相关系数的性质的几种证明方法
相关性分析的五种方法
相关性分析的五种⽅法相关分析（Analysis of Correlation）是⽹站分析中经常使⽤的分析⽅法之⼀。
通过对不同特征或数据间的关系进⾏分析，发现业务运营中的关键影响及驱动因素。
并对业务的发展进⾏预测。
本篇⽂章将介绍5种常⽤的分析⽅法。
在开始介绍相关分析之前，需要特别说明的是相关关系不等于因果关系。
相关分析的⽅法很多，初级的⽅法可以快速发现数据之间的关系，如正相关，负相关或不相关。
中级的⽅法可以对数据间关系的强弱进⾏度量，如完全相关，不完全相关等。
⾼级的⽅法可以将数据间的关系转化为模型，并通过模型对未来的业务发展进⾏预测。
下⾯我们以⼀组⼴告的成本数据和曝光量数据对每⼀种相关分析⽅法进⾏介绍。
以下是每⽇⼴告曝光量和费⽤成本的数据，每⼀⾏代表⼀天中的花费和获得的⼴告曝光数量。
凭经验判断，这两组数据间应该存在联系，但仅通过这两组数据我们⽆法证明这种关系真实存在，也⽆法对这种关系的强度进⾏度量。
因此我们希望通过相关分析来找出这两组数据之间的关系，并对这种关系进度度量。
1，图表相关分析（折线图及散点图）第⼀种相关分析⽅法是将数据进⾏可视化处理，简单的说就是绘制图表。
单纯从数据的⾓度很难发现其中的趋势和联系，⽽将数据点绘制成图表后趋势和联系就会变的清晰起来。
对于有明显时间维度的数据，我们选择使⽤折线图。
为了更清晰的对⽐这两组数据的变化和趋势，我们使⽤双坐标轴折线图，其中主坐标轴⽤来绘制⼴告曝光量数据，次坐标轴⽤来绘制费⽤成本的数据。
通过折线图可以发现，费⽤成本和⼴告曝光量两组数据的变化和趋势⼤致相同，从整体的⼤趋势来看，费⽤成本和⼴告曝光量两组数据都呈现增长趋势。
从规律性来看费⽤成本和⼴告曝光量数据每次的最低点都出现在同⼀天。
从细节来看，两组数据的短期趋势的变化也基本⼀致。
经过以上这些对⽐，我们可以说⼴告曝光量和费⽤成本之间有⼀些相关关系，但这种⽅法在整个分析过程和解释上过于复杂，如果换成复杂⼀点的数据或者相关度较低的数据就会出现很多问题。
协方差及相关系数
所以X与Y不独立.
1/8 0 1/8 2/8 1/8 1/8 1/8 3/8 3/8 2/8 3/8 1
若(X,Y) ~ N(1,2 ,12, 22,)，即(X,Y)概率密度函数为
f
( x,
y)
1
2 1 2
1
2
exp{
1
2(1 2 ) [(
x 1 1
)2
2( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 ]}
(1) 求 Z 的数学期望和方差. (2) 求 X 与 Z 的相关系数.
解 (1)由E( X ) 1, D( X ) 9, E(Y ) 0, D(Y ) 16.
得 E(Z ) E( X Y ) 1 E( X ) 1 E(Y )
32 3
2
1. 3
D(Z ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y )
注：若Y aX b, 则 a<0时,ρXY=-1
例2 (X,Y)的联合分布为:
求相关系数ρXY,并判断X, Y是否相关,是否独立.
解：
E( X ) xi pi 0
i
E(Y ) y j p. j 0
j
X Y -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8
3
1
2
( z5)2
e 18 ,
z
契比雪夫不等式
定理 设随机变量 X 具有数学期望 E(X ) μ,
方差 D( X ) σ2,则对于任意正数ε, 不等式
P{
X
μ
ε}
σ2 ε2
成立.
证明 取连续型随机变量的情况来证明. 设 X 的概率密度为 f ( x),则有
随机变量的相关系数和相关性
3
18
O
1
x
E(XY )
xy f ( x, y)dxdy
1
dx
3x
2xy dy
5
，
0
2x
4
Cov( X , Y ) E( XY ) E( X ) E(Y ) 5 ，
36
XY
Cov( X ,Y )
5
0.9449 .
D( X )D(Y ) 2 7
i
j
E( X 2 )
x
2 i
pi
•
3.1，
i
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 3.1 1.12 1.89，
E(Y 2 )
y
2 j
p •
j
0.4，D(Y ) 0.24 ,
j
E(XY )
xi y j pij
ij
0 0.2 (1) 0.1 0 0.4 2 0.3 0.5， 7
D( X ) b
b b
1 1
b0 b0
14
例3 已 知X与Y分 别服 从 正态 分 布N (1,32 )和N (0,42 ),
(1) 若 XY 0,求( X ,Y )的联合密度；
(2) 若 XY
1,Z 2
X 3
Y 2
,求E(Z ),D(Z )和 XZ .
解 (1) 由 XY 0，知X与Y相互独立，
证 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov ( X , Y )
2 2 XY 0，
第14讲 协方差与相关系数
X 和 Y 独立时 X 和 Y 不相关， 反之不一定成立。 但对下述情形，独立与不相关是一回事： 若(X, Y )服从二维正态分布，则
X 与Y 独立的充分必要条件是X与Y不相关。 参见P70-例3.6.3： X与Y独立 XY=0
练习2 1) X ~ U (0,1), Y X 2 , 求 XY
2 1 x2 1 2 dy = 1 x -1 x 1 1 x2 f X ( x) 0, 其他 1 2 E( X ) x 1 x2 d y 0
1
E ( XY )
1
x 2 y 2 1 1 1
( xy/ ) dxdy
期望、方差、协方差的性质对比
期望
E(c)=C E(aX)=aE(X), E(X+Y) =E(X)+E(Y) 当X与Y独立时 E(XY)=E(X)E(Y)
方差
D(c)=0 D(aX)=a2D(X),
协方差
Cov(c,X)=0
Cov(aX,bY) =abCov(X,Y) D(X+Y)=D(X)+ Cov(X+Y,Z) D(Y)+2Cov(X,Y) =Cov(X,Z) +Cov(Y,Z)
y 1
1 y 2 1 y 2
xdx dy
1 0 dy 0.
所以，Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 . 此外，Var(X) > 0, Var(Y) > 0 . 所以，XY = 0，即 X 与 Y 不相关。 但是，在第三章已计算过: X与Y不独立。
第十四讲 协方差与相关系数
前面我们介绍了随机变量的数学期望 和方差，对于多维随机变量，反映分量之 间关系的数字特征中，最重要的，就是本 讲要讨论的 协方差和相关系数
协方差与相关系数
其余均方误差
e
D(Y
)(1
2 XY
).
从这个侧面也
能说明 XY 越接近1，e 越小. 反之， XY 越近于0，
e 就越大， Y与X的 线性相关性越小.
完
例3 设 ( X ,Y ) 的分布律为
X
Y
2 1 1 2 P{Y yi }
1
0 1/4 1/4 0
1/ 2
4
1/4 0 0 1/4 1/2
D(Y
)[1
2 XY
],
D(Y
)1
[cov( X ,Y )]2 D( X )D(Y )
D(Y
)[1
2 XY
],
由于方差
D(Y
)
是正的，
故必有
1
2 XY
0,
所以
XY 1.
性质2. 若 X 和 Y 相互独立，则 XY 0;
注意到此时 cov( X ,Y ) 0, 易见结论成立.
注： X 与Y 相互独立
完
例4 设 服从 [ , ] 上的均匀分布, 且
X sin , Y cos
判断 X 与 Y 是否不相关, 是否独立.
解
由于
E( X )
1
2
sind 0,
E(Y
)
1
2
cosd 0,
而
E(
XY
)
1
2
sin cosd 0.
2
因此
E( XY ) E( X )E(Y ),
从而 X 与 Y 不相关. 但由于 X 与 Y 满足关系:
完
例2 设连续型随机变量 ( X ,Y ) 的密度函数为
f
(
x,
关于协方差、相关系数与相关性的关系
在实际中，人们为什么总是用（线性）相关系数 XY ，而不是用协方差 CovX ,Y 来判断两个随机变量
X 与Y 的线性相关程度呢？关于这个问题，只要我们注意 CovX ,Y EX EX Y EY 与
XY
CovX DX
,Y DY
的单位，就不难发现：
XY
是一个无量纲的量，用它来描述
X
于是 XY 是一个可以用来表征 X ，Y 之间线性关系紧密程度的量，当 XY 较大时，我们通常说 X ，Y
线性相关的程度较好；当 XY 较小时，我们通常说 X ，Y 线性相关的程度较差；当 XY 0 时，称 X ，
Y 不相关（实际上，按照严格的线性相关的定义，只有在 XY 1时，X 与Y 才是线性相关的， XY 1
概率论与数理统计
关于协方差、相关系数与相关性的关系
前言
z
y x
（概率论与数理统计(茆诗松)，Page 147）
高等学校教科书中，关于协方差、相关系数的概念，都是直接给出定义，再由定义导出几个基本
性质，然后是一些关于相关系数的计算或相关性的判断，至于定义这两个量的根据是什么，为什么它
们就是衡量随机变量 X ，Y 的线性相关程度的两把尺子？代数学与概率论中两个变量存在线性关系的
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Reproduction Forbidden
时二者是线性无关的，不过为了研究 XY 的不同取值下， X ，Y 的关系，我们分为严格线性相关和线 性相关（一定程度）来讨论。）（注意：这里指的是线性不相关，但它们还会存在其他的相关关系，否 则如果什么关系都不存在，那就是 X ，Y 相互独立的情况了。）
线性相关分析
二、秩相关（等级相关）
秩相关的适用条件及基本概念 秩相关系数 秩相关系数的显著性检验 进行秩相关分析的注意事项
1、秩相关的适用条件及基本概念
适用条件: 资料不服从双变量正态分布 总体分布型未知，一端或两端是不确定数值
秩相关是分析X与Y两变量等级间是否相关的
（如＜10岁，≥65岁）的资料； 原始数据用等级表示的资料
样误差的问题，故要推断总体中两变量间有 无线性相关关系，须做假设检验
数，k为有相同秩次的组数
TX = ∑ ( t i3 − t i ) / 12 ，ti 为第 i 组相同秩次的个
常用的方法有两种： 1.n≤50,直接查附表14，得到P值 2.
n>50用假设检验法，计算检验统计量，公 式为
1.将X、Y分别从小到大编秩，若观察值相
同，则取平均秩次。 2.差数d 3.算d2 4.带入公式计算
rs = 1 − n( n − 1)
2
6∑ d 2
= 1−
6 × 12.5 = 0.85 8(82 − 1)
秩相关系数为负，说明两变量间有负相关关系， 同样由样本算得的秩相关系数是否有统计学意 义，也应做检验
本章内容：
相关分析
南方医科大学生物统计学系
线性相关 秩相关
一、线性相关
线性相关的基本概念 线性相关系数 相关系数的显著性检验 进行线性相关分析的注意事项
1、线性相关的基本概念
线性相关(linear
correlation)又称简单相关 (simple correlation)，用于双变量正态分布 (bivariate normal distribution)资料。
6∑ d 2
相关系数的性质
(x，y)
G G;
E(U) = 0 x P(X < Y} +1 x P(X >其Y它} = 3/4 = E(U2)
2
23 9 3
D(U) = E (U2) - [ E (U )]2 =---=一，
4 16 16
1
1
同理 E(V)= 2，〃(V)=4，
UV的分布律为
《 〔0,
UV = u，
X 2Y; = V X > 2Y.
1 故 E (UV)2=coEv((UV,)=-,
V) E (UV) 一 E (U) E (V)
1 3 x 1 [T
2 - 4 x 2 = Q "T1ZT"T V16 4
证明："n”必要性
p=-1时由1)有
**
D(X*+ Y* ) = 0, E(X + Y ) = 0.
由方差的性质4)得
P {X * + Y *= E (X * + Y *)} = 1,
即 P{X* + Y* = 0} = 1,或者
______
P JY X +
I 4DX
4DX
E (X) + E (Y )> = 1.
!。, X《Y；
U = v= 丄 X > Y.
〔X < 0, 2Y; |1, X > 2Y.
^PUV .
厶垢 _ _ COV(U ,V)
分析 PUV _ / /
y
_ E(UV) - E(U)E(V) 一 0(U)0V
G
O
x
关键是^E(UV)
＞可先求出UV分布律.
解由已知可得
随机变量的相关系数和相关性解析
E(Y 2 ) y 2 D(Y ) 0.24 , j p j 0.4 ，
j
E( XY ) xi y j pij
0 0.2 (1) 0.1 0 0.4 2 0.3 0.5 ，
i
j
7
E( X ) x pi 3.1 ，
2 2 i i
E( X ) xi pi 1.1 ， E(Y ) y j p j 0.4 ，
i
j
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 3.1 1.12 1.89，
D(Y ) 0.24 , E(Y 2 ) y 2 j p j 0.4 ，
8
例2 设(X,Y )的联合密度函数为
y
3
y 3x
y 2x
2 , 0 x 1, 2 x y 3 x f ( x, y) , else 0 ,
求协方差 Cov( X , Y )及相关系数 XY .
2
O
1
x
解 先求出边缘密度，
f X ( x)
2 x , 0 x 1 , f ( x, y) dy 0 , else
( b 0)
2
E(Y ) a bE( X ) , D(Y ) b D( X ) , E( XY ) E[ X (a bX )] aE( X ) bE( X 2 ) ,
C ov (X,Y ) E( XY ) E( X ) E(Y ) D( X ) D(Y ) D( X ) D(Y )
aE( X ) bE( X ) E( X )[ a bE( X )]
2
XY
相关系数
相关系数相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。
于是，著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数(Correlation coefficient)。
相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。
如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。
资料个人收集整理，勿做商业用途1、定义相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。
由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式。
资料个人收集整理，勿做商业用途相关系数公式简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数，一般用字母r 表示，用来度量两个变量间的线性关系。
复相关系数：又叫多重相关系数。
复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。
例如，某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。
资料个人收集整理，勿做商业用途典型相关系数：是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。
资料个人收集整理，勿做商业用途2、性质(1)定理：| ρXY | = 1的充要条件是，存在常数a，b，使得P{Y=a+bX}=1；相关系数ρXY取值在-1到1之间，ρXY = 0时，称X,Y不相关；| ρXY | = 1时，称X,Y完全相关，此时，X,Y之间具有线性函数关系；| ρXY | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，ρXY的绝对值越大，X的变动引起Y的变动就越大，| ρXY | > 0.8时称为高度相关，当| ρXY | < 0.3时称为低度相关，其它时候为中度相关。
概率论与数理统计协方差和相关系数
X -1 0 1
pk 3/8 2/8 3/8
Y -1 0 1
pk 3/8 2/8 3/8
E( X ) (1) 3 0 2 1 3 0 同理 E(Y ) 0
8
8
8
1
②说明E(：XY虽)然 Cov(Xx,iYy)=j p0i，j 但1
i,i1
P{ X
1P{ X0 8 0}
10,Y101} P{8Y 0} 8
=相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.
=
2021/4/4
8
8
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
数
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、
字
心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时
伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 特 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 征 有全身不适症状，如-全身肌肉酸
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2021/4/4
3
3
§3 协方差和相关系数 Covariance and
correlation coefficient
2021/4/4
4
一、协方差
1、定对于义向: 量设X(和X,YY，)是期一望随和机方向差量只，反称映E{了[X变-E(量X)各][Y自-E(的Y)情]} 况，没有
相互之间的关系。 若X、Y相互独立, E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0， 因此为EX{[与X-YE的(X)协][Y方-E差(Y,)记]} 作在C一ov定（程X，度Y上）反，映即了X与Y之间的关系，称为X 与Y的协方差。 Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
② 若 E X E( X ) k 存在，则称之为X的 k阶中心矩
相关系数研究综述_徐维超
珔 ） ] [ ∑ （ X － X珔） ∑ （ Y － Y
i i =1 i =1 n △
，（ 1 ）
rS （ Xi ， Yi ） = 1 －
n △ n
6 ∑ （ Pi － Qi ）
i =1
第 29 卷 第 3 期 2012 年 9 月
广东工业大学学报 Journal of Guangdong University of Technology
Vol． 29 No． 3 September 2012
doi： 10． 3969 / j． issn． 1007-7162． 2012． 03． 002
系 数 （ Order Statistics Correlation Coefficient， OSCC ） ［13-15］． 研究表明［15］， 在二元高斯分布下： （ 1 ） GC 和 OSCC 均为母体相关系数的渐近无偏估计； （ 2 ）
∑［X （ i） － X （ n －i +1） ］Y（ i）
n △
（ 2 ） 底层数据的测量值已知， 并满足二元高斯 数据产生畸 分布． 但是由于传感器的非线性特性， 从而偏离高斯分布 变，
［7 ］
rP （ Xi ， Yi ） =
（ Xi ∑ i =1
n i
珔 珔 －X ） （ Yi － Y ）
n 2 2
1 2
．
（ 3 ） 数据测量值已知， 并且大部分数据满足二 元高斯分 布． 但 是 存 在 极 少 量 方 差 巨 大 的 异 常 值 （ 脉冲噪声） ［8-10］． 在这些情况下，PPMCC 的性能会急剧恶化， 从 而产生误导性结论． 与此相反， 虽然 SR 和 KT 运算 量高于 PPMCC ， 并且在样本满足二元高斯分布时， SR 和 KT 的渐近相对效率（ Asymptotic Relative Efficiency，ARE ） 最多只能达到 PPMCC 的 91% 在单调非线性变换下性能保持不变 声稳健 用． 为了克服上述 3 种经典相关系数的缺点并综合 近年来提出了两种新型的相关系数 ， 分别是 其优点，
相关系数
相关系数相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。
于是，著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数(Correlation coefficient)。
相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。
相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。
依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。
如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。
1、定义相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。
由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式。
相关系数公式简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数，一般用字母r 表示，用来度量两个变量间的线性关系。
复相关系数：又叫多重相关系数。
复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。
例如，某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。
典型相关系数：是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。
2、性质(1)定理：| ρXY | = 1的充要条件是，存在常数a，b，使得P{Y=a+bX}=1；相关系数ρXY取值在-1到1之间，ρXY = 0时，称X,Y不相关；| ρXY | = 1时，称X,Y完全相关，此时，X,Y之间具有线性函数关系；| ρXY | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，ρXY的绝对值越大，X的变动引起Y的变动就越大，| ρXY | > 0.8时称为高度相关，当| ρXY | < 0.3时称为低度相关，其它时候为中度相关。
协方差和相关系数的计算
XY 0
X，Y 不相关
cov( X ,Y ) 0
E( XY ) E( X )E(Y )
D( X Y ) D( X ) D(Y )
X，Y 相互独立
X，Y 不相关．
若 X，Y 服从二维正态分布，X，Y 相互独立
X，Y 不相关．
第十四页，共23页。
在例1中已知 X ，Y 的联合分布为
pij X 1 Y
1
p
0
0
0 0 < p <1
0 p+q=1
q
E( X ) p, E(Y ) p, D( X ) pq, D(Y ) pq,
E( XY ) p, D( XY ) pq,
cov( X ,Y ) pq, XY 1
X X p ,Y Y p , P(X Y ) 1
pq
pq
第十五页，共23页。
4ixjij12n则称由bij组成的矩阵为随机变量x1xn的协方差矩阵b即以前讲过的n维正态分布的形式中就有协方差矩阵332协方差矩阵显然biidxii12nbikbkiik12n故协方差矩阵b是对称矩阵由柯西许瓦兹不等式有如果我们记则有因此b为称为列随机向量x的数学的方差其中期望对任意实数t1tn有如果记tt1tn上式即为证明设协方差矩阵的性质的概率密度函数则以及分别为这表示b是非负定的由矩阵论的二次型理论知对任意正整数k1kn有如果x1xn相互独立则b为对角矩阵证明因为x1xn相互独立所以当ki时所以b为对角矩阵作业p208习题三3536单击此处编辑母版文本样式第二级第三级第四级第五级放映结束感谢各位的批评指导
而 D(U ) a2D( X ) b2D(Y ) (a2 b2 ) 2
D(V ) a2D( X ) b2D(Y ) (a2 b2 ) 2
关于协方差与相关系数的两个证明
cov xnew, ynew var xnew var ynew
cov xnew, ynew
通过结论 1）可以证明：标准化后的变量的协方差就是原变量的相关系数
cov xnew, ynew
n
xnew xnew ynew ynew
n i 1 i i
n 1
x x yi y n i xi x yi y var x var y i 1 1 i 1 n 1 n 1 var x var y
2
n 1 n xi x 1 xi x n 1 i 1 var x n 1 var x i 1
2
2
x x
n i 1 i
2
n 1 var x
var x 1 var x
the _ same : var ynew 1
1 n 1 n x , y yi i n n i 1 i 1
1 n 1 n var x xi x , var y yi y n 1 i 1 n 1 i 1
可以得到以下两个结论： 1）标准化后的变量的均值为 0
2
2
x j nx 1 n 1 n xj x 1 j 1 xnew xnew j 0 n j 1 n j 1 var x n var x
x x y y
n i 1 i i
n 1 var x var y
cov x, y var x var y
相关分析
相关分析相关分析是数据分析中常用的统计学方法之一，它研究两个或多个变量之间的相关性质。
其中，相关系数是用来测定两个变量之间相关程度的指标，其取值范围在-1到1之间，可以判断两个变量之间的正相关、负相关或无关。
在实际应用中，相关分析主要有以下三个步骤：1. 确定要分析的变量以及采集数据在进行相关分析前，需要确定要分析的自变量和因变量，并从相应的数据源采集相关数据。
例如，在研究环保意识与行为之间的关系时，可能会选择中国居民环境意识调查中采集的数据。
2. 计算相关系数根据采集到的数据，可以通过公式计算出相关系数。
最广泛使用的是皮尔逊相关系数，但也存在斯皮尔曼等非参数方法。
不同的方法可以适用于处理不同类型的数据，例如一些非线性数据，斯皮尔曼相关系数会更加合适。
3. 解释结果并进行决策根据计算得到的相关系数，可以推断出自变量与因变量之间的关系。
例如，如果相关系数大于0，则说明变量呈正相关关系；如果小于0，则说明呈负相关关系；如果等于0，则没有任何关联。
这些信息有助于政策制定者或企业分析师了解两个变量之间的关系，并为做出决策提供依据。
相关分析在实际运用中有着广泛的应用，例如：1. 市场研究市场研究人员可以用相关分析来确定产品销售与市场趋势之间的相关性。
例如：市场调查可能显示随着年龄的增加，一款婴儿奶粉的销量会随之减少，而相关分析可以证明此趋势是否显著。
2. 医学研究医学研究人员可以使用相关分析来确定不同类型的基因是否与特定疾病的发生率有关。
例如：通过对染色体中特定基因与癌症患病率之间的相关性进行分析，就可以更好地了解这些基因和癌症的关系，并为医疗领域的新药开发和治疗方案的制定提供指导建议。
3. 金融分析金融研究人员可以使用相关分析来确定股票市场中不同公司之间的相关性。
例如：比较两个同行的股票价格变化趋势，可以弄清楚两个公司业绩之间是否互相影响或决定公司业绩因素的共性。
4. 社会调查政策制定者或社会科学研究人员可以使用相关分析来确定公民对某个问题所持有的态度与他们的回答、身份、统计数据之间的相关性。
随机变量的协方差和相关系数.
2.简单性质
(1) cov(X,C)= 0, C为常数； (2) cov(X,X)= D(X) (3) cov(X,Y)= cov(Y,X) (4) cov(aX+b, Y) = a cov(X,Y) a, b 是常数 (5) cov(aX, bY) = ab cov(X,Y) a, b 是常数 (6) cov(X1+X2,Y)= cov(X1,Y) + cov(X2,Y) (7) D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)
X 与 Y 的相关系数 XY
1 147 . 46 147
Cov ( X ,Y ) 15 . D( X ) D(Y ) 69
2 2
2. 设二维连续型随机变量( X ,Y ) 的联合密度
6 2 1 ( x xy), 0 x 1, 0 y 2, 函数为 f ( x , y ) 7 2 其他 0, 求 ( X ,Y ) 的协方差矩阵及相关系 数.
解 E( X )
1 2
x f ( x , y )dxdy
cov( X i , X j ) D( X i ) D( X j )
vij vii v jj
( i, j=1,2,…,n )
都存在, 则称
11 21 矩阵 R n1
12 22
1n 2n
nn
这是一个非 负定对称矩阵
cov(X,Y)=E[X-EX][Y-EY]=EXY-EXEY
1) 当(X,Y)是离散型随机变量时,
cov( X , Y ) ( xi EX )( y j EY ) pij ,
i j
斯皮尔曼相关系数推导
斯皮尔曼相关系数推导斯皮尔曼等级相关系数（Spearman's correlation coefficient）是一种度量两个变量之间相关性的统计量，它基于等级变量（有序变量）的秩（rank）而不是实际值。
假设有两个变量 X 和 Y，每个变量都有 n 个观测值。
1. 首先，对每个变量进行排序，得到每个观测值的秩。
例如，如果 X 的观测值为 x1, x2, ..., xn，那么 X 的秩为 r1, r2, ..., rn。
2. 计算斯皮尔曼相关系数的公式为：Spearman(X, Y) = 6 × Σ(Xi - Yi) / (n × (n^2 - 1))其中 Xi 和 Yi 分别是 X 和 Y 的秩。
下面是这个公式的推导过程：第一步，由于 X 和 Y 都是等级变量，它们的秩可以看作是观测值的相对位置。
因此，我们可以将 Xi 和 Yi 看作是观测值在各自变量中的相对位置。
第二步，根据斯皮尔曼相关系数的定义，我们希望找到一个系数，使得对于任意两个观测值 Xi 和 Yi，它们的相对位置差（Xi - Yi）越小，则 X 和 Y 的相关性越高。
第三步，为了使相关性最大化，我们需要最小化Σ(Xi - Yi)。
由于 Xi 和 Yi 都是秩，它们都是非负整数，因此最小化Σ(Xi - Yi) 等价于最小化Σ(Xi + Yi)。
第四步，根据算术-几何平均不等式（AM-GM inequality），对于非负实数 a 和 b，有(a + b) / 2 ≥ sqrt(ab)。
应用这个不等式到 Xi 和 Yi，我们得到：Σ(Xi + Yi) / 2 ≥ sqrt(ΣXi × ΣYi)第五步，由于 Xi 和 Yi 是秩，它们的总和是 n × (n + 1) / 2。
因此，我们可以进一步化简上面的不等式为：Σ(Xi + Yi) / n × (n + 1) ≥ 1第六步，将这个不等式代入斯皮尔曼相关系数的公式中，我们得到：Spearman(X, Y) ≥ 1第七步，当且仅当 Xi = Yi 对所有 i 都成立时，即 X 和 Y 是完全相关的，斯皮尔曼相关系数达到最大值 1。