数字信号处理 第一章

围线积分路径
1 证： 2j
1 n 1 X ( z ) z dz c 2j


c
m
m n 1 x ( m ) z z dz

1 ( n m ) 1 x ( m) z dz c 2j m
设积分路径C在半径为R的圆上，即 z=Rejθ ， Rx-〈R〈Rx+，则
n
z变换的收敛域

因为对于实数序列，
n



x ( n) z n
n
n
x ( n) z

n
x ( n) z

n

因此，|z| 值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为 Rx-〈|z|〈Rx+ 这就是收敛域，一个以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，Rx-和 Rx+称为收敛半径，Rx-和Rx+的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特 殊情况为Rx-等于0，Rx+为无穷大，这时圆环变成圆或空心圆。

Rx- Ry-〈1，
Rx+Ry+〉1
1 X ( v ) Y * ( 1 / v *) v dv c
其中，C 所在收敛域为 X(v) 和 Y*(1/V*) 两者收敛区域的重迭部分
Max[ Rx- , 1/Ry+] < |v| <min[ Rx+ , 1/Ry -]
证：令 w（n）=x（n）y*（n） 利用复共轭和复卷积特性(p21表1.3，第7和第10)：
Z变换小结
• Z 变换收敛域的特点： 1） 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点 ，有时可向外扩展到 ∞ ，只有 x （ n ） =δ （ n ）的 收敛域是整个 z 平面。 2） 在收敛域内没有极点，X（z）在收敛域内每 一点上都是解析函数。 • Z 变换表示法： 级数形式 解析表达式（注意:只表示收敛域上的函数，要 同时注明收敛域）
X ( z)
x ( n) z
n 0

n
单边z变换只在少数情况下与双边z变换有所区别，即序列的起始条件不同 ，可以把单边z变换看成是双边z变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z 变换。
一般，序列的Z变换 x ( n) z 并不一定对任何z值都收敛，z平面上 n 使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。我们知道，级数一致收敛的条件是 绝对值可和，因此z平面的收敛域应满足
1 2j
z
c
k 1
1 k 1 j ( k 1) j dz R e j Re d c 2j Rk 2

e


jk
这个公式称为柯西积分定理。 因此 或
1 d 0
wk.baidu.com
k 0 k 0
,k m n
1 ( n m ) 1 x ( m ) z dz x(n) c 2j m
0 z n1 0 0 | z | n 2 0
例1
序列x（n）=δ（n）
X ( z)
n
( n) z

n
1 z 0 1
由于n1=n2=0，其收敛域为整个闭域 z 平面，0≤|Z|≤∞， 例2 矩形序列x（n）=RN（n）
X ( z)
X ( z)
n n1
x ( n) z

n
收敛域：|z|〉Rx- ，为收敛半径Rx-以 外的z平面
右边序列中最重要的一种序列是 “因果序列” ，即n1 ≥ 0的右边序列，因果序列只在n≥0有值，n<0时， x(n)=0，其z变换为：
X ( z ) x ( n) z n
n 0
数字序列的IDTFT变换定义
1 x ( n) 2



X (e j )e jn d
DTFT 中的级数求和不一定总是收敛的，若x(n) 绝对可和，则该级 数绝对收敛(充分条件)。 另外,平方可和序列的DTFT也存在,要强调的是平方可和序列不一定 满足绝对可和的条件。
值得指出：
（1）由于
n2
X（z）是有限项的级数和，只要级数每一项有界，有限项和也有界，所以有 限长序列z变换的收敛域取决于|z|-n〈∞，n1≤n≤n2。 显然 |z| 在整个开域（0，∞）都能满足以上条件，因此有限长序列的收 敛域是除 0 及∞ 两个点（对应n<0和n>0不收敛）以外的整个 z 平面： 0〈|z|〈∞ 如果对n1，n2加以一定的限制，如n1≥0或n2≤0，则根据条件|z|-n〈∞（n1≤n≤n2 ），收敛域可进一步扩大为包括0点或∞点的半开域：
第一章 离散时间信号与系统
• • • • 离散时间信号 离散信号的傅氏变换与Z变换 离散时间系统 系统的频率响应及其系统函数
1.1 离散时间信号
序列是时间上不连续的一串样本值的集合{x(n)}
{x(n)} {1, 3, 2, 5, 4, 1, 5}
（１）单位脉冲序列
1, ( n) 0, n0 n0
1 n 1 X ( z ) z dz x(n) 2j c
c ( Rx , Rx )
直接计算围线积分比较麻烦，一般不采 用此法求 z 反变换，求解逆 z 变换的常用 方法有：
l 幂级数 l 留数定律法 l 部分分式法
常用序列z变换（可直接使用）
z u ( n) z 1 1 z N R N ( n) 1 1 z z n a u ( n) za
n
c n z n
n 0

z c
1 z c
若 c 1 ，则存在公共的收敛区域
1 cz X ( z) 1 1 cz 1 cz
1 c z c
若 c 1 ，则无公共的收敛区域，此时的 x(n)向两边发散。
1.2.3 逆z变换
已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列x(n)的变换称为逆z变换，常用 Z-1[x(z)]表示。 若

4、序列的能量
平方可和序列 绝对可和序列 有界序列
S
n
x ( n)

2
n

x ( n)
2
n
x ( n)
x ( n) B x

5、实序列的偶部和奇部
x ( n) x e ( n) x o ( n)
1 xe (n) [ x(n) x(n)] 2
1 xo (n) [ x(n) x(n)] 2
6、序列的单位脉冲序列表示
x ( n)
m
x(m) (n m)

1.2 离散信号的DTFT与z变换
1.2.1 离散信号的DTFT变换
离散信号（数字序列）的DTFT定义
X ( e j )
n
jn x ( n ) e
j
n
x ( n )e

jn
1.2.6 Parseval定理——z变换的重要性质之一
若有两序列 x（n），y（n），且
X（z）=Z[ x（n）] Y（z）=Z[ y（n）]
它们的收敛域满足条件：
Rx-〈|z|〈 Rx+ Ry-〈|z|〈 Ry+
则
1 x ( n) y * ( n) 2j n
n


R N ( n) z
n
z n 1 z 1 z 2 1 z ( N 1)
n 0
N 1
等比级数求和
1 zN X ( z) ,0 | z | 1 1 z
b 右边序列 指 x（n）只在n≥n1，有值，而n〈n1时， x（n）=0
jIm[z] Rx0 Rx+ Re[z]
z变换的收敛域
这里主要讨论以下四种序列： a 有限长序列
x(n) n1 n n 2 x ( n) 序列 其它n (序列x(n)只在有限长度n1~n2 内有值，其余为零) 0
其Z变换
X ( z)
n n1
n x ( n ) z
n
其中z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面为z平面。
常用Z[x(n)]表示对序列x(n)的 z 变换，即
Z [ x(n)]
n
n x ( n ) z

这种变换也称为双边 z 变换，与此相应还有单边 z 变换，单边 z 变换只是 对单边序列（n>=0部分）进行变换的z变换，其定义为
（２）单位阶跃序列
1, u ( n) 0, n0 n0
（３）矩形序列
1, RN ( n ) 0, 0 n N 1 n 0, n N
x ( n) a u ( n)
（４）实指数序列 n
（５）正弦序列
• x(n) = sin（nω0）
1
0
n
（５）复指数序列
由于假设条件中已规定收敛域满足： Rx-Ry-〈1〈Rx+Ry+ 因此， |z|=1 在收敛域内，即w（z）在单位圆上收敛，w（z）|z=1存在，
X ( z)
n
x ( n) z
c
n
Rx | z | Rx
则逆z变换为：
1 x ( n) 2j
n 1 X ( z ) z dz
c ( Rx , Rx )
逆z变换是一个对X（z）zn-1进行的围线积分，积分路径C是一条在X（z） 收敛环域（Rx-，Rx+）以内反时针方向绕原点一周的单围线。
例求 x( n) c 解
n
的 z 变换。
X ( z)
1 X 1 ( z) c z 1 1 cz n 0 1 cz n n X 2 ( z) c z 1 cz n
n n
n
x ( n) z

n

n
c z
n
1
1 | z | 0 | z | | a || z |
1.2.4 z变换的性质 z 变换的许多重要性质在数字信号处 理中常常要用到。见表1.2
1.2.5 z变换与DTFT的关系
X ( z ) z e j
n
jn x ( n ) e

X (e )
x(n) (re
当
j0
) r (cos0 n j sin 0 n)
n n
r 1 时x(n)的实部和虚部
分别是余弦和正弦序列。
本课程主要讨论实离散信号
x(n) = (0.65 + j0.5)nu(n).
序列的运算
1、序列的相加 z(n)=x(n)+y(n)
2、序列的相乘 f(n)=x(n) y(n) 3、序列的移位 y(n)=x(n-n0)

收敛域：
Rx - | z |
Z 变换的收敛域包括 ∞ 点是因果序列的特征。
c 左边序列 序列 x（n）只在n≤n2有值， n >n2时，x（n）=0
X ( z)
n n x ( n ) z n2
收敛域： |Z|<Rx+ 在收敛半径为Rx+的圆内
，
d 双边序列 可看作一个左边序列和一个右边序列之和，因此 双边序列 z 变换的收敛域是这两个序列 z 变换收敛域 的公共部分。
X ( z)
n
x ( n) z

n

n
n x ( n ) z
n1
n n1 1
n x ( n ) z

通常如果Rx+〉Rx-，则存在公共的收敛区间，X(z)有 收敛域: Rx-〈|z|〈Rx+ 如Rx+〈Rx-，无公共收敛区间，X(z)无收敛域，不收敛 .
e
j
e
j ( 2 )
，所以 X (e )是以2π为周期的周期函数。
j
（2）DTFT
X ( e j )
正是周期函数 X (e
j
n
jn x ( n ) e

)的傅里叶级数展开，而x(n)是傅里叶级数的系数。
DTFT的一些主要性质见表1.1。
1.2.2 、 z变换 在连续时间信号与系统的理论中，拉氏变换可以看作是傅氏变换的一般 化形式。同样，将离散时间信号的DTFT一般化也是可能的，其结果就是z变 换。它是分析离散系统和离散信号的重要工具。 一个离散序列 x（n）的Z变换定义为 X ( z ) x ( n) z n
Z [ x * (n)] X * ( z*)
1 1 Z [ x(n) y (n)] X ( v ) Y ( z / v ) v dv Rx Ry | z | Rx R y c 2j * * * 1 则 W ( z ) Z [ w(n)] 1 X ( v ) Y ( z / v ) v dv c 2j