数学建模插值法与曲线拟合讲课

2
3
4
6
8
c
19.21
18.15
15.36
14.10
12.89
9.32
7.45
5.24
3.01
问题 ： 1. 在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度（单位体积血液中的药物含 量）的变化规律； 2. 给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设计给药方案：每次注射剂量 多大；间隔时间多长？
二、问题的解决
插值法的matlab实现—一维插值
命令：interp1(x0,y0,x，’method‟) 其中：x0：插值节点； y0：插值节点处的函数值； x：要计算函数值的点；
method：
l i n e a r ：分段线性插值； c u b i c ：分段三次埃尔米特插值； s p l i n e ：三次样条插值。
( x x0 ) ( x xk 1 )(x xk 1 ) ( x xn ) ( xk x0 )( xk xk 1 )(xk xk 1 ) ( xk xn )
插值基函 数
lk ( x)
拉格朗日插值的matlab实现
function y=lagrange(x0,y0,x) % x0插值节点， y0插值节点处 的函数值，x要计算函数值的 点； n=length(x0); %计算x0的长度 m=length(x); %计算x的长度 for i=1:m s=0;
z=x(i);




for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); %计算插值基函数 end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; %计算在x(i)处的函数值（拉格 朗日） end
77 81 162 162 117.5 3 56.5 -66.5 84 -33.5 8 8 9 4 9
水深和流速的问题
在水文数据测量中，不同水深的流速是不同的. 水文数据的测 量时天天进行的，为了减少测量的工作，希望得到确定的水深和 水流之间的关系. 为此测量了一系列不同水深和流速值. 下表给 出了对某河流的测量数据，其中水深和流速根据适当的单位进行 了规范化，共10个值.
龙格现象
Runge在上个世纪初发现：
在[-5,5]上用n+1个等距节点作n次插值多项式Pn(x)， 当在n→∞时，插值多项式Pn(x)在区间中部趋于 f(x)=1/(1+x2) , 但对于3.63≤∣x∣≤1的x，Pn(x)严重发散。 用图形分析问题。
for n=10:2:20 %从10等份到20等份 x0=[-5:10/n:5]; %插值节点 y0=1./(1+x0.^2); %插值节点处的精确函数值 x=[-5:0.1:5]; %要进行计算函数值的点 y=lagrange(x0,y0,x); %调用函数计算x点的函数值 plot(x0,y0,„*‟,x,1./(1+x.^2),„r‟,x,y) %绘制图形 pause %等待，按任意键 end
农作物施肥效果分析1992年A题
在农业生产试验研究中，对某地区土豆的产量与化肥的 关系做了一实验，得到了氮肥、磷肥的施肥量与土豆产 量的对应关系如下表：
氮肥量（公斤/公顷） 土豆产量（公斤） 磷肥量（公斤/公顷） 土豆产量（公斤） 0 15.18 0 33.46 34 21.36 24 32.47 67 25.72 49 36.06 101 32.29 73 37.96 135 34 98 41 202 39.45 147 40.1 259 43.15 196 41。3 336 43.46 245 42.2 404 40.83 294 40.4 471 30.75 342 42.7
插值与拟合的相同点

都需要根据已知数据构造函数。 可使用得到函数计算未知点的函数值。 x y x1 y1 x2 y2 … … xm ym
求一个简单易算的近似函数 p(x) f (x) 。
插值与拟合的不同点

插值: 过节点; ； 拟合: 不过点, 整体近似；
插值法

水 深 流 速 0 3.19 0.1 3.22 0.2 3.26 0.3 3.25 0.4 3.23 0.5 3.19 0.6 3.20 0.7 3.13 0.8 3.06 0.9 2.98
美国人口问题



据美国人口普查局数据： 从1790每隔10年至2000年的总人口（单位：百万）如下示 t = 1790:10:2000; p = [3.9, 5.3 , 7.2 , 9.6 , 12.9 , 17.1 , 23.1 , 31.4 , 38.6 , 50.2 , 62.9 , 76 , 92 , 105.7 , 122.8 , 131.7 , 150.7 , 179 , 205 , 226.5 , 251.4 , 281.422]; 预测2001，2002年的美国人口数？并与调查数据285.318， 288.369比较，选择拟合较好的模型。
试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。
X 1200 Y 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 1130 1320 1390 1500 1500 1500 1480 1600 1250 1450 1500 1200 1200 1550 1500 2000 1280 1420 1500 1100 1100 1600 1550 2400 1230 1400 1400 1350 1550 1550 1510 2800 1040 1300 900 1450 1600 1600 1430 3200 900 700 1100 1200 1550 1600 1300 3600 500 900 1060 1150 1380 1600 1200 4000 700 850 950 1010 1070 1550 980
14 2.0 1.0
15 1.6 1.6
山体地貌

例 山区地貌： 要在某山区方圆大约 27平方公里范围内修建一条公路，从山脚出发经 在某山区测得一些地点的高程如下表。平面区域为 过一个居民区，再到达一个矿区。横向纵向分别每隔 400米测量一次， 1200<=x<=4000,1200<=y<=3600) 得到一些地点的高程：
试做出该山区的地貌图.
船在该海域会搁浅吗？---作业
在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为 5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进 入.
x y z x y z 129 140 103.5 88 185.5 195 7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 4 8 6 8 6 8 157.5 -6.5 9 107.5 -81 9 105 85.5 8
2、牛顿插值法
牛顿插值公式：
Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,x1,x2,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn)
其中：
f[x0,x1] f[x0,x1,x2,…,xn]

一阶差商 n阶差商
注：牛顿插值法与拉格朗日插值法，同一个多项式， 不同的表达方式，但是计算量不一样，牛顿插值法的 计算量小。
构造插值函数的方法为插值法。
曲线拟合
定义： 当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一系列节点x0 … xn 处,测得函数值 y0 , … ，yn ，由此构造一个简单易 算的近似函 数 p(x) f( x)， 但是不要求使 p(xi) = yi ,而只要 p(xi) yi 总体上尽可能小。这种构 造近似函数p(x) 的方法称为曲线拟合法， p(x) 称为拟合函数。
下表给出的x、y数据位于机翼端面的轮廓线上，Y1和Y2分 别对应轮廓的上下线。假设需要得到x坐标每改变0.1时的 y坐标，试完成加工所需数据，画出曲线.
x Y1 Y2
0 0 0
3 1.8 1.2
5 2.2 1.7
源自文库
7 2.7 2.0
9 3.0 2.0
11 3.1 2.0
12 2.9 1.8
13 2.5 1.2
3、分段低次插值法
（1）分段线性插值
定义： 已知n+1个不同节点x0,x1,…,xn ,构造分段多项式I(x)，使之满 足 l I(x)在[a，b]上连续； l I(xk)=yk； l I(x)在[xi,xi+1]上是一次多项式；
x xk 1 x xk y y , x [ xk , xk 1 ] k 1 I(x)= k x x xk 1 xk k k 1
拉格朗日插值 牛顿插值 三次埃尔米特插值法 分段线性插值 分段三次埃尔米特插值法 三次样条插值
1、 拉格朗日插值公式
（１）定义
对给定的n+1个节点x0 , x1,x2,…,xn及对应的函数值y0 , y1,y2,…,yn， 构造一个n次插值多项式：
y y k lk ( x )
k 0
n
即为拉格朗日插值公式，其中
1、问题的抽象 在实验中经常给出一组离散点，
x y
x1 y1
x2 y2
… …
xm ym
构造一个简单易于计算的近似函数 p(x) f (x) （精确函数）。 2、构造近似函数， p(x) 的方法有两种： （1）插值法； （2）曲线拟合法．
插值法
定义：当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … ，yn = f(xn)， 由此构造一个简单易算的近似函数 p(x) f(x)，满足条件 p(xi) = f(xi) (i = 0, … n)，（插值条件） 这里的 p(x) 称为f(x) 的插值函数；
1.根据上表数据分别给出土豆产量与氮、磷肥的关系式。 2.施肥问题优化策略
配药方案---作业
一种新药用于临床之前, 必须设计给药方案. 在快速静脉注射的给 药方式下, 所谓给药方案是指, 每次注射剂量多大, 间隔时间多长. 药物进入机体后随血液输送到全身, 在这个过程中不断地被吸收, 分布, 代谢, 最终排出体外. 药物在血液中的浓度, 即单位体积血液中 的药物含量, 称血药浓度. 在最简单的一室模型中, 将整个机体看作一 个房室, 称中心室, 室内的血药浓度是均匀的. 快速静脉注射后, 浓度 立即上升; 然后逐渐下降. 当浓度太低时, 达不到预期的治疗效果; 血 药浓度太高, 又可能导致药物中毒或副作用太强. 临床上, 每种药物有 一个最小有效浓度 c1 和一个最大治疗浓度 c2. 设计给药方案时, 要使 血药浓度保持在 c1-c2 之间. 设本题所研究药物的最小有效浓度c1=10, 最大治疗浓度 c2=25( g / ml).
插值与曲线拟合
2 1.5
1
0.5
0
-0.5 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
一、问题的提出
在生产和实验中，关于函数f(x)，经常存在两种情况： （1）其表达式不便于计算； （2）无表达式. 而只有函数在给定点的函数值，
x y
x0 y0
x1 y1
x2 y2
… …
xn yn
怎样预测其它点的函数值？
飞机机翼制造
（2）分段三次埃尔米特插值法 定义：
已知n+1个不同节点x0,x1,…,xn ,构造分段多项式I(x)，使之满足： l I(x)在[a，b]上二阶连续导数； l I(xk)=yk， I‟(xk)=y‟k， ； l I(x)在[xi,xi+1]上是三次次多项式。
4、三次样条插值法
对于给定n+1个不同节点x0,x1,…,xn及函数值y0,y1,…,yn， 其中a=x0<x1<…<xn=b，构造三次样条插值函数S(x)。 S(x)称为三次样条函数时需满足： l S(x)在[a,b]上二阶导数连续； l S(xk)=yk (k=0,1,…,n)； l 每个子区间[xk,xk+1]上S(x)是三次多项式(k=0,1,…,n)。
配药方案
显然, 要设计给药方案, 必须知道给药后血药浓度随时间变化的 规律. 为此, 从实验和理论两方面着手. 在实验方面, 对某人用 快速静脉注射方式一次注入该药物300mg后, 在一定时刻 t (小时) 采集血样, 测得血药浓度c. 如表: 血药浓度c(t) 的测试数据
t
0.25
0.5
1
1.5