数学物理方法期末复习提纲

z id zk 0
z ik 0
3
( k2 )i 3 (k 3 )(z i)k,(1z i ) k
29
三、有限远孤立奇点分类及其类型判定
奇点名称 0 zz0 R的洛朗级数 可去奇点 不含负幂项
极限性质 limf(z)有 限 值
zz0
极点
含有限个负幂项
本性奇点 含无限个负幂项
lim f (z)
解：f(z) 1 1 1 1 d (1)
z2(zi) zi z2 z i dz z
1 z
1 i (z
i)
1 z i 1
1
i
zi
1
( 1)k (
i
)k
z i k0
zi
( i ) 3 k ( z i ) k 1 k0
1
(1)ktk,
t 1
1t k0
f( z ) 1d [ ( i) 3 k ( z i) k 1 ] 1 ( i) 3 k ( k 1 ) ( z i) k 2
2
13
例4：已知解析函数 f (z)的虚部 v(x,y) x x2y2 ，
求实部 u(x, y)和这个解析函数 f (z) 。
提示：当给定的 u 或 v 中含有因子x2+y2，这种情
况下采用极坐标处理比较方便，即令 2 x2 y2。
解：
v cos 2 cos
(1cos)
2sin2
2
2 sin
一 普遍公式
阶
f (z) P(z)
极
Q(z)
点 P(z0) 0,Q(z0) 0
Q(z0) 0
zl imz0[(zz0)f(z)]
P (z0) Q ( z 0 )
本性奇点
在0zz0 R展开f(z)得
Resf(z0)a1
33
极点阶数判定
法一 zl izm 0[(zz0)mf(z)]am非零的有限值
0
给出一个二元调和函数作为解析函数的实部 或虚部，通过C—R条件求出该解析函数的虚部或 实部，从而写出这个解析函数。
① 算偏导
③ 求积分
② u或v 的全微分
④ 表成 f ( z )
11
例 3：已知解析函数 f (z) 的实部u (x ,y ) x 2 y 2 x y ,f(0 ) 0 ， 求虚部和这个解析函数。
a k
k
k 1
k! 1
(k 1)!
lim k 1 , k
收敛域: z
25
二、把圆域或环域或某一点的邻域上解析函数展 成幂级数 间接展开法：根据解析函数泰勒级数和洛朗级数展 开的唯一性，一般可利用熟知的泰勒展开式，通过 变量变换，结合级数的四则运算、逐项求导和积 分、分解成最简分式等方法去展开 。
u
直角坐标系：
x u
v y v
y x
2、解析函数性质
：
u
极坐标系：
1
v
1
u
v
(1)、若 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y )是解析函数，则uv0。
(2)、若函数 f(z)uiv在区域 B上解析，则 u和v
必为B上的相互共轭调和函数。
10
3、构建解析函数：
z 2 9
31
第四章 留数定理
一、留数定理：——P52
设函数 f(z)在回路 l 所围区域 B上除有限个孤
立奇点b1，b2，…，bn外解析，在闭区域 B 上除b1，
b2，…，bn外连续，则f(z)沿l正向积分 l f (z)dz 之值
等于f(z)在l所围区域内各奇点的留数和的2 i倍.
n
l
1. 幂函数 w zn 2 .指数函数 w ez
周期为2i，
3. 三角函数
eiz eiz
cห้องสมุดไป่ตู้s z
,
2
周期为2
sin z eiz eiz , 2i
7
4、双曲函数
shz ez ez 2
5、根式函数
chz ez ez 2
z ei
2k
i
wn e n
k 0 ,1 ,2 , (n 1 )
周期为2i
解： arctgz11z2 dz
1
1z2
(1)kz2k,
k0
z
1
arctg
(1)k
z2k1c
k02k1
ar0 ct0g
c0
arctgz(1)k z2k1,z1 k02k1
1
(1)ktk,
t 1
1t k0
28
例 4 .把 f(z ) z 2 (z 1 i)在 圆 环 1 z i 展 成 幂 级 数 .
共轭复数: zxiy z* x iy
3
2、复数的运算: 加、减、乘、除、乘方、开方 (1)、加法和减法
z1x1iy1 z2x2iy2
z 1 z 2 ( x 1 x 2 ) i( y 1 y 2 )
(2)、乘法和除法
z 1 z2 (x 1 i1 y )x ( 2 i2 y )
( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i( x 1 y 2 x 2 y 1 )
u 2cos C
2
f(z)2co sC i 2sin
2
2
2(c osisi n)C
22
1
2(cosisin)2C
1
2[(cosisin)]2C
2z C
17
第二章 复变函数积分
一、复变函数积分的性质： ——P23
二、计算复变函数回路积分
1、单通区域柯西定理：P24 2、复通区域柯西定理：P25
ei(12) 12
两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加;
z z1 2 1 2[c o1 s(2)isin 1 (2)]
e 1 i(12 ) 2
两复数相除就是把模数相除, 辐角相减。
5
(3) 复数的乘方和开方
zn (ei)n
nein
( n为正整数的情况)
或 n(cn o sisinn )
3、重要公式应用（P28）
l z1dz02i
(l不包围 ) (l包围 )
18
4、柯西公式
l zf (z)dz2if()
高阶导数的柯西公式
f(z)
2i
l(z)n1dzn!
f(n)()
19
当被积函数在积分区域内有奇点时的回路积 分，可利用柯西公式来计算,
(1)把被积函数写成 f ( z ) 的形式，f(z)在积 ( z )n1
6、对数函数
wlnzln z iArgz
A r ag z r 2 z g k k0,1,
8
例1：已知 z23i，则 z z 1 3
。
zz2x2y2 1 3
例2：复数ez 的模为 e x ，辐角为 y 2 k ,k 0 , 1 , 2 , .
ez exiy e x eiy
9
三、解析函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ) 1、柯西-黎曼方程
分区域上解析, 为积分区域内一点；
(2) 利用柯西公式
f(z) dz2i f(n)()
l(z)n1
n!
来计算积分.
20
sin( z)
例 1.
4 dz, 其 中 c:(x1)2y21
c z21
sin( z)
4 dz
I
c
z 1 z 1
sin z 2 i 4
z1
z 1
2i 2
y
o
1
2
x
21
解：
u2xy, ux2y
x
y
根据C-R条件，
vu2yx, vu2xy
x y
y x
v v x d x ( y ) ( 2 y x ) d x ( y ) 2 x y 1 2 x 2 ( y )
12
v v x d x ( y ) ( 2 y x ) d x ( y ) 2 x y 1 2 x 2 ( y )
将上面第二式对 积分， 视作参数，有
uu dR()
sindR()
22
2sin2dR()
2cosR()
2
其中 R ( ) 为 的任意函数。
将上式两边对 求导，
u 1 cosR() 2 2
1 cos 2 2
16
u 1 cosR() 2 2
1 cos 2 2
R()0 R() C
zz0
limf(z)无定值
zz0
30
几个名词的定义：孤立奇点，非孤立奇点，可去奇点， m阶极点，本性奇点
极限判定法来判定可去奇点，极点，本性奇点。
f(z )z 2 i的 极 点 为 :_ _ _ _ _ _ 0_ ,_ 2_ _ i _ _ _ _ _ _ _ .
z 5 4 z 3
f ( z ) e 1 / z的 极 点 为 : _ _ _ 3_ i_ , _ _ 3_ i_ _ _ _ _ ; 本 性 奇 点 为 : _ _ _ _ _ _ _ 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
棣莫弗公式： (c o iss i)n n cn o s isn i n
nz1 n cos n 2kπisin n 2kπ
2k
i
n e n
( k 0 , 1 , 2 , , n 1 )
复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式 或指数式往往比代数式来得方便。
6
二、六种初等复变函数：
f
(z)dz
2i
Re sf
j1
(bj )
注意: 左边的积分是沿l 的正向进行的；
右边的奇点是指l 所围区域内的，并非是f(z)所有的奇点。
32
二、计算留数 各孤立奇点留数的计算公式
奇点类型
Re sf (z0 )
可去奇点
0
m阶极点
(m11)!zl im z0 ddzm m 11[(zz0)mf(z)]
v 2x ( y)
y
(y)y
(y) 1 y2 C
2 v2xy1(y2x2)C
2 f (z)uivx2 y2 xyi[2xy1(y2 x2)]iC
2 (xiy)2 i 1(xiy)2 iC
2 z2 i 1z2 iC
2
v 2 y x, x v 2x y y
f(0)0 C 0
f (z) z2 i 1 z2
试卷类型：开卷 试卷题型：
一、填空题（每小题2分，共12分） 二、单项选择题（每小题3分，共12分） 三、名词解释（每小题4分，共8分） 四、证明题（每小题8分，共32分） 五、计算题（每小题12分，共36分）
1
数学物理方法
教 材：梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版]
第一篇 复变函数论 内 容
26
常见函数的泰勒展开式:
1) e z z k k0 k !
2)
1
zk
1 z k0
3)
1
(1)k zk
1z k0
(z ) (z 1) (z 1)
4)sinz (1)k
z2k1
k0
(2k1)!
(z )
5)cosz (1)k
z2k
k0
(2k)!
(z )
27
例 3 .把 f ( z ) a r c t g z 在 z 0 0 邻 域 展 成 泰 勒 级 数 .
收敛圆： z z0 R
收敛域：z z0 R
23
例1 求幂级数 k ( z i)k 的收敛圆. k0
解
ak k
R lim a k a k
k 1
lim k k k 1
1
收敛圆: z i 1
24
例2
幂级数 e z z k k0 k !
的收敛域。
1
解: R lim a k l i m
z1 z2
z1
z
* 2
z2
z
* 2
(x1 iy1)(x2 iy2) x22 y22
x1x2y1y2ix2y1x1y2
x2 2y2 2
x2 2y2 2
4
(2)、乘法和除法
z11(cos1isin1)1ei1 z22(cos2isin2)2ei2
z 1 z 2 12 [ c o s (1 2 ) is i n (1 2 ) ]
2
14
v 2 sin
2
v 2sin112 1 sin
22
2 2
v
2cos1
22
cos
22
u
1
v
1
u
v
u 1 v 1
cos
22
1 cos 2 2
u v
1
sin
sin
2 2
22
15
u
1
cos
2 2
u sin 2 2
例2．下列积分不为零的是 ( C )。
1
A.
dz
z0.5 z
1
C.
dz
z z0.5
1
B. z0.5 z2 dz D. z z211dz
l z1dz02i
(l不包围) (l包围)
1 1( 1 1 ) z21 2 z1 z1
z
1
z2
dz 1
1( 2
1 dz z z1
1 dz)
z z1
1(2i 2i)
zl imz0[(zz0)n f(z)]
a
m
把极点阶数估计得过高 (n>m) n就是极点的阶数 (n=m) 把极点阶数估计得过低 (n<m)
第二篇 数学物理方程
2
第一章 复变函数
一、复数
1、复数的定义
zxiy ——代数式
z(coissin ) ——三角式
z ei ——指数式
*复数三种表示式之间的转换
实部：xRez 虚部：yImz
模： z x2y2
主辐角：argz
arct(gy) x
0arzg2,
辐角：Ar g azrzg 2k(k0 , 1 , 2 , )
2
0
22
第三章 幂级数展开
一、收敛半径
ak ( z z0 )k a 0 a 1 ( z z 0 ) a 2 ( z z 0 ) 2 a k ( z z 0 ) k
k 0
方法1：比值判别法 R lim ak
a k k 1
方法2 ：根值判别法 R lim 1
a k k k