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=dxdu E E xx x εσ③ 由①、②、③知该1D 杆的基本方程为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====dx du E E dx du dx d x x xx xxεσεσ0 在节点1时位移：00==x x u 在节点2时应力：APlx x==σ即其边界条件为00==x x u on u SAPlx x==σ on P S 由①式知⋅⋅⋅⋅⋅=0c x σ ④ ④代入③解得：dxdu Ec x=0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=10c x Ec u x ⑤ 0c 、1c 为待定系数结合边界条件知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+A P c c x Ec 010解知得APc =0，01=c ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⋅==EA P E x EA P u A P x xx x σεσ二、设平面问题中的应力问题y a x a a x 321++=σy a x a a y 654++=σ y a x a a xy 987++=τ其中i a （1、2、………9）为常数，令所有体积力为零，对下面特殊情况说明平衡是否满足？为什么？或者i a 之间有什么关系才满足平衡。
有限元试卷(2)答案
动、静态有限元试卷（二）答案一、解：节点坐标：三角形面积： ⊿=2则：二、解：节点坐标几何矩阵02102======j m j j i i y x y x y x 400======jji i m ii m m j mm j j i y x y x a y x y x a y x y x a 211011211-======i j m mij j m i y y b y y b y y b 111211111-====-==jim im j mj i x x c x x c x x c ()()()4212/22/422/yx y c x b a N yy c x b a N y x y c x b a N m m m m j j j j i i i i --=∆++==∆++=-=∆++=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42102420042102042000000y x y y x y x y y x N N N N N N N m j im j i 001001======j m j j i i y x y x y x 111111011==-====i j m m ij j m i y y b y y b y y b 011111111==-====ji m im j mj i x x c x x c x x c []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆=10110100101001010000000021m mjjii m j i m j ib c b c b c c c c b b b B弹性矩阵应力转换矩阵单元刚度矩阵[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--10002000222100010112E E D μμμμ[][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==1011010020200202002E B D S [][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=∆=1011010202001031211213010020201011014Et t S B k T e 三、解：将②、③单元采用类似单元①的局部编号，右图所示。
有限元第二次作业~付章
有限元第二次作业学院：建筑工程学院专业：结构工程姓名：付章学号：2011210038基于SAP2000的简支深梁应力分析A Simply-supported Deepbeam Stress Analysis Using SAP2000SAP2000是一款功能强大的结构通用有限元分析软件，对跨/高比小于5的深梁的应力具有很强的分析功能，本例中通过对深梁划分正方体网格，模拟六大应力分量在实体内的分布，分析其与一般梁应力分布的不同。
关键词：有限元，网格，深梁，应力分布SAP2000 is a powerful structure general finite element analysis software. Towards a deepbeam whose l/h ratio is less than 5,it has strong analytical function.In this example, through dividing the deepbeam into many cube grids, we simulate the distribution of the six stress components in the entity,and analyze the difference with general beam's.Key words：finite element analysis，grids，deepbeam，stress distribution一、概述深梁的梁高方向应力的分布不能像普通梁一样忽略，而弹性力学方法给出的解析解非常复杂，复杂的结构甚至无法得到解。
有限元方法作为一种应用广泛的近似解方法，已比较准确模拟深梁中的应力分布。
本例中 跨度l=4m ，h=1.2m ，b=0.4m ，支座简支，混凝土等级为C35，上表面均布恒载20KN/m 2,将0.4m ×0.4m ×0.4m 的正方体分割为8个网格进行分析。
中南大学有限元习题与答案(Word最新版)
中南大学有限元习题与答案通过整理的中南大学有限元习题与答案相关文档，希望对大家有所帮助，谢谢观看！中南大学有限元习题与答案习题 2.1 解释如下的概念：应力、应变，几何方程、物理方程、虚位移原理。
解应力是某截面上的应力在该处的集度。
应变是指单元体在某一个方向上有一个ΔU的伸长量，其相对变化量就是应变。
表示在x轴的方向上的正应变，其包括正应变和剪应变。
几何方程是表示弹性体内节点的应变分量与位移分量之间的关系，其完整表示如下：物理方程：表示应力和应变关系的方程某一点应力分量与应变分量之间的关系如下：虚位移原理：在弹性有一虚位移情况下，由于作用在每个质点上的力系，在相应的虚位移上虚功总和为零，即为：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移，所有作用在弹性体上的体力在虚位移上所做的工就等于弹性体所具有的虚位能。
2.2说明弹性体力学中的几个基本假设。
连续性假设：就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何间隙。
完全弹性假设：就是假定物体服从虎克定律。
各向同性假设：就是假定整个物体是由同意材料组成的。
小变形和小位移假设：就是指物体各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。
2.3简述线应变与剪应变的几何含义。
线应变：应变和刚体转动与位移导数的关系，剪应变表示单元体棱边之间夹角的变化。
2.4 推到平面应变平衡微分方程。
解：对于单元体而言其平衡方程：在平面中有代入上式的2.5 如题图2.1所示，被三个表面隔离出来平面应力状态中的一点，求和的值。
解：x方向上：联立二式得：2.6相对于xyz坐标系，一点的应力如下某表面的外法线方向余弦值为，，求该表面的法相和切向应力。
解：该平面的正应力全应力该平面的切应力2.7一点的应力如下MP 求主应力和每一个主应力方向的方向余弦；球该店的最大剪应力。
解：设主平面方向余弦为，由题知将代入得即，。
最大剪应力（1）当时代入式（2.21）（2）当时代入式（2.21）且2.8已知一点P的位移场为，求该点p(1,0,2)的应变分量。
中科大有限元作业答案(第一次到第五次)
有限元作业一1、对图示杆结构，已知节点 3 的位移 10mm，试用有限元法求出各节点的节点力和节点 2 的位移。
已知两段杆的长度为 l1, l2 截面积为 A 1, A 2 ，弹性模量为 E 1, E2 。
2.求解如图所示桁架节点 1 处的水平位移和垂直位移分量以及每一杆单元的应力。
已知所有 单元 A 5106m2 , E 200GPa, L 1m。
有限元作业一1、对图示杆结构，已知节点 3 的位移 10mm，试用有限元法求出各节点的节点力和节点 2 的位移。
已知两段杆的长度为 l1, l2 截面积为 A 1, A 2 ，弹性模量为 E 1, E2 。
解：将整个杆件可以划分 3 个节点，2 个单元。
如图所示：设图中力为 F，则 1 节点所受反 作用力为－F。
对单元①，单元刚度矩阵为：ke(1) 同理，单元②的单元刚度矩阵为：1 1 AE 1 1 L1 1 1 ke(2) 将单元刚度矩阵集成，有整体刚度矩阵为：A2E2 1 1 L2 1 1 k ke(1) [k]e(2)(1) (1) k11 k12 0 0 0 0 (1) (1) (2) (2) k21 k22 0 0 k11 k12 (2) (2) 0 k21 k22 0 0 0 (1) (1) k11 k12 0 (1) (1) (2) (2) k21 k22 k11 k12 (2) (2) 0 k k 21 22 E1A EA 1 1 1 0 L L1 1 E1A EA E A EA 1 1 1 2 2 2 2 L1 L2 L2 L1 EA E2 A2 2 2 0 L2 L2 F 1x F 整体节点载荷矩阵为 R F 2x 0 ， F F 3x 1x 0 整体节点位移矩阵为： 2x 2x 。
有限元 第2章习题
（1 ）
（2）
3.一平面应力问题的三结点 直角三角形单元，设E为常 数，μ=1/6，t=1，试按线 性位移模式求出： （1）形函数矩阵[N]； （2）应力矩阵[s]； （3）单元刚度矩阵； （4）当vj=-1,其余节点位移 分量为0时单元的应力分量。
4. 对于图示的六节点矩形单元，应该取什么样 的位移模式，试求出形函数。
2 2 ？？？ u ( x, y) 1 2 x 3 y 4 xy 5 x 6 x y
5. 用局部坐标（ξ,η）表示的母单元，当取单元结点 数为9节点时，应该取什么样的位移模式。
9
U 1 2 3 4 2 5 6 2 7 2 8 2 9 2 2
？？？
6. 对于图示的8节点矩形单元，应该取什么样的位移 模式，并计算形函数。
？？？
U 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 7 x 2 y 8 xy 2 U 1 2 x 3 y 4 xy 5 x 2 6 x 2 y 7 x3 8 x3 y
？？？
1. 试求图示6节点三角形单元的等效节点荷载，设 节点坐标已知，单元厚度为t。
练习： 1. 在平面三结点三角形单元中，能否选取如 下的位移模式，为什么？ 2
u ( x, y ) 1 2 x 3 y v ( x, y ) 4 5 x 6 y 2
2. 当单元采用线性位移模式时，试列出各单元的等 效节点荷载列阵？
有限元分析大作业报告
有限元分析大作业报告试题1：一、问题描述及数学建模图示无限长刚性地基上的三角形大坝，受齐顶的水压力作用，试用三节点常应变单元和六节点三角形单元对坝体进行有限元分析，并对以下几种计算方案进行比较：（1）分别采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算；（2）分别采用不同数量的三节点常应变单元计算；（3）当选常应变三角单元时，分别采用不同划分方案计算。
该问题属于平面应变问题，大坝所受的载荷为面载荷，分布情况及方向如图所示。
二、采用相同单元数目的三节点常应变单元和六节点三角形单元计算1、有限元建模（1）设置计算类型：两者因几何条件和载荷条件均满足平面应变问题，故均取Preferences 为Structural（2）选择单元类型：三节点常应变单元选择的类型是Solid Quad 4 node182；六节点三角形单元选择的类型是Solid Quad 8 node183。
因研究的问题为平面应变问题，故对Element behavior（K3）设置为plane strain。
（3）定义材料参数：弹性模量E=2.1e11，泊松比σ=0.3（4）建几何模型：生成特征点；生成坝体截面（5）网格化分：划分网格时，拾取lineAB和lineBC，设定input NDIV 为15；拾取lineAC，设定input NDIV 为20，选择网格划分方式为Tri+Mapped，最后得到600个单元。
（6)模型施加约束：约束采用的是对底面BC 全约束。
大坝所受载荷形式为Pressure ，作用在AB 面上，分析时施加在L AB 上，方向水平向右，载荷大小沿L AB 由小到大均匀分布。
以B 为坐标原点，BA 方向为纵轴y ，则沿着y 方向的受力大小可表示为：}{*980098000)10(Y y g gh P -=-==ρρ2、 计算结果及结果分析 （1） 三节点常应变单元三节点常应变单元的位移分布图三节点常应变单元的应力分布图（2）六节点三角形单元六节点三角形单元的变形分布图六节点三角形单元的应力分布图单元类型最小位移（mm）最大位移（mm）最小应力（Pa）最大应力（Pa）三节点0 0.0284 5460.7 392364六节点0 0.0292 0.001385 607043①最大位移都发生在A点，即大坝顶端，最大应力发生在B点附近，即坝底和水的交界处，且整体应力和位移变化分布趋势相似，符合实际情况；②结果显示三节点和六节点单元分析出来的最大应力值相差较大，原因可能是B点产生了虚假应力，造成了最大应力值的不准确性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2-2图示悬臂板，属于平面应力问题，其网格图及单元、节点编号见图2-1，E=×1011，u=，演算其单刚阵到总刚阵的组集过程，并用MATLAB软件计算总刚阵。
图2-1答：根据图2-1所示列出单元节点列表：i j k1354225332654162（1）计算单元刚度阵单元1的刚度矩阵：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=15,514,513,515,414,413,415,314,313,31kkkkkkkkkk，[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=14,514,513,515,414,413,415,314,313,31kkkkkkkkkk；单元2的刚度矩阵：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=25,523,522,525,323,322,325,223,222,22kkkkkkkkkk，[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=24,523,522,525,323,322,325,223,222,22kkkkkkkkkk；节点单元单元3的刚度矩阵：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=36,635,632,636,535,532,536,235,232,23k kk k k kk k k k ，[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=36,635,632,636,535,532,536,235.232,2300000000000000000000000000k k k k k k k k k k ； 单元4的刚度矩阵：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=46,642,641,646,242,241,246,142,141,14k k k k k k k k k k ，[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=46,641,646,242,241.246,142,141,140000000000000000000000000000k k k k k k k k k ；总刚度矩阵：[][][][][][]432141k k k k kK ee +++=∑==[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++++++++=46,636,635,642,632,641,636,535,525,515,514,523,513,532,522,515,414,413,425,315,314,323,313,322,346,236,235,225,223,242,232,222,241,246,142,141,100000000000k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k K Matlab 程序语言的编写：function Idexglobal gNode gElement gMaterial gNode=[]%gNode 同样是一个矩阵，每一行表示一个结点，第1 列是结点的x 坐标，第2 列是结点的y坐标gElement=[3 4 52 3 52 5 61 2 6 ];%gElement 是一个矩阵，每一行表示一个单元，第1 行是单元的第1 个结点号，第2 行是单元的第2个结点号。
Returnfunction k=StiffnessMatrix(ie)%计算单元刚度矩阵函数global gNode gElementk=zeros(6,6); %6x6单元刚阵E=*10^11; %材料特性u= ; %材料特性t=; %材料特性xi=gNode(gElement(ie,1),1);yi=gNode(gElement(ie,1),2);xj=gNode(gElement(ie,2),1);yj=gNode(gElement(ie,2),2);xm=gNode(gElement(ie,3),1);ym=gNode(gElement(ie,3),2); %计算节点坐标分量ai=xj*ym-xm*yj;aj=xm*yi-xi*ym;am=xi*yj-xj*yi;bi=yj-ym;bj=ym-yi;bm=yi-yj;ci=-(xj-xm);cj=-(xm-xi);cm=-(xi-xj);d=[1,xi,yi;1,xj,yj;1,xm,ym];area=det(d); %计算单元面积B=[bi 0 bj 0 bm 0 ;0 ci 0 cj 0 cm;ci bi cj bj cm bm];B=B/2/area;D=[1 u 0;u 1 0;0 0 (1-u)/2];D=D*E/(1-u^2);k=transpose(B)*D*B*t*abs(area); %计算单元刚度矩阵Returnfunction gK=AssembleStiffnessMatrix% 计算总刚阵global gElement gK iegK=zeros(12,12);for ie =1:1:4 %单元循环k=StiffnessMatrix(ie);for i=1:1:3 %节点循环for j=1:1:3 %节点循环for p=1:1:2 %自由度循环for q=1:1:2 %自由度循环m=(i-1)*2+p; %每个节点有2个自由度，i节点的第p个自由度为（i-1)*2+pn=(j-1)*2+q; %每个节点有2个自由度，i节点的第p个自由度为（i-1)*2+pM=(gElement(ie,i)-1)*2+p;N=(gElement(ie,j)-1)*2+q;gK(M,N)=gK(M,N)+k(m,n);endendendendendReturn则单元1的刚度矩阵为>> StiffnessMatrix(1)ans =+010 *0 00 00 0单元2的刚度矩阵>> StiffnessMatrix(2)ans =+010 *0 0 0 0 0 0 0 0单元3的刚度矩阵为>> StiffnessMatrix(3)ans =+010 *0 00 0 0 0单元4的刚度矩阵>> StiffnessMatrix(4)ans =+010 *0 0 0 0 0 0 0 0总刚度矩阵为ans =+011 *Columns 1 through 80 0 0 00 0 0 00 00 00 0 00 0 00 0 0 00 0 0 00 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0Columns 9 through 120 00 00 0 00 0 00 0 0 0 0 02-3 在平面问题有限元分析中，（1）用到了哪些弹性力学中的基本方程答：平衡微分方程、几何方程、相容方程（形变协调方程）。
（2）力的平衡条件是如何满足的答：根据能量守恒原理，有外力所作虚功应该等于内力虚功。
也就是结构在外载荷作用下处于平衡状态则在结构上的力在任意虚功位移上所作的虚功之和等于零。
以下是用到的方程：000=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂Z zy x Y zy x X z y x zzy zx yz y yx xzxy x στττστττσ z u x w z w y wz v y v x v y u x u zx z yz y xy x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=γεγεγε,,, （3）变形协调条件是如何满足的答：对材料进行线弹性和各向同性的假设，用弹性力学中应力-应变之间的关系得到变形协调条件。
下面是形变协调方程。
y x z y x z x z x x x z y x z y z y y z z y x z y x y x xy zxy zx yz zx y z y zx yz xy yz z y xyz xy zx xy y x ∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂εγγγγεεεγγγγεεεγγγγεε2222222222222222222,2,2,2-4 在平面三角形单元中的位移、应变、应力具有什么特征位移特征：(1)必须包含单元的刚体位移；(2)必须包含单元的常应变状态；(3)必须保证不偏惠各坐标轴；(4)必须保证单元内位移连续。
应力特征：(1)三角形单元其应力仅与单元材料和几何尺寸有关，与节点位移有关，而与单元内位置坐标无关，也即这类单元内的应力是常量。
(2)三角形单元内应力连续，但在公共边界上应力有突变，密布网格可以减少这种冲突的不合理性。
应变特征：由于简单三角形单元取线性位移模式，其应变矩阵为常数矩阵，即在这样的位移模式下，三角形单元内的应变为某一常量。
2-5 在平面三角形单元中，当尺寸逐步缩小，单元中的位移、应变、应力具有什么特征当单元尺寸逐步减小时，单元各点的应变趋于相等，这时常量应变成为主要成分，因此，位移应能反应这种常应变状态，由于应力矩阵也是常数矩阵，单元应力也是常量。
但是相邻单元一般具有不同的力，在单元的公共边上会有应力突变，随着单元尺寸的逐步减小，这种突变会急剧降低，从而不会妨碍有线单元法的简答收敛于精确解。