最新对称矩阵的性质及应用

对称矩阵的性质及应

用

目 录

The Properties and Applications of Symmetry Matrix ...................................................................... 3 1.1 对称矩阵的定义 ......................................................................................................................... 4 1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明 ............................................................................................. 4 2.对称矩阵的对角化 ........................................................................................................................ 5 2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 ......................................................................................... 5 2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 ................................................................................. 7 3.1正定矩阵的定义 ......................................................................................................................... 9 定理 1 n 元实二次型()12,,

,T n f x x x X AX =是正定的充分必要条件是它的正惯性指数

等于n . .............................................................................................................................................. 9 证 设二次型()12,,

,n f x x x 经过非退化实线性替换变成标准形22

2

1122

n n

d y d y d y +++（1）.上面的讨论表明，()12,,,n f x x x 正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，二

次型（1）是正定的当且仅当0,1,2,

,i d i n >=，即正惯性指数为n . (9)

由定理1可以得到下列推论： (10)

1. 实对角阵1

2

n d d d ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

正定的充要条件是0,1,2,

,i

d i n >=. (10)

2. 实对称矩阵A 正定的充要条件是()12,,,T n f x x x X AX =的秩与正惯性指数都等于n .

........................................................................................................................................................ 10 3. 实对称矩阵A 正定的充要条件是A 的特征值全为正.事实上，由第二部分对称矩阵对角化

的讨论可知，A 可对角化为12

n λλλ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

，,1,2,

,i

i n λ=是A 的特征值，A 正定

即二次型()12,,

,T n f x x x X AX =正定，而()12,,,n f x x x 的标准形为

22

2

1122n n x x x λλλ++

+，非退化的线性替换保持正定性不变，所以有

0,1,2,

,i i n λ>=，A 的特征值全为正. (10)

定理2 实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. (10)

证 由定理1可知，正定二次型()12,,,n f x x x 的规范形为222

12

n y y y +++，而规范型

的矩阵是单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵E 合同. (10)

由此得：......................................................................................................................................... 10 1. 正定矩阵的行列式大于零.由于正定矩阵A 与单位矩阵E 合同，所以有可逆矩阵C 使

T T A C EC C C ==，两边取行列式，就有2

0T A C C C ==>. (10)

2. 正定矩阵A 的逆仍是正定矩阵.首先正定矩阵A 的逆仍是对称矩阵，又A 与单位矩阵合同，则存在可逆矩阵P 使T A P EP =，两边取逆()()

1

1

1T

A P

E P ---=，令()

1T

Q P

-=，

则1

T A

Q EQ -=，所以1A -也与单位矩阵合同. (10)

有时我们可以通过矩阵的行列式来判别对称矩阵或相应的二次型是否正定，为此，引入： (10)

定义3 子式()1112

1212221

2

1,2,

,i i i i i ii

a a a a a a P i n a a a =

=称为矩阵()ij n n A a ⨯=的顺序主子式. .. 11

定理3 实二次型()12,,,T n f x x x X AX =或矩阵A 是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺

序主子式全大于零. ........................................................................................................................ 11 证 必要性：设二次型()1211

,,

,n n

n ij i j i j f x x x a x x ===∑∑是正定的.对于每个k ，1k n ≤≤，

令()1211

,,

,k

k

k k ij i j i j f x x x a x x ===∑∑.我们来证k f 是一个k 元的正定二次型.对于任意一组不

全为零的实数1,,k c c ，有 (11)

()()1111

,

,,

,,0,

,00k

k

k k ij i j k i j f c c a c c f c c ====>∑∑.因此()12,,,k n f x x x 是正定的.

由上面的推论，k f 的矩阵的行列式

11

110k

k kk

a a a a >，1,

,k n =.这就证明了矩阵A 的

顺序主子式全大于零. (11)

充分性：对作数学归纳法，当1n =时，()2

1111f x a x =，由条件110a >显然有()1f x 是正

定的. ............................................................................................................................................... 11 假设充分性的论断对于1n -元二次型已经成立，现在来证n 元的情形.令