李凡长版 组合数学课后习题答案习题4

第四章 生成函数

1. 求下列数列的生成函数： （1）{0,1,16,81,…,n 4,…} 解：G{k 4}=

235

(11111)

1x x x x x +++-（）

（2）343,,,333n +⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎩⎭L 解：3n G n +⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭=4

1(1)x - （3）{1,0,2,0,3,0,4,0,……} 解：A(x)=1+2x 2+3x 4+4x 6+…=（2

1

1x

-）2. （4）{1,k ,k 2,k 3,…} 解：A(x)=1+kx+k 2x 2+k 3x 3+…=

1

1kx -. 2. 求下列和式： （1）14+24+…+n 4

解：由上面第一题可知，{n 4}生成函数为

A(x)=235

(11111)1x x x x x +++-（）=0

k

k k a x ∞=∑， 此处a k =k 4.令b n =14+24+…+n 4，则b n =0n

k k a =∑，由性质3即得数列{b n }的生

成函数为 B(x)= 0n

n n b x ∞

=∑=()

1A x x -=34

125(1111)i

i i x x x x x i ∞

=++++⎛⎫ ⎪⎝⎭

∑. 比较等式两边x n 的系数，便得

14+24+…+n 4=b n =1525354511111234n n n n n n n n -+-+-+-++++----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

321

(1)(691)30

n n n n n =+++-

（2）1·2+2·3+…+n (n +1)

解：{ n (n +1)}的生成函数为A(x)=

3

2(1)x x -=0

k

k k a x ∞

=∑，此处a k = n (n +1).

令b n =1·2+2·3+…+n (n +1)，则b n =0

n

k k a =∑.由性质3即得数列{b n }的生成函

数为B(x)=

n

n n b x ∞

=∑=

()1A x x

-=

4

2(1)x

x -=032n

k k

k x x k =+⎛⎫

⎪⎝

⎭∑. 比较等式两边x n 的系数，便得

1·2+2·3+…+n (n +1)= b n =2(1)(2)

213n n n n n +++=-⎛⎫ ⎪⎝⎭

. 3. 利用生成函数求解下列递推关系： （1）()7(1)12(2)(0)2,(1)7f n f n f n f f =---==⎧⎨⎩;

解：令A(x)=0()n n f n x ∞

=∑

则有A(x)-f(0)-f(1)x=

2

()n

n f n x ∞

=∑=2

(7(1)12(2))n n

f n f n x

∞

=---∑

=2

1

7()12()n

n

n n x f n x x

f n x

∞

∞

==-∑∑

=7x(A(x)-f(0))-12x 2A(x).

将f(0)=2，f(1)=7代入上式并整理，得

2

2711

()(34)17121314n n n x A x x x x x ∞

=-==+=+-+--∑. （2）()3(1)53(0)0

n

f n f n f =-+⋅=⎧⎨⎩;

解：令A(x)=0()n

n f n x ∞

=∑，则有

A(x)-f(0)= 1

(3(1)53

)n n

n

f n x ∞

=-+⋅∑=0

3()153n

n n n n x f n x x x ∞∞

==+∑∑

=3xA(x)+15x·1

13x

-.

A(x)= 2

15(13)

x

x - （3）()2(1)(2)(0)0,(1)1

f n f n f n f f =-+-==⎧⎨

⎩;

解：令A(x)=0

()n

n f n x ∞=∑，则有

A(x)-f(0)-f(1)x=2

(2(1)(2))n n

f n f n x ∞

=-+-∑=2

1

2()()n

n

n n x f n x x

f n x

∞

∞

==+∑∑

=2x(A(x)-f(0))+x 2A(x).

将f(0)=0，f(1)=1代入上式并整理，得2

()12x A x x x =--.

4. 设序列{n a }的生成函数为：

343(1)(1)

x

x x x --+-,但00b a =,110b a a =-,

……,1n n n b a a -=-,……,求序列{n b }的生成函数.

解：由00b a =,110b a a =-,……,1n n n b a a -=-,得0

n

k n k b a ==∑，所以A(x)=

()1B x x

-.