数学物理方法期末复习提纲
数学期末复习提纲
复习提纲第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法2、分部积分法（注意加 C ）定积分：1、定义2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程）3、空间平面4、空间旋转面（柱面）具体内容函数收敛比如函数的极限是a,那么我们可以叫他为函数收敛于 a 性质如果函数收敛那么极限唯一。
如果函数收敛它一定有界（有界是指函数定义域存在一个数使得函数值的绝对值大于等于这个数）。
绕口令：函数有界是函数收敛的必要条件（因为可能极限不存在）证明极限的方法1求函数极限的方法定义证明设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，|Xn - a|<ε 都成立，那么就称常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。
记为lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）2利用左右极限左右极限存在并相等。
3利用极限存在准则一、单调有界准则，如单调递增又有上界者，或者单调递减又有下界者。
二、夹逼准则，如能找到比目标数列或者函数大而有极限的数列或函数并且又能找到比目标数列或者函数小且有极限的数列或者函数，那么目标数列或者函数必定存在极限。
4利用两个重要极限1）x->0时，sinx/x=1 2）x->无穷时，(1+1/x)^x=e x趋近0的时候5极限的运算法则。
数学物理方法总复习
第一章 复变函数复数的三种表示：代数表示，三角表示与指数表示几个初等函数的定义式：()1sin 2iz iz z e e i-=- ()1cos 2iz iz z e e -=+ ()12z z shz e e -=- ()12z z chz e e -=+ ln ln()ln iArg iArgz z z e z z ==+§1.3导数u v x y v u xy ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ Cauchy-Riemann 方程§1.4 解析函数1．定义若复变函数()f z 在点0z 及其邻域上处处可导，则称()f z 在0z 点解析。
注意：如果只在一点导数存在，而在其他点不存在，那么也不能说函数在该点解析。
例如：函数2)(z z f =在0=z 点是否可导？是否解析？ 解：222)(y x z z f +==，22y x u +=，0=v ，x x u 2=∂∂，y y u 2=∂∂，0=∂∂xv ，0=∂∂y v ， 由此可见，仅在0=z ，u 、v 可微且满足C-R 条件，即)(z f 仅于0=z 点可导，但在0=z 点不解析。
在其他点不可导，则它在0z =点及整个复平面上处处不解析。
某一点，函数解析⇒⇐可导某一区域B，函数解析⇔可导2．解析函数的性质（ⅰ）几何性质（ⅱ）调和性（ⅲ）共轭性例已知323u x xy=-求v看书上例题§2.1 复变函数的积分∴复变函数的路积分可以归结为两个实函数的线积分。
因此复变函数积分也具有实变函数积分的某些性质。
一般说来，积分值不仅依赖于起点、终点。
积分路线不同，其结果也不同.§2.2 柯西定理的应用§2.3 不定积分§2.4 柯西公式均属于考试内容！第三章幂级数展开,)()()(20201000Λ+-+-+=-∑∞=z z a z z a a z z a k k k （1）比值判别法（达朗贝尔判别法,D ’ Alember ）（3.2.3） （2）根值判别法（柯西判别法）（3.2.6） §3.3 泰勒级数的展开2. 其他展开法可用任何方法展开，只要0()kz z -项相同，那么展开结果一定相同（根据Taylor 展开的唯一性）如利用00111!k k k z k t t t z e z k ∞==∞=⎧=<⎪-⎪⎨⎪=<∞⎪⎩∑∑ ∞<+-=∑∞=+z k z z k k k ,)!12()1(sin 012;∞<-=∑∞=z k z z k k k ,)!2()1(cos 02 等等！例6 将211z -在00z =点邻域展开（1z <） 解：利用011k k t t ∞==-∑有：24222011(1)1k k k z z z z z z ∞==+++++=<-∑K K例7 11z -在02iz =点的邻域展开 解：01011111(1)()1222211212()1122()2(1)22(1)2kk kk k i i iiz z z iiz i ii z i i z i∞=∞+===⋅---------=---=-<--∑∑§3.5 洛朗（Laurent ）级数展开（1）展开中心z 0不一定是函数的奇点；3展开方法的唯一性间接展开方法：利用熟知公式的展开法 较常用 例 2 将函数21()(2)(3)f z z z =--在021z <-<内展开为Laurent 级数 解：因为021z <-<内展开，展开形式应为(2)nn n c z ∞=-∞-∑ 01113(2)11(2)(2)(21)nn z z z z z +∞===------=---<∑ 而20111(2)(3)312(2)(2)(21)n n n z z z z n z z ∞=-''⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦=+-++-+-<∑K K得到：22221111()(2)(3)(2)(3)123(2)(2)(2)(2)021n n n f z z z z z z n z z n z z -∞-===•----=++-++-+-=-<-<∑L L例3 函数1()(1)(2)f z z z =--在下列圆环域内都是处处解析的，将()f z 在这些区域内展开成Laurent级数 ①01z <<②12z <<③2z <<∞④011z <-< 解：①11111()211212f z zz z z =-=----- 由于1z <从而12z<，利用 21111n z z z z z =+++++<-K K 可得：22111(1)122222212n n z z z z z =+++++<-K K 22221()(1)(1)22221370248nn n z z z f z z z z z z z ∴=+++++-+++++=+++<K K K K K 结果中不含负幂次项，原因在于1()(1)(2)f z z z =--在1z <内解析的。
数学物理方程复习资料
∞ n=1
bn
sin= nπl x (x ∈ C), 其中 bn
2= l f (x) sin nπ xdx (n 1, 2,3, ).
l0
l
∑ ∫ 当 f (x) 为偶函数时， f (x) = a20 + n∞=1 an cos= nπl x (x ∈ C), 其中 an
2= l f (x) cos nπ xdx (n
的常微分方程，并由齐边值条件可得固 有值问题。
二阶线常性微齐分次方微程分方程→
特征方程为 r2 + λ =0
求解固有值问题，即解出固有值以及固 有函数
结合定解条件讨论 λ 的取值范围
确定系数，由选定的固有值来求 T (t) ，
进而得到一系列特解，然后利用叠加原 理叠加特解得到一个无穷级数解，并由 初始条件确定无穷级数的系数。 M2 积分变换法 根据自变量的变化范围以及定解条件 的具体情况，选取适当的积分变换。然 后对方程两端取变换，把一个含两个自 变量的偏微分方程化为含一个参变量 的常微分方程。
（1） 固定端（第一边值条件= ）： u = x 0= 0, u =x l 0, t ≥ 0
（2） （3）
自由端（第二边值条件= ）： ∂∂ux = x 0= 0, ∂∂ux=x l 0, t ≥ 0
弹性支承端（第三边值条件= ）： (∂∂ux + σ u) x 0= =0, (∂∂ux + σ u) x l =0, t ≥ 0 ，其中σ = k / T 。
1.偏微分方程&数学物理方程：含有未知多元函数及其偏导数（也可仅含有偏导数）的方程称为偏微分方程； 描述物理规律的偏微分方程称为数学物理方程。 2.方程的阶：偏微分方程中未知函数的偏导数的最高阶数；
数学物理方法期末复习纲要
第十二章 格林函数 第七章到第十一章的分离变数法得到的解表示为多个的无穷求和 本章将偏
微分方程的解表示为积分形式 格林函数法 1 掌握格林函数是 点源影响函数 的概念 由此可将解表为积分 2 掌握 点源 的数学表达以及第一类边条下格林函数应满足的方程 3 了解格林函数的求法 4 了解方程解的积分表达式
要掌握拉普拉斯方程在球坐标系下的各种定解问题 可以参见附录 以及所附表 1 表 2
第十一章 柱函数 11.1) 理解三类柱函数的定义 J N H 贝塞尔 诺依曼 汉克尔函数
熟悉其渐近行为 特别是 x → 0 的行为
2
11.2) 掌握贝塞尔方程的解 特别注意 µ 本征值通常直接通过贝塞尔函数的
零点来表示 贝塞尔函数也是正交 完备 可归一的 可作为广义傅里叶级数的基 11.4) 掌握虚宗量贝塞尔方程的解 熟悉虚宗量贝塞尔函数 虚宗量汉克尔函 数的渐近行为 11.5) 掌握球贝塞尔方程的解 特别注意球贝塞尔函数 球诺依曼函数的渐近 行为
3 ∆u = 0
4 ∆v + k 2v = 0
它们在 球坐标系 r ,θ,ϕ 和 柱坐标系 ρ,ϕ, z 中分离变数时碰到的
方程包括
P.S.: (记住方程的解 方程本身的形式可看书)
1 欧拉 方程
ρ2
d 2R dρ2
+
ρ
dR dρ
−
m2R
=
0
A + B ln ρ
解为
R(
ρ
)
=
Cρm
+
D
1 ρm
)
数学期末知识点总复习资料(word文档物超所值)
v b
av
⑵加法结合律：
(av
r b
)
cv
av
v (b
cv)
⑶数乘分配律：
(av
v b)
av
v b
3 奎奎 共线向量 奎奎奎 奎奎
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
行向量．
r a
平行于
r b
记作
av //
r b
．
rr
rr
rr
当我们说向量 a 、 b 共线（或 a // b ）时，表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是
数学期末知识点总复习 简易逻辑 知识要点
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单 命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式：p 或 q(记作“p∨q” )；p 且 q(记作“p∧q” )；非 p(记
8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为 ，则 S 侧 cos =S 底；
9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为, , , 因此有
cos2 +cos2 +cos2 =1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为
, , , 则有 cos2 +cos2 +cos2 =2;
两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质． 6.平面和平面垂直
互相垂直的平面及其判定定理、性质定理． （二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图） （三）夹角与距离 7.直线和平面所成的角与二面角 ⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平 面所成的角、直线和平面所成的角． ⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角． ②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理． 8.距离 ⑴点到平面的距离． ⑵直线到与它平行平面的距离． ⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段． ⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段． （四）简单多面体与球 9.棱柱与棱锥 ⑴多面体． ⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质． ⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、 正方体；平行六面体的性质、长方体的性质． ⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质． ⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法． 10.多面体欧拉定理的发现 ⑴简单多面体的欧拉公式． ⑵正多面体． 11.球 ⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离．
物理期末复习重点整理
物理期末复习重点整理第一章：力学1. 牛顿运动定律- 第一定律：惯性定律- 第二定律：力的作用导致物体产生加速度- 第三定律：作用力与反作用力2. 物体的运动- 位移、速度和加速度- 速度和加速度的图像表示- 自由落体运动- 斜抛运动3. 力的性质- 矢量与标量- 力的合成与分解- 实际应用：力的平衡与不平衡4. 力的分析- 摩擦力与静摩擦力- 滑动摩擦力与滑动摩擦系数- 弹力与胡克定律5. 动能和功- 动能定理- 功的定义与计算- 功的特点与应用第二章：热学与分子动理论1. 热学基础- 温度与热量- 热平衡与热传递- 热量的传递方式：传导、对流、辐射2. 热量计算- 热容与热容量- 热量计算公式3. 理想气体定律- 状态方程：Boyle定律、Charles定律、Gay-Lussac定律- 理想气体状态方程4. 分子动理论- 分子的运动状态- 分子间的相互作用力- 分子速率与平均动能- 温度与分子速率的关系第三章：振动与波动1. 机械振动- 单摆的振动- 弹簧振子的振动- 阻尼振动2. 机械波- 波的分类：纵波与横波- 波的传播与波的特性- 声波与光波的特点3. 光的直线传播- 光的反射与折射- 光的速度与光的介质- 光的全反射与光的光路4. 光的波粒性- 光的波动性：干涉、衍射、反射- 光的粒子性：光子、光电效应、康普顿效应第四章：电学基础1. 电荷与电场- 电荷的性质- 电场力与电场强度- 电荷分布与电场线2. 电势与电势能- 电势差与电势能差- 电势与电势能的计算- 电势与电场的关系3. 电流与电阻- 电流的定义与电流的方向- 电阻与电阻率- 欧姆定律与串联与并联电阻4. 电路分析- 简单电路中的电流、电压与电阻关系- 串联与并联电路的电流与电压分配- 高阻抗电路和低阻抗电路第五章：磁学1. 磁场与磁感线- 磁场的定义与性质- 磁感线的表示与观察- 磁场的产生与磁铁2. 安培定律与电流感应- 安培力与安培定律- 楞次定律与法拉第电磁感应定律- 磁通量与磁通量变化3. 自感与互感- 自感现象与自感系数- 互感现象与互感系数4. 磁场中的导体- 磁场中的电流导体- 电动机和发电机的工作原理- 磁体的应用第六章：光学1. 入射、折射与反射- 光的入射规律- 光的反射规律- 光的折射规律与折射率2. 透镜与光学仪器- 凸透镜与凹透镜- 透镜成像特点- 光学仪器的构造与原理3. 光的波动性- 干涉与双缝实验- 衍射与单缝实验- 光的偏振与偏光现象4. 光学现象的应用- 光的色散与光的显示- 光的全息成像与光纤通信- 光的调制与激光技术以上是物理期末复习的重点整理，涵盖了力学、热学与分子动理论、振动与波动、电学基础、磁学和光学等多个章节的核心知识。
数学物理方法复习提纲
数学物理方法(2)复习提纲第三章第四节概念：若在空间某一区域上定义了一个物理量，这个空间区域就称为场。
所定义的物理量则称为场函数。
如果场函数是标量，相应的场称为标量场；如果场函数是矢量，相应的场称为矢量场。
如果场函数只与空间变量有关，而与 时间 变量无关时，相应的场称为定常场（或稳定场）。
一个矢量场，如果场矢量始终平行于某一固定平面，且在垂直于该平面的任一直线上场矢量的大小和方向均不改变，这样的场称为平面场。
平面场中的一点实际上是指过该点而与固定平面相垂直的一条直线。
平面场中的一条曲线实际上是指以该曲线为母线的一个相应的柱面。
平面场中的一个区域实际上是指以该区域为横截面的一个相应的柱体。
平面场中的一个重要概念是复位势：),(),()(y x iv y x u z w +=。
其中实部),(y x u 称为力（流）函数；虚部),(y x v 称为势函数。
),()(),(00),(),(00y x u dy E dx E y x u y x y x x y ++-=⎰),()(),(00),(),(00y x v dy E dx E y x u y x y x y x +--=⎰这两个函数的等值线分别称为力线和等势线；力线的方程为1),(C y x u =；等势线的方程为2),(C y x v =。
要求：熟悉以上概念；给了场函数E ，会求复位势)(z w ；给了复位势)(z w ，会求力函数和势函数并会写力线和等势线方程。
典型习题：写出下列复位势所代表的平面静电场的电力线方程和等势线方程： (1) z z z w /1)(+=；(2) 2)(-+=z z z w ；(3) z z z w /1)(2+=；(4) 1/(1)w z =+第六章 保角变换概念：如果一个解析函数及其反函数在某一区域上均为单值函数，则称该函数为这个区域上的单叶函数。
函数单叶性的充要条件是：(1)函数在相应区域上解析；(2)函数的导数不为零。
物理期末考试复习提纲
物理期末考试复习提纲物理是理科的重点学科，而且学习起来又有一些难度。
所以必须要做好复习提纲，这样才能学好物理，下面我给大家共享一些高一物理期末考试复习提纲，盼望能够协助大家，欢送阅读!高一物理期末考试复习提纲一、曲线运动(1)曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。
(2)曲线运动的特点：在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。
曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断改变的。
做曲线运动的质点，其所受的合外力必须不为零，必须具有加速度。
(3)曲线运动物体所受合外力方向和速度方向不在始终线上，且必须指向曲线的凹侧。
二、运动的合成与分解1、深刻理解运动的合成与分解(1)物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由确定的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成;由确定的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。
运动的合成与分解根本关系：1分运动的独立性;2运动的等效性(合运动和分运动是等效替代关系，不能并存);3运动的等时性;4运动的矢量性(加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定那么。
)(2)互成角度的两个分运动的合运动的判定合运动的状况取决于两分运动的速度的合速度与两分运动的加速度的合加速度，两者是否在同始终线上，在同始终线上作直线运动，不在同始终线上将作曲线运动。
①两个直线运动的合运动仍旧是匀速直线运动。
②一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动是曲线运动。
③两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动仍旧是匀加速直线运动。
④两个初速度不为零的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。
当两个分运动的初速度的合速度的方向与这两个分运动的合加速度方向在同始终线上时，合运动是匀加速直线运动，否那么是曲线运动。
2、怎样确定合运动和分运动①合运动必须是物体的实际运动②假如选择运动的物体作为参照物，那么参照物的运动和物体相对参照物的运动是分运动，物体相对地面的运动是合运动。
陈普春数学物理方法重点_总复习
总复习
递推公式：
2l 1 Pl x Pl 1 ' x Pl 1 ' x 2l 1 xPl x l 1 Pl 1 x lPl 1 x 正交性： 1 2 1 Pl x Pk x dx 2l 1 lk 广义傅里叶级数：
u v x y 充要条件：C-R条件 u v y x
二、柯西定理和柯西公式 1、柯西定理：
单连通区域： f z dz 0
l
复连通区域： f z dz f z dz
l外 i 1 li 内
2、球坐标系下的分离变量法：
m 1
总复习
(1)轴对称：
1 2 u 1 u r 2 sin 0 2 r r r r sin 1 u r , Cl r l Dl l 1 Pl cos r l 0
双曲型 抛物型 椭圆型
总复习
3、定解问题：
泛定方程 初始条件 第一类：u |s 定解条件 边界条件 第二类：u | n s 第三类：u+hu | n s
八、分离变量法： 1、齐次方程的分离变量法：
utt x, t a 2uxx x, t 0 x l , t 0 u 0, t 0 , u l , t 0 u x, 0 x , ut x, 0 x
z z
f 1 k f z 在环域R2 z b R1内解析 f z d z b l b k 1 k 2 i
中南大学数学物理方法复习提纲
m 1
m 1
非齐次方程（包括泊松方程）和非齐次边界 条件的处理 找特解，同时将非齐次方程和非齐次边界条件齐 次化，重在解的过程。
第九章
二阶常微分方程级数解法
球坐标的拉普拉斯方程：
' ' m 2 0 2 d R dR 2 r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr 2 d d m [(1 x 2 ) ] [l (l 1) ] 0 2 dx dx 1 x
( p)
f (t ) L[ ] f ( )d p t d 2p L[t sin t ] [ 2 ] 2 2 2 2 dp p (p ) 1 1 1 sht )d L[ ] L[ sht ]d ( p 2 1 1 p t 1 p 1 1 1 ln (Re p 1) ln 2 1 p 2 p 1
( x ) m ( x x0 )
( x) q ( x x0 )
F (t ) K (t t0 )
f ( ) ( t0 )d f (t0 )
第六章 拉普拉斯变换
f ( p) f (t )e
0
pt
dt
pt
f (t )
2 i
1 z 2 1 1 1 ( z 1)( z 2) z 2 z 1
1 1 1 1 1 (1 / z ) k k 1 z 1 z 1 1 / z z k 0 k 0 z
1 1 1 1 k ( z / 2) z2 2 (1 z / 2) 2 k 0
数学物理方法知识点归纳
数学物理方法知识点归纳一、向量1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
2. 向量的表示方法：可以用坐标表示，也可以用分量表示。
3. 向量的运算：3.1 向量的加法：将两个向量的对应分量相加。
3.2 向量的减法：将两个向量的对应分量相减。
3.3 向量的数量积：将两个向量的对应分量相乘后求和。
3.4 向量的向量积：根据相关公式求得向量的模长和方向。
4. 坐标系与向量：向量的坐标表示与坐标系的选择有关。
5. 向量的模长和方向：可以通过向量的坐标计算得到。
二、微积分1. 极限与导数：1.1 极限的定义：函数在某一点的极限是函数逼近该点时的稳定值。
1.2 导数的定义：函数在某一点的导数是该点的切线斜率。
1.3 导数的计算：使用导数的定义或相关公式计算函数的导数。
2. 微分与积分：2.1 微分的定义：函数微分是函数在某一点附近的线性逼近。
2.2 积分的定义：积分是函数的反导数。
2.3 微分与积分的关系：微分和积分是互为逆运算。
3. 常见函数的导数与积分：3.1 基本函数的导数和积分：如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
3.2 三角函数的导数和积分：如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
3.3特殊函数的导数和积分：如反三角函数、指数函数、四则运算函数等。
三、矩阵1. 矩阵的定义：矩阵是由数个数按照一定次序排列在矩形阵列中的数集合。
2. 矩阵的运算：2.1 矩阵的加法：将两个矩阵的对应元素相加。
2.2 矩阵的减法：将两个矩阵的对应元素相减。
2.3 矩阵的数乘：将矩阵的每个元素都乘以一个数。
2.4 矩阵的乘法：根据矩阵乘法的规则进行计算。
3. 矩阵的转置：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
4. 矩阵的逆与行列式：根据相关公式进行计算。
5. 矩阵的应用：在线性代数、图像处理、物理等领域有广泛应用。
四、微分方程1. 微分方程的定义：含有未知函数及其导数的方程。
2. 常微分方程：只包含一元函数及其导数的方程。
数学物理方法期末复习
4、ln （ 3 4i）
(1 i ) n 1 i n 1 (1 i ) 2 n 1 ( ) [ ] n 2 2 (1 i ) 1 i (1 i ) (1 i )(1 i ) 2i 2i n i i n1 [ ] 2 2 2
法二
(1 i ) ( 2e ) 1 i ( n1) / 2 i e i n 2 (1 i ) 2 2 4 n 2 ( 2e )
f x A( ) cos xd B( ) sin xd
0
傅立叶变换的实数形式
A( ) 1
f ( ) cos d
B( )
f ( x)
1
f ( ) sin d
i x
傅立叶积分的复数形式
F ( )e
d
傅立叶变换的复数形式
是一个点集，全部由内点组成，且具有连通 2）区域： 性，既点集中任意两点，总可以用一条折线 连接起来，折线上的点都属于此点集。 3）境界点与境界线： 境界点不属于区域，但以它为中心作圆，不 论半径多小，圆内总含有区域内的点。境界 点的全体，构成境界线。
4）开区域与闭区域 区域又称为开区域，区域与境界线构成闭区域。
条件：
1）、 f（ x ）单值、连续； 2）、任何方式趋近z0；
3）、所有趋近方式的极限值相同。
2、解析函数
函数f（x）在某一个区域上的各点处处解析，则 称该函数是该区域上的解析函数。 3、解析函数的特点 1）、解析函数在区域上的各点一定可导； 2）、解析函数的实部和虚部满足Cauchy-Riemann 方程。
n n
i 4
n 1
2i n i i n1 [ ] 2 2 2
数学物理方法期末复习提纲
eiz eiz sin z , 2i
周期为2
7
4、双曲函数 e z ez shz 2 5、根式函数
e z ez chz 2
周期为2i
z e i
w n e
i
2 k
n
k 0,1,2,(n 1)
6、对数函数
w ln z ln
z iArgz
1 ak
23
例1 求幂级数 k ( z i) 的收敛圆.
k k 0
解
ak k
ak k R lim lim 1 k k 1 k a k 1
收敛圆: z i 1
24
例2 幂级数
zk e k 0 k !
z
的收敛域。
解:
1 ak lim k ! R lim k 1 k a k 1 (k 1)!
f (0) 0
v 2 y x, x v 2x y y
C 0
1 2 z 2
13
f ( z) z 2 i
例4：已知解析函数 f (z)的虚部 v( x, y ) 求实部 u ( x, y ) 和这个解析函数 f (z) 。
x x2 y2 ，
x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2
4
(2)、乘法和除法 z1 1 (cos 1 i sin 1 ) 1ei
z1z2 12[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
9
三、解析函数 f ( z ) u( x, y) iv( x, y)
1、柯西-黎曼方程
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2
f(z)2co sC i 2sin
2
2
2(c osisi n)C
22
1
2(cosisin)2C
1
2[(cosisin)]2C
2z C
17
第二章 复变函数积分
一、复变函数积分的性质： ——P23
二、计算复变函数回路积分
1、单通区域柯西定理：P24 2、复通区域柯西定理：P25
1. 幂函数 w zn 2 .指数函数 w ez
周期为2i，
3. 三角函数
eiz eiz
cos z
,
2
周期为2
sin z eiz eiz , 2i
7
4、双曲函数
shz ez ez 2
5、根式函数
chz ez ez 2
z ei
2k
i
wn e n
k 0 ,1 ,2 , (n 1 )
周期为2i
分区域上解析, 为积分区域内一点；
(2) 利用柯西公式
f(z) dz2i f(n)()
l(z)n1
n!
来计算积分.
20
sin( z)
例 1.
4 dz, 其 中 c:(x1)2y21
c z21
sin( z)
4 dz
I
c
z 1 z 1
sin z 2 i 4
z1
z 1
2i 2
y
o
1
2
x
21
解：
u2xy, ux2y
x
y
根据C-R条件，
vu2yx, vu2xy
x y
y x
v v x d x ( y ) ( 2 y x ) d x ( y ) 2 x y 1 2 x 2 ( y )
12
v v x d x ( y ) ( 2 y x ) d x ( y ) 2 x y 1 2 x 2 ( y )
z1 z2
z1
z
* 2
z2
z
* 2
(x1 iy1)(x2 iy2) x22 y22
x1x2y1y2ix2y1x1y2
x2 2y2 2
x2 2y2 2
4
(2)、乘法和除法
z11(cos1isin1)1ei1 z22(cos2isin2)2ei2
z 1 z 2 12 [ c o s (1 2 ) is i n (1 2 ) ]
例2．下列积分不为零的是 ( C )。
1
A.
dz
z0.5 z
1
C.
dz
z z0.5
1
B. z0.5 z2 dz D. z z211dz
l z1dz02i
(l不包围) (l包围)
1 1( 1 1 ) z21 2 z1 z1
z
1
z2
dz 1
1( 2
1 dz z z1
1 dz)z z1来自(2i 2i)3、重要公式应用（P28）
l z1dz02i
(l不包围 ) (l包围 )
18
4、柯西公式
l zf (z)dz2if()
高阶导数的柯西公式
f(z)
2i
l(z)n1dzn!
f(n)()
19
当被积函数在积分区域内有奇点时的回路积 分，可利用柯西公式来计算,
(1)把被积函数写成 f ( z ) 的形式，f(z)在积 ( z )n1
u
直角坐标系：
x u
v y v
y x
2、解析函数性质
：
u
极坐标系：
1
v
1
u
v
(1)、若 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y )是解析函数，则uv0。
(2)、若函数 f(z)uiv在区域 B上解析，则 u和v
必为B上的相互共轭调和函数。
10
3、构建解析函数：
ei(12) 12
两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加;
z z1 2 1 2[c o1 s(2)isin 1 (2)]
e 1 i(12 ) 2
两复数相除就是把模数相除, 辐角相减。
5
(3) 复数的乘方和开方
zn (ei)n
nein
( n为正整数的情况)
或 n(cn o sisinn )
解： arctgz11z2 dz
1
1z2
(1)kz2k,
k0
z
1
arctg
(1)k
z2k1c
k02k1
ar0 ct0g
c0
arctgz(1)k z2k1,z1 k02k1
1
(1)ktk,
t 1
1t k0
28
例 4 .把 f(z ) z 2 (z 1 i)在 圆 环 1 z i 展 成 幂 级 数 .
z id zk 0
z ik 0
3
( k2 )i 3 (k 3 )(z i)k,(1z i ) k
29
三、有限远孤立奇点分类及其类型判定
奇点名称 0 zz0 R的洛朗级数 可去奇点 不含负幂项
极限性质 limf(z)有 限 值
zz0
极点
含有限个负幂项
本性奇点 含无限个负幂项
lim f (z)
一 普遍公式
阶
f (z) P(z)
极
Q(z)
点 P(z0) 0,Q(z0) 0
Q(z0) 0
zl imz0[(zz0)f(z)]
P (z0) Q ( z 0 )
本性奇点
在0zz0 R展开f(z)得
Resf(z0)a1
33
极点阶数判定
法一 zl izm 0[(zz0)mf(z)]am非零的有限值
0
a k
k
k 1
k! 1
(k 1)!
lim k 1 , k
收敛域: z
25
二、把圆域或环域或某一点的邻域上解析函数展 成幂级数 间接展开法：根据解析函数泰勒级数和洛朗级数展 开的唯一性，一般可利用熟知的泰勒展开式，通过 变量变换，结合级数的四则运算、逐项求导和积 分、分解成最简分式等方法去展开 。
棣莫弗公式： (c o iss i)n n cn o s isn i n
nz1 n cos n 2kπisin n 2kπ
2k
i
n e n
( k 0 , 1 , 2 , , n 1 )
复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式 或指数式往往比代数式来得方便。
6
二、六种初等复变函数：
将上面第二式对 积分， 视作参数，有
uu dR()
sindR()
22
2sin2dR()
2cosR()
2
其中 R ( ) 为 的任意函数。
将上式两边对 求导，
u 1 cosR() 2 2
1 cos 2 2
16
u 1 cosR() 2 2
1 cos 2 2
R()0 R() C
收敛圆： z z0 R
收敛域：z z0 R
23
例1 求幂级数 k ( z i)k 的收敛圆. k0
解
ak k
R lim a k a k
k 1
lim k k k 1
1
收敛圆: z i 1
24
例2
幂级数 e z z k k0 k !
的收敛域。
1
解: R lim a k l i m
v 2x ( y)
y
(y)y
(y) 1 y2 C
2 v2xy1(y2x2)C
2 f (z)uivx2 y2 xyi[2xy1(y2 x2)]iC
2 (xiy)2 i 1(xiy)2 iC
2 z2 i 1z2 iC
2
v 2 y x, x v 2x y y
f(0)0 C 0
f (z) z2 i 1 z2
zl imz0[(zz0)n f(z)]
a
m
把极点阶数估计得过高 (n>m) n就是极点的阶数 (n=m) 把极点阶数估计得过低 (n<m)
解：f(z) 1 1 1 1 d (1)
z2(zi) zi z2 z i dz z
1 z
1 i (z
i)
1 z i 1
1
i
zi
1
( 1)k (
i
)k
z i k0
zi
( i ) 3 k ( z i ) k 1 k0
1
(1)ktk,
t 1
1t k0
f( z ) 1d [ ( i) 3 k ( z i) k 1 ] 1 ( i) 3 k ( k 1 ) ( z i) k 2
试卷类型：开卷 试卷题型：
一、填空题（每小题2分，共12分） 二、单项选择题（每小题3分，共12分） 三、名词解释（每小题4分，共8分） 四、证明题（每小题8分，共32分） 五、计算题（每小题12分，共36分）
1
数学物理方法
教 材：梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版]
第一篇 复变函数论 内 容
给出一个二元调和函数作为解析函数的实部 或虚部，通过C—R条件求出该解析函数的虚部或 实部，从而写出这个解析函数。
① 算偏导
③ 求积分
② u或v 的全微分
④ 表成 f ( z )
11
例 3：已知解析函数 f (z) 的实部u (x ,y ) x 2 y 2 x y ,f(0 ) 0 ， 求虚部和这个解析函数。
2
0
22
第三章 幂级数展开
一、收敛半径
ak ( z z0 )k a 0 a 1 ( z z 0 ) a 2 ( z z 0 ) 2 a k ( z z 0 ) k