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转子动力学课件第1次课

m I d Ω 4 − [ I d k11 − m k 22 ] Ω 2 − ( k11 k 22 − k12 k 21 ) = 0
1 k11 k 22 Ω = − + 2 m Id
2
I p = 2Id
k k − k12 k 21 1 k11 k 22 − + 11 22 4 m Id mId
eω 2 ( p 2 − ω 2 ) + (2ζ pω ) 2
cos(ω t − φ ) sin(ω t − φ )
dr =0 dω
ω cr
1 = p 1 − 2ζ
2
ω cr n cr = 60 2π
对于小阻尼情况: 对于小阻尼情况
ω cr = p
rm ax e ≈ 2ζ
φ ≈
π
2
1.3 刚性支承的单盘偏置转子的涡动
1.1 转子涡动的运动学分析
x = X cos(ωt + φx ) x = X [cos(ωt ) cos(φx ) − sin(ωt ) sin(φx )] y = Y sin(ωt + φ y ) y = Y [cos(ωt )sin(φ y ) + sin(ωt ) cos(φ y )] X a = X cos φx ; X s = X sin φx ; Ya = Y sin φ y ; Ys = −Y cos φ y ;
x = X a cos ωt − X s sin ωt ; y = Ya cos ωt − Ys sin ωt
1.2 Jeffcott转子的涡动分析转子的涡动，抗弯刚度轴中央有一刚性薄圆盘，轴中央有一刚性薄圆盘，
厚度/直径的盘为薄圆盘。厚度直径<0.1的盘为薄圆盘。直径的盘为薄圆盘

1转子动力学基本概念

转动组合
每次分析可以在三种转动中选择二种参考系的运动相对运动转动1＋转动2 ：转动1是整体运动，转动2是陀螺自转转动2＋转动3 ：转动3是整体运动，转动2是陀螺自转转动1＋转动3 ：转动3是整体运动，转动1是陀螺自转
转动组合：转动1 和转动2:
一个部件在整体坐标系中以角速度OMEGA转动，另外一个部件联接到这个部件，并相对其以角速度CMOMEGA.转动
应力钢化
• 由于外力的作用，在结构内生成一个应力场，这个应力场对应产生一个结构的应力刚度矩阵，叠加到结构原来的刚度矩阵上，增加了（或减小了）结构的刚度，这个现象称之为应力钢化,在旋转结构旋转惯性力的作用下，产生的应力钢化使频率提高
旋转软化＋应力钢化
在实际的结构中，旋转软化与应力钢化同时发生 vm54a. mac ppl.mac 生成下图弹性板
转动3：整体坐标系相对于用户定义轴的转动（输入命令CGOMGA、 DCGOMG、CGLOC ） CGOMGA, CGOMX, CGOMY, CGOMZ DCGOMG, DCGOX, DCGOY, DCGOZ CGLOC, XLOC, YLOC, ZLOC 在瞬态分析中OMEGA， DOMEGA， CMOMEGA， CMDOMEGA， CGOMGA， DCGOMG多支持用tabel定义的可变参数： %TABNAME_X%, %TABNAME_Y%, %TABNAME_Z%
B
D A
C 刚性柱
动力学方程
• 常规动力学方程
.. . M C K F.. . M u (G C )u (K K c )u F
旋转参考系－科里奥利力
如图，旋转圆盘角速度，质点M在惯性坐标系中以匀速度 V向上运动，不受任何力的作用，从M点运动到M1点，如果以圆盘为参考系，观察M的运动，是从M点运动到M2点，似乎受到一个力Fc的作用，这个想象的力就称之为科里奥利力。在非惯性参考系中，如果加上惯性力、科里奥利力就可把其看作为惯性参考系进行质点运动的计算 M1 V Fc M M2

转子动力学基本理论韩守木PPT课件

• 2.4.1 稳定性的基本概念
•
高速旋转机器的转轴支承在径向滑动轴承上，转子轴颈为油膜所包阁，当外载荷
W恒定并与油膜压力F1相平衡，转子轴颈中心将处于平衡位置Oj(c，0)(图2—15)。实际上转轴在运转时不可能不受到扰动或冲击载荷(此时轴颈中心将偏离平衡位置Oj)
第16页/共38页
•
如果转轴受扰动后，轴颈中心随时间的增加而逐渐趋向平衡位置，则认为是稳定的。
Wk——转子的临界转速
由此可知，失稳转速比与轴承型式、承载系数和转子相对挠度有关，若已知转子轴系的临界转速WK，就可计算失稳转速Wst。转子失稳表现为下列特点；
(1)振动频率为次同步或超同步； (2)自激振动的频率以转子本身的固有频率为主； (3)振幅可能发生突然急剧增加； (4)振幅的变化与转速或负第荷21页关/共系38页密切；
汽轮机的计算为例，对于单个转子，考虑支承弹性后，高压、中压、低压透平转子的临界
转速分别下降了18%、16.3%和40%。。
第11页/共38页
表 2-1 支承条件刚性支承 nc(min-1) 弹性支承
nc (min-1)
结构型式单个转子轴系
单个转子轴系
30 万千瓦汽轮发电机组临界转速计算表
3c (3 ) 2
EI
FL4
• 三、影响临界转速的因素
• （一）转子温度沿轴向变化对临界转速的影响
• 在汽轮机中，尤其是高参数汽轮机中，沿转子轴向的温度变化是很大的。温度的变化引起转
子材料弹性模量E沿转子轴向的变化。由式（2-
20）可以看到，转子的临界转速与转子材料的弹
性模量的平方根成正第比8页。/共3因8页此，弹性模量 E 的下降

转子动力学基本理论

5. 不平衡振动的初步分析
平衡转子前对振动（振幅和相位）进行初步分析十分必要。刚性转子的任一不平衡离心力均可分解为任选二平面上的一对对称力及一对反对称力。同理,振动也可分解为一对对称分振动及一对反对称分振动。若在二支承转子两端测得A侧振动值为 A0 、B侧振

动值为B 0 。将二振动矢量移动交于一点0，再
1c 2
EI FL4
2 c (2 ) 2
EI FL4
3c (3 ) 2
EI FL4

转子的振形为：
S ( x)
n 1

2
2
n 2
AS
n

n
( x)

当转子按某一阶自振频率振动时，转子轴线上各点将在同一个通过二端轴承中心联线的轴向平面（称为子午面）上，即任一阶的主振型Sn(x)都是一根平面曲线。虽然转子质心沿转轴的空间分布是未知的，但理论上可将任意的转子质心空间分布分解为：
t
其中＝＋i
齐次方程解： y k1 e k 2 e 2 、为方程 x ax b 0的解。
t t
或y (k1 k 2 t ) et 方程特解：（ 1 ）不是方程的解，令 y (t ) Q(t ) e t （2）是方程的解，令 y (t ) tQ(t ) e t （3）是方程的重解，令 y (t ) t Q(t ) e t

F22 为迭加为 A ；迭加 F12 、 B 显而易见，作用在Ⅰ、Ⅱ平面上的 A 、B 两力与不平衡离心力 F1 、 F2 等效。
F11 、F12
如果转子上有多个不平衡离心力存在，亦可同样

转子动力学基本理论

EI 0
E2I 2 0 v 1 v AG EI w 2 w 0
T
0 v mgw ds E 2 I 2 w AG
将上式展开，并只保留一阶小量得：
T
对于刚体有质量偏心的情况，将质量偏心产生的离心力视作非保守的广义力。刚体有偏心时，偏心质量所产生的离心力：
F m ( rc )
而
cos ) ( sin ) sin ) ( cos sin cos cos ( rc ) (
3．根据实际情况，将转盘处理为旋转刚体，同时将轴承体也处理为刚体。下面采用有限元方法，对系统进行离散化处理，选取轴段单元进行分析：
图 4
轴段单元
设节点的位移为 u v, w, , ，其中有关系式：
T

w EI w， x AG

4l 2 3l 0 0 l 2
2 cos sin ) sin 2 cos 2 sin cos 2 cos 2 ) 2 2 sin 2 2 sin cos e sin (

cos( ) e e sin( ) e 2 cos 2 cos cos( )
i j [ A(t )] k T T 其中 ( , , ) 、 (i , j , k ) 分别为坐标系 0 、 0 xyz 的单位坐标向量。方向余
弦阵 [ A(t )] 的 9 个元素之间有 6 个关系式，因此只有 3 个元素是独立的。

转子动力学基本理论(行稳教育)

(2) A0 、B0 之间夹角很大（≈180º），且振幅值相接近（图3-13）。应加（或减）反对称平衡质量。
(3) A0 、B0 之间夹角接近90º，振幅值相差不大
基本课堂
39
（图3-14）。应在两侧加对称和反对称平衡质量。
❖
振动初步分析
基本课堂
40
❖ (4) A0 、 B0 之间夹角不大，但振幅相差很大（图 3-15）。在A端加平衡质量（动．静） (5) A0 、B0 之间夹角很大（≈180º），振幅相
❖
❖
基本课堂
23
❖
❖ （五）支承弹性对临界转速的影响
❖ 实际上轴承座、轴瓦中起支承和润滑作用的油膜都不是绝对刚性的。以国产30万千瓦汽轮机的计算为例，对于单个转子，考虑支承弹性后，高压、中压、低压透平转子的临界转速分别下降了18%、16.3%和40%。
基本课堂
24
变直径、均布质量转轴的临界转速
(x)
n
❖ 当转子按某一阶自振频率振动时，转子轴线上各点将在同一个通过二端轴承中心联线的轴向平面（称为子午面）上，即任一阶的主振型Sn(x)都是一根平面曲线。
❖ 虽然转子质心沿转轴的空间分布是未知的，但理论上可将任意的转子质心空间分布分解为：
e B S (x)
ia( x)
(x)
nn
n1
基本课堂
取决于转子的材料、几何形状和结构型式。因此，
对一个具体的转子来说，临界转速的大小是一定
的。转子系统的刚性愈大，转子的临界转速愈大。
基本课堂
20
转子在各阶自振频率下振动时的振型（弹性曲线）
S1(x), S2(x), S3(x)……称为转子的各阶主振型。
Sn x

转子动力学基本理论

由此可见，已将 A
1 As Bs ( A B) 2
AD B D
、B
1 ( A B) 2
分解为大小相等，方向相同
的对称力 As 、Bs 及大小相等、方向相反的反对称 Bs 、 BD 与 A 、 AD 、力 A 、BD 了。由于 As ， B 等效，即与不平衡离心力F 等效。如果在 F 1 、 2 即： Bs 的相反方向加一对同方向的对称平衡重 As 量（在Ⅰ、Ⅱ平面内)，在 AD 、 BD 的相反方向加一对反方向的对称平衡重量（亦在Ⅰ、Ⅱ平面内），就可使整个转子达到平衡。

2 l Fl m r w A B 1 L L g 。
这种由力偶矩引起的转子及轴承的振动的不平衡叫做动不平衡。
(三)动静混合不平衡实际转子往往都是动静混合不平衡。转子诸截面上的不平衡离心力形成的偏心距不相等，质心也不在旋转轴线上。转动时离心力合成成为一个合力（主向量）和一个力偶（主力矩），即构成一静不平衡力和一动不平衡力偶。（图3-4）。
即一个均布质量的转轴具有无穷多个自振频率，它在数值上和转子作横向振动的自振频率一样。按照频率数值的大小排列，称为转子的各阶自振频率。由于临界转速现象是激振力频率和转子自振频率相同时产生的共振现象。因此，转子的各阶自阶振频率就是转子的各阶临界转速，记作 nc1 , nc 2 , nc3 。转子具有无穷多阶临界转速。转子临界转速的大小，取决于转子的材料、几何形状和结构型式。因此，对一个具体的转子来说，临界转速的大小是一定的。转子系统的刚性愈大，转子的临界转速愈大。

二、刚性转子的平衡原理
1．不平衡离心力的分解

图3-4三种不平衡

转子动力学第一章

2009-3-4
24
第四节
Jeffcott转子涡动分析
Jeffcott转子：垂直安装等截面对称转子、不计重力影响。 §1.4.2 Jeffcott转子运动微分方程 Jeffcott转子示意图（图1－10）薄盘：h/D<0.1；偏心矩：e 定坐标系：oxyz；基点：o′ 设自转ω为常数，确定 o′的运动： x(t)、y(t) 或 r(t)、θ(t) 假设：扭转刚度无限大(不计扭振) 忽略轴向位移、刚性支承轴的弯曲刚度为EJ E：弹性模量 J：截面惯性矩运动状态及受力如图1－11
2009-3-4
31
ω=Ω，同步正涡动，或正协调进动； ω=－Ω，同步反涡动，或反协调进动； ω≠Ω，同方向，正涡动，或非协调正进动； ω≠Ω，反方向，反涡动，或非协调反进动。当转子圆盘不在中间时，即使是无阻尼系统，其临界转速 ω≠p，主要是陀螺力矩影响。例：已知：轴长l=57cm，直径d=1.5cm，轴材料弹性模量 E = 20.58 × 10 6 N / cm 2，圆盘厚度h=2cm，直径D=16cm,材 3 料密度 ρ = 7.8 × 10－3 kg / cm，不计阻尼。求：1）临界转速ωcr 2）e=0.1cm，ω＝0.6ωcr；ω＝0.8ωcr时的动挠度r 及支反力幅值F。 ms = (π × 1.5 2 ) / 4 × 57 × 7.8 × 10－3 = 0.7856 kg 解：弹性轴质量： 2 －3 圆盘质量：mD = (π × 16 ) / 4 × 2 × 7.8 × 10 = 3.137kg
2009-3-4 2
令：
则
将运动方程作三角函数展开，则有消去时间t，可得运动轨迹方程。轨迹为一椭圆，半轴分别为a、b，半轴a与x轴夹角为α 如图1－2，半轴及夹角计算公式为

转子动力学基本理论

不平衡可忽视，则称为刚性转子。
转子动平衡
❖ 刚性转子平衡：
静平衡；
❖ 明显旳静不平衡； ❖ 不明显旳静不平衡；
无测相法动平衡；
❖ 试加重量周移法 ❖ 二点法 ❖ 三点法（对单平面有效）
测相动平衡单平面旳测相平衡法（闪光测相法）两个平面旳测相平衡法（影响系数法）
动平衡理论
刚性转子旳平衡原理
二、刚性转子旳平衡原理
❖ 1．不平衡离心力旳分解
❖ （1）分解为一种合力及一种力偶
图3-4三种不平衡
矩,以两平面转子为例。由理论力学可图3-4三种不平衡
知，不平衡力（任意力系）能够分解为一种径向力和一种力偶。
❖ （2）向任意二平面进行分解（图3-7）
将不平衡离心力、分别对任选（径
向）二平面Ⅰ、Ⅱ进行分解。将分解为Ⅰ、
Ⅱ平面上旳平行力、
❖ 同理,将力 F21、 F22，
F分2 解为Ⅰ、Ⅱ平面上旳平行
迭加
F11
、F12
为
A
；迭加
F12
、F22
为
两B 力显与而不易平见衡，离作心用力在FⅠ1 、、ⅡF2平等面效上。旳 A 、B
❖ 假如转子上有多个不平衡离心力存在，亦可一样分都解只到有任两意个选不定平衡Ⅰ合、力Ⅱ（平面A 上、再B ）合（成Ⅰ，、最Ⅱ终平成面果上了各，一即个仅）分。别到在此Ⅰ校、正Ⅱ转平子面不不平平衡衡旳合任力务A 、就B简旳朴对侧（反方向）加重（或去重），使其产生旳附加
❖ 以上对不平衡振动振幅、相位旳初步分析，能够简化平衡工作，提升现场平衡效率。
..
.
y a y b p(t)
..
.
y a y b q(t)
若u(t)、v(t)为上述二方程的特解

转子动力学基本理论

< n = n
> n
》n
结论2
转轴的涡动频率与质量偏心引起的激振力频率相同，即和转动频率相同；
涡动振幅的相位和激振力的相位差在＜ n 时，涡动向量滞后激振力向量0~90，当 >
n
时，为90~180。
》n ，相位差为180，即质心位与原点
与轴心之间。
转子动力学基本理论
基础数学知识
..
.
y a y by f (t)
f (t) (t) et
f (t) (t) et sin(t)
f (t) (t) et cos(t)
(t )为m次多项式
统一为：
f (t) (t) et
其中＝＋i
齐次方程解： y k1et k 2 et 、为方程x2 ax b 0的解。
称为阻尼比;
方程的解为：
z

A et

B
et

2 n2＋2i n
eit
2

、＝－ n 2 1 n 一般0 1；
z K e nt sin( 1 2 n t )

2 n
＋2i
2 n

2 eit ;
转子在各阶自振频率下振动时的振型（弹性曲线）
S1(x), S2(x), S3(x)……称为转子的各阶主振型。
Sn x
An
sinKn x
An
sin n
l
x
n 1,2,3
它的一、二、三阶的主振型和主振型函数如下图所
示。从图中可以看到：第n阶主振型具有n-1个节点。在
可分别求

转子动力学基本理论

的相对位置保持不变，使得转子上朝外的点在转动一周中始终朝外，形成所谓的“弓形回转”。这时转子的变形形状在转动过程中保持不变，转子不承受交变应力。（忽略静挠度）
结论4
在一定的转速下，振幅与激振力的幅值成正
比，振幅向量滞后与激振力的相位角不变。这就是刚性转子加平衡的理论依据。
等直径、均布质量转轴的临界转速
转子动力学基本理论
基础数学知识
y a y by f (t ) f (t ) (t ) e
t t t
..
.
f (t ) (t ) e sin(t ) f (t ) (t ) e cos( t ) (t )为m次多项式
统一为：
f (t ) (t ) e
转子在各阶自振频率下振动时的振型（弹性曲线） S1(x), S2(x), S3(x)……称为转子的各阶主振型。
n S n x An sin K n x An sin l n 1,2,3 x
它的一、二、三阶的主振型和主振型函数如下图所示。从图中可以看到：第n阶主振型具有n-1个节点。在节点二侧的质点，在振动时彼此相位相反
2
Q(t )与 (t )同为m次多项式
对于 y a y b p(t ) iq(t ) 可分别求 y a y b p(t ) y a y b q(t ) 若u (t )、v(t )为上述二方程的特解则特解为y u (t ) iv(t )
.. . .. . .. .
( x) e
ia( x )
Bn S n ( x)
n 1

对于n阶质心分布BnSn(x) ，将只能激发同阶的振形，而且主要在同阶临界转速区域激发。任意一定转速下的转子振形为所有阶质心分布各自激发的不同阶的振形在空间的合成。

转子动力学分析ppt课件

三、建立转子动力学模型
1、建立模型
当建立转子动力学分析模型时，最重要的是旋转部件和不转动部件分开。
把旋转速度施加到旋转部件上。确保旋转部件是轴对称的结构。无论在ANSYS里建立模型或外部的CAD软件导入模型，需要使用ANSYS中的组件和选择功能来优化分析。这种情况下，要确定转轴、转盘、轴承、支撑结构中哪些需要定义为组件或装配体。
3、常用的术语
（1）陀螺效应所谓陀螺效应，就是旋转着的物体具有像陀螺一
样的效应。陀螺有两个特点：进动性和定轴性。简单来说，陀螺效应就是旋转的物体有保持其旋转方向（旋转轴的方向）的惯性。
对于一个绕轴Δ旋转的结构，如果在垂直于轴Δ施加一个扰动会发生进动且会出现反力矩。这个反力矩就是陀螺力矩。陀螺力矩的轴垂直于旋转轴也垂直于进动轴。这将导致陀螺矩阵耦合了垂直于旋转轴平面上的自由度。这也导致陀螺矩阵为非对称矩阵。
一、概述
➢ 转子动力学是研究轴向对称结构的旋转过程振动行为的一门科学。例如，发动机、转子、光盘驱动器和涡轮机这些设备。
➢ 通过研究惯性对结构的影响可以改进设计并且可以降低失效的概率。像燃气轮机这样的高速旋转设备，必须要考虑旋转件的惯性影响以便准确地预测转子的行为。
➢ 动平衡的理论根据就是转轴的弯曲振动和圆盘的质量以及偏心距的大小的一定确定关系。
所谓的坎贝尔图就是监测点的振动幅值作为转速和频率的函数，将整个转速范围内转子振动的全部分量的变化特征表示出来，在坎贝尔图中横坐标表示转速，纵坐标表示频率，其中强迫振动部分，即与转速有关的频率成分，呈现在以原点引出的射线上，振幅用圆圈来表示，圆圈直径的大小表示信号幅值的大小，而自由振动部分则呈现在固定的频率线上。
KYY（1，0）=0，1000，2000 ！3个旋转速度（rd/s） KYY（1，1）=1E6，2.7E6，3.2E6 ！每一个旋转速度对应的刚度特性

转子动力学基础课件PPT

x(t)、y(t) 或 r(t)、θ(t)
假设：扭转刚度无限大(不计扭振)
忽略轴向位移、刚性支承
轴的弯曲刚度为EJ
E：弹性模量 J：截面惯性矩
2021/3/10
3
轴的弹性恢复力在坐标轴上投影为： k—轴的刚度系数
对称简支梁中点刚度为：粘性外阻尼力在坐标轴上投影为：
c—粘性阻尼系数
由牛顿定律可得：由几何关系可知：
(t)t
2021/3/10
7
2
e2
rr
ep2
(p22)2(2p)2
(1p22)2(2p)2
2
arctan
2 p p2 2
arctan1(p)2
p
2021/3/10
/p
/p
8
p re 0 低转速区圆盘重边飞出
2021/3/10
p re 90
共振区
p re 180
高转速区
圆盘轻边飞出；自动定心或质心转向
不平衡力引起的同步正进动分析
2021/3/10
2
第二节 Jeffcott转子涡动分析
Jeffcott转子：垂直安装等截面对称转子、不计重力影响。
一、Jeffcott转子运动微分方程
Jeffcott转子示意图
薄盘：h/D<0.1；偏心矩：e
定坐标系：oxyz；基点：o 设自转ω为常数，确定 o的运动：
理论力学：刚体运动可分解成随基点的平动和绕基点的转动。
平动运动规律与基点选择有关；
转动运动规律与基点选择无关。
§1.2.1 描述定点刚体位置的欧拉角
刚体球铰定点约束：约束三个平动自由度；
9
临界转速定义(ISO)：系统(位移)共振时主响应的特征转速。

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a) b)
c)
❖ 等直径均布质量的转子，在二端刚性支承、无阻尼的条件下，转子的自振频率 n c n 为
ncn
n2
2l2
EI / FS1
n 1,2,3
即一个均布质量的转轴具有无穷多个自振频率，
它在数值上和转子作横向振动的自振频率一样。按照频率数值的大小排列，称为转子的各阶自振频率。
由于临界转速现象是激振力频率和转子自振频率相同时产生的共振现象。因此，转子的各阶自阶振频率就是转子的各阶临界转速，记作 nc1,nc2,nc3 。转子具有无穷多阶临界转速。转子临界转速的大小，
e BS (x) ia(x)
(x)
nn
n1
❖ 对于n阶质心分布BnSn(x) ，将只能激发同阶的振形，而且主要在同阶临界转速区域激发。
❖ 任意一定转速下的转子振形为所有阶质心分布各自激发的不同阶的振形在空间的合成。
❖ 影响临界转速的因素 ❖ （一）转子温度沿轴向变化对临界转速的影响 ❖ （二）转子结构型式对临界转速的影响 ❖ （三）叶轮回转力矩对临界转速的影响 ❖ （四）轴系的临界转速和联轴器对临界转速的影响
第一项很快衰减为

0；
第二项为：
（（）） 1
n
2
n
2 ＋ i2
n
e i t ;
其幅值及角度为：
A
（
n
）2
；
1
（
n
）2
2 ＋
4
2 n
2
tan(
)
2 1 （
n
n
）2
;
z A e i ( t－ )， z 为轴心位置 ;
结论1
❖ 由圆盘质量偏心的不平衡响应产生两种
❖ 单圆盘转子模型
最简单的转子模型是单圆盘转子。轴两端为简支，一个圆盘固定在轴的中部(图1),A1CA2为静挠度曲线。
假设转轴以角
速度自转，转
轴中心位置为（x， y）。原平衡位置为原点。
.. .
mxcxkxm2cost()
.. .
mycykym2sin(t)
令 z x iy
..
z
2
n
.
齐次方程解：
y k1et k 2 et 、为方程 x 2 ax b 0的解。
或 y (k1 k 2 t) et 方程特解：
（ 1）不是方程的解，令
y(t) Q (t) e t
（ 2）是方程的解，令 y ( t ) tQ (t ) e t
（ 3）是方程的重解，令
y(t) t2 Q (t) e t
取决于转子的材料、几何形状和结构型式。因此，
对一个具体的转子来说，临界转速的大小是一定
的。转子系统的刚性愈大，转子的临界转速愈大。
转子在各阶自振频率下振动时的振型（弹性曲线） S1(x), S2(x), S3(x)……称为转子的各阶主振型。
SnxAnsinKnxAnsinnlx
n1,2,3
它的一、二、三阶的主振型和主振型函数如下图所示。从图中可以看到：第n阶主振型具有n-1个节点。在节点二侧的质点，在振动时彼此相位相反
Q (t )与 (t )同为 m 次多项式
对于
..
.
y a y b p (t ) iq (t )
可分别求
..
.
y a y b p(t)
..
.
y a y b q(t)
若 u (t )、 v(t )为上述二方程的特解
则特解为 y u (t ) iv (t )
有阻尼带质量偏心单圆盘转子振动特性
运动，一是圆盘以角速度绕自己轴心
的自转，一是轴心以角速度绕圆盘的
静挠曲线的涡动。 ❖若无阻尼（＝0），当 n时，振幅趋
于无限大。由于实际中存在阻尼，此时振幅会达到一个有限的峰值。
结论2
< n = n
> n
》 n
结论2
❖ 转轴的涡动频率与质量偏心引起的激振力频率相同，即和转动频率相同；
❖ 涡动振幅的相位和激振力的相位差在＜时，涡动向量滞后激振力向量0~90，当 >
n
❖
n 时》，为n ，90相~1位80差。为180，即质心位与原点
与轴心之间。
❖ 与没有阻尼的相比，有阻尼的情况下，临界转速下转子的振幅将随阻尼增加而减少。同时，随阻尼的增大，临界转速的数字将有所增加，但增加量很小。
z
2 n
z
2
e i t
其中
2 n
k
m ;
c 2m n,
称为阻尼比
;
方程的解为：
z
A et
B
e t
n2＋ 2i
2 n
e i t
2
、＝－ n 2 1 n 一般 0 1；
z K e n t sin( 1 2 n t )
2＋
n
2 i
2 n
2 e i t ;
❖ ❖
❖
❖ （五）支承弹性对临界转速的影响
❖ 实际上轴承座、轴瓦中起支承和润滑作用的油膜都不是绝对刚性的。以国产30万千瓦汽轮机的计算为例，对于单个转子，考虑支承弹性后，高压、中压、低压透平转子的临界转速分别下降了18%、16.3%和40%。
1c 2
EI
FL4
2c (2)2
EI
FL4
3c (3)2
EI
FL4
❖ 转子的振形为：
AS S(x)n 1n 2 22
n
(x)
n
❖ 当转子按某一阶自振频率振动时，转子轴线上各点将在同一个通过二端轴承中心联线的轴向平面（称为子午面）上，即任一阶的主振型Sn(x)都是一根平面曲线。
❖ 虽然转子质心沿转轴的空间分布是未知的，但理论上可将任意的转子质心空间分布分解为：
❖ 临界转速时，振幅滞后于激振力90。
❖ 临界转速就是转子系统的偏心质量在转动过程中形成的激振力与转子系统发生共振时的转速。
结论3
❖ 在一定转速下，由于原点、轴心、质量偏心的相对位置保持不变，使得转子上朝外的点在转动一周中始终朝外，形成所谓的“弓形回转”。这时转子的变形形状在转动过程中保持不变，转子不承受交变
转子动力学基本理论
基础数学知识
.
.
y a y by f ( t )
f (t) (t) et
f ( t ) ( t ) e t sin( t )
f ( t ) ( t ) e t cos( t )
( t ) 为 m 次多项式
统一为：
f (t) (t) et
其中＝＋ i
应力。（忽略静挠度）
结论4
❖ 在一定的转速下，振幅与激振力的幅值成正比，振幅向量滞后与激振力的相位角不变。这就是刚性转子加平衡的理论依据。
等直径、均布质量转轴的临界转速
由于透平转子相当长，直径又相当大。因此，用一个集中质量来代替转子的质量并不能反映分布质量对临界转速的影响。为此，我们需要研究等直径转子的临界转速问题。