《方程的根与函数的零点》导学案

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《方程的根与函数的零点》上课导学案

《方程的根与函数的零点》导学案一．学习目标1.结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系．2.理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．二．学习重点、难点重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．难点：准确认识零点的概念，能利用判定定理判断零点的存在或确定零点．三．学习过程（一）课前思考问题1 判断方程2230x x --=根的个数，并求解问题2 作出函数223y x x =--的图象，并思考函数图象与问题1中方程的根有什么联系？思考结论：问题3 上述关系对于一般的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠及其相应的二次函数()20y ax bx c a =++≠是否也成立呢？判别式ac b 42-=∆()200ax bx c a ++=≠的根 ()20y ax bx c a =++≠图象与x轴的交点0>∆0=∆0<∆（二）课堂学习函数零点的定义：______________________________________________________________ ______________________________________________________________例1 求函数)1lg()(-=x x f 的零点．变式练习：求下列函数的零点．（1）65)(2+-=x x x f （2）12)(-=xx f解题小结____________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________动手探究：已知函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，且过点()(),A a f a 、()(),B b f b ，请在下列四个坐标系中分别作出函数()y f x =的一个可能图象．思考：函数满足什么条件，在区间()b a ,上一定有零点？探究结论__________________________________________________________________________A ·B ·A ·B ·A ·B ·A ·B ·__________________________________________________________________________ 定理：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________反馈练习：1．已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1 2 3 4 5 6 ()f x 136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064请写出3个一定存在零点的区间________________________________________________．2．能确定在区间()1,0上有零点的函数是（）．A ．()12+=x x fB ．()323+-=x x x fC ．()223-+=x x x fD ．()322++=x x x f3．函数()x f y =在定义域内满足()()()b a R b a b f a f <∈<⋅,,0，则函数()x f 在()b a ,内（）A ．只有一个零点B ．至少有一个零点C ．无零点D ．无法确定有无零点练习心得________________________________________________________________________________________________________________________________________________例2 求函数()ln 26f x x x =+-零点的个数．归纳总结____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 反思小结1.你通过本节课的学习，有什么收获？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.对于本节课学习的内容你还有什么疑问？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________（三）课后作业必做题：《学习与评价》第78页：第10、11题选做题：已知()()221421f x m x mx m =+++-．（1）m 为何值时，函数有两个零点？（2）若函数恰有一个零点在原点右侧，求m 的值．。

《方程的根与函数的零点》上课导学案

《方程的根与函数的零点》导学案一．学习目标1.结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系．2.理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．二．学习重点、难点重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．难点：准确认识零点的概念，能利用判定定理判断零点的存在或确定零点．三．学习过程（一）课前思考问题1 判断方程2230x x --=根的个数，并求解问题2 作出函数223y x x =--的图象，并思考函数图象与问题1中方程的根有什么联系？思考结论：问题3 上述关系对于一般的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠及其相应的二次函数()20y ax bx c a =++≠是否也成立呢？判别式ac b 42-=∆()200ax bx c a ++=≠的根 ()20y ax bx c a =++≠图象与x轴的交点0>∆0=∆0<∆（二）课堂学习函数零点的定义：______________________________________________________________ ______________________________________________________________例1 求函数)1lg()(-=x x f 的零点．变式练习：求下列函数的零点．（1）65)(2+-=x x x f （2）12)(-=xx f解题小结____________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________动手探究：已知函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，且过点()(),A a f a 、()(),B b f b ，请在下列四个坐标系中分别作出函数()y f x =的一个可能图象．思考：函数满足什么条件，在区间()b a ,上一定有零点？探究结论__________________________________________________________________________A ·B ·A ·B ·A ·B ·A ·B ·__________________________________________________________________________ 定理：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________反馈练习：1．已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1 2 3 4 5 6 ()f x 136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064请写出3个一定存在零点的区间________________________________________________．2．能确定在区间()1,0上有零点的函数是（）．A ．()12+=x x f B ．()323+-=x x x fC ．()223-+=x x x f D ．()322++=x x x f3．函数()x f y =在定义域内满足()()()b a R b a b f a f <∈<⋅,,0，则函数()x f 在()b a ,内（）A ．只有一个零点B ．至少有一个零点C ．无零点D ．无法确定有无零点练习心得________________________________________________________________________________________________________________________________________________例2 求函数()ln 26f x x x =+-零点的个数．归纳总结____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 反思小结1.你通过本节课的学习，有什么收获？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.对于本节课学习的内容你还有什么疑问？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________（三）课后作业必做题：《学习与评价》第78页：第10、11题选做题：已知()()221421f x m x mx m =+++-．（1）m 为何值时，函数有两个零点？（2）若函数恰有一个零点在原点右侧，求m 的值．。

方程的根与函数的零点导学案2课时

3.1.1方程的根与函数的零点导学案（2课时）课前预习案【使用说明和学法指导】1、仔细阅读课本，课前完成好预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，时间不超过20分钟。

在做题过程中，如遇不会的问题再回去阅读课本；AA 完成所有题目，BB 完成除★★外所有题目，CC 完成不带★题目。

2、认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。

3、小组长在课上讨论环节时要在组内起引领作用，控制讨论节奏。

4、必须掌握的数学方法和数学思想：数形结合思想；利用零点的概念、方程的根与函数的零点的关系、零点存有性定理准确处理和解决具体问题。

课前准备：1、课本、《方程的根与函数的零点导学案》、典题本、练习本、双色笔。

2、分析错因，自纠学案。

3、标记疑难，以备讨论。

一．学习目标：1、理解函数的零点概念，理解并掌握函数零点与相对应方程根的联系。

2、掌握判定函数零点存有的条件，并能确定具体函数存有零点的区间；3、学会将求方程的根的问题转化为求相对应函数零点的问题，转化为求相对应函数的图象与x 轴的交点问题，转化为求两函数图象的交点问题；4、激情投入，高效学习，培养学生形成扎实严谨的科学态度和勇于探索的数学精神。

重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存有的判定条件及应用．难点：探究发现函数零点的存有性.求函数零点的个数、方程根的个数、两函数图象交点的个数问题二．预习导学：自主学习教材P86～P87页内容，思考下列问题，找出疑惑之处。

复习：①函数零点定义：对于函数()y f x =,把使得的实数x 叫做()y f x =的零点复习：②函数()y f x =有零点的等价条件函数 ()y f x =有零点⇔方程()0f x =有⇔函数()y f x =的图像函数()y f x =的零点⇔方程()0f x =的⇔函数()y f x =的图像复习：③函数零点的求法：代数法、图象法基础落实：④函数零点存有性定理如果函数()y f x =在区间[a,b]上的图象是的一条曲线，并且有，那么，函数()y f x =在区间（a,b ）内有零点，即存有c ∈（a,b ），使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根三．小试牛刀：（1）函数82xy =-的零点为（2）函数()2x f x x =+ 的一个零点所在的大致区间为（）A.（-2，-1）B.（-1，0）C.（0，1）D. （1，2）一、合作探究重点讨论内容：1、零点存有的判定条件；（结合思考1-6及例1）2、函数零点的个数、方程根的个数与两函数图象交点的个数问题的等价转化。

30方程的根和函数的零点导学案

3.1.1方程的根和函数的零点1.理解函数零点的概念，领会函数的零点与相应方程的根的关系，掌握零点存在定理.2.从函数与方程的联系中体会数学中转化思想的意义和方法.3.理性思考、激情投入，体验学习和成功的快乐.重点：零点的定义及零点存在定理；难点：零点存在与否及零点个数的判断.1.结合预习案学习教材86——88页；独立完成探究题，并总结规律方法.2．针对预习自学及探究中找出的疑点，课上小组讨论.3．带有*的为选做.预学案零点的概念：1.函数()y f x=的零点的定义: .2.可以从以下三个方面来理解函数()y f x=的零点（1）函数的零点指的是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其对应的函数值为 .（2）函数的零点可以理解为函数的图象与x轴的交点的 .（3）确定函数()y f x=的零点，就是求方程的 . 3. 函数的零点、方程的根、函数的图象与x轴的交点三者的关系是.我的疑惑。

导学案探究点一函数零点存在性定理1.函数零点存在性定理内容：.2.根据函数零点存在性定理，函数()y f x=满足条件：（1）函数()y f x=在区间[,]a b上的图象是，（2）()()0f a f b⋅<，则函数()y f x=在区间内有零点。

探究点二利用图像求零点例1.求下列函数的零点（1）()23f x x=- (2)2()23f x x x=--(3)2()23f x x x=-+(4) 2()44f x x x=-+方法规律总结：探究点三零点存在定理例2、（2010天津高考）函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（） A ．（-2，-1） B ．（-1,0） C ．（0,1） D ．（1,2）例3、判断下列函数在给定的区间上是否有零点.（1）()3x f x e x =--在区间[1,2]上.(2)3()35f x x x =--+在区间[0,1]和[1,2]上.变式训练 2()32f x x x =-+在区间[0,3]上.反思与总结固学案1. 函数2()76f x x x =-+的零点为（） A ．1 B ．6 C ．1 ,6 D ．（1,0），（6,0）2.（2011济南模拟）函数2()23f x x mx =-+有一个零点为12，则(1)f 等于（） A ．12-B ．2-C ．0D ．2 3.函数()y f x =在(0,2)上有零点，则（）A ．(0)0,(2)0f f ><B ．(0)(2)0f f <C ．在区间(0,2)内存在1x 、2x ，使得12()()0f x f x <D ．以上说法都不正确4、*对于函数2()f x x mx n =++，若()0,()0,f a f b >>则函数()f x 在区间(,)a b 内（） A 一定有零点 B 一定没有零点 C 可能有两个零点 D 至多有一个零点5、*已知2()(1)1(0,2)f x x a x =+-+在上有两个零点，求参数a 的取值范围.。

新人教版高中数学方程的根与函数的零点导学案(1)

3情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数形结合思想，培养学生的辨证思维能力，以及分析问题解决问题的能力．
（二）重难点：
1教学重点：体会函数的零点与方程的根以及函数的图象与x轴的交点的横坐标三者之间的联系
2教学难点:求函数的零点
问题
助学
探究(一)：函数零点的概念
问题1：观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的横坐标以及函数值为0时x的值
方程
函数
方程的实数根
画函数的图象并写出其与x轴交点的横坐标
函数值为0时x的值
提出疑问：方程的根，函数图象与x轴交点的横坐标以及函数值为0时x的值三者之间有什么关系？
结论：________________________________________________________
问题2：函数零点的概念
教学内容所在教材位置
课题
方程的根与函数的零点
课型
新授课
流程
学习内容
个性笔记
明确
目标
（一）三维目标：
1知识和技能目标：理解函数零点的概念；领会函数零点与相应方程根以及函数的图象与x轴的交点的横坐标三者之间的关系；
2过程与方法：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系；在课堂探究中体会数形结合的数学思想.
3.函数的零点为__________
4.若函数有2个零点，则a的取值范围是____________
总
结
评
价
我的收获（1）知识方面：
1.函数零点的概念.
2.方程的根、函数的零点、函数图像与X轴交点之间的关系

高中数学：高一必修一 2.4.1方程的根与函数的零点(导学案)

2.4.1方程的根与函数的零点通过本节学习应达到如下目标:1、理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．2、通过对零点定义的探究掌握零点存在性的判定方法．3、在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．学习重点：零点的概念及存在性的判定．学习难点：零点的确定．学习过程（一）自主探究1、观察下面几个一元二次方程及其相应的二次函数如：方程0322=--x x 与函数322--=x x y方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y (在下面坐标系中分别做出上述二次函数的图象，并解出的方程根)试说明方程的根与图象与x 轴交点的关系。

(1) (2) (3)2、利用上述关系，试说明一般的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根及其对应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象有怎样的关系？3、利用以上两个问题的的发现，试总结函数)(x f y =零点的定义，并说明函数)(x f y =的零点，方程0)(=x f 实数根，函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标的关系？（二）合作探讨1、（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象 (见图1) ，完成下面各小题。

1) 在区间]1,2[-上有零点______； =-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． 2) 在区间]4,2[上有零点______； )2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象(如图)，完成下面各小题。

1)在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． 2) 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． 3) 区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）． 4) 区间],[d a 上______(有/无)零点；有个零点；)(a f ·)(d f _____0（＜或＞）．由以上几步探索，可以得出什么样的结论？2、(根的存在性定理)：在根的存在性定理中只须加入什么条件，零点的个数就是唯一的？3、求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数．(可以借助计算机或计算器来画函数的图象)（三）巩固练习1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）0532=++-x x ；（2）3)2(2-=-x x ；（3）442-=x x ；（4）532522+=+x x x ．2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）53)(3+--=x x x f ；（2）3)2ln(2)(--=x x x f ；（3）44)(1-+=-x e x f x ；（4）x x x x x f ++-+=)4)(3)(2(3)(．（四）能力拓展：设函数12)(+-=ax x f x 。

方程的根与函数的零点导学案——高一上学期数学人教A版必修1

第三章函数的应用3.1.1 方程的根与函数的零点（导学案）【课时目标】1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.2.掌握函数零点的存在性定理．3.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.【知识梳理】预习课本P86-P881．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系Δ>0 Δ＝0 Δ<02.对于函数y＝f(x)，我们把________________叫做函数y＝f(x)的零点．3．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0__________⇔函数y＝f(x)的图象______________⇔函数y ＝f(x)__________．【探究讨论】请观看视频——穿越国门若将中俄两国国界看成x 轴，火车途径的两个站点抽象到平面中来为点A ，B （两点对应的横坐标分别为a,b ），回到函数问题中来，请在下列四个图中分别画出过A ，B 两点的一条连续不断的曲线表示一个函数。

（1）（2）（3）（4）【思考1】满足什么条件，函数()y f x =在区间()b a ,上一定有零点？4．函数零点的存在性定理如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内________，即存在c ∈(a ，b)，使得__________，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．【思考2】如果函数有零点，有几个零点？【牛刀小试】()21.log 1f x x =-求函数的零点.()2.23 A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)x f x x =-函数的零点所在的区间是（）3.()35x f x x =+-判断的零点个数.【课后思考】如何求出函数()ln 26f x x x =+-的零点？。

高中数学必修一方程的根与函数的零点(导学案)

§3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点学习目标 1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.知识点一函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.思考(1)函数的“零点”是一个点吗？(2)函数y＝x2有零点吗？答案(1)不是；(2)有零点，零点为0.知识点二函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，即方程f(x)＝0的实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标⇔函数y＝f(x)的零点. 思考函数f(x)＝ax2＋x－2有一个零点是1，这个函数还有其他零点吗？答案f(x)＝ax2＋x－2有一个零点是1，即a·12＋1－2＝0，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋x－2，令x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，∴这个函数还有一个零点为－2.知识点三零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.1.函数f (x )＝3x －2的零点为23.( √ )2.若f (a )·f (b )>0，则f (x )在[a ，b ]内无零点.( × )3.若f (x )在[a ，b ]上为单调函数，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点.( √ )4.若f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点，则f (a )·f (b )<0.( × )题型一求函数的零点例1 (1)函数y ＝1＋1x 的零点是( )A.(－1,0)B.－1C.1D.0 答案 B解析由1＋1x＝0，得x ＝－1.(2)函数f (x )＝(lg x )2－lg x 的零点为________. 考点函数零点的概念题点求函数的零点答案 x ＝1或x ＝10解析由(lg x )2－lg x ＝0，得lg x (lg x －1)＝0， ∴lg x ＝0或lg x ＝1，∴x ＝1或x ＝10.反思感悟函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.跟踪训练1 (1)函数f (x )＝2x －1－3的零点是______.(2)若函数f (x )＝ax －b (b ≠0)有一个零点3，则函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是________. 答案 (1)log 26 (2)－1和0解析 (1)解方程2x －1－3＝0，得x ＝log 26，所以函数的零点是log 26. (2)因为f (x )＝ax －b 的零点是3，所以f (3)＝0，即3a －b ＝0，即b ＝3a .所以g (x )＝bx 2＋3ax ＝bx 2＋bx ＝bx (x ＋1)，所以方程g (x )＝0的两个根为－1和0，即函数g (x )的零点为－1和0.题型二探求零点所在区间例2 (1)在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，0 B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎝⎛⎭⎫12，34答案 C解析因为f ⎝⎛⎭⎫14＝4e －2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e －1>0，所以f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12<0，又函数f (x )在定义域上单调递增，所以零点在区间⎝⎛⎭⎫14，12上.(2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应值如下表：不求a ，b ，c 的值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间是( ) A.(－3，－1)，(2,4) B.(－3，－1)，(－1,1) C.(－1,1)，(1,2) D.(－∞，－3)，(4，＋∞)答案 A解析因为f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0，所以在区间(－3，－1)内必有实数根，又f (2)＝－4<0，f (4)＝6>0，所以在区间(2,4)内必有实数根，故选A.反思感悟判断单调函数零点所在区间的方法：将区间端点值代入函数解析式求出函数值，进行符号判断即可得出结论，此类问题的难点往往是函数值符号的判断，对此可运用函数的有关性质进行判断.跟踪训练2 根据表格中的数据，可以断定方程e x －(x ＋2)＝0(e ≈2.72)的一个根所在的区间是( )A.(－1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3) 考点函数零点存在性定理题点判断函数零点所在的区间答案 C解析令f (x )＝e x －(x ＋2)，则f (－1)≈0.37－1<0，f (0)＝1－2<0，f (1)≈2.72－3<0，f (2)≈7.40－4＝3.40>0.由于f (1)·f (2)<0，∴方程e x －(x ＋2)＝0的一个根在(1,2)内. 题型三函数零点的个数例3 已知0<a <1，则函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析函数y ＝a |x |－|log a x |(0<a <1)的零点的个数即方程a |x |＝|log a x |(0<a <1)的根的个数，也就是函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象的交点的个数.画出函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象，如图所示，观察可得函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象的交点的个数为2，从而函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为2.延伸探究1.把本例函数“y ＝a |x |－|log a x |”改为“y ＝2x |log a x |－1”，再判断其零点个数.解由2x |log a x |－1＝0得|log a x |＝⎝⎛⎭⎫12x，作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 及y ＝|log a x |(0<a <1)的图象如图所示.由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数y ＝2x |log a x |－1有两个零点.2.若把本例条件换成“函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点”，求实数b 的取值范围. 解由f (x )＝|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中分别画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示.则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，即函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点.反思感悟判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数.(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数.跟踪训练3 求函数f (x )＝ln x ＋2x －6零点的个数. 考点函数的零点与方程根的关系题点判断函数零点的个数解方法一由于f (2)＝ln 2＋4－6<0，f (3)＝ln 3＋6－6>0，即f (2)·f (3)<0，又f (x )的图象在(2,3)上是不间断的，所以函数f (x )在区间(2,3)内有零点.又因为函数f (x )在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.方法二通过作出函数y ＝ln x ，y ＝－2x ＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论.也就是将函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数转化为函数y ＝ln x 与y ＝－2x ＋6的图象交点的个数. 由图象可知两函数有一个交点，即函数f (x )有一个零点.根据零点情况求参数范围典例若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m 的取值范围.考点函数的零点与方程根的关系题点两根分别属于两区间解函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，即函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，根据图象(图略)列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝2＞0，f (0)＝2m ＋1＜0，f (1)＝4m ＋2＜0，f (2)＝6m ＋5＞0，解得⎩⎨⎧m ＜－12，m ＞－56，∴－56＜m ＜－12，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－56，－12. [素养评析] 函数的零点即函数图象与x 轴交点的横坐标，这样就建立了数与形的联系，利用函数图象描述问题，充分体现直观想象的数学核心素养.1.函数y ＝ln x 的零点是( ) A.(0,0) B.x ＝0 C.x ＝1 D.不存在考点函数零点的概念题点求函数的零点答案 C2.下列各图象表示的函数中没有零点的是( )考点函数零点的概念题点判断函数有无零点答案 D3.函数f (x )＝4x －2x －2的零点是( ) A.(1,0) B.1 C.12 D.－1答案 B4.函数f (x )＝2x －1x的零点所在的区间是( )A.(1，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫14，13答案 B5.函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x的零点有______个. 考点函数的零点与方程根的关系题点判断函数零点的个数答案 11.方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标.2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象.4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.。

高中数学《方程的根与函数的零点》导学案

探究一次函数与x轴的交点，方程x+1=0的根
函数
函数图像
函数与x轴的交点
方程
方程的根
（-1,0）
x+1=0
x=-1
给出函数零点概念
零点：对于函数 ,我们把使的实数x叫做函数的零点。
注意：零点是实数不是点。
探究二、函数零点，方程的根，函数图像与x轴交点的关系
情景设计：请大家完成下列表格别完成以下问题
例2：求函数y= 的零点
解：y=x( ) =x( )=x(x )(x )
令x(x )(x )=0
解得：
所有函数y= 的零点为，0,1，-1
思考：请同学们思考，若函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续的一条曲线，那么是不是函数在区间[a,b]就一定没有零点？
课堂总结：
1：函数的零点，方程的根，函数图象与x轴的交点间的关系；
2：基本初等函数的零点
3：零点的存在性定理
作业：
无交点
无
方程的根，函数与x轴的交点，函数零点的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
（零点=f(x)＝0的根=图象与x轴的交点的横坐标）
函数零点的计算方法
1、图象法（画图象找与x轴的交点）
2、方程法（令f(x）=0，求方程的根）
探究三、基本初等函数的零点
1、一次函数y=kx+b(k )的零点- ,
2、反比例函数 ( )的零点无，
3,、二次函数的零点
函数
零点
两个零点
一个零点
无零点
4、指数函数 )的零点无，
5、对数函数 ( )的零点1，
6、幂函数的零点0。

《方程的根与函数的零点》导学案

第1课时方程的根与函数的零点1.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题.2.理解零点存在性定理,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围.一个小朋友画了两幅图:问题1:上面的两幅图哪一个能说明此小朋友一定曾经渡过河?显然,图1说明了此小朋友曾经渡过河,但对于图2,则无法判断,用数学的角度来看,如果把小朋友运动的轨迹当作函数图象,小河看作x轴,那么问题即转化为函数图象与x轴是否存在交点.问题2:(1)什么是函数的零点,零点是点吗?(2)二次函数的零点个数如何判断?(1)对于函数y=f(x),我们把使的实数x叫作函数y=f(x)的零点.由定义可知零点是一个实数不是点.(2)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当时,有两个零点;当Δ=0时,有零点;当时,没有零点.问题3:函数y=f(x)的零点,方程f(x)=0的根,函数y=f(x)与x轴交点的横坐标,这三者有什么关系?函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.事实上,方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.问题4:(1)零点存在性定理的内容是什么?(2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足零点存在性定理的条件,即存在零点,那么在(a,b)上到底有几个零点呢?(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且在区间(a,b)内有零点,那么你认为f(a)·f(b)与0的关系是怎样的?请举例说明.(1)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.(2)至少有一个.(3)如图所示,可以小于0,可以等于0,也可以大于0.1.函数y=x2-2x-3的零点是().A.(-1,0),(3,0)B.x=-1C.x=3D.-1和32.若函数f(x)=x2+2x+a有零点,则实数a的取值范围是().A.a<1B.a>1C.a≤1D.a≥13.观察函数y=f(x)的图象,则f(x)在区间[a,b]上(填“有”或“无”)零点;f(a)·f(b)0(填“<”或“>”),在区间[b,c]上(填“有”或“无”)零点;f(b)·f(c)0(填“<”或“>”),在区间[c,d]上(填“有”或“无”)零点;f(c)·f(d)0(填“<”或“>”).4.已知函数f(x)=2x-x2,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内是否有解,为什么?利用零点的概念求零点判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)f(x)=;(2)f(x)=x2+2x+4;(3)f(x)=2x-3;(4)f(x)=1-log3x.零点个数的判断判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数.零点所在区间的判断函数f(x)=lg x-的零点所在的大致区间是().A.(6,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)下列函数中存在两个零点的是().A.f(x)=2x-2B.f(x)=lg(x2-2)C.f(x)=x2-2x+1D.f(x)=e x-1-2判断函数f(x)=x2-的零点的个数.方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根().A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(-1,0)1.下列图象表示的函数中没有零点的是().2.已知函数f(x)函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有().A.2个B.3个C.4个D.5个3.函数f(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则该函数的所有零点之和为.4.已知函数f(x)=x3-2x2-5x+6的一个零点为1.求函数f(x)的其他零点.(2013年·重庆卷)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间().A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内考题变式(我来改编):答案第三章函数的应用第1课时方程的根与函数的零点知识体系梳理问题2:(1)f(x)=0(2)Δ>0一个Δ<0问题4:(1)f(a)·f(b)<0基础学习交流1.D由x2-2x-3=0得x=-1或x=3.2.C函数f(x)=x2+2x+a有零点,即方程x2+2x+a=0有实数根,所以Δ=4-4a≥0,得a≤1.3.有< 有< 有< 根据“如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根”来判断.4.解:因为f(-1)=2-1-(-1)2=-<0,f(0)=20-02=1>0,而函数f(x)=2x-x2在[-1,0]上的图象是一条连续曲线,所以f(x)在区间[-1,0]内有零点,即方程f(x)=0在区间[-1,0]内有解.重点难点探究探究一:【解析】(1)令=0,解得x=-3,所以函数f(x)=的零点是-3.(2)令x2+2x+4=0,因为Δ=22-4×1×4=-12<0,所以方程x2+2x+4=0无实数根,所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.(3)令2x-3=0,解得x=log23,所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.(4)令1-log3x=0,解得x=3,所以函数f(x)=1-log3x的零点是3.【小结】求函数f(x)的零点时,通常转化为解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有实数根,则函数f(x)存在零点,该方程的根就是函数f(x)的零点;否则,函数f(x)不存在零点.探究二:【解析】(法一)函数对应的方程为ln x+x2-3=0,即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点个数.在同一坐标系下,作出两函数的图象.如图,两函数图象有一个交点.从而ln x+x2-3=0有一个根,即函数y=ln x+x2-3有一个零点.(法二)∵f(1)=ln 1+12-3=-2<0,f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,∴f(1)·f(2)<0,又f(x)=ln x+x2-3在(1,2)上是不间断的,∴f(x)在(1,2)上必有零点,又f(x)在(0,+∞)上是递增的,∴零点只有一个.【小结】判断函数零点个数的主要方法:(1)利用方程根,转化为解方程,有几个根就有几个零点;(2)画出函数y=f(x)的图象,判定它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数;(3)结合单调性,利用f(a)·f(b)<0,可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数;(4)转化成两个函数图象的交点问题.探究三:【解析】易知f(x)在(0,+∞)上是递增的.∵f(6)=lg 6-=lg 6-<0,f(7)=lg 7-<0,f(8)=lg 8-<0,f(9)=lg 9-1<0,f(10)=lg 10->0,∴f(9)·f(10)<0,∴f(x)=lg x-的零点所在的大致区间为(9,10).【答案】D【小结】判断函数零点所在区间的三个步骤:(1)代:将区间端点代入函数求出函数的值.(2)判:把所得函数值相乘,并进行符号判断.(3)结:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.思维拓展应用应用一:B A中零点为1;B中零点为±;C中零点为1;D中零点为1+ln 2,故选B.应用二:(法一)由x2-=0,得x2=.令h(x)=x2(x≠0),g(x)=,在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象,由图可知两函数图象只有一个交点.故函数f(x)=x2-只有一个零点.(法二)当x<0时,f(x)>0恒成立,当x>0时,f(x)是递增的且不间断,又f(1)=1-1=0,故f(x)只有一个零点.应用三:D令f(x)=2x+x,∵f(-1)·f(0)=(-)×1<0,∴f(x)=2x+x的零点在区间(-1,0)内,故2x+x=0在区间(-1,0)内有实数根.基础智能检测1.A观察图象可知A中图象表示的函数没有零点.2.B∵f(2)·f(3)<0,∴f(x)在[2,3]上至少有1个零点,同理f(x)在[3,4]、[4,5]上都存在至少1个零点,∴f(x)在[1,6]上的零点至少有3个,故选B.3.0因为f(x)为偶函数,所以其零点互为相反数,故四个零点之和为0.4.解:由题意,设f(x)=(x-1)(x2+mx+n)=x3+(m-1)x2+(n-m)x-n,则解得令f(x)=0,即(x-1)(x2-x-6)=0⇒(x-1)(x-3)(x+2)=0,解得x=-2,1,3.∴函数f(x)的其他零点是-2,3.全新视角拓展A因为f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,所以函数的两个零点分别在(a,b)和(b,c)内.思维导图构建实数x x轴有零点f(a)·f(b)<0。

高一数学311方程的根与函数的零点导学案

山东省招远市第二中学高一数学《311 方程的根与函数的零点》导学案学习目标1．能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．理解函数的零点与方程根的关系．3．掌握函数零点的存在性的判定方式．自学导引1．对于函数y＝f(x)，咱们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标．3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．4．函数零点的存在性的判定方式：若是函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是持续不断的一条曲线，而且有f(a)·f(b)< 0，那么y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.一、求函数的零点例1 求下列函数的零点：(1)f(x)＝－x2－2x＋3；(2)f(x)＝x4－1；(3)f(x)＝x3－4x.解(1)由于f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)．所以方程－x2－2x＋3＝0的两根是－3,1.故函数的零点是－3,1.(2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，所以方程x4－1＝0的实数根是－1,1，故函数的零点是－1,1.(3)令f(x)＝0，即x3－4x＝0，∴x(x2－4)＝0，即x(x＋2)(x－2)＝0.解得：x1＝0，x2＝－2，x3＝2，所以函数f(x)＝x3－4x有3个零点，别离是：－2,0,2.点评求函数的零点，关键是准确求解方程的根，若是高次方程，要进行因式分解，分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零，若是二次方程常常利用因式分解或求根公式求解．变式迁移1 若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解∵2，－4是函数f(x)的零点．∴f (2)＝0，f (－4)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－4－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8.二、判断函数在某个区间内是不是有零点例2 (1)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3) 和(3,4) D ．(e ，＋∞)(2)f (x )＝ln x －2x在x >0上共有________个零点．分析由题目可获取以下主要信息：本例为判断函数零点所在区间问题，且在选项中给出了待肯定的区间．解答本题可从已知区间求f (a )和f (b )，判断是不是有f (a )·f (b )<0，且注意该函数在概念域上为增函数．答案 (1)B (2) 1解析 (1)∵f (1)＝－2<0，f (2)＝ln2－1<0， ∴在(1,2)内f (x )无零点，A 不对；又f (3)＝ln3－23>0，∴f (2)·f (3)<0，∴f (x )在(2,3)内有一个零点．(2)∵f (x )＝ln x －2x在x >0上是增函数，故f (x )有且只有一个零点．点评这是一类超级基础且常见的问题，考查的是函数零点的判定方式，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这种问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性．变式迁移2 方程x 2－3x ＋1＝0在区间(2,3)内根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不肯定答案 B解析令f (x )＝x 2－3x ＋1，则f (2)·f (3)<0， ∴(2,3)内仅有一个根．三、已知函数零点的特征，求参数范围例3 若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围．分析由题目可获取以下主要信息：已知函数f (x )零点特征，讨论函数表达式中字母的特征，解答本题可按照该字母对函数零点的影响入手，进行求解．解 ①若a ＝0，则f (x )＝－x －1，为一次函数，易知函数仅有一个零点；②若a ≠0，则函数f (x )为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0仅有一个实数根，故判别式Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．变式迁移3 已知在函数f (x )＝mx 2－3x ＋1的图象上其零点至少有一个在原点右边，求实数m 的范围．解 (1)当m ＝0时，f (0)＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，即函数的零点为13，在原点右边，符合题意．图(1)(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1， ∴抛物线过点(0,1)．若m <0，f (x )的开口向下，如图(1)所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右边，一个在原点左侧．图(2)若m >0，f (x )的开口向上，如图(2)所示，要使函数的零点在原点右边，当且仅当9－4m ≥0即可，解得0<m ≤94，综上所述，m 的取值范围为 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94.1．函数f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，但不能将它们完全等同．如函数f (x )＝x 2－4x ＋4只有一个零点，但方程f (x )＝0有两个相等实根．2．并非是所有的函数都有零点，即便在区间[a ，b ]上有f (a )·f (b )<0，也只说明函数y ＝f (x )在(a ，b )上至少有一个零点，但不必然唯一．反之，若f (a )·f (b )>0，也不说明函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上无零点，如二次函数y ＝x 2－3x ＋2在[0,3]上知足f (0)·f (3)>0，但函数f (x )在区间(0,3)上有零点1和2.3．函数的零点是实数而不是坐标轴上的点．一、选择题1．若函数f (x )唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列说法中错误的是( )A ．函数f (x )在(1,2)或[2,3)内有零点B ．函数f (x )在(3,5)内无零点C ．函数f (x )在(2,5)内有零点D ．函数f (x )在(2,4)内不必然有零点答案 C2．函数f (x )＝log 3x －8＋2x 的零点必然位于区间( )A ．(5,6)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)答案 B解析 f (3)＝log 33－8＋2×3＝－1<0， f (4)＝log 34－8＋2×4＝log 34>0. 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点必然位于区间(3,4)．3．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( ) A ．最多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有答案 C解析若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)<0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，如有两个零点，则必有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．4．已知f (x )是概念域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f (x )的零点的个数为( )A ．1 003B ．1 004C ．2 006D ．2 007 答案 D解析因为f (x )是奇函数，则f (0)＝0，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，所以f (x )在(－∞，0)内的零点有1 003个．因此f (x )的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007个．5．若函数y ＝f (x )在区间[0,4]上的图象是持续不断的曲线，且方程f (x )＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f (0)·f (4)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法判断答案 D解析考查下列各类图象上面各类函数y=f(x)在(0,4)内仅有一个零点，可是(1)中，f(0)·f(4)>0， (2)中f(0)·f(4)<0， (3)中f (0)·f (4)＝0. 二、填空题6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点有________个．答案 2解析 ∵Δ＝b 2－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，即函数f (x )有2个零点．7．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是__________．答案 0，－12解析由2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，g (x )＝bx 2－ax＝－2ax 2－ax ，令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝－12，∴g (x )＝bx 2－ax 的零点为0，－12.8．方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一个实根，则实数a 的取值范围是____________．答案 (1，＋∞)解析令f (x )＝2ax 2－x －1，a ＝0时不符合题意；a ≠0且Δ＝0时，解得a ＝－18，此时方程为－14x 2－x －1＝0，也不合题意；只能f (0)·f (1)<0，解得a >1. 三、解答题9．已知函数f (x )＝3x －x 2，问：方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有无实数解？为何？分析函数f (x )只要知足①f (－1)·f (0)<0；②在[－1，0]内持续，则f (x )＝0在[－1,0]内必有实数解．解 ∵f (－1)＝3－1－(－1)2＝－23<0，f (0)＝30－02＝1>0.且函数f (x )＝3x －x 2的图象是持续曲线，∴f (x )在区间[－1,0]内有零点，即f (x )＝0在区间[－1,0]内有实数解．10．若函数y ＝3x 2－5x ＋a 的两个零点别离为x 1，x 2，且有－2<x 1<0,1<x 2<3，试求出a 的取值范围．解由已知得：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>-03010002f f f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<+-<>+012020022a a a a .解得：-12<a<0.。

方程的根与函数的零点教案（精选6篇）

方程的根与函数的零点教案方程的根与函数的零点教案（精选6篇）作为一名为他人授业解惑的教育工作者，就不得不需要编写教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。

教案应该怎么写呢？下面是小编整理的方程的根与函数的零点教案，仅供参考，欢迎大家阅读。

方程的根与函数的零点教案篇1学习目标1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系;2. 掌握零点存在的判定定理.学习过程一、课前准备（预习教材P86~ P88，找出疑惑之处）复习1：一元二次方程 +bx+c=0 （a 0）的解法.判别式 = .当 0，方程有两根，为 ;当 0，方程有一根，为 ;当 0，方程无实根.复习2：方程 +bx+c=0 （a 0）的根与二次函数y=ax +bx+c （a 0）的图象之间有什么关系?判别式一元二次方程二次函数图象二、新课导学学习探究探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：① 方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为 .② 方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为 .③ 方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的 .你能将结论进一步推广到吗?新知：对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点（zero point）.反思：函数的零点、方程的实数根、函数的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系?试试：（1）函数的零点为 ;（2）函数的零点为 .小结：方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点.探究任务二：零点存在性定理问题：① 作出的图象，求的值，观察和的符号② 观察下面函数的图象，在区间上零点; 0;在区间上零点; 0;在区间上零点; 0.新知：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根.讨论：零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析.典型例题例1求函数的零点的个数.变式：求函数的零点所在区间.小结：函数零点的求法.① 代数法：求方程的实数根;② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.动手试试练1. 求下列函数的零点：练2. 求函数的零点所在的大致区间.三、总结提升学习小结①零点概念;②零点、与x轴交点、方程的根的关系;③零点存在性定理知识拓展图象连续的函数的零点的性质：（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.推论：函数在区间上的图象是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点.（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 函数的零点个数为（）.A. 1B. 2C. 3D. 42.若函数在上连续，且有 .则函数在上（）.A. 一定没有零点B. 至少有一个零点C. 只有一个零点D. 零点情况不确定3. 函数的零点所在区间为（）.A. B. C. D.4. 函数的零点为 .5. 若函数为定义域是R的奇函数，且在上有一个零点.则的零点个数为 .课后作业1. 求函数的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.2. 已知函数 .（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点;（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求值.方程的根与函数的零点教案篇2教学目标：1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

方程的根与函数的零点教案_

XX 导学案学科：编号：编写人：审核人：使用时间：班级姓名：小组序号：组长评价：教师评价课题：方程的根与函数的零点（第1课时）【学习目标】1、能说出函数的零点的意义，知道方程的根与函数的零点的关系。

2、会运用求简单函数的零点，能结合图像处理“三个二次”的转换；3、培养用函数观点处理问题的意识，体会函数与方程的思想；【学习重点与难点】学习重点：函数零点与方程的根的关系，“三个二次”的转换。

学习难点：结合图像处理“三个二次”的转换。

【使用说明与学法指导】1、带着预习案中问题导学中的问题自主设计预习提纲，通读教材P 8688页内容，阅读XXX资料XXX 页内容，对概念、关键词、XXX 等进行梳理，作好必要的标注和笔记。

2、认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自主学习的知识及方法收获。

3、熟记、XXX 基础知识梳理中的重点知识。

预习案一、问题导学1、函数的零点就是使函数值为零的点吗？2、函数的零点与函数图像有何关系？3、二次函数都有零点吗？二、知识梳理1、函数零点的概念：对于函数()y f x =，我们把使的实数x 叫做()y f x =的零点.这样，函数()y f x =的零点就是的实数根，也就是 .2、方程、函数、图像之间的关系方程()0f x = ⇔函数()y f x =的图像 ⇔函数()y f x = .3、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，二次函数有个零点；当240b ac ∆=-=时，二次函数有个零点；当240b ac ∆=-<时，二次函数有个零点.4、已知二次函数)0()(2>++=a c bx ax x f 的两个零点为)(,2121x x x x ≠则0)(>x f 的解集为，0)(<x f 的解集为三、预习自测1、函数223y x x =--的零点是，0322>--x x 的解集为 .2、在二次函数2y ax bx c =++中，0ac <，则其零点的个数为 .3、下列函数中有2个零点的是（） .lg A y x = .2x B y = 2.C y x = .||1D y x =-我的疑惑：我的收获：探究案一、合作探究探究1、求下列函数的零点：2(1)()20f x x x =--+；2(2)()(1)(514)f x x x x =---；223(1);(3)()lg 1(1).x x x f x x x ⎧--<=⎨-≥⎩；探究2、（1）已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(，且方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式；（2）已知函数122+++=m x x y ①若有两个零点，且都比12-小，求实数m 的取值范围； ②若有两个零点，且一根比2小，一根比2大，求实数m 的取值范围.二、总结整理1、核心知识：2、典型方法：3、重点问题解决：训练案一、课中检测与训练1、求下列函数的零点：（1）202++-=x x y ；（2）)13)(1(2+--=x x x y ；2、二次函数02<++c bx x 的解集为是)3,2(，则,b c 的值为（）A ．5,6 B.5,6 C.6,5 D.6,53、方程0122=++mx mx 有一根大于1，另一根小于1，则实根m 的取值范围是_______二、课后巩固促提升1、反思提升：熟记重点知识，反思学习思路和方法，整理典型题本2、完成作业：课本P88页：2题；《课时作业》Pxx页：x题、x题3、温故知新：阅读课本Pxx页，并完成新发的预习案；探讨《随堂优化训练》Pxx页。

高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点导学案新人教A版必修1

课题：3.1.1方程的根与函数的零点一、三维目标：知识与技能：结合二次函数的图象，理解函数的零点概念，领会函数零点与相应方程根的关系；过程与方法：掌握判定函数零点存在的条件，并能简单应用；情感态度与价值观：通过学习，体会数形结合的思想从特殊到一般的思考问题的方法。

二、学习重、难点：函数的零点的概念以及零点存在的判定方法。

三、学法指导：认真阅读教材，在熟练掌握二次函数的有关知识的基础上，结合二次函数图象，由特殊到一般逐渐理解零点的概念，并会判断零点的存在。

四、知识链接：五、学习过程：（一）、认真阅读教材P86---P87页内容，思考：1．通过书中三个具体一元二次方程的根与相应的二次函数的图像与x 轴的交点的关系归纳一元二次方20ax bx c ++=)0(≠a 的根与相应的二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 的图象有什么关系？2．函数的零点的概念：对于函数y ＝f (x )，把叫做函数y ＝f (x )的零点。

注: 函数的零点是一个实数，而不是一个点。

3．方程、函数、图象之间的关系：方程f (x )＝0 ⇔函数y ＝f (x )的图象 ⇔函数y ＝f (x ) 。

练习：Al ．函数y ＝x －1的零点是 ( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．0D ．1A2．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是________B3．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．a <1B ．a >1C ．a ≤1D ．a ≥1C4．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于 ( )A ．0B ．1C ．－1D ．不能确定（二）、认真阅读教材P87---P88页内容，探究：函数y ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y ＝f(x)一定有零点？1观察二次函数223y x x =--的图象我们发现函数223y x x =--在区间]1,2[-上有零点。

方程的根与函数的零点导学案2[精选文档]

方程的根与函数的零点导学案学习目标：1.了解函数的零点与对应方程根，图像与X 轴交点，三者的联系；2. 掌握零点存在的判定定理。

学习要点：1、会判断函数的零点、方程的根与图像与X 轴交点的关系2、会利用零点存在定理去解决问题。

学习过程：课前预读：课本P70对数函数定义，P71对数函数性质表，P77幂函数定义回顾练习：1、已知幂函数f (x )＝x α的图象过(8，14)点，则f (x )＝___________________2、已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝_________________ 3、方程2230x x --=的解为新课导学：1、方程2230x x --=的解为，函数223y x x =--的图象与x 轴有个交点，坐标为2、反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？3、观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上零点；()()f a f b 0；在区间[,]b c 上零点；()()f b f c 0；在区间[,]c d 上零点；()()f c f d 0结论：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()f a f b ______0，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.巩固训练：1、函数220y x x =-++的零点为图象与x 轴有个交点，对应方程的根___个。

2、函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为（）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 43、函数f(x) =log 2（x+2x-1）的零点必落在区间（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81 B.⎪⎭⎫⎝⎛21,41 C.⎪⎭⎫⎝⎛1,21D.(1,2) 4、01lg =-x x 有解的区域是（）A ．(0,1]B ．(1,10]C ．(10,100]D ．(100,)+∞5x ________.学习小结：① 零点概念；②零点、与x 轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理课外作业：《创新设计》 P69 课后智能提升 1—5用二分法求方程的近似解导学案学习目标：1. 能够根据具体函数图象、表格，借用二分法求相应方程的近似解；2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.学习要点：1、理解二分法的思路2、学会运用二分法的思想解决问题。

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