西南大学18秋[0346]《初等数论》作业答案

18秋福师《初等数论》在线作业一标准答案

福师《初等数论》在线作业一-0005试卷总分:100 得分:0一、单选题 (共 25 道试题,共 50 分)1.题见下图A.AB.BC.CD.D正确答案:A2.。

A.AB.BC.CD.D正确答案:B3.不定方程a^2+b^2=c^2+d^2的互素正整数解组个数是（）A.0B.1C.有限D.无穷正确答案:D4.。

A.AB.BC.CD.D5.题见图片A.AB.BC.CD.D正确答案:B6.同余方程x^7+3x^6+3x^5+x+2&equiv;0(mod 5)的解的个数是（）A.1B.2C.3D.4正确答案:C7.题见图片A.AB.BC.CD.D正确答案:B8.题见图片A.AB.BC.CD.D9.。

A.AB.BC.CD.D正确答案:D10.题见图片A.AB.BC.CD.D正确答案:B11.10^1000的缩剩余系与完全剩余系中元素个数之比是（）A.1/5B.1/2C.2/5D.4/5正确答案:C12.。

A.AB.BC.CD.D正确答案:B13.被3除余1，被5除余4，被11除余5的最小正整数一定处于（）的区间A.[10,20]B.[20,30]C.[30,40]D.[40,50]正确答案:D14.题见图片A.AB.BC.CD.D正确答案:A15.。

A.AB.BC.CD.D正确答案:B16.100!最高能被45的（）次幂整除A.20B.23C.24D.48正确答案:C17.p为素数是2^(2^p)+1为素数的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件正确答案:B18.题见图片A.AB.BC.CD.D正确答案:C19.整数p,q互素，则p+q一定与（）互素A.p-qB.p*qC.p^2+q^2D.p!+q!正确答案:B20.题见图片A.AB.BC.CD.D正确答案:C21.题见图片A.AB.BC.CD.D正确答案:A22.题见图片A.AB.BC.CD.D正确答案:D23.题见图片A.AB.BC.CD.D正确答案:C24.9x+11y=100的正整数解的个数是（）A.0B.1C.2D.无穷正确答案:B25.a,b大于1且互素，则不定方程ax-by=ab的正整数解的个数是（）A.0B.1C.2D.无穷正确答案:D二、判断题 (共 25 道试题,共 50 分)1.题面见图片A.错误B.正确正确答案:B2.题见图片A.错误B.正确正确答案:B3.题见图片A.错误B.正确正确答案:B4.题面见图片A.错误B.正确正确答案:B5.题见图片A.错误B.正确正确答案:A6.题见下图A.错误B.正确正确答案:A7.题面见图片A.错误B.正确正确答案:A8.题见图片A.错误B.正确正确答案:B9.题见图片A.错误B.正确正确答案:B10.题面见图片A.错误B.正确正确答案:B11.题见图片A.错误B.正确正确答案:B12.题见下图A.错误B.正确正确答案:A13.题面见图片A.错误B.正确正确答案:B14.题见图片A.错误B.正确正确答案:A15.题面见图片A.错误B.正确正确答案:B16.题面见图片A.错误B.正确正确答案:B17.题见图片A.错误B.正确正确答案:A18.题见图片A.错误B.正确正确答案:B19.题见图片A.错误B.正确正确答案:B20.题见下图A.错误B.正确正确答案:A21.题见下图A.错误B.正确正确答案:B22.题面见图片A.错误B.正确正确答案:B23.题见下图A.错误B.正确正确答案:B24.题见图片A.错误B.正确正确答案:B25.题见图片A.错误B.正确正确答案:A。

西南大学18秋[0346]《初等数论》作业答案

概念解释题一、简答题1. 判断30是质数还是合数，如果是合数，请给出其标准分解式。

2. 94536是否是9的倍数，为什么？3. 写出模6的最小非负完全剩余系。

4. 叙述质数的概念，并写出小于18的所有质数。

5. 叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。

6. 2358是否是3的倍数，为什么？二、给出不定方程ax + by = c有整数解的充要条件并加以证明。

三、给出有关同余的一条性质并加以证明。

四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。

作业1答案一、简答题（每小题10分，共30分）1. 判断30是质数还是合数，如果是合数，请给出其标准分解式。

=⨯⨯。

答：30是合数，其标准分解式为302352. 94536是否是9的倍数，为什么？++++=是9的倍数。

答：94536是9的倍数，因为94536273. 写出模6的最小非负完全剩余系。

答：模6的最小非负完全剩余系为0，1，2，3，4，5。

4. 叙述质数的概念，并写出小于18的所有质数。

答：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数。

小于18的所有质数是2,3,5,7,11,13，17。

5. 叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。

答：0，1，2，…，m-1称为m的最小非负完全剩余系。

6. 2358是否是3的倍数，为什么？答：2358是3的倍数。

因为一个整数能被3整除的充要条件是它的各个位数的数字之和为3的倍数，而2+3+5+8=18，18是3的倍数，所以2358是3的倍数。

二、给出不定方程ax + by = c 有整数解的充要条件并加以证明。

解：结论：二元一次不定方程ax + by = c 有整数解的充要条件是(,)|a b c 。

证明如下：若ax + by = c 有整数解，设为00,x y ，则00ax by c += 但(,)|a b a ，(,)|a b b ，因而(,)|a b c ，必要性得证。

反之，若(,)|a b c ，则1(,)c c a b =，1c 为整数。

初等数论试卷和答案

初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，则().A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果(),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),(B ),(b a c C c a D a b a ),(6、整数5874192能被()整除.A3B3与9C9D3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为().4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者().5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的().6、如果b a ,是两个正整数,则存在()整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数.（8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者(与p 互素).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果b a ,是两个正整数,则存在(唯一)整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?（8分）解[136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17221136⨯]=[1768,391]------------(4分) =173911768⨯=104⨯391=40664.------------（4分）2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；----------------------------（2分）化简得4873=+y x ；-------------------（1分）考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，-------------------（2分）所以原方程的特解为48,96=-=y x ，-------------------（1分）因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

初等数论试卷和答案

初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136⨯]=[1768,391]------------(4分) = 173911768⨯=104⨯391=40664. ------------（4分）2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解； ----------------------------（2分）化简得4873=+y x ； -------------------（1分）考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------（2分）所以原方程的特解为48,96=-=y x ， -------------------（1分）因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

0346初等数论

三、解：因为125 = 53，50 = 252，
所以125与50的最大公因数是52，即25。
四、解：因为(1,9) = 1，所以不定方程有整数解。
显然x = 1，y = 0是其一个特解，
所以不定方程的一切整数解为，其中t取一切整数。
五、证明：若m或n为3的倍数，则mn是3的倍数；若m是3的倍数加1，n是3的倍数加1，则m-n是3的倍数；若m是3的倍数加1，n是3的倍数加2，则m+n是3的倍数；若m是3的倍数加2，n是3的倍数加1，则m+n是3的倍数；若m是3的倍数加2，n是3的倍数加2，则m-n是3的倍数，结论成立。
三、（15分）求125与50的最大公因数。
四、（15分）求不定方程x+9y=1的一切整数解。
五、（10分）设m,n为整数，证明m+n,m-n与mn中一定有一个是3的倍数。
一、解释概念
1.答：若a，b是两个整数，其中b>0，则存在两个整数q及r，使得
a=bq+r， 0<=r<b 成立，而且q及r是唯一的，q叫做a被b除所得的不完全商。学与应用数学2017年06月
课程名称【编号】：初等数论【0346】 A卷
大作业满分：100 分
一、解释下列概念（每小题15分，共30分）
1.叙述整数a被b除的不完全商的概念。
2.叙述整数a，b对模m同余的概念。
二、（30分）给出有关整除的一条性质并加以证明。
2.答：如果用m去除任意两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a与b对模m同余，记为a≡b（mod m）。
二、答：若a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数。即：若b| a，c| b，则 c|a。
证：由b|a，c|b及整除的定义知存在整数q1,q2 使得a=bq1,b=cq2。因此a=(cq2)q1=c(q1q2)，但q1q2是一个整数，故c|a。

初等数论答案01

第一章整除理论整除性理论是初等数论的基础。

本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。

第一节数的整除性定义1设a，b是整数，b≠ 0，如果存在整数c，使得a = bc成立，则称a被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数c使得a = bc成立，则称a不被b 整除，记为b|/a。

显然每个非零整数a都有约数±1，±a，称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。

被2整除的整数称为偶数，不被2整除的整数称为奇数。

定理1下面的结论成立：(ⅰ) a∣b⇔±a∣±b；(ⅱ) a∣b，b∣c⇒a∣c；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, , k⇒b∣a1x1+a2x2+ +a k x k，此处x i（i = 1, 2, , k）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒ |b| ≤ |a|；b∣a且|a| < |b| ⇒a = 0。

证明留作习题。

定义2若整数a≠ 0，±1，并且只有约数±1和±a，则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。

以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。

定理2任何大于1的整数a都至少有一个素约数。

证明若a是素数，则定理是显然的。

若a 不是素数，那么它有两个以上的正的非平凡约数，设它们是d 1, d 2, , d k 。

不妨设d 1是其中最小的。

若d 1不是素数，则存在e 1 > 1，e 2 > 1，使得d 1 = e 1e 2，因此，e 1和e 2也是a 的正的非平凡约数。

这与d 1的最小性矛盾。

所以d 1是素数。

证毕。

推论任何大于1的合数a 必有一个不超过a 的素约数。

证明使用定理2中的记号，有a = d 1d 2，其中d 1 > 1是最小的素约数，所以d 12 ≤ a 。

(0346)《初等数论》网上作业题及答案

（0346）《初等数论》网上作业题及答案1：第一次作业2：第二次作业3：第三次作业4：第四次作业5：第五次作业1：[论述题]数论第一次作业参考答案：数论第一次作业答案2：[单选题]如果a|b，b|c，则（）。

A：a=cB：a=-cC：a|cD：c|a参考答案：C马克思主义哲学是我们时代的思想智慧。

作为时代的思想智慧，马克思主义哲学主要具有反思功能、概括功能、批判功能和预测功能。

（1）“反思”是哲学思维的基本特征，是以思想的本身为内容，力求思想自觉其为思想。

通过不断的反思，揭示自己时代的本质和规律，达到对事物本质和规律性的认识。

（2）概括是马克思主义哲学的重要功能，是马克思主义哲学把握人与世界总体性关系的基本思维方式。

（3）马克思主义哲学的批判功能主要是指对现存世界的积极否定。

（4）马克思主义哲学的预测功能在于预见现存世界的发展趋势。

3：[单选题]360与200的最大公约数是（）。

A：10B：20C：30D：40参考答案：D数论第一次作业答案4：[单选题]如果a|b，b|a ，则（）。

A：a=bB：a=-bC：a=b或a=-bD：a，b的关系无法确定参考答案：C数论第一次作业答案5：[单选题]-4除-39的余数是（）。

A：3B：2C：1D：0参考答案：C数论第一次作业答案6：[单选题]设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。

A：整除B：不整除C：等于D：小于参考答案：A数论第一次作业答案7：[单选题]整数6的正约数的个数是（）。

A：1B：2C：3D：4参考答案：D数论第一次作业答案8：[单选题]如果5|n ，7|n，则35（）n 。

A：不整除B：等于C：不一定D：整除参考答案：D数论第一次作业答案1：[论述题]数论第二次作业参考答案：数论第二次作业答案2：[单选题]288与158的最大公约数是（）。

A：2B：4C：6D：8参考答案：A数论第二次作业答案3：[单选题]-337被4除余数是（）。

《初等数论》习题解答

《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。

2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。

第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。

2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。

3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。

4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。

5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。

第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。

3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。

5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。

6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。

第 4 节1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。

4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。

5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。

初等数论试卷,最全面的答案,包括截图

初等数论考试试卷一、单项选择题：（1分/题×20题=20分）1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A )Ａ．[][]1x x x ≤<+；Ｂ．[][]1x x x <≤+；Ｃ．[][]1x x x ≤≤+；Ｄ．[][]1x x x <<+．2．下列命题中不正确的是( B )Ａ．整数12,,,n a a a L 的公因数中最大的称为最大公因数；Ｂ．整数12,,,n a a a L 的公倍数中最小的称为最小公倍数【有最小的吗】Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d=-=+=±±L Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d=+=-=±±L Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d=+=-=±±L Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d=-=-=±±L 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13；Ｂ．7，24，25；Ｃ．3，4，5；Ｄ．8，16，175．下列推导中不正确的是( D )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡6．模10的一个简化剩余系是( D )Ａ．0,1,2,,9;L Ｂ．1,2,3,,10;LＣ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9.7．()mod a b m ≡的充分必要条件是( A ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +8．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( C ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4;Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解．9、设f(x)=10n n a x a x a +++K K 其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( ? )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/K K 设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（） A ．有时大于p 但不大于n; B ．不超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( D )A ．3B ．11C ．13D ．2312．若雅可比符号1a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 ( C ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( A )A ． 4B ． 3C ． 2D ． 114．模12的所有可能的指数为：( A )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定15．若模m 的原根存在，下列数中，m 不可能等于：( D )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 1216．对于模5，下列式子成立的是 ( B )A ．322ind =B ． 323ind =C ． 350ind =D ． 3331025ind ind ind =+17．下列函数中不是可乘函数的是： ( C )A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ;B ．欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18．若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则a χ对模m 的指数是( B )A ．aB ．bC ．abD ．无法确定19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( A )A ．()()f a g a 为可乘函数；B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( B )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ=二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ _____21____；22．多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=L ，其中1a ，2a ，…，n a ，N均为整数，2≥n ，有整数解的充分必要条件是_（1a ，2a ，…，n a ，）︱N_；23．有理数a b，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_（10，b ）=1__；24．设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为； 25．威尔生（wilson ）定理：____()1p -！+1()0mod ,p p ≡为素数______；26．勒让德符号5031013⎛⎫ ⎪⎝⎭=___1___；27．若)(,1a p =，则a 是模p 欧拉判别条件)；28．在模m 的简化剩余系中，原根的个数是___()()m φφ__；29．设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_g 与g+a p 中的奇数_；30． ()48ϕ=___16___。

西南大学2020秋季 [0346]《初等数论》考试答案

西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷学期：2020年秋季
课程名称【编号】：初等数论【0346】 A卷
考试类别:大作业满分：100分
1.解：整除的定义：
设a, b是任意两个整数,其中b不为零,若存在一个整数q使得a=bq,我们就说b 整除a,记为bla.这时b叫a的因数, a叫b的倍数.若这样的q不存在，则说b 不整除a.
6整除24.
8不整除42.
3.解：欧拉函数()a
ϕ是定义在正整数上的函数，它在正整数a上的值等于序列0,1,2，…，a-1中与a互质的数的个数。

(5)
ϕ=4
(6)
ϕ=2.
4.解：220=2²×5×11。

6.解如下图
8.解：素数除了1和自己就没有其他约数了.4m-1或4m+1,其中4m-1看成4m+3,即一切奇素数都可以表示成4m+3或4m+1的形式.因为,一切奇素数不可以写成4m的形式（约数4）,但也不能写成4m+2(约数2）.所以一切奇素数都可以表示成4m-1或4m+1的形式，即41
m±.
- 1 -。

初等数论练习题答案（优选.）

初等数论练习题答案（优选.）初等数论练习题答案原点教育培训学校初等数论练习题⼀⼀、填空题1、d(2420)=12; ?(2420)=_880_2、设a,n 是⼤于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最⼩完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.4、同余⽅程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定⽅程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。

.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。

7、18100被172除的余数是_256。

8、??? ??10365 =-1。

9、若p 是素数，则同余⽅程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为 p-1 。

⼆、计算题1、解同余⽅程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。

解：因105 = 3?5?7，同余⽅程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)，同余⽅程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)，同余⽅程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)，故原同余⽅程有4解。

作同余⽅程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，由孙⼦定理得原同余⽅程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。

2、判断同余⽅程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解：故同余⽅程x 2≡42(mod 107)有解。

初等数论试卷和答案

初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，则().A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果(),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),(B ),(b a c C c a D a b a ),(6、整数5874192能被()整除.A3B3与9C9D3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为().4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者().5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的().6、如果b a ,是两个正整数,则存在()整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数.（8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者(与p 互素).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果b a ,是两个正整数,则存在(唯一)整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?（8分）解[136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17221136⨯]=[1768,391]------------(4分) =173911768⨯=104⨯391=40664.------------（4分）2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；----------------------------（2分）化简得4873=+y x ；-------------------（1分）考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，-------------------（2分）所以原方程的特解为48,96=-=y x ，-------------------（1分）因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

(0346)《初等数论》复习思考题 (1)

（0346）《初等数论》复习思考题1．一个不等于1的自然数，分别去除967，1000，2001得到相同的余数。

试求这个自然数。

2．求证：不可能存在两个质数p 1，p 2，使得p 1 + p 2 = 111…1(20位数)。

3．如果p 和p + 2都是大于3的质数，求证6 | p + 1。

4．设m , n 为整数，求证m +n , m -n 与mn 中一定有一个是3的倍数。

5．证明：两个奇数的平方差是8的倍数。

6．已知p 为偶数，q 为奇数。

方程组⎩⎨⎧=+=-q y x p y x 39918的解是整数，那么（）。

A. x 是奇数，y 是偶数 B. x 是偶数，y 是奇数C. x 是偶数，y 是偶数D. x 是奇数，y 是奇数7．求1980的标准分解式。

8．求792与594的最大公因数。

9．求2001！中末尾0的个数。

10．求不定方程10x -7y =17的一切整数解。

11．求不定方程15x +10y +6z =61的一切整数解。

12．袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是 43，问：小明最多摸出标有数字2的球多少个？13．下列结论是否成立。

A. 若a 2≡b 2(mod m )，则a ≡b (mod m )。

B. 若a 2≡b 2(mod m )，则a ≡b (mod m )或a ≡-b (mod m )至少有一个成立。

C. 若a ≡b (mod m )，则a 2≡b 2(mod m )。

D. 若a ≡b (mod 2)，则a 2≡b 2(mod 22)。

E. 若ac ≡bc (mod m )，c 关于模m 不同余于0，则a ≡b (mod m )。

F. 若a ≡b (mod 3)，k ≥2，则a k ≡b k (mod 3)。

14．若n 为为然数，求证9n +1≡8n +9(mod 64)。

15．写出模9的一个完全剩余系。

16．写出模8的一个简化剩余系。

《初等数论》各章习题参考解答

《初等数论》各章习题参考解答第一章习题参考解答1.解:因为25的最小倍数是100,9的最小倍数是，所以满足条件的最小正整数11111111100a =。

2.解：3在100!的分解式中的指数()1001001001003100!33113148392781⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，在100!的分解式中的指数()1001001001001002100!50251261942481664⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴ ()9448474847100!2343123,,61k k k k =⋅⋅=⋅⋅=⋅=。

故 max 47n =，min 3M k =，(),61k =。

故当M 最小值是3的倍数，但不是2的倍数。

3.解：112121n n n n x x ++++++等价于()()21221n n n x x x ++-+-，从而3x ³（n 就不会太大，存在反向关系）。

由()()22121n nn x x x -+-?+，得()()2212n n n x x -+?，即()()()121122nn x x -+?。

若2n ³，则()()()()251221114242nn x xx x-?+??，导致25140x x -+?，无解。

所以，只有1n =，335314x x x +-?，只能是37,14x +=，从而4,11x =。

综上所述，所求正整数对()()(),4,111,1x n =、。

4.解：按题意，2m n >>，记*,m n k k N =+?；则()222211111n n k nk n k k a a a a a a a a a a a a +++-+-?-+--++-22211111n k k n k k a a a a a a a a a ++?---+?-+-，故存在无穷多个正整数a 满足2111n k k a a a a ++-+-。

初等数论作业答案

初等数论1：[单选题]已知361a是一个4位数（其中a是个位数），它能被5整除，也能被3整除，则a的值是（）。

A：0B：2C：5D：9参考答案：C2：[单选题]下面的（）是模4的一个简化剩余系。

A：4,17B：1,15C：3,23D：13,6参考答案：B3：[单选题]小于20的正素数的个数是（）。

A：11B：10C：9D：8参考答案：D 4：[单选题]下面的数是3的倍数的数是（）。

A：19B：119C：1119D：11119参考答案：C5：[单选题]-4除-39的余数是（）。

A：3B：2C：1D：0参考答案：C6：[单选题]一个正整数n的各位上的数字是0或1，并且n能被2和3整除，则最小的n 是（）。

A：1110B：1101C：1011D：1001参考答案：A7：[单选题][[4.5]+[3.7]]等于（）。

A：3B：4C：7D：8参考答案：C8：[单选题]{{1.8}+{2.9}}等于（）。

A：0.4B：0.5C：0.6D：0.7参考答案：D 9：[单选题]100与44的最小公倍数是（）。

A：4400B：2200C：1100D：440参考答案：C10：[单选题]使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。

A：6B：2C：3D：13参考答案：A11：[单选题]设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。

A：0B：1C：2D：3参考答案：A12：[单选题]下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。

A：x=0,y=3B：x=2,y=1C：x=4,y=2D：x=2,y=2参考答案：D13：[单选题]下面的（）是模4的一个完全剩余系。

A：9，17，-5，-1B：25，27，13，-1C：0，1，6，7D：1，-1，2，-2参考答案：C14：[单选题]下面的（）是模12的一个简化剩余系。

A：0，1，5，11B：25，27，13，-1C：1，5，7，11D：1，-1，2，-2参考答案：C15：[单选题]若a，b均为偶数，则a + b为（）。

《初等数论》复习思考题答案

（0346）《初等数论》复习思考题答案1．一个不等于1的自然数，分别去除967，1000，2001得到相同的余数。

试求这个自然数。

解：设这个自然数为q ，则q | 1000 – 967，即q | 33。

又q | 2001 – 1000，即q | 1001，所以 q = 11。

2．求证：不可能存在两个质数p 1，p 2，使得p 1 + p 2 = 111…1(20位数)。

证明：由于p 1与p 2的和为奇数，故p 1与p 2中有一个为2，设p 2 = 2，则110101*********-++++= p 。

因为10 ≡ 1(mod 9)，所以p 1 ≡ 19 – 1 ≡ 0 (mod 9)，即p 1不是质数，矛盾。

3．如果p 和p + 2都是大于3的质数，求证6 | p + 1。

证明：首先p 是大于3的质数，则p 不是3的倍数。

又p + 2是大于3的质数，所以p – 1不是3的倍数。

故p + 1 必为3的倍数。

但p + 1 为偶数，所以p + 1 为2的倍数。

由于2与3互质，所以p + 1 为6的倍数，于是6 | p + 1。

4．设m , n 为整数，求证m +n , m -n 与mn 中一定有一个是3的倍数。

证明：若m 或n 为3的倍数，则mn 是3的倍数；若m 是3的倍数加1，n 是3的倍数加1，则m -n 是3的倍数；若m 是3的倍数加1，n 是3的倍数加2，则m +n 是3的倍数；若m 是3的倍数加2，n 是3的倍数加1，则m +n 是3的倍数；若m 是3的倍数加2，n 是3的倍数加2，则m -n 是3的倍数，结论成立。

5．证明：两个奇数的平方差是8的倍数。

证明：若a =2k +1为奇数，则a 2-1=4k (k +1)，因2|k (k +1)，所以8| a 2-1。

于是当a , b 均为奇数时，由8| a 2-1与8| b 2-1得8|a 2-b 2。

即两个奇数的平方差是8的倍数。

西南大学线性代数作业答案

第一次行列式部分的填空题1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。

2．排列45312的逆序数为 5 。

3．行列式25112214---x中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10232543--中元素-2的代数余子式是 —11 。

5．行列式25112214--x 中，x 的代数余子式是 —5 。

6．计算00000d c ba = 0行列式部分计算题 1．计算三阶行列式381141102--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—42．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。

3．(7分)已知0010413≠x x x，求x 的值．解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。

解：()211110100011111111-=--==λλλλλD由D=0 得 λ=15．用克莱姆法则求下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为331132104217117021042191170189042135113215421231312≠-=⨯-⨯=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算：811110212942311-=-=D 1081103229543112-==D1351013291531213=-=D因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：x=27，y=36，z=—45第二次线性方程组部分填空题1．设齐次线性方程组A x =0的系数阵A 的秩为r ，当r= n 时，则A x =0 只有零解；当A x =0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r .2．设η1，η2为方程组A x =b 的两个解，则 η1－η2或η2－η1 是其导出方程组的解。

西南大学线性代数作业答案

第一次行列式部分的填空题1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。

2．排列45312的逆序数为 5 。

3．行列式25112214---x中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10232543--中元素-2的代数余子式是 —11 。

5．行列式25112214--x 中，x 的代数余子式是 —5 。

6．计算00000d c ba = 0行列式部分计算题 1．计算三阶行列式381141102--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—42．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。

3．(7分)已知0010413≠x x x，求x 的值．解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。

解：()211110100011111111-=--==λλλλλD由D=0 得 λ=15．用克莱姆法则求下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为331132104217117021042191170189042135113215421231312≠-=⨯-⨯=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算：811110212942311-=-=D 1081103229543112-==D1351013291531213=-=D因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：x=27，y=36，z=—45第二次线性方程组部分填空题1．设齐次线性方程组A x =0的系数阵A 的秩为r ，当r= n 时，则A x =0 只有零解；当A x =0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r .2．设η1，η2为方程组A x =b 的两个解，则 η1－η2或η2－η1 是其导出方程组的解。