平面向量及解析几何
平面向量的解析几何应用
平面向量的解析几何应用平面向量是解析几何中一个重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用。
本文将介绍平面向量的基本概念及其在解析几何中的应用。
一、平面向量的基本概念平面向量是指在平面内用有向线段表示的量。
它具有大小和方向两个重要的特征。
平面向量常用字母加上箭头进行表示，例如向量a用符号→a表示。
平面向量有一系列常用的运算，包括加法、减法、数乘和点乘等。
其中，向量的加法和减法可以通过平行四边形法则进行计算，数乘则是将向量与一个标量相乘，点乘则是两个向量相乘并求和的运算。
二、平面向量的坐标表示平面向量也可以用坐标进行表示。
通常情况下，我们将平面上的一个点的坐标表示为(x, y)，那么该点对应的平面向量可以表示为(→a) = (x, y)。
在平面直角坐标系中，平面向量还可以用分量表示。
例如，向量→a可以表示为(→a) = a1i + a2j，其中a1和a2分别是向量在x轴和y 轴上的分量，i和j分别是x轴和y轴的单位向量。
三、1. 向量的位移平面向量的位移是指描述一个点从一个位置移动到另一个位置的向量。
我们可以利用平面向量的减法来计算两个点之间的位移向量。
2. 向量的共线与共面如果两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的；如果三个向量在同一平面上，则它们是共面的。
通过判断向量的共线关系和共面关系，我们可以解决许多几何问题，例如判断三点是否共线等。
3. 向量的垂直关系两个向量垂直的条件是它们的点积等于零。
通过应用向量的点乘运算，我们可以判断两个向量是否垂直。
4. 向量的投影平面向量的投影指的是将一个向量投影到另一个向量上的过程。
通过计算向量的投影，我们可以解决直角三角形的问题，例如计算角度、长度等。
5. 三角形的面积三角形的面积可以通过平面向量的叉乘运算来计算。
通过计算三个顶点所对应的向量的叉乘，我们可以得到三角形的面积。
6. 直线和平面的关系平面向量可以用来描述直线和平面的关系。
例如，我们可以用平面向量表示直线的方向，利用向量运算来判断两个直线是否平行或垂直，以及直线和平面的交点等。
高考解析几何大题题型归纳
高考解析几何大题题型归纳
高考解析几何大题主要分为以下几类：
1. 平面向量问题：涉及向量加减、点积（数量积）、叉积（向量积）及其性质，例如线段长度、平行四边形面积、点到直线距离等等。
2. 空间几何问题：涉及空间中点、线、面的位置关系、相交情况、垂直或平行关系、大小关系等问题，例如两平面夹角、直线与平面的交点、平面方程等。
3. 三角形问题：涉及三角形内部、外部、垂心、垂足、中线、中心、外心、内心等概念，例如三角形的外接圆、内切圆、垂心定理等。
4. 圆锥曲线问题：涉及圆、椭圆、抛物线、双曲线等曲线的定义、性质、焦点、方程、参数等问题，例如椭圆离心率、抛物线焦点、双曲线渐近线等。
5. 空间向量问题：涉及空间中平行六面体、四面体的体积、重心、外接球、内切球等问题。
以上是高考解析几何大题的主要题型归纳，但具体涉及哪些内容还是要根据题目的情况来确定的。
平面向量在解析几何中的应用
平面向量在解析几何中的应用平面向量在解析几何中有什么应用？向量法的概念是一个数学家发现的，发现过程很有趣。
向量法可以说是比较好地把向量与三角形、四边形、多边形结合起来的方法。
也就是说，在平面上进行立体几何中的平面图形的分析时，不能够再像做三角形或四边形那样，要用向量的知识来分析问题了。
我们还必须要在向量法的基础上再进行讨论。
在向量法中，分析立体几何中的一些特殊的向量时，它们的值是比较容易确定的，并且只需要写出向量的方向和大小，然后用向量法计算。
我们还经常利用向量法来判断一些曲线上点的坐标，如果知道了向量的方向，也就找到了点的坐标。
向量法在立体几何和解析几何中也广泛存在，如果我们没有掌握这种方法，那么对一些公式或结论的理解将会出错。
在立体几何中，如果立体几何中的所有向量都已经知道了其方向和大小，并且知道其他所有向量之间的关系，那么这个立体几何中的所有结论就都可以推导出来了。
又如，在平面几何中，如果一个向量和另外两个向量在平面内不相交，那么它们的关系就只是垂直于平面的平行线，但当知道这个向量的方向和大小时，我们就可以进行讨论了。
第二种说法：因为向量是表示物体位置的重要工具。
它在立体几何中显得尤为重要。
因为这个几何中的向量可以用三维空间中的点的坐标来表示。
而在解析几何中也广泛存在，如果没有这种方法，就没有办法准确地解决一些与向量有关的问题。
在解析几何中，一般情况下，一条直线可以有无数条方向。
比如有，在解析几何中一条直线可以有无数条方向。
比如有x、 y两个方向，它们的夹角为0。
在解析几何中，我们还可以对向量法进行总结，如果是三维空间的立体几何，那么在这个立体几何中的所有向量都是共面的，并且一组向量的方向是唯一的。
如果是二维的平面几何，则一组向量的方向是唯一的，并且一组向量的方向是共面的。
我们还可以通过坐标和向量来求解一些问题，通过观察三个点a、 b、 c之间的关系，可以得到向量a、 b、c的长度，并且通过坐标来表示。
平面向量与解析几何交汇题的分类解析
平面向量与解析几何交汇题的分类解析湖北省广水市第一高级中学 (432700) 刘才华 Email:lch2019@平面向量既有大小又有方向，它具备数与形的双重身份，因此平面向量与解析几何交汇题，要善于分析清楚向量式的几何意义，借助向量形的特征使抽象的问题直观化、形象化；也要善于运用向量的坐标运算，借助向量数的特征用代数的方法研究几何图形的性质.一、利用向量式的几何意义求解定值问题例1 已知过点(0,1)A 的直线l 与⊙c ：1)3()2(22=-+-y x 相交与M 、N 两点. 求证：AM AN ⋅为定值.解 如图1示，由于向量AM 、AN共线且同方向， ∴||||AM AN AM AN ⋅=⋅ ，作圆的切线AT ，由圆的切割线定理，则 222||||||||817AM AN AT AC r ⋅==-=-= ，∴AM AN ⋅为定值.例2 已知1OF ＝(3,0)-，2OF＝(3,0)（O 为坐标原点），动点M 的轨迹为c ，且M 满足：12||||10MF MF +=.(1) 求动点M 的轨迹方程；(2) 若点P 和Q 是曲线c 上的任意两点，且0OP OQ ⋅= ，求222PQOP OQ⋅ 的值.解 (1）∵1212||||10||6MF MF F F +=>=，∴动点M 的轨迹c 为椭圆，且210a =，26c =，∴5a =，3c =，则4b =，∴点M 的轨迹方程为2212516x y +=. (2) 向量式2222222||||()||||||||PQ PQPQ OP OQ OP OQ OP OQ ==⋅⋅⋅ 如图2示，∵0OP OQ ⋅=，∴POQ ∆为直角三角形，∴POQ ∆的面积为11||||||22S OP OQ PQ d =⋅=⋅ ，∴d =∴向量式22221PQ d OP OQ=⋅ ，即为原点到直线PQ 的距离d 的平方的倒数. 图2图1设PQ 的方程为y kx m =+，联立2212516y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(1625)50254000k x kmx m +++-=，设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，则有1222122501625254001625km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， 由12121212()()OP OQ x x y y x x kx m kx m ⋅=+=++⋅+221212(1)()0k x x km x x m =++++= ∴22222222540050(1)016251625b k m k m k k -+-+=++，化简得2241400(1)m k =+，即22400141m k =+，∴2222400141m d k ===+， 若斜率k 不存在，则OP 的方程为y x =，联立2212516y xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =∴直线PQ的方程为x =PQ的距离d =240041d =.∴综合上述2222141400PQ d OP OQ==⋅ . 二、利用向量的坐标运算求解轨迹方程例3 设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = ，且1OQ AB ⋅=.求P 点的轨迹方程解 由题意设(,0)A a 、(0,)B b ，且0a >、0b >.∵2BP PA =，即(,)2(,)x y b a x y -=--，∴222x a x y b y =-⎧⎨-=-⎩， 即323a x b y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴3(,0)2A x 、(0,3)B y ，3(,3)2AB x y =-又点Q 与点P 关于y 轴对称知，∴(,)Q x y -，OQ=(,)x y -，则2233(,)(,3)3122OQ AB x y x y x y ⋅=-⋅-=+= ，又302a x =>，30b y =>，∴0x >且0y >. ∴P 点的轨迹方程为223312x y +=（0x >且0y >）． 三、利用向量证明几何图形中的位置关系例4 设A 、B 分别为椭圆22143x y +=的左、右顶点，且点P 是右准线上不同点(4,0)的任意一点，若直线AP 、BP 分别与椭圆相交于异于A 、B 的点M 、N .证明：点B 在以MN 为直径的圆内.解 如图3示，要证点B 在以MN 为直径的圆内，只需证2MBN π∠>，即要证0BM BN ⋅<.由题意得(2,0)A -、(2,0)B ，右准线方程为4x =. ∴设点(4,)P t 且0t ≠，11(,)M x y 、22(,)N x y ， 则直线AP 的方程为(2)6t y x =+，PB 直线方程为(2)2t y x =-∵点M 、N 分别在直线AP 、PB 上，∴11(2)6t y x =+，22ty =∴21212(2)(2)12t y y x x =+-， 联立22(2)6143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得到2222(27)44(27)0t x t x t +++-=， ∵2-，1x 是方程的两根，∴2124(27)227t x t --⋅=+，即2122(27)27t x t-=+， ∴11221212(2,)(2,)(2)(2)BM BN x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+21212(2)(2)(2)(2)12t x x x x =--++-2112[2(2)](2)12t x x x =-++-=2225(2)27t x t -+ ∵22(,)N x y 是椭圆上异于A 、B 的点，∴22x <.又0t ≠，∴BM BN ⋅=2225(2)027t x t -<+． ∴点B 在以MN 为直径的圆内.图3。
平面向量与解析几何
平面向量与解析几何平面向量是解析几何中的重要概念，它们在研究平面几何问题时具有广泛而深入的应用。
本文将介绍平面向量的定义、运算规则以及与解析几何的关系。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的有向线段，用符号表示。
设向量A的起点为点P，终点为点Q，记作A=→PQ。
平面向量还可以用坐标表示。
设A的坐标为(x1, y1)，起点在原点O，则A=→OP=(x1, y1)。
二、平面向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则。
设有向量A=→PQ，向量B=→RS，则A+B=→QS。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的长度放大或缩小。
设有向量A=→PQ，k为实数，则kA=→P'Q'，其中P'为向量A的起点，Q'为向量A的终点，且P'Q'的长度为k倍于PQ的长度。
3. 内积运算内积也称点积，表示两个向量的数量积。
设向量A=→PQ，向量B=→RS，A的坐标为(x1, y1)，B的坐标为(x2, y2)，则A·B=x1x2+y1y2。
4. 外积运算外积也称叉积，表示两个向量的向量积。
设向量A=→PQ，向量B=→RS，A的坐标为(x1, y1)，B的坐标为(x2, y2)，则A×B=(0,0, x1y2-x2y1)。
三、平面向量与解析几何的关系通过平面向量的运算，我们可以研究解析几何中的一些常见问题。
1. 直线的方程设有点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，则点A和点B构成的直线的方程可以表示为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
2. 两条直线的关系设直线L1的方程为(a1x+b1y+c1=0)，直线L2的方程为(a2x+b2y+c2=0)，则L1与L2平行的条件是a1/a2=b1/b2，L1与L2垂直的条件是a1a2+b1b2=0。
3. 两个向量的夹角设有向量A=→PQ，向量B=→RS，夹角θ的余弦可以由它们的内积表示为：cosθ=(A·B)/(|A||B|)。
高考数学(理)之平面向量 专题04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)
平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标： 一）向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二）考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述：常见的向量法解决简单的平面几何问题： 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离（长度）问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用：已知ABC D 中，(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标（x ，y ），由AD 是BC 边上的高可得⊥，且B 、D 、C 共线，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）. 【答案】AD ＝（－1，2）【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r，则顶点D 的坐标为 （ ） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ ， 【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1，点D E 、分别为AB BC 、的中点，求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r （1，），（，1），cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用：已知向量3(sin ,)4a x =r ，(cos ,1)b x =-r ．设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、，若a =2b =，sin B =()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围.【解析】 由正弦定理得或 . 因为，所以4A π=.因为+.所以, ，, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用：（1）已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．【解析】如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ， 则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得， 平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →.由图象得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2（2)椭圆的焦点为F F ，点P 为其上的动点，当∠F P F 为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （3cos ,2sin ）.为钝角，.∴=9cos 2－5＋4sin 2=5 cos 2－1<0.解得： ∴点P 横坐标的取值范围是（）. 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r（θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】（） 法二：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （x,y ）.为钝角，∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得：353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是（）. 【答案】（） 2. 在物理学中的应用：如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N ，则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的（对称） ，∴OA =OB ，∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ，∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD ， ∴三角形OAD 为等边三角形 ，∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 ， ∴OA =10 ，∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =-u u u r ，(1,)PB x y =---u u u r，(1,)PC x y =--u u u r ，所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-，当(0,2P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC uuu r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【答案】4，7. 【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【解析】 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ·⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ·⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a，(3,=b ，a ∥b，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-．又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ． 因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，()f x取到最小值-【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x取到最小值-．1.已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，点O 为直线BC 外一点，则12017a a +=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r， 即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r ， 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，∴3201511a a ++=， ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中， AD 为斜边BC 边的高，若1AC =u u u r ， 3AB =u u u r，则CD AB ⋅=u u u r u u u r （ ）【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B，所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心，以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ，得()2221x y -+=，又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ，故选B.【答案】B4.已知曲线C ：x =直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r，则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示， 圆的定义与 三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________. 【解析】 由题意得BD →·BE →＝(BA →＋AD →)·(BC →＋CE →)＝⎝⎛⎭⎫BA →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋13CA → ＝⎣⎡⎦⎤BA →＋13（BC →－BA →）·⎣⎡⎦⎤BC →＋13（BA →－BC →）＝⎝⎛⎭⎫13BC →＋23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →＋13BA → ＝29BC →2＋59BC →·BA →＋29BA →2＝29×9＋59×2×3×cos 120°＋29×4＝119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF . 若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. 【解析】法一、 如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λAB →＝⎝⎛⎭⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝⎛⎭⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二、 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)，D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF .可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫－233，－13，F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫－233，－43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝⎛⎭⎫1－1λ＋43⎝⎛⎭⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2. 【答案】28.在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.【答案】3119.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________.【解析】MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.【答案】 12 －1610.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，D ⎝⎛⎭⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝⎛⎭⎫2－12λ，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫2－12λ⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠P AQ ＝π4，则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，1).设∠P AB ＝θ，则AP →＝(2，2tan θ)，AQ →＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1，0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →＝(2，2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1＝2tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＋2tan θ＝2（1－tan θ）1＋tan θ＋2tan θ＝41＋tan θ＋2tan θ－2＝41＋tan θ＋2(tan θ＋1)－4≥42－4，当且仅当tan θ＝2－1时，“＝”成立，所以AP →·AQ →的最小值为42－4.法二(基底法) 设BP ＝x ，DQ ＝y ，由已知得，tan ∠P AB ＝x2，tan ∠QAD ＝y ，由已知得∠P AB ＋∠QAD ＝π4，所以tan ∠P AB ＋tan ∠QAD 1－tan ∠P AB tan ∠QAD ＝1，所以x ＋2y 2＝1－xy2，x ＋2y ＝2－xy ≥2x ·2y ，解得0＜xy ≤6－42，当且仅当x ＝2y 时，“＝”成立.AP →·AQ →＝22·（4＋x 2）（1＋y 2）＝22·（xy ）2＋（x ＋2y ）2－4xy ＋4＝22·（xy ）2＋（2－xy ）2－4xy ＋4＝（xy ）2－4xy ＋4＝2－xy ≥42－4. 【答案】 42－412.设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝________.【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________.【解析】 由AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝3，即BC ＝ 3.又AC 2＝AB 2＋BC 2，所以∠B ＝90°.以点A 为坐标原点，AB →，BC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (1，0)，C (1，3).由AP →＝AB →＋λAC →，得P (1＋λ，3λ)，则BP →·CP →＝(λ，3λ)·(λ，3λ－3)＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1.【答案】 －14或114.证明:同一平面内，互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图，用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力，且r a ,r b ,rc 互成120°，模相等，按照向量的加法运算法则，有：r a +r b +r c = r a +（r b +r c ）=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知：三角形OBD 为等边三角形， 故r a 与u u u r OD 共线且模相等，所以：u u u r OD = －r a ，即有：r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.（1）若23m n ==，求||OP u u u r ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【解析】（1）(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ，(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r，|OP ∴u u u r（2）OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩，两式相减得：m n y x -=-.令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【答案】（1）（2）m n y x -=-，1.16.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，求1m ＋1n的最小值.【解析】 如图，建立平面直角坐标系，得A (0，0)，B (4，0)，D (0，4)，C (1，4)，则AB →＝(4，0)，AD →＝(0，4).设AP →＝(x ，y )，则BC 所在直线为4x ＋3y ＝16. 由AP →＝mAB →＋nAD →，即(x ，y )＝m (4，0)＋n (0，4)，得x ＝4m ，y ＝4n (m ，n >0)， 所以16m ＋12n ＝16，即m ＋34n ＝1，那么1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m ＋34n ＝74＋3n 4m ＋m n ≥74＋23n 4m ·m n ＝74＋3＝7＋434(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号). 17.已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝55，cos 2α＝2cos 2α－1＝－35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010，而sin α＝1－cos 2α＝255， 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.。
高一下数学知识点归纳大全
高一下数学知识点归纳大全在高一下学期的数学学习过程中，我们接触到了许多重要的知识点，这些知识点是我们建立起数学基础的关键。
为了更好地回顾和巩固这些知识点，下面将对高一下学期的数学知识点进行归纳总结。
一、二次函数及其图像1. 二次函数的定义及标准形式二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
标准形式为y=ax²+bx+c。
2. 二次函数的图像特征二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定。
若a>0，则抛物线开口向上；若a<0，则抛物线开口向下。
顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
3. 二次函数的平移与缩放二次函数通过平移和缩放可以改变其图像的位置和形状。
平移时，将横轴上的每个点x移动h个单位，纵轴上的每个点y移动k 个单位。
缩放时，将横轴上的每个点x乘以一个比例系数a，纵轴上的每个点y乘以一个比例系数b。
二、三角函数及其应用1. 三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
它们的定义通过单位圆上的点和坐标轴之间的关系来确定。
2. 三角函数的图像与周期性正弦函数和余弦函数的图像都是周期性的，周期为2π。
其中，正弦函数的图像在x=π/2和x=3π/2处取得最大值和最小值，余弦函数的图像在x=0和x=π处取得最大值和最小值。
3. 三角函数的性质与公式三角函数具有很多性质和公式，如和差化积、倍角公式、平移公式等。
这些公式在解三角方程和简化三角式等问题中起到重要作用。
三、平面向量与解析几何1. 平面向量的定义与运算平面向量是有大小和方向的量，用箭头表示。
平面向量的加法满足三角形法则，减法则是加上对应向量的相反向量。
向量的数乘、数量积和向量积是平面向量的常见运算。
2. 解析几何的基本概念解析几何是通过代数的方法来研究几何问题的分支学科。
在平面直角坐标系中，点的坐标表示为(x, y)，向量的表示为(xi, yj)。
高一数学前3章知识点归纳
高一数学前3章知识点归纳高一数学是学习数学的重要阶段，前三章的知识点是我们打下扎实数学基础的关键。
本文将对高一数学前三章的知识点进行归纳和总结，以帮助大家更好地理解和掌握这些内容。
一、函数与导数1. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个自变量对应到一个因变量上。
函数的表示方法有方程、图像和表格等形式。
2. 函数的性质：函数的定义域、值域和图像是研究函数的重要内容。
另外，函数的奇偶性、单调性和周期性也是需要掌握的概念。
3. 导数的概念：导数表示函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数的切线斜率。
导数的计算方法包括用极限的定义、求导法则和初等函数的求导公式等。
4. 导数的应用：导数在函数图像的研究中具有重要作用，可用于求极值、判定函数的单调性和凸凹性，以及求函数的导函数等。
二、平面向量与解析几何1. 平面向量的概念：平面向量是指在平面内有大小和方向的箭头，可以用有序数对表示。
向量的加法、减法和数量乘法是需要掌握的基本运算。
2. 平面向量的数量表示：平面向量可以用数量表示的形式给出，如模长和方向角式。
向量的模长和方向角具有相应的计算公式。
3. 平面向量的坐标表示：平面向量可以用坐标表示的形式给出，如分量式。
向量的加法、减法和数量乘法的坐标表示形式可以用分量的运算进行。
4. 解析几何的基本概念：解析几何是研究平面和空间中几何图形的位置关系和性质的分支学科。
直线、平面、圆和球等几何图形的方程和性质需要掌握。
三、三角函数与立体几何1. 三角函数的概念：三角函数是数学中一种重要的特殊函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们在三角形中的应用很广泛。
2. 三角函数的计算：掌握三角函数的计算方法，如特殊角的计算、和差化积、倍角公式、半角公式等。
还要理解三角函数的周期性和性质。
3. 立体几何的基本概念：立体几何是研究空间中立体图形的位置关系和性质的学科，包括点、线、面和体等概念。
要掌握几何体的表面积和体积的计算方法。
高考复习资料：平面向量与解析几何
第１８讲 平面向量与解析几何在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。
用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。
著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。
这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。
一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。
向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。
而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。
二、例题解析例1、（2000年全国高考题）椭圆14922=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。
解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ）21PF F ∠ 为钝角∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-（ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（553,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。
本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。
例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求22PA PB +的最大值和最小值。
高二数学选择性必修一知识点讲解
高二数学选择性必修一知识点讲解数学是一门抽象而有趣的学科，它在我们生活和学习中都有着重要的作用。
作为高中生，学好数学对我们未来的发展至关重要。
在高二数学课程中，选择性必修一是一个重要的知识点，本文将为大家详细讲解该知识点的核心内容。
一、函数与映射函数与映射是选择性必修一中最基础的内容之一。
在数学中，函数指的是一个特定的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
函数可以用各种方式表示，如函数表达式、函数图像等。
而映射则是函数的具体表现形式，它描述了输入和输出之间的对应关系。
通过学习函数与映射，我们可以更好地理解数学中的关系，为后续的学习打下坚实的基础。
二、一元二次方程与不等式一元二次方程与不等式也是选择性必修一中的重要内容。
一元二次方程是一个最高次项为2的一元多项式方程，它可以用来解决很多实际问题。
我们可以通过配方法、因式分解、求平方根等方法解一元二次方程，并应用到实际生活中。
而一元二次不等式则是在一元二次方程的基础上发展而来的，它通过求解不等式的解集来满足特定条件。
学好一元二次方程与不等式，可以帮助我们更深入地理解数学中的代数内容。
三、平面向量与解析几何平面向量与解析几何是选择性必修一中更高级的内容。
平面向量是一个有大小和方向的量，它可以用箭头表示。
我们可以进行向量的加法、减法、数量乘法等运算，并且还可以应用到解析几何中解决与平面相关的问题。
解析几何则是利用代数方法和坐标系统来研究几何问题，它将几何问题转化为代数问题，通过计算和推导来求解。
学好平面向量与解析几何，可以提升我们的空间想象能力和解决问题的能力。
四、三角函数与解三角形三角函数与解三角形是选择性必修一中的重点内容。
三角函数是角的函数，它描述了角度和长度之间的关系。
我们熟知的正弦函数、余弦函数和正切函数等都属于三角函数的一种。
通过学习三角函数，我们可以研究角度的性质和三角函数的图像，并且可以应用到解决各种与角度相关的实际问题中。
平面向量与解析几何的交汇
Ｚ
（ １ ） 证明： 蕊． 商 为常数；
又因 为Ａ， Ｂ两点 在双 曲线上 ， 所 以 ｔ ｌ ２ ，
求虎 ． 开 的最值 审题视 点 ： 第ｆ １ ） 』 司 直 接设 动点Ｐ 的坐 标 ．
先把 向量之 间的关 系化 简 ．然后代人 向量坐 标， 化简整理 即得 轨迹方程 ； 第（ ２ １ 问先利用 圆 的性质化简 向量数量积 ． 将 其转化为 动点Ｐ 与 定点Ｎ 的距 离的最值 ． 最后代人点 的坐标将其 转化为函数的最值求解
ｊ
于是蕊 ・ 商＝ 。 一 １ ） 一 １ ） ＝ 。 一 １ ） 一 １ ）
２ （ ｘ ｌ － ２ ） （ ｘ ２ － ２ ） （ ｋ ２ ＋ １ ｌ ｘ ２ － （ ２ ｋ ＋ １ ） ｌ ＋ 她 ＋ １ ４ ｋ Ｅ （ ２ ｋ ￣ ＋ １ ） ２ ＿ ＋ ４ ｋ２ ＋１
＝
＝ － －
－
（ Ａ ） （ Ｂ ） ｝ （ ｃ ） 一 导 （ Ｄ ） 一
审题视点 ： 首先联立 直线与抛物 线方程 ，
１
２ ＿ｌ
因ｙ 。 ∈ 【 一 ２ ｖ ， ２ 、 ／ 】 ， 所 以当 ＝ 一 ３ 时，
求得交点Ａ 、 Ｂ 的坐标 ． 再 由向量的数量积公式 求解。
＝ 一斗
由 商： 矗 痢 赢 得：
ｘ ＝ｌ， ｘ ＝ ４。
１ ２ ＿ ４ 、 ／ 了。
方法 总结 ：平面 向量与平面解 析几何 交 汇的题 目． 涉及 向量数量积 的基本运算 。 数 量 积 的求解 以及轨 迹 、 直线和 圆、 直线和椭 圆中 最值 等问题 ．解决此 类问题应从 向量的坐 标 运 算人手 ．这也 是解决解析几何 问题 的基 本 方法——坐标法 例３ ． 已知 双曲线 — ＝ ２ 的右焦点 为Ｆ． 过 点Ｆ 的动直线与双曲线相交 于Ａ． Ｂ 两点． 点Ｃ 的 坐标是ｆ １ ， ０ １ 。
初中数学平面向量
初中数学平面向量一、引言数学中的向量是一种重要的数学工具，具有广泛的应用。
在初中数学中，学习平面向量是数学教学的一个重要内容。
平面向量在几何图形的运动、力的合成以及解析几何中都有广泛的应用。
本文将介绍初中数学中平面向量的定义、性质、运算及应用。
二、平面向量的定义平面向量是有大小和方向的量，可以表示为箭头形式。
假设有向量AB，其中A和B为向量的起点和终点，用→ AB表示。
平面向量可由坐标表示或单位向量表示，坐标表示为(AB) = (x, y)，其中x和y分别为向量AB在x轴和y轴上的投影。
单位向量表示为ā，即平面上的一个长度为1的向量。
三、平面向量的性质1. 平行性质：若两个向量的方向相同或相反，则它们平行；若两个向量的方向垂直，则称它们垂直。
2. 大小性质：向量的大小由向量的模表示，模记作|AB|。
向量的大小与其坐标的绝对值相关。
3. 零向量：零向量记作o，表示起点和终点相同的向量。
4. 逆向量：若向量AB的模为a，则向量BA的模为a，称其为向量AB的逆向量。
5. 直角三角形法则：若有两个向量AB和AC，则向量AB与向量AC的合向量为向量AD，其中D为以AC为一边，高为AB的直角三角形的顶点。
四、平面向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即，若有向量AB和向量CD，则向量AB+向量CD = 向量CD+向量AB。
2. 向量的减法：若有向量AB和向量CD，则向量AB-向量CD = 向量AB+向量DC。
3. 数乘：数乘是指一个向量与一个实数相乘的运算。
若有向量AB和实数k，则k倍的向量AB表示为kAB。
4. 向量的共线与共点：向量AB与向量CD共线的充分必要条件是存在实数k，使得向量AB = k向量CD。
向量AB与向量CD共点的充分必要条件是向量AB-向量CD为零向量。
5. 平移向量：平移向量是指一个向量加上同一个平移向量后仍保持平行关系。
若有向量AB和向量CD，则向量AB+向量CD = 向量AD，其中AD代表向量AB平移向量CD得到的新向量。
高中数学必修一知识点归纳
高中数学必修一知识点归纳高中数学必修一主要涵盖了一元二次函数、指数函数与对数函数、三角函数及其应用、平面向量和解析几何等知识点。
下面将对这些知识点进行详细介绍。
一、一元二次函数一元二次函数是高中数学中重要的知识点，也是高中数学必修一的核心内容之一。
一元二次函数的表达形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数且a≠0。
在学习一元二次函数时，首先需要掌握一元二次方程的基本概念和解法。
一元二次方程是指形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中a、b和c为实数且a≠0。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、根的公式法等。
在学习一元二次函数的图像时，需要理解抛物线的基本特征。
一元二次函数的图像是一个抛物线，可以通过求顶点、轴线和对称轴等信息来确定抛物线的形状和位置。
在应用方面，一元二次函数常用于解决实际问题，如抛射问题、最值问题等。
通过将实际问题抽象为一元二次函数，可以利用函数的性质和方程的解法来解决实际问题。
二、指数函数与对数函数指数函数是以常数e为底的指数幂函数，表达形式为f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1。
而对数函数是指数函数的反函数，表达形式为f(x) = loga(x)，其中a为正实数且a≠1，x为正实数。
在学习指数函数时，需要掌握指数函数的性质和运算法则，如指数函数的定义域、值域、增减性、奇偶性等。
指数函数还与幂函数、指数方程和指数不等式等有密切的关系，需要通过解题来加深理解。
对数函数是指数函数的反函数，对数函数的性质和运算法则与指数函数有着密切的联系。
在学习对数函数时，需要理解对数函数的基本性质，如定义域、值域、单调性等。
对数函数还与指数方程和指数不等式等密切相关，可以通过解题来加深理解。
三、三角函数及其应用三角函数是高中数学中的重要知识点，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数是描述直角三角形中角度与两个直角边长比例之间关系的函数，其定义域为实数集合 R。
平面向量与解析几何练习题计算平面向量与解决相关几何问题
平面向量与解析几何练习题计算平面向量与解决相关几何问题在解析几何中，平面向量是一种重要的数学工具，被广泛应用于平面几何中的计算和问题解决。
平面向量具有大小和方向，可以进行向量的加法、减法、数量乘法等运算，同时还可以通过平面向量来解决一些相关的几何问题。
本文将通过一些练习题的计算和解决过程，来展示平面向量在解析几何中的应用。
题目一：已知向量A(2, -1)和向量B(3, 4)，求向量A与向量B的和。
解析：向量的加法是平面向量运算中最基本也是最常见的一种运算。
两个向量的和就是将两个向量的对应分量相加得到的新向量。
解答：向量A与向量B的和是(2+3, -1+4)，即向量A与向量B的和为(5, 3)。
题目二：已知向量C(1, 2)和向量D(-3, 5)，求向量C减去向量D的结果。
解析：向量的减法是指将减数向量的相反向量加到被减数向量上，即相当于进行向量的加法运算。
解答：向量C减去向量D的结果是(1-(-3), 2-5)，即向量C减去向量D的结果为(4, -3)。
题目三：已知向量E(3, -2)和数k=4，求数量乘法kE的结果。
解析：数量乘法是指将数与向量的每个分量分别相乘得到的新向量。
解答：数量乘法kE的结果是(4×3, 4×(-2))，即数量乘法kE的结果为(12, -8)。
题目四：已知直线L过点P(2, 3)和点Q(5, -1)，求直线L的方向向量。
解析：直线的方向向量可以通过两点确定。
将两点的坐标视为向量，直线的方向向量就是由这两个点的向量相减得到的。
解答：直线L的方向向量为(5-2, -1-3)，即直线L的方向向量为(3, -4)。
题目五：已知直线L的法线向量为(2, 3)，且过直线L上一点A(1, -1)，求直线L的方程。
解析：直线的方程可以通过直线上一点和直线的法线向量求得。
直线的方程一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C分别为方程的系数。
解答：由题意可知，直线L的法线向量为(2, 3)，过直线L上一点A(1, -1)。
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结平面向量和平面解析几何是高中数学中重要的概念和工具。
它们在几何图形的描述、方程的求解和数学推理中有着广泛的应用。
本文将总结平面向量与平面解析几何的联系知识点，并探讨它们之间的重要关系。
一、平面向量的基本概念和表示方法平面向量是空间中的有向线段，具有大小和方向。
它可以用一个具有大小和方向的箭头表示。
常用的表示方法有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示：假设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则以A 为起点，B为终点的向量AB可以用坐标表示为向量(a, b)，其中a = x2 - x1， b = y2 - y1。
其中，x1、y1为向量的起点坐标，x2、y2为向量的终点坐标。
2. 分量表示：向量AB的分量表示为(ABx, ABy)，其中ABx为向量AB在x轴上的投影，ABy为向量AB在y轴上的投影。
分量表示形式方便进行向量的运算和推导。
二、平面解析几何的基本概念和表示方法平面解析几何是用代数方法研究平面上的几何问题。
它通过线性方程和坐标表示来研究几何图形的性质和关系。
1. 直线的解析方程：设直线L的解析方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，x、y为变量。
通过解析方程可以确定直线L在平面上的位置和方向。
2. 圆的解析方程：设圆C的解析方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径长度。
解析方程确定了圆C在平面上的位置和半径。
三、平面向量与平面解析几何的关系平面向量和平面解析几何有着密切的联系，它们可以相互转化、相互补充，共同应用于几何问题的研究。
1. 平移变换：平移变换是平面向量的一种基本运算，也是几何图形的一种基本变换。
平移变换可以通过平面向量的加法来表示。
设向量u 表示平移的位移，则点P(x, y)经过平移变换得到的新点P'(x', y')的坐标可以表示为(x', y') = (x, y) + u。
高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)
56. 你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量。
（）向量的模——有向线段的长度，2||a →（）单位向量，3100||||a a aa →→→→==（）零向量，4000→→=||（）相等的向量长度相等方向相同5⇔⎧⎨⎩=→→a b在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
b a b b a →→→→→→≠⇔=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图：OA OB OC →+→=→OA OB BA →-→=→（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）e e a →→→12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→=+的一组基底。
（9）向量的坐标表示i j x y →→，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得()a x i y j x y a a x y →→→→→=+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()表示。
()()设，，，a x y b x y →→==1122()()()则，，，a b x y y y x y x y →→±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122()则，AB x x y y →=--2121 ()()||AB x x y y A B →=-+-212212，、两点间距离公式57. 平面向量的数量积（）··叫做向量与的数量积（或内积）。
1a b a b a b →→→→→→=||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b →→∈0Bb O θa数量积的几何意义：a b a b a b →→→→→·等于与在的方向上的射影的乘积。
高一数学必修下知识点总结归纳
高一数学必修下知识点总结归纳高一数学必修下是学习数学的重要阶段，本课程涵盖了许多重要的数学知识点。
在这篇文章中，我们将对这些知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地理解和掌握这些内容。
1. 一元二次方程与函数一元二次方程是高一数学必修下的重要内容。
通过学习一元二次方程的求解方法，可以帮助学生提升对方程的理解和解题能力。
同时，函数的概念也是必修下的重点内容，它是一元二次方程的基础。
在学习函数时，需要掌握函数的定义、函数的性质以及函数的图像等内容。
2. 平面向量与解析几何平面向量和解析几何是高一数学必修下的另一个重要知识点。
通过学习平面向量的概念和运算法则，可以帮助学生更好地理解向量和几何的关系。
在解析几何中，需要学习平面直角坐标系、直线和圆的方程、求线段长度和角度等内容。
3. 三角函数三角函数是高一数学必修下的重要内容之一。
通过学习三角函数的定义、性质和图像等内容，可以进一步理解三角函数与平面几何的关系。
在学习三角函数时，需要熟练掌握正弦函数、余弦函数和正切函数等的性质和公式，并能够应用到实际问题中。
4. 数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高一数学必修下的另一个重要内容。
通过学习数列的定义、性质和求和公式等，可以帮助学生提升数学推理与证明的能力。
数学归纳法是解决数列问题的有效方法，需要掌握其基本原理和应用技巧。
5. 概率与统计概率与统计是高一数学必修下的最后一个重要知识点。
通过学习概率的基本概念、计算方法和应用技巧，可以帮助学生分析和解决实际问题。
统计学的基本概念和统计图表的应用也是必修下的内容，需要学习统计图表的制作和解读方法。
综上所述，高一数学必修下涵盖了一元二次方程与函数、平面向量与解析几何、三角函数、数列与数学归纳法、概率与统计等重要知识点。
通过系统学习和巩固这些知识，可以帮助同学们打下坚实的数学基础，为高中数学学习打下良好的基础。
希望同学们通过努力学习，能够在高一数学必修下取得好成绩！。
高中数学中的平面解析几何
高中数学中的平面解析几何平面解析几何是高中数学中的重要内容之一，它是研究平面上的几何图形和几何关系的一门学科。
通过数学分析和计算方法，我们可以揭示平面上的几何规律，并解决相应的几何问题。
本文将介绍平面解析几何的基本概念、常见定理和应用。
一、平面坐标系在平面解析几何中，我们通常引入平面坐标系来描述平面上的点和图形。
平面坐标系由横坐标轴x和纵坐标轴y所构成，它们相互垂直，并将平面分为四个象限。
设平面上一点P的坐标为(x,y)，其中x表示横坐标的值，y表示纵坐标的值。
二、平面上的点和向量在平面解析几何中，点是最基本的要素。
点P(x,y)表示平面上的一个具体位置。
而向量则表示平面上的一个有方向和大小的量。
向量由起点和终点确定，可以用箭头表示，例如向量AB。
向量的大小表示为|AB|，方向则由指向终点的箭头确定。
三、平面上的直线平面解析几何中研究的另一个重要对象是直线。
平面上的直线可以通过一般式方程、点斜式方程或两点式方程来表示。
一般式方程为Ax+By+C=0，其中A、B、C为实数且A和B不同时为0；点斜式方程为y-y₁=k(x-x₁)，其中(x₁,y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率；两点式方程为(y-y₁)/(x-x₁)=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)为直线上的两点。
四、平面上的曲线除了直线外，平面解析几何还研究了各种曲线，如抛物线、圆、双曲线等。
这些曲线可以通过特定的函数方程来描述。
例如，抛物线的标准方程为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
五、平面上的距离和中点在平面解析几何中，我们可以计算两点之间的距离和直线段的中点。
设平面上两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，则两点之间的距离为|AB| =√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)。
若直线段AB的中点为M(xₘ,yₘ)，则中点的坐标可以通过求取x和y的平均值得到。
平面向量在解析几何中的应用与求解策略
平面向量在解析几何中的应用与求解策略一、利用向量，可以很方便地解决有关平行、垂直、距离等相关问题，其基本理论是：（一）、直线的方向向量：直线L 的方向向量为→m =（a,b),则该直线的斜率为k= ba（二）、利用向量处理平行问题：对非零向量→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2),→a ∥→b 的充要条件是：有且仅有一个实数λ，使得→a = λ→b ；亦即a ∥b (b≠)的充要条件是⇔x 1y 2-x 2y 1=0；（三）、利用向量求角：设→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2), 则两向量→a 、→b 的夹角：cos θ = cos<→a ,→b > = →a 〃→b|→a ||→b=x 1x 2+y 1y 2x 12+y 12 〃x 22+y 22⇒ 其特殊情况即为垂直问题：对非零向量→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2),→a ⊥→b 的充要条件是→a 〃→b =0⇔x 1x 2- y 1y 2=0；（四）、利用向量求距离：设→a =(x,y),则有|→a |=→a 2 =x2+y 2；若),,(),,(2211y x B y x A 则|→二、典例分析：★【题1】、点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P且方向为→a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为:( ) （A （B ）13 (C)2（D ）12●[解析]：如图,过点P （-3，1）的方向向量→a =(2,-5);所以)3(251;,25+-=--=x y l K PQ PQ 则；即1325;-=+y x L PQ ;联立：)2,59(21325--⎩⎨⎧-=-=+Q y y x 得， 由光线反射的对称性知：251=QF K所以)59(252;1+=+x y L QF ，即0525:1=+-y x L Q F ;令y=0,得F 1（-1，0）;综上所述得： c=1，3,32==a c a 则;所以椭圆的离心率.3331===a c e 故选A 。
平面向量与解析几何练习题
平面向量与解析几何练习题解析几何是现代数学的重要分支之一，其研究对象是空间中的点、向量和几何对象的性质与关系。
而平面向量作为解析几何的基础，具有重要的应用价值。
下面将通过一些练习题，来巩固和应用平面向量与解析几何的知识。
一、证明题1. 证明平面上一点A（x1，y1）到直线Ax+By+C=0的距离为：d=|Ax1+By1+C|/√(A^2+B^2)。
2. 证明向量AB与向量AC的夹角满足：cos∠BAC=(AB·AC)/(|AB|·|AC|)。
二、计算题1. 已知A(2, 1), B(5, -3)，求向量AB。
2. 已知向量a(3, 4)，b(-2, 1)和c(5, -2)，求向量a+b-c的模。
3. 设向量a=(3, -2)，b=(-1, 5)，求向量a·b和|a×b|。
4. 已知向量a=(1, 2)，b=(-3, 4)，求向量a+b和向量a-b的模。
三、综合应用题1. 已知三角形ABC，点A(1, 2), B(4, 3)，C(2, -1)，求AB和AC的单位向量。
2. 已知平面内一三角形ABC，点A(-1, 4), B(3, -2)，C(x, y)，若三角形ABC为等腰直角三角形，求点C的坐标。
3. 设平面向量a与b的模分别为3和4，且∠(a, b)=π/3，求其数量积a·b。
4. 在平面内，设单位向量a、b满足a·b=0，向量c=2a-3b，求向量c 的模和c与向量a的夹角。
通过以上的练习题，我们对平面向量和解析几何的相关知识进行了巩固和应用。
解析几何在数学中具有重要的地位，通过深入学习和练习，我们可以更好地理解和应用解析几何在实际问题中的解决方法。
希望通过对这些题目的学习，能够进一步提升解析几何的能力，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
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六、平面向量考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。
1、已知向量与不共线，且0||||≠=，则下列结论中正确的是 A ．向量-+与垂直 B ．向量-与垂直C ．向量b a +与a 垂直D ．向量b a b a -+与共线2．已知在△ABC 中，⋅=⋅=⋅，则O 为△ABC 的A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心3．在△ABC 中设a AB =，b AC =，点D 在线段BC 上，且3BD DC = ，则AD用b a ,表示为 。
4、已知21,e e 是两个不共线的向量，而→→→→→→+=-+=2121232)251(e e b e k e k a 与是两个共线向量，则实数k = .5、设→i 、→j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且→→+=j i 24，→→+=j i 43，则△OAB 的面积等于 ：A ．15B ．10C ．7.5D ．56、已知向量OB OA OC OB OA +==--=),3,2(),1,3(，则向量OC 的坐标是 ，将向量按逆时针方向旋转90°得到向量，则向量的坐标是 . 7、已知)3,2(),1,(==k ，则下列k 值中能使△ABC 是直角三角形的值是A ．23B ．21-C ．－5D ．31-8、在锐角三角形ABC 中，已知ABC ∆==,1||,4||的面积为3，则=∠BAC ，⋅的值为 .9、已知四点A ( – 2，1)、B (1，2)、C ( – 1，0)、D (2，1)，则向量与的位置关系是 A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 无法判断10、已知向量OB OA CA OC OB 与则),sin 2,cos 2(),2,2(),0,2(αα===夹角的范围是：A ．]4,0[πB ．]125,4[ππ C ．]125,12[ππ D ．]2,125[ππ 11、若,4,,2||,3||π夹角为且b a b a ==则||b a +等于：A ．5B ．52C ．21D ．1712、已知→a =（6，2），→b =)21,4(-，直线l 过点A )1,3(-，且与向量→→+b a 2垂直，则直线l 的一般方程是 . 13、设]2,[,),()()(ππ--∈-+=R x x f x f x F 是函数)(x F 的单调递增区间，将)(x F 的图象按)0,(π=a 平移得到一个新的函数)(x G 的图象，则)(x G 的单调递减区间必是：A ．]0,2[π-B ．],2[ππC ．]23,[ππ D ．]2,23[ππ14、把函数3)2(log 2+-=x y 的图象按向量平移，得到函数1)1(log 2-+=x y 的图象，则a 为（ ）A ．（3，－4）B ．（3，4）C ．（－3，4）D ．（－3，－4）15、如果把圆)1,(02:22-==-+m y y x C 沿向量平移后得到圆C ′，且C ′与直线043=-y x 相切，则m 的值为 .16、已知P 是抛物线122-=x y 上的动点，定点A （0，-1），若点M 分PA 所成的比为2，则点M 的轨迹方程是_____，它的焦点坐标是_________．17、若D 点在三角形的BC 边上，且4CD DB r AB sAC ==+，则3r s +的值为:A. 165B. 125C. 85D. 4518、若向量),sin ,(cos ),sin ,(cos ββb a ==αα则b a与一定满足:A.b a 与的夹角等于βα-B.)()(b a b a-⊥+ C. b a // D.b a ⊥19、已知A （3，0），B （0，3），C （cos α，sin α）.（1）若⋅=－1，求sin2α的值； （2）若13||=+OC OA ，且α∈（0，π），求OB 与OC 的夹角.20、已知O 为坐标原点，a R a R x a x x ,,)(2sin 3,1(),1,cos 2(2∈∈+==是常数），若.OB OA y ⋅=（Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式);(x f （Ⅱ）若]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为2，求a 的值并指出)(x f 的单调区间.21、已知A （－2，0）、B （2，0），点C 、点D 满足).(21,2||+== （1）求点D 的轨迹方程；（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为54，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程. 22、如图，已知△OFQ 的面积为S ，且 1=⋅FQ OF . （1）若21＜S ＜2，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围； （2）设|OF | = c （c ≥2），S =c 43，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点Q ，当|OQ |取得最小值时，求此椭圆的方程.七、直线与圆的方程考试要求：1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。
掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2、掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式。
能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3、了解二元一次不等式表示平面区域。
4、了解线性规划的意义，并会简单地应用。
5、了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
1、与直线013=-+y x 垂直的直线的倾斜角为:A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 2、过坐标原点且与点（1,3）的距离都等于1的两条直线的夹角为：A ．90°B ．45°C ．30°D ．60°3、直线1l 的方程为12+-=x y ，直线2l 与直线1l 关于直线x y =对称，则直线2l 经过点A ．（－1，3）B ．（1，－3）C ．（3，－1）D ．（－3，1）4、直线02)1(012=+-+=-+y a x y ax 与平行，则a 等于：A ．23B ．2C ．－1D ．2或－15、已知x 、y 满足12,00033-+=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+x y z y x y x 则的取值范围是：A ．[－2，1]B ．),1[]2,(+∞⋃--∞C ．[－1，2]D ．),2[]1,(+∞⋃--∞6、设x ，y 满足约束条件：y x z y x y x y +=⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≤则72,2,1的最大值与最小值分别为：A ．27，3 B ．5，27 C ．5，3 D ．4，37、若032≥++y x ，则22)2()1(+++y x 的最小值为：A ．5B ．225 C ．552 D ．5228、已知圆的方程为x 2 – 2x + y 2 – 4y – 5 = 0，则圆心坐标为_________，圆与直线y = 5相交所得的弦长为_____________． 9、设0>m ，则直线01)(2=+++m y x 与圆m y x =+22的位置关系是: A. 相切 B. 相交 C. 相切、相离或相交 D. 相交或相切 10、若直线ax by +-=30和圆x y x 22410++-=切于点()P -12，，则ab 的值为： A. 2B. -2C. -3D. 311、若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值是 A.2 B.4 C.21 D.41 12．过原点向圆x 2+y 2－6y+427=0作两条切线, 则两条切线间圆的劣弧长为： A. π B. 32π C. 23π D. 34π13、已知直线b a by ax ,(01=-+不全为0）与圆5022=+y x 有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条14、若点P 在曲线43)33(323+-+-=x x x y 上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α， 则角α的取值范围是： A ．)2,0[πB ．),32[)2,0[πππC ．),32[ππD ．]32,2()2,0[πππ 15、如图一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周 上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折 痕为CD ，设CD 与OM 交于P ，则点P 的轨迹是： A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．圆16、与两圆012812222=+-+=+x y x y x 及都外切的动圆的圆心在：A ．一个椭圆上B ．双曲线的一支上C ．椭圆的一部分上D ．双曲线上17、若点),(y x P 满足等式|15|)2()1(522+=-+-y y x ，则点P 的轨迹是：A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线18、圆C ：x y =+=⎧⎨⎩1cos sin θθ，，（θ为参数）的普通方程为__________，设O 为坐标原点，点M （x y 00，）在C 上运动，点P （x ，y ）是线段OM 的中点，则点P 的轨迹方程为____。
19、过点C （6，－8）作圆2522=+y x 的切线于切点A 、B ，那么C 到直线AB 的距离为：A ．15B ．215C ．5D ．1020、已知圆(x －3)2+y 2=4和直线y=mx 的交点分别为P ，Q 两点，O 为坐标原点，则OQ OP ⋅的值为 。
21、过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的动点P 引圆222b y x =+的两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N . （Ⅰ）设P 点坐标为),(00y x ，求直线AB 的方程； （Ⅱ）求△MON 面积的最小值（O 为坐标原点）.八、圆锥曲线的方程考试要求：1、掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。
2、掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
3、掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
4、了解圆锥曲线的初步应用。
1、若双曲线)0(18222≠=-m my x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离 心率为：A ．2B ．22C ．4D ．242、双曲线C ：)0(22>=-m m x y 的离心率为 ，若直线01=--y x 与双曲线C的交点在以原点为中心、边长为4且各边分别平行于两坐标轴的正方形内，则实数m 的取值范围是 .3、过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点，F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF的长分别为m 、n ，则mnnm +等于： A ．2aB ．4aC ．a21 D ．a4 4、已知椭圆的方程为x y m m y x 22),0(116222=>=+直线与该椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为 .5、设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为：A ．25 B ．215+ C ．2 D ．36、抛物线x y 82=上的点),(00y x 到抛物线焦点的距离为3，则=||0yA ．2B ．22C ．2D ．47、双曲线122=-by ax 的离心率为5，则=b a :8、已知双曲线的离心率为2，则它的两条渐近线所成的锐角等于 .9、如果方程122=+-qy p x 表示双曲线，则下列椭圆中，与双曲线共焦点的是：A ．1222=++q y p q xB ．1222-=++q y p q xC ．1222=++qy q p xD ．1222-=++qy q p x10、直线l 经过抛物线x y 42=的焦点，且与准线成60°，则直线l 的方程是 .11、椭圆134:221=+y x C 的左准线为l ，左、右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则|PF 2|的值等于：A ．34 B ．38 C ．4 D ．812、中心在原点，准线方程为4±=x ，离心率为21的椭圆方程是A ．1422=+y x B ．1422=+y x C ．14322=+y x D ．13422=+y x 13、设),(y x P 是曲线192522=+y x 上的点，F 1（－4，0），F 2（4，0），则： A ．10||||21<+P F P F B ．10||||21>+P F P FC ．10||||21≤+P F P FD ．10||||21≥+P F P F14、已知双曲线 1422=-y x 的实轴为21A A ,虚轴为21B B ,将坐标平面沿y 轴折起，使双 曲线的右焦点F 2折至点F,若点F 在平面A 1B 1B 2内的射影恰好是该双曲线的左顶点 A 1,则直线B 1F 与平面A 1B 1B 2所成角的正切值为15．双曲线191622=-y x 右支上的点P 到左焦点的距离为9，则点P 的坐标为_________. 16、已知直线L : 02y x =-+与抛物线 C : y x 22=相交于点A 、B（Ⅰ）求OB OA ⋅.（Ⅱ）在抛物线 C 上求一点P ，使P 点在L 的下方且到直线L 的距离最大. 17、如图：自点A （0，-1）向抛物线C y x :=2作切线AB ，切点为B ，且点B 在第一象限，再过线段AB 的中点M 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点E 、F ，直线AF 、AE 分别交抛物线C 于P 、Q 两点。