第五讲 平面图形的相关计算

第五讲 平面图形的相关计算（一）

内容提要

我们曾经学过三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形。它们的面积都有相应的公式直接计算。如下表：

名称 图形 面积公式

长方形

S ＝ab

正方形

S ＝a 2

三角形

S ＝2

1ah

平行四边形

S ＝ah

梯形

S ＝

2

1

（a ＋b ）h

圆

S ＝πr 2

扇形

S ＝

360

n πr 2

实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积无法应用公式直接计算。那么，这些图形的面积怎样去计算呢？我们可以针对这些图形综合运用各种方法处理具有相当难度的平面图形问题。掌握平面图形变换的初步技巧，例如平移、翻转、旋转等，必要时可利用辅助线进行分析，也可采用割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

例题精讲

例1、如图四边形ABCD 是一个长方形，AB=8厘米，BC=15厘米，四边形EHGF 的面积是9平

H G F

D

C B A

方厘米，求阴影部分的面积。

思路点拨：梯形蝴蝶定理的实际应用。由图可知，梯形中S 2＝S 4，同理可得梯形

ABFD 中S △ABE ＝S △DEF ，所以S 阴＝S △AHD ＋S △DGC ＋S △ABE ＝S △AHD ＋S △DGC ＋S △DEF ＝S △ADC ＋S 四边形EFGH 。

同步练习

如右图，单位正方形ABCD ，M 为AD 边上的中点，求图中阴影部分的面积。

例2、如图，BCEF 是平行四边形，△ABC 是直角三角形，BC 长8厘米，AC 长7厘米，阴影

部分面积比△ADH 的面积大12平方厘米。求HC 的长。

思路点拨：两个数的差是定值，两个数同时加上

相同的数，差还是原来的定值。如图中S 阴比S △ADH 大12平方厘米。则S

四边形BCEF

比S △ABC 大12平方厘米，由△ABC

的底和

G

M

D

C

B

A

A

F

D

H

E

C

B

F

E

D

C

B

A

高可得S △ABC ，进而可算出S 四边形BCEF ，由BC 的长，即可求出HC 的长。

同步练习

如图，ABCD 是一个长方形，△ADE 比△CEF 的面积小10平方厘米，问CF 的长多少厘米？

例3、如图所示，△ABC 的面积是25平方厘米，CF ＝FD ，AD ＝2DB ，求阴影部分面积之和。

思路点拨：三角形面积中的比例关系，如果高相等，面积之比等于底边之比；如

果底边相等，面积之比等于高之比。连接DE ，可知S △CFE ＝S △EFD ，且S △EAD ∶S △EDB ＝2∶1，则S

△CAE

∶S △EAD ∶S △EDB ＝2∶2∶1，所以S 阴＝

5

2

S △ABC 。

E

D

C

B

A F

G

E

D C

B

A

同步练习

如图所示，AE=ED,BC=3BD,S ABC =30平方厘米，求阴影部分的面积。

例4、两块等腰直角三角形形状的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重

叠。求重叠部分（阴影部分）的面积。

思路点拨：重叠部分的面积，可以用整体减空白的思想求阴影部分的面积。由题意可知AB ＝10cm ，AF ＝6cm ，则BF ＝4cm ，所以S 阴＝S △ABC －S △BEF －S △ACG 。

同步练习

如图1，有一三角形纸片沿虚线折叠，如图2，它的面积与原三角形面积之比为2∶3，已阴影部分的面积为5平方厘米，求原三角形的面积。

例5、一块长方形钢板，长截下4分米，宽截下1分米后，成了一块正方形钢板，如图所示，

面积比原来减少了49平方分米。原来长方形钢板的面积是多少平方分米？

思路点拨：特殊方法解决面积问题。先根据所给条件找到一个长方形，即长为4

分米，宽为1分米的长方形，这样一来，就把剪掉的部分分成了三个长方形，剩余两个长方形有一条边是相等的，就可根据减少的面积计算出正方形的边长。进而求出正方形的面积。

法二：用方程试一试。

图2

图

1

F

E

D

C B A

同步练习

如图，两个一样的直角梯形叠在一起，按图上标出的数，计算出阴影部分的面积。

自我检测

1、如图，在长方形ABCD 中，AB=6厘米，BC=8厘米，四边形EFHG 的面积是3平方厘米，阴影部分的面积和是多少平方厘米？

2、如图所示，并排放着两个正方形，大正方形的边长是5，小正方形的边长是3，求△BEF 的面积？

3、如图，正方形ABCD 的边长是6厘米，△AFD 是正方形的一部分，△FCE 的面积比△AFD 大6平方厘米，求CE 长是多少厘米？

G

F

E

D

C B

A

23

8H

G

F E D

C

B

A