离散傅里叶变换(DFT).

~x3(n)
1 N
N1 X~3 (k)WN nk
k 0
1 N
N1 X~1 (k) X~2 (k)WN nk
k 0
1 N
N 1 k 0
N 1 m0
~x1
(m)WN
km
N 1 r 0
~x2
(r
)WN
kr
WN
nk
1 N
N
1
~x1
(m)
N
1
Hale Waihona Puke Baidu
~x2
(r
)
N
1
WN
k
(r
mn)
m0
r0
k 0
N kn0（这里r为任意整数），所以序列移位n0
与移位n0+rN，其DFS相同。
• 频域序列的移位有与时域序列的移位相类似的结果，若
• X~2 (k) X~(k l) X~(k l rN )， l、r 为整数
• 则与 X~2 (k) 对应的时域序列为： ~x2 (n) WN nl ~x(n)
jt
d
X
(e
j
)
x(n)e
n
jn
x(n)
1
2
X (e j )e jn d
图 3.1 时域中的抽样和频域中的抽样
• 周期函数 X~() 可以用傅里叶级数表示为：
X~()
xa (nTs )e jnTs
n
• 而抽样值xa(nTs)即为傅里叶级数的系数，并且有：
xa
(nTs
)
1 s
s
2 s
X
(k)
DFT
[ x(n)]
N 1 n0
x(n)WNkn
,
0
0 k N 1 其它
x(n)
IDFT
[X
(k )]
1 N
N 1 k 0
X
(k )WNkn
,
0
0 n N 1 其它
3.2.2 DFT的性质
1．线性
DFT
分）
• 若 ~x (n) 为实序列，则有：
(1) ~xe (n) DFS Re[ X~(k )]
(2) ~xo (n) DFS jI m [ X~ (k )]
（~xe (n) 表示~x (n) 的偶序列部分）
（~xo (n) 表示~x (n) 的奇序列部分）
(3) X~ (k ) X~ * (k ) ，(说明实序列的 DFS 是共轭对称的)
~x3 (n) N 1 ~x2 (m)~x1(n m)
m0
~x4 (n) ~x1(n)~x2 (n)
X~4 (k)
1 N
N 1 X~1(l) X~2 (k
l 0
l)
•或
X~4 (k)
1 N
N 1 X~2 (l) X~1(k
l 0
l)
（ 3.18 ） ，则
（3.19）
（3.20）
• 现在证明（3.17）式
(4) Re[ X~(k)] Re[ X~(k)]
(5) I m [ X~ (k )] I m [ X~ (k )] (6) | X~(k ) || X~(k ) |
(7) arg[ X~(k )] arg[ X~(k )]
• 第(4)、(5)、(6)、(7) 条说明实序列的DFS的实部和模是偶序列，
1 N
N 1 ~x1 (m)~x2 (n m lN ) N
m0
N 1 ~x1 (m)~x2 (n m)
m0
图3.2 周期卷积的计算
• 序列的线性卷积与周期卷积之间有以下几点区别： (1) 线性卷积对参与卷积的两个序列无任何要求，而周期卷积要求两个序
列是周期相同的周期序列； (2) 线性卷积的求和范围由两个序列的长度和所在的区间决定，而周期卷
• ~x3 (n) 和 X~3 (k) 也都是以N为周期的周期序列。
2．序列的移位
• 设 ~x (n) DFS X~(k) ，周期为 N； ~x1(n) ~x (n n0 ) ，
n0 为整数；
• 则移位后的序列 ~x1 (n) 的DFS为：X~1(k) WN kn0 X~(k)
•
W W 由于 k(n0rN ) N
1. 线性
• 设 ~x1(n) 和 ~x2 (n)
都是周期为N的周期序列，
且： ~x1(n) DFS X~1(k )，~x2 (n) DFS X~2 (k ) 。
• 若 ~x3(n) a~x1(n) b~x2 (n) ，这里a、b为任意常数，则 ~x3 (n) 的
DFS为 X~3 (k ) aX~1(k ) bX~2 (k )
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
• 对信号进行傅里叶变换就是求信号的频谱。连续信号的傅里叶 正变换和反变换都是连续函数的无穷限积分，显然不容易用计算 机来处理。而离散信号的傅里叶变换虽然是求和运算，但是其反 变换仍然是连续函数的积分。
X a ()
xa
(t
)e
jt
dt
xa (t)
1
2
X
a
()e
积的求和范围是一个周期；
(3) 线性卷积所得序列的长度由参与卷积的两个序列的长度确定，而周期 卷积的结果仍是周期序列，且
• 周期与原来的两个序列的周期相同。 • 这条性质说明，对于周期序列的DFS有：频域相乘映射为时域的周期
卷积，时域相乘映射为频域的周期卷积。
3.2 离散傅里叶变换（DFT）及其性质
(4) jI m [~x (n)] DFS X~o (k ) （ X~o (k) 表示X~ (k ) 的共轭反对称部
分）
(5) ~xe (n) DFS Re[ X~ (k )] （~xe (n) 表示 ~x(n) 的共轭对称部分）
(6) ~xo (n) DFS jI m [ X~ (k )]
（~xo (n) 表示 ~x (n)的共轭反对称部
X~ ()e
jnTs d
2
•
在时域和频域中分别用抽样间隔Ts
和Ω 1
来归一化，就得到：
X~ (k) DFS [~x (n)] N 1 ~x (n)WN kn n0
(3.11)
~x (n)
IDFS [ X~(k)]
1 N
N 1 X~ (k )WN kn
k 0
(3.12)
3.1.2 DFS的性质
而其虚部和幅角是奇序列。
4．周期卷积
• 设 ~x1 (n) DFS X~1 (k )， ~x2 (n) DFS X~2 (k ) • 它们的周期均为N，若 X~3 (k) X~1(k)X~2 (k) ，则
~x3 (n) N 1 ~x1(m)~x2 (n m)
m0
(3.17)
•或 • 又，若
3. 对称性
• 设 ~x (n) DFS X~(k) ，若 ~x (n)为复序列，则有：
(1) ~x * (n) DFS X~ * (k )
(2) ~x * (n) DFS X~ * (k )
(3) Re[ ~x (n)] DFS X~e (k )
分）
( X~e (k) 表示 X~ (k ) 的共轭对称部