二次函数中铅锤法解题思路
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2 2
∴D 的坐标为（ ∴ DM=m ﹣ ∴ S= = = = = DM • BE+
DM （ BE+OE ） DM • OB × ×3
3
=
（ m﹣
） +
2
∵ 0＜ m＜ 3， ∴ 当 m= 时， ；
S 有最大值，最大值为
（ 3） ① 由 （ 2） 可 知 ： M′ 的 坐 标 为 （
，
） ；
② 过 点 M′ 作 直 线 l1 ∥ l′ ， 过 点 B 作 B F⊥ l 1 于 点 F， 根 据 题 意 知 ： d 1 +d 2 =BF ， 此 时 只 要 求 出 BF 的 最 大 值 即 可 ， ∵ ∠ B FM ′ =90 °， ∴ 点 F 在 以 BM ′ 为 直 径 的 圆 上 ， 设 直 线 AM ′ 与 该 圆 相 交 于 点 H ， ∵ 点 C 在 线 段 BM ′ 上 ， ∴F 在优弧 上， ∴ 当 F 与 M′ 重 合 时 ， BF 可 取 得 最 大 值 ， 此 时 BM ′ ⊥ l 1 ， ∵ A（ 1， 0） ， B（ 0， 3） ， M′ （ ∴ 由 勾 股 定 理 可 求 得 ： AB= ， ） ， ， M ′ A= ，
中余弦 cos
BAC
AC AB
5 10
2 ,求出角度。 2
5
六、同步训练
1 2 x ＋bx＋c（b，c 是常数，且 c<0）与 x 轴分别交 2 于点 A，B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴的负半轴交于点 C，点 A 的坐标为(－1，0)． (1)b＝ ▲ ，点 B 的横坐标为 ▲ （上述结果均用含 c 的代数式表示） ； 1 (2)连接 BC，过点 A 作直线 AE∥BC，与抛物线 y＝ x2＋bx＋c 交于点 E．点 D 是 x 轴上 2 一点，其坐标为(2，0)，当 C，D，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点，连接 PB，PC，设所得△PBC 的 面积为 S． ①求 S 的取值范围； ②若△PBC 的面积 S 为整数，则这样的△PBC 共有 ▲ 个．
二次函数中的铅锤高求面积法
一、课程标准 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 2.会用描点法画出二次函数的图像，通过图象了解二次函数的性质。 3. 会用配方法将数字系数的二次函数表达式化为
y a( x h) k 的形
2
式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对 称轴，并能解决简单的实际问题。 4.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。 5.*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。 （PS:标有*的内容为选 学内容） 二、学情分析 二次函数在教材中属于较难的一个章节。主要表现在：与动点、最值、相似、四 边形、分类讨论这些内容相结合,涉及知识点多、条件多，技巧性和综合性强。 三、考情分析 二次函数部分在中考中的分值一般会占 30 分左右， 在近几年的苏州数学中考卷 中，以二次函数为背景的综合题大都会以压轴题的形式出现。 二次函数与三角形面积的结合也是常考的题型之一，而通过作三角形的铅锤高 是解决三角形面积问题的一个好办法。 四、知识回顾 过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离 叫△ABC 的“水平宽” （a）,中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅 锤高（h） ”,由此可得出一种计算三角形面积的新方法，即 S=½ah，即三角形面积等 于水平宽与铅锤高乘积的一半
（2013 年苏州中考）如图，已知抛物线 y＝
6
7
1
五、中考演练
（ 2016 •苏 州 ）如 图 ， 直 线 l ： y= ﹣ 3x+3 与 x 轴 、 y 轴 分 别 相 交 于 A 、 B 两 点 ，抛 物 线 y=ax ﹣ 2 ax+a+4 （ a ＜ 0 ） 经 过 点 B ． （ 1） 求 该 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ； （ 2） 已知点 M 是抛物线上的一个动点， 并 且 点 M 在 第 一 象 限 内 ，连 接 AM 、 BM ， 设 点 M 的 横 坐 标 为 m ， △ ABM 的 面 积 为 S ， 求 S 与 m 的 函 数 表 达 式 ， 并 求 出 S 的最大值； （ 3） 在 （ 2） 的 条 件 下 ， 当 S 取 得 最 大 值 时 ， 动 点 M 相 应 的 位 置 记 为 点 M′ ． ①写 出 点 M′ 的 坐 标 ； ② 将 直 线 l 绕 点 A 按 顺 时 针 方 向 旋 转 得 到 直 线 l ′ ， 当 直 线 l ′ 与 直 线 AM ′ 重 合 时 停 止 旋 转 ，在 旋 转 过 程 中 ，直 线 l ′ 与 线 段 BM ′ 交 于 点 C ，设 点 B 、 M ′ 到 直 线 l ′ 的 距 离 分 别 为 d 1 、 d 2 ， 当 d 1 +d 2 最 大 时 ， 求 直 线 l ′ 旋 转 的 角 度 （ 即 ∠ BAC 的 度 数 ） ．
， M ′ B=
过 点 M ′ 作 M ′ G ⊥ AB 于 点 G ， 设 BG=x ， 2 2 2 2 ∴ 由 勾 股 定 理 可 得 ： M ′ B ﹣ BG =M ′ A ﹣ AG ， ∴ ∴ x= ﹣（ ， = ， ﹣ x） =
2
﹣x ，
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百度文库
cos ∠ M ′ BG= ∵ l1∥ l′， ∴ ∠ BCA=90 °， ∠ BAC=45 °
2
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【解答】解： （ 1 ） 令 x =0 代 入 y= ﹣ 3x+3 ， ∴ y=3 ， ∴ B（ 0， 3） ， 2 把 B （ 0 ， 3 ） 代 入 y=a x ﹣ 2ax+a+4 ， ∴ 3=a+4 ， ∴ a= ﹣ 1 ， 2 ∴ 二 次 函 数 解 析 式 为 ： y= ﹣ x +2x+3 ； （ 2 ） 令 y= 0 代 入 y= ﹣ x +2x+3 ， 2 ∴ 0= ﹣ x +2x+3 ， ∴ x= ﹣ 1 或 3 ， ∴ 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 横 坐 标 为 ﹣ 1 和 3， ∵M 在抛物线上，且在第一象限内， ∴ 0＜ m＜ 3， 过 点 M 作 ME ⊥ y 轴 于 点 E ， 交 AB 于 点 D ， 2 由 题 意 知 ： M 的 坐 标 为 （ m ， ﹣ m +2 m+3 ） ， 2 ∴ D 的 纵 坐 标 为 ： ﹣ m +2m+3 ， 2 ∴ 把 y= ﹣ m +2 m+3 代 入 y= ﹣ 3x+3 ， ∴ x= ， ， ﹣ m +2m+3 ） ， = DM • OE ，
4
点拨：1.利用了铅锤法求面积的最大值。 下列为铅锤法步骤设动点的坐标 由动点向 y 轴作铅垂线，构造出“铅垂高、水平宽” 。 铅垂高： “动点”与“交点”间的距离，交点：铅垂线与定直线的交点 水平宽：两定点间的竖直距离（两定点的纵坐标之差） 利用铅垂法面积公式求出关于面积的二次函数表达式， 2、利用转换的思想，将求 d1+d2 的最值，变成求 AC 之间的最短距离，最后再利用直接三角形
∴D 的坐标为（ ∴ DM=m ﹣ ∴ S= = = = = DM • BE+
DM （ BE+OE ） DM • OB × ×3
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=
（ m﹣
） +
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∵ 0＜ m＜ 3， ∴ 当 m= 时， ；
S 有最大值，最大值为
（ 3） ① 由 （ 2） 可 知 ： M′ 的 坐 标 为 （
，
） ；
② 过 点 M′ 作 直 线 l1 ∥ l′ ， 过 点 B 作 B F⊥ l 1 于 点 F， 根 据 题 意 知 ： d 1 +d 2 =BF ， 此 时 只 要 求 出 BF 的 最 大 值 即 可 ， ∵ ∠ B FM ′ =90 °， ∴ 点 F 在 以 BM ′ 为 直 径 的 圆 上 ， 设 直 线 AM ′ 与 该 圆 相 交 于 点 H ， ∵ 点 C 在 线 段 BM ′ 上 ， ∴F 在优弧 上， ∴ 当 F 与 M′ 重 合 时 ， BF 可 取 得 最 大 值 ， 此 时 BM ′ ⊥ l 1 ， ∵ A（ 1， 0） ， B（ 0， 3） ， M′ （ ∴ 由 勾 股 定 理 可 求 得 ： AB= ， ） ， ， M ′ A= ，
中余弦 cos
BAC
AC AB
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2 ,求出角度。 2
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六、同步训练
1 2 x ＋bx＋c（b，c 是常数，且 c<0）与 x 轴分别交 2 于点 A，B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴的负半轴交于点 C，点 A 的坐标为(－1，0)． (1)b＝ ▲ ，点 B 的横坐标为 ▲ （上述结果均用含 c 的代数式表示） ； 1 (2)连接 BC，过点 A 作直线 AE∥BC，与抛物线 y＝ x2＋bx＋c 交于点 E．点 D 是 x 轴上 2 一点，其坐标为(2，0)，当 C，D，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点，连接 PB，PC，设所得△PBC 的 面积为 S． ①求 S 的取值范围； ②若△PBC 的面积 S 为整数，则这样的△PBC 共有 ▲ 个．
二次函数中的铅锤高求面积法
一、课程标准 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 2.会用描点法画出二次函数的图像，通过图象了解二次函数的性质。 3. 会用配方法将数字系数的二次函数表达式化为
y a( x h) k 的形
2
式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对 称轴，并能解决简单的实际问题。 4.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。 5.*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。 （PS:标有*的内容为选 学内容） 二、学情分析 二次函数在教材中属于较难的一个章节。主要表现在：与动点、最值、相似、四 边形、分类讨论这些内容相结合,涉及知识点多、条件多，技巧性和综合性强。 三、考情分析 二次函数部分在中考中的分值一般会占 30 分左右， 在近几年的苏州数学中考卷 中，以二次函数为背景的综合题大都会以压轴题的形式出现。 二次函数与三角形面积的结合也是常考的题型之一，而通过作三角形的铅锤高 是解决三角形面积问题的一个好办法。 四、知识回顾 过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离 叫△ABC 的“水平宽” （a）,中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅 锤高（h） ”,由此可得出一种计算三角形面积的新方法，即 S=½ah，即三角形面积等 于水平宽与铅锤高乘积的一半
（2013 年苏州中考）如图，已知抛物线 y＝
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五、中考演练
（ 2016 •苏 州 ）如 图 ， 直 线 l ： y= ﹣ 3x+3 与 x 轴 、 y 轴 分 别 相 交 于 A 、 B 两 点 ，抛 物 线 y=ax ﹣ 2 ax+a+4 （ a ＜ 0 ） 经 过 点 B ． （ 1） 求 该 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ； （ 2） 已知点 M 是抛物线上的一个动点， 并 且 点 M 在 第 一 象 限 内 ，连 接 AM 、 BM ， 设 点 M 的 横 坐 标 为 m ， △ ABM 的 面 积 为 S ， 求 S 与 m 的 函 数 表 达 式 ， 并 求 出 S 的最大值； （ 3） 在 （ 2） 的 条 件 下 ， 当 S 取 得 最 大 值 时 ， 动 点 M 相 应 的 位 置 记 为 点 M′ ． ①写 出 点 M′ 的 坐 标 ； ② 将 直 线 l 绕 点 A 按 顺 时 针 方 向 旋 转 得 到 直 线 l ′ ， 当 直 线 l ′ 与 直 线 AM ′ 重 合 时 停 止 旋 转 ，在 旋 转 过 程 中 ，直 线 l ′ 与 线 段 BM ′ 交 于 点 C ，设 点 B 、 M ′ 到 直 线 l ′ 的 距 离 分 别 为 d 1 、 d 2 ， 当 d 1 +d 2 最 大 时 ， 求 直 线 l ′ 旋 转 的 角 度 （ 即 ∠ BAC 的 度 数 ） ．
， M ′ B=
过 点 M ′ 作 M ′ G ⊥ AB 于 点 G ， 设 BG=x ， 2 2 2 2 ∴ 由 勾 股 定 理 可 得 ： M ′ B ﹣ BG =M ′ A ﹣ AG ， ∴ ∴ x= ﹣（ ， = ， ﹣ x） =
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﹣x ，
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百度文库
cos ∠ M ′ BG= ∵ l1∥ l′， ∴ ∠ BCA=90 °， ∠ BAC=45 °
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【解答】解： （ 1 ） 令 x =0 代 入 y= ﹣ 3x+3 ， ∴ y=3 ， ∴ B（ 0， 3） ， 2 把 B （ 0 ， 3 ） 代 入 y=a x ﹣ 2ax+a+4 ， ∴ 3=a+4 ， ∴ a= ﹣ 1 ， 2 ∴ 二 次 函 数 解 析 式 为 ： y= ﹣ x +2x+3 ； （ 2 ） 令 y= 0 代 入 y= ﹣ x +2x+3 ， 2 ∴ 0= ﹣ x +2x+3 ， ∴ x= ﹣ 1 或 3 ， ∴ 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 横 坐 标 为 ﹣ 1 和 3， ∵M 在抛物线上，且在第一象限内， ∴ 0＜ m＜ 3， 过 点 M 作 ME ⊥ y 轴 于 点 E ， 交 AB 于 点 D ， 2 由 题 意 知 ： M 的 坐 标 为 （ m ， ﹣ m +2 m+3 ） ， 2 ∴ D 的 纵 坐 标 为 ： ﹣ m +2m+3 ， 2 ∴ 把 y= ﹣ m +2 m+3 代 入 y= ﹣ 3x+3 ， ∴ x= ， ， ﹣ m +2m+3 ） ， = DM • OE ，
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点拨：1.利用了铅锤法求面积的最大值。 下列为铅锤法步骤设动点的坐标 由动点向 y 轴作铅垂线，构造出“铅垂高、水平宽” 。 铅垂高： “动点”与“交点”间的距离，交点：铅垂线与定直线的交点 水平宽：两定点间的竖直距离（两定点的纵坐标之差） 利用铅垂法面积公式求出关于面积的二次函数表达式， 2、利用转换的思想，将求 d1+d2 的最值，变成求 AC 之间的最短距离，最后再利用直接三角形