通州区2018届高三期末数学(文)试题及答案

通州区2017—2018学年度高三摸底考试数学（文）试卷2018年1月第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{}2|20A x x x =∈-≤Z ，集合{}1,0,1B =-，那么A B 等于A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是A ．1y x =-B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．3y x =D ．2log y x=3．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是A 2-22- C ． D ．2（第3题） （第4题）4．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，那么 该四面体的体积是A ．323B ．16C ．643D ． 325．已知a ∈R ，那么“直线1y ax =-与42y ax =-+垂直”是“12a =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知a ，b ∈R ，0a b >>，则下列不等式一定成立的是 A.11a b > B. tan tan a b > C. 22log log a b >D. 22b a a b --⋅>⋅ 7．已知点()2,1A -，点),(y x P 满足线性约束条件20,10,24,x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩O 为坐标原点，那么⋅的最小值是A. 11B. 0C. 1-D. 5-8．如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，且MN ∥平面11ACC A ， 则这样的MN 有 A ．1条 B ． 2条 C ．3条 D ．无数条第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9．已知复数2i ia-的实部与虚部相等，那么实数a =_______. 10．已知点(2P 为抛物线22y px =上一点，那么点P 到抛物线准线的距离是_______.11．在△ABC 中，已知4AB =，6AC =，60A =︒， 那么BC = _______.12．已知向量a ，b ，若3=a，-=a b 6⋅=a b ，则a ，b 夹角的度数为_______.13．已知圆C 的圆心在x20x y -=相切，那么圆C 的方NMC 1B 1A 1C BA程是_______.14．已知函数()222.x a x f x a x x ⎧+<=⎨-≥⎩‚‚‚（1）若a =()f x 的零点是_______. （2）若()f x 无零点，则实数a 的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（本题满分13分）已知函数()2sin cos cos 2f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．16．（本题满分13分）某市准备引进优秀企业进行城市建设. 城市的甲地、乙地分别对5个企业（共10个企业）进行综合评估，得分情况如茎叶图所示. （Ⅰ）根据茎叶图，求乙地对企业评估得分的平均值和方差；（Ⅱ）规定得分在85分以上为优秀企业.若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率.注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦17．（本题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，121n n a S +=+. （Ⅰ）求2a ，3a 的值；（Ⅱ）设221n n b a n =--，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．（本题满分14分）如图，在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为正方形，平面ABE ⊥底面BCDE ，AB AE BE ==，点M ，N 分别是AE ，AD 的中点.（Ⅰ）求证：//MN 平面ABC ； （Ⅱ）求证：BM ⊥平面ADE ；（Ⅲ）在棱DE 上求作一点P ，使得CP AD ⊥，并说明理由.19．（本题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>过点()0,1-，离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点(),0P m ，过点()1,0作斜率为()0k k ≠直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴平分MPN ∠ ，求m 的值．20．（本题满分14分）已知函数()ln f x x a x =+，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在[]1,e 上的最小值； （Ⅲ）若函数()()21F x f x x =，当2a =时，()F x 的最大值为M ，求证：32M <.高三数学（文科）摸底考试参考答案2018.1NMDECBA二、填空题9．210.311. 12.3π13. ()2255x y -+=，()2255x y ++=14.12，(][),40,2-∞-三、解答题15. 解：（Ⅰ）因为()f x sin 2cos 2x x =+2+4x π⎛⎫=⎪⎝⎭．……………………4分所以()f x 的最小正周期2.2T ππ==……………………5分 由222242k x k πππππ-+<+<+，得3.88k x k ππππ-+<<+ 所以()f x 的单调递增区间是3,.88k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，……………………7分（Ⅱ）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52+,444x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.所以当242x ππ+=，即8x π=时，函数当5244x ππ+=，即2x π=时，函数5 1.4π=-．所以()f x 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1-．……………………13分16. 解：（Ⅰ）乙地对企业评估得分的平均值是()19794888378885⨯++++=，方差是()()()()()2222219788948888888388788848.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦.……………………4分（Ⅱ）从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，有()96,97，()96,94，()96,88，()93,97，()93,94，()93,88，()89,97，()89,94，()89,88，()86,97，()86,94，()86,88共12组， ……………………8分 设“得分的差的绝对值不超过5分”为事件A ，则事件A 包含有()96,97，()96,94，()93,97，()93,94，()93,88，()89,94，()89,88，()86,88共8组. ……………………11分所以()82.123P A == 所以得分的差的绝对值不超过5分的概率是2.3……………………13分17. （Ⅰ）因为112a =，121n n a S +=+，所以2113211.2a S a =+=+=所以23.4a =……………………2分 所以32129211.4a S a a =+=++=所以39.8a =……………………4分 （Ⅱ）因为121n n a S +=+，所以121n n a S -=+，()2n ≥ 所以1122.n n n n n a a S S a +--=-=所以13.2n n a a +=……………………7分 因为213.2a a =……………………8分所以数列{}n a 是首项112a =，公比是32的等比数列.所以113.22n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭因为221n n b a n =--，所以132 1.2n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭……………………9分所以12n n T b b b =+++113333521222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()0113333521222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()0113333521222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()312423212nn n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=--2322 2.2nn n ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 所以数列{}n b 的前n 项和2322 2.2n nn n T ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭……………………13分18.解：（Ⅰ）因为点M ，N 分别是AE ，AD 的中点，所以//.MN DE 因为四边形为正方形，所以//.BC DE所以//.MN BC因为MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以//MN 平面.ABC ……………………4分 （Ⅱ）因为平面ABE ⊥底面BCDE ，DE BE ⊥， 所以DE ⊥平面.ABE因为BM ⊂平面ABE ，所以.DE BM ⊥因为AB AE BE ==，点M 是AE 的中点，所以.BM AE ⊥ 因为DEAE E =，DE ⊂平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以BM ⊥平面.ADE ……………………9分（Ⅲ）取BE 中点F ，连接AF ，DF ，过C 点作CP DF ⊥，交DE 于点P . 则点P 即为所求作的点.……………………11分理由：因为AB AE BE ==，点F 是BE 的中点，所以.AF BE ⊥ 因为平面ABE ⊥底面BCDE ，所以AF ⊥平面.BCDE 所以AF ⊥.CP 因为CP DF ⊥，AFDF F =，所以CP ⊥平面.ADF因为AD ⊂平面ADF ，所以CP ⊥.AD ……………………14分19.解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x 轴上，过点()0,1-，离心率e =， 所以1b =，2c a =……………………2分 所以由222a b c =+，得22.a =……………………3分所以椭圆C 的标准方程是22 1.2x y +=……………………4分 （Ⅱ）因为过椭圆的右焦点F 作斜率为k 直线l ，所以直线l 的方程是(1)y k x =-.联立方程组()221,1,2y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得()2222124220.k x k x k +-+-=显然0.∆>设点()11,P x y ，()22,Q x y ，所以2122412k x x k +=+，212222.12k x x k -⋅=+……………………7分 因为x 轴平分MPN ∠，所以MPO NPO ∠=∠.所以0.MP NP k k +=……………………9分 所以12120.y y x m x m+=--所以()()12210.y x m y x m -+-= 所以()()()()1221110.k x x m k x x m --+--= 所以()()1212220.k x x k km x x km ⋅-+++=所以()2222224220.1212k k k k km km k k-⋅-++=++ 所以2420.12k kmk-+=+ 所以420.k km -+=……………………12分 因为0k ≠，所以 2.m =……………………13分20. 解：（Ⅰ）因为函数()ln f x x a x =+，且1a =， 所以()ln f x x x =+，()0,.x ∈+∞ 所以().f x x'=+11 所以()11f =，().f '=12 所以曲线在1x =处的切线方程是()y x -=-121，即.x y --=210……………………3分（Ⅱ）因为函数()()ln 0f x x a x x =+>，所以().a x a f x x x+'=+=1 （1）当a ≥0时，()f x '>0，所以()f x 在()0,+∞上单调递增. 所以函数()f x 在[]1,e 上的最小值是()1 1.f =（2）当a <0时，令()f x '>0，即x a +>0，所以.x a >-令()f x '<0，即x a +<0，所以.x a <-（i ）当a <-≤01，即a ≥-1时，()f x 在[]1,e 上单调递增， 所以()f x 在[]1,e 上的最小值是()1 1.f =（ii ）当a e <-<1，即e a -≤≤-1时，()f x 在[]1,a -上单调递减，在(],a e -上单调递增， 所以()f x 在[]1,e 上的最小值是()()ln .f a a a a -=-+- （iii ）当a e -≥，即a e ≤-时，()f x 在[]1,e 上单调递减， 所以()f x 在[]1,e 上的最小值是().f e e a =+综上所述，当a ≥-1时，()f x 在[]1,e 上的最小值是()1 1.f = 当e a -≤≤-1时，()f x 在[]1,e 上的最小值是()()ln .f a a a a -=-+- 当a e ≤-时，()f x 在[]1,e 上的最小值是().f e e a =+……………………7分 （Ⅲ）因为函数()()21F x f x x =，所以()21ln .a xF x x x =+ 所以当2a =时，()324ln .x xF x x --'=令()24ln g x x x =--，所以()g x 是单调递减函数. 因为()g =>110，()ln g =-<2420，所以在()1,2上存在0x ，使得()g x =00，即0024ln 0.x x --=所以当(),x x ∈01时，()0g x >；当(),x x ∈02时，()0.g x < 即当(),x x ∈01时，()0F x '>；当(),x x ∈02时，()0.F x '< 所以()F x 在()01,x 上单调递增，在(),x 02上单调递减.高三数学（文）摸底试卷第11页（共4页） 所以当x x =0时，()F x 取得最大值是()000202ln .x x M F x x +== 因为24ln 0x x --=，所以20220000211111.22416x M x x x x ⎛⎫+==+=+- ⎪⎝⎭ 因为(),x ∈012，所以,.x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭01112 所以3.2M <……………………14分。