数字信号课程设计讲解

课程设计任务书学生姓名：专业班级：电信1203班指导教师：工作单位：题目:离散时间信号与系统的频域分析及其编程实现初始条件：1.Matlab6.5以上版本软件；2.课程设计辅导资料：“Matlab语言基础及使用入门”、“数字信号处理原理与实现”、“Matlab及在电子信息课程中的应用”等；3.先修课程：信号与系统、数字信号处理、Matlab应用实践及信号处理类课程等。

要求完成的主要任务：（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1.课程设计时间：1周（课内实践）；2.课程设计内容：离散时间信号与系统的频域分析及其编程实现，具体包括：离散时间信号的傅里叶变换、离散傅里叶变换、系统的幅频和相频特性等；3.本课程设计统一技术要求：研读辅导资料对应章节，对选定的设计题目进行理论分析，针对具体设计部分的原理分析、建模、必要的推导和可行性分析，画出程序设计框图，编写程序代码（含注释），上机调试运行程序，记录实验结果（含计算结果和图表），并对实验结果进行分析和总结；4.课程设计说明书按学校“课程设计工作规范”中的“统一书写格式”撰写，具体包括：①目录；②与设计题目相关的理论分析、归纳和总结；③与设计内容相关的原理分析、建模、推导、可行性分析；④程序设计框图、程序代码（含注释）、程序运行结果和图表、实验结果分析和总结；⑤课程设计的心得体会（至少500字）；⑥参考文献；⑦其它必要内容等。

指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日目录1.课程设计内容及要求 (1)2.课程设计原理............................................错误！未定义书签。

2.1离散时间信号的傅里叶变换...............................错误！未定义书签。

2.1.1离散时间信号的傅里叶变换概念 (1)2.1.2离散时间信号的傅里叶变换性质 (2)2.2离散傅里叶变换 (3)2.2.1离散傅里叶变换概念 (3)2.2.2离散傅里叶变换性质 (3)2.3逆离散傅里叶变换......................................错误！未定义书签。

2.3.1逆离散傅里叶变换概念 (3)3.程序源代码及仿真效果 (5)3.1题目一 (5)3.2题目二 (6)3.3题目三 (11)4.心得体会 (14)5.参考文献 (15)摘要此次数字信号处理课程设计是利用MATLAB进行分析和处理。

对离散时间信号进行频域分析，要对其进行傅里叶变换，通过得到的频谱函数进行分析。

离散时间傅里叶变换(DTFT)是傅立叶变换的一种。

它将以离散时间n T（其中n∈T，T为采样间隔）作为变量的函数（离散时间信号）f(n T)变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱F(exp（i w）)，其频谱是连续周期的。

离散傅里叶变换（DFT）是对离散周期信号的一种傅里叶变换，对于长度为有限长信号，则相当于对其周期延拓进行变换。

在频域上，DFT的离散谱是对DTFT连续谱的等间隔采样。

DTFT是对任意序列的傅里叶分析，它的频谱是一个连续函数；而DFT是把有限长序列作为周期序列的一个周期，对有限长序列的傅里叶分析，DFT的特点是无论在时域还是频域都是有限长序列。

关键字：MATLAB；时域；离散傅里叶变换；频域1.课程设计内容及要求内容：离散时间信号与系统的频域分析及其编程实现，具体包括：离散时间信号的傅里叶变换、离散傅里叶变换、系统的幅频和相频特性等。

要求：研读辅导资料对应章节，对选定的设计题目进行理论分析，针对具体设计部分的原理分析、建模、必要的推导和可行性分析，画出程序设计框图，编写程序代码（含注释），上机调试运行程序，记录实验结果（含计算结果和图表），并对实验结果进行分析和总结。

题目：1.已知序列xn=[1 1 1 1 ],试用MA TLAB编写程序，计算该序列的离散付里叶变换及逆离散付里叶变换。

2.取一个周期的正弦信号，作8点采样，求它的连续频谱。

然后对该信号进行N个周期延拓，再求它的连续频谱。

把N无限增大，比较分析其结果。

3.一个三阶滤波器由以下的差分方程描述：y(n)= 0.0211x(n)+ 0.0443x(n-1)+ 0.044x(n-2)+0.0181x(n-3)+1.76y(n-1)- 1.272y(n-2)+ 0.3181y(n-3)画出此滤波器的副值和相位响应并说明它是一个什么样的滤波器。

2.课程设计原理2.1离散时间信号的傅里叶变换2.1.1离散时间信号的傅里叶变换概念离散时间傅里叶变换（英语：Discrete-time Fourier Transform，简称：DTFT）是傅里叶变换的一种。

它将以离散时间n T（其中，T为采样间隔）作为变量的函数（离散时间信号）x（n）=f（n T）变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱X(exp（j w）)，值得注意的是这一频谱是周期的。

正变换：X（exp（ωj)）=∑+∞∞=--n)exp(][x njnω反变换：2.1.2 离散时间信号的傅里叶变换性质DTFT也有很多与CTFT类似的性质，当然也有某些明显的差别。

下面对这些性质进行简单阐述及必要证明。

通过对DTFT性质的讨论，目的在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。

周期性：(k为整数)线性性：DTFT为线性变换，因此有时间反转：因此有：共轭对称性：因此有：卷积特性：即：2.2离散傅里叶变换2.2.1离散傅里叶变换概念离散傅里叶变换（DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。

在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。

即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。

在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。

离散时间傅里叶变换（DTFT）是在时域上对连续傅里叶变换的采样。

DFT则是在频域上对DTFT的均匀采样。

2.2.2离散傅里叶变换性质1.线性性质如果X1（n）和X2(N)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2，且Y(N)=AX1(N)+BX2(N)式中A,B为常数，取N=max[N1,N2]，则Y(N）地N点DFT为Y(K)=DFT[Y(N)]=AX1(K)+BX2(K), 0≤K≤N-1;2.循环移位特性设X(N)为有限长序列，长度为N，则X(N)地循环移位定义为Y(N)=X((N+M))下标nR（N），式中表明将X(N）以N为周期进行周期拓延得到新序列X'(N)=X((N))下标n，再将X'(N）左移M位，最后取主值序列得到循环移位序列Y(N)。

2.3逆离散傅里叶变换2.3.1逆离散傅里叶变换概念离散傅里叶逆变换的FFT算法也被称为IFFT算法。

设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为：∑-===1)()]([)(N n knN W n x n x DFT k X 10-≤≤N k （式2.3.1）X(k)的离散傅里叶逆变换为：∑-=-==10)(1)]([)(N k knN W k X N k X IDFT n x 10-≤≤N n （式2.3.2）我们发现，把DFT 计算公式的旋转因子的幂取负号；每个输出取N 1；)(n x 变成)(k X ，就得到IDFT 的计算公式。

这就是说把FFT 算法经过上述改造就变成了相应的IFFT 算法。

例如，计算一个8=N 的频域抽取基2IFFT 算法。

结果如图2-1所示。

图2-1 频域抽取8点基2IFFT 蝶形图从公式2.3.2出发，经过变换，我们可以得到一些有意的启示。

∑-=-==10)(1)]([)(N k knN W k X N k X IDFT n x**==])]([[)()]([n x n x k X IDFT∑-=-=10)(1N k kn N W k X N ∑-=**-=10]])([1[N k knN W k X N ∑-=**=10])(1[N k knN W k X N **=)]}([{1k X DFT N（式2.3.3） 公式2.3.3说明，IDFT 可以通过两次取共轭、再乘以N1的方法，从对DFT的计算中继承下来。

对于计算IFFT ，我们首先对输入的每个)(k X 取共轭作为输入，用一个已经编写好的计算DFT 的FFT 计算程序进行计算，再对于每个输出取共轭同时乘以N1的方法得到结果。

计算过程如图2-2所示。

N1)(k X )(n x 图2-2 用FFT 计算IFFT 的过程这种计算方法虽然比直接编写IFFT 算法多了两次取共轭、再乘以N1三个步骤，但是考虑到主要的计算量在FFT 部分完成、总体计算量增加得不多。

最重要的是它实现了算法的继承与复用，实践了软件工程的思想，具有重大的理论价值和应用价值。

3.程序源代码及仿真效果3.1题目一已知序列xn=[1 1 1 1 ],试用MATLAB 编写程序，计算该序列的离散付里叶变换及逆离散付里叶变换。

程序代码： xn=[1,1,1,1]; N=length(xn); n=0:N-1; subplot(2,2,1); stem(n,xn); title('x(n)'); k=0:N-1;Xk=fft(xn,N); %计算Xk subplot(2,1,2); stem(k,abs(Xk)); title('Xk=DFT(xn)'); xn1=ifft(Xk,N); %计算xn subplot(2,2,2); stem(n,xn1);title('x(n)=IDFT(Xk)'); 仿真效果图：取共轭 FFT 取共轭图3-1序列离散傅里叶变换和反变换结果分析：时域时xn={1,1,1,1},经过计算频域X(K)={4,0,0,0}，仿真效果图上可以很明显的看出，即序列xn经过傅里叶变换得到频域X(K)。

频域时X(K)={4，0，0，0}经过计算可得时域序列为xn={1，1，1，1}，仿真效果图上很明显的看出，即频域X（K）进过离散傅里叶反变换得到序列xn。

仿真正确。

3.2题目二取一个周期的正弦信号，作8点采样，求它的连续频谱。

然后对该信号进行N个周期延拓，再求它的连续频谱。

把N无限增大，比较分析其结果。

程序代码：1个周期k=8;n1=[0:1:7];xn1=sin(2*pi*n1/k); %抽样信号subplot(2,2,1);stem(n1,xn1,'.');xlabel('t/T');ylabel('x(n)'); %坐标名xk1=fft(xn1);xk1=abs(xk1);subplot(2,2,2);stem(n1,xk1);xlabel('k');ylabel('x(k)');仿真效果图：图3-2 N=1 2个周期k=8;n1=[0:1:15];xn1=sin(2*pi*n1/k);subplot(2,2,1);stem(n1,xn1,'.');xlabel('t/T');ylabel('x(n)');xk1=fft(xn1);xk1=abs(xk1);subplot(2,2,2);stem(n1,xk1);xlabel('k');ylabel('x(k)');仿真效果图：图3-3 N=2 10个周期k=8;n1=[0:1:79];xn1=sin(2*pi*n1/k);subplot(2,2,1);stem(n1,xn1,'.');xlabel('t/T');ylabel('x(n)');xk1=fft(xn1);xk1=abs(xk1);subplot(2,2,2);xlabel('k');ylabel('x(k)');仿真效果图：图3-4 N=1020个周期k=8;n1=[0:1:159];xn1=sin(2*pi*n1/k);subplot(2,2,1);stem(n1,xn1,'.');xlabel('t/T');ylabel('x(n)');xk1=fft(xn1);xk1=abs(xk1);subplot(2,2,2);xlabel('k');ylabel('x(k)');仿真效果图：图3-5 N=20 100个周期k=8;n1=[0:1:799];xn1=sin(2*pi*n1/k);subplot(2,2,1);stem(n1,xn1,'.');xlabel('t/T');ylabel('x(n)');xk1=fft(xn1);xk1=abs(xk1);subplot(2,2,2);xlabel('k');ylabel('x(k)');仿真效果图：图3-6 N=100结果分析：本题取一个周期的正弦信号，作8点采样，仿真求它的连续频谱。