西南大学18秋[0346]《初等数论》作业答案

概念解释题

一、简答题

1. 判断30是质数还是合数，如果是合数，请给出其标准分解式。

2. 94536是否是9的倍数，为什么？

3. 写出模6的最小非负完全剩余系。

4. 叙述质数的概念，并写出小于18的所有质数。

5. 叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。

6. 2358是否是3的倍数，为什么？

二、给出不定方程ax + by = c有整数解的充要条件并加以证明。

三、给出有关同余的一条性质并加以证明。

四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。

作业1答案

一、简答题（每小题10分，共30分）

1. 判断30是质数还是合数，如果是合数，请给出其标准分解式。

=⨯⨯。

答：30是合数，其标准分解式为30235

2. 94536是否是9的倍数，为什么？

++++=是9的倍数。

答：94536是9的倍数，因为9453627

3. 写出模6的最小非负完全剩余系。

答：模6的最小非负完全剩余系为0，1，2，3，4，5。

4. 叙述质数的概念，并写出小于18的所有质数。

答：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数。

小于18的所有质数是2,3,5,7,11,13，17。

5. 叙述模m的最小非负完全剩余系的概念。

答：0，1，2，…，m-1称为m的最小非负完全剩余系。

6. 2358是否是3的倍数，为什么？

答：2358是3的倍数。

因为一个整数能被3整除的充要条件是它的各个位数的数字之和为3的倍数，而2+3+5+8=18，18是3的倍数，所以2358是3的倍数。

二、给出不定方程ax + by = c 有整数解的充要条件并加以证明。

解： 结论：二元一次不定方程ax + by = c 有整数解的充要条件是(,)|a b c 。 证明如下：

若ax + by = c 有整数解，设为00,x y ，则

00ax by c += 但(,)|a b a ，(,)|a b b ，因而(,)|a b c ，必要性得证。

反之，若(,)|a b c ，则1(,)c c a b =，1c 为整数。由最大公因数的性质，存在两个整数s ，t 满足下列等式

(,)as bt a b +=

于是111()()(,)a sc b tc c a b c +==。

令0101x sc tc ==，y ，则00ax by c +=，故00,x y 为ax + by = c 的整数解，从而ax + by = c 有整数解。

三、给出有关同余的一条性质并加以证明。

答：同余的一条性质：整数a ，b 对模m 同余的充要条件是m ｜a -b ，即a =b +mt ，t 是整数。

证明如下： 设11r mq a +=，22r mq b +=，10r ≤，m r <2。若a ≡b （mod m ），

则21r r =，因此)(21q q m b a -=-，即m ｜a －b 。

反之，若m ｜a －b ，则)()(|2121r r q q m m -+-，因此21|r r m -，但

m r r <-21，故21r r =，即a ≡b （mod m ）。

四、叙述带余数除法定理的内容并给出证明。

答：若a ，b 是两个整数，其中b >0，则存在两个整数q 及r ，使得

a =bq +r ，

b r <≤0

成立，而且q 及r 是唯一的。

下面给出证明：

证作整数序列

…，－3b ，－2b ，－b ，0，b ，2b ，3b ，…

则a 必在上述序列的某两项之间，及存在一个整数q 使得qb ≤a <(q +1)b 成立。令a －qb ＝r ，则r 为整数，且a ＝qb ＋r ，而b r <≤0。