高等代数中一道习题的不同解法

第38卷第7期

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第38卷第7期·学术Vol.38No.72011年7月July.2011

高等代数是大学数学专业的一门重要基础课程,其特点是抽象严谨,解题方法又灵活多变。因此,如何在教学中引导学生在做题的过程中自觉的体会总结，运用本课中常用的方法，并联系所学知识和已证明的习题，就显得尤为重要。

1预备知识

定义1：在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

引理1：n维欧氏空间的子空间V1的正交补V1┷由所有与V1正交的向量组成。

引理2：在欧氏空间中必存在标准正交基。

引理3：(线性映射的维数公式)设σ是线性空间V到线性空间V1的线性映射，则σ的像空间的维数+σ的核空间的维数=dimV.即σ的秩+σ的零度=dimV。

2主要结果

教材[1]的习题中有如下一道题：

设V是n维欧氏空间，α≠0是V中的一个固定向量,

(1)证明：V1={x/（x，α）=0，x缀V}是V的子空间；

(2)证明：V1的维数等于n-1。

问题(1)的证明一般情况下就用子空间的定义证明即可，即对数乘和加法运算封闭。下面主要给出问题(2)的不同证明方法。

证法1:为证明结论首先证明V1是L（α）(表示由向量α生成的子空间)的正交补。

事实上，由引理1可知L（a）┷={x∈V/（x，β）＝0，坌β∈L （α）}，而容易证明：{x∈V/（x，β）＝0，坌β∈L（α）}=V1。

从而L（α）┷=V1，所以V=V1+L（α）=V1+L（α），因此,由直和的判定定理可知n=dinV=dimV1=dimL（α）=dimV1+1。

这表明dimV1=n-1

证法2：由引理2可知任意欧氏空间必存在标准正交基，故不妨设α1，Λ，αn为V的标准正交基。设α=k1α1+Λ+k nαn，其中k1，Λ，k n∈R则对坌β=x1α1+Λ+x nαn∈V1，其中x1，Λ，x n∈R,由α1，Λ，αn为V的标准正交基可知（α，β）=x1k1+Λ+x n k n=0.因此,线性方程组x1k1+Λ+x n k n=0的解就是V1中的向量在α1，Λ，αn 下的坐标向量，其解空间的维数就是V1的维数。因为α≠0，故（k1，Λ，k n）≠0，从而x1k1+Λ+x n k n=0的解空间的维数为n-1，即dimV1=n-1。

证法3：考虑实数集R按数的加法和数乘在实数域R上构成的的线性空间，定义映射σ：V→R为σ（x）=（x，α），坌x∈V，则易验证σ是线性映射，σ的核空间就是V1{x/σ（x）=（x，α）=0，x∈R}，σ的像空间为R。由线性映射的维数公式有：σ的核空间的维数+σ的像空间的维数=dimV=n，而σ的像空间的维数=dimR=1,故的核空间的维数=dimV1=n-1，故结论成立。

3结语

以上利用不同的方法给出了一道习题

高等代数中一道习题的不同解法

高英

(重庆师范大学数学学院代数与几何教研室，重庆400047)

摘要:高等代数是大学数学专业的一门重要基础课程,其特点是抽象严谨,解题方法又灵活多变。文章针对一

道高等代数习题,给出了不同的证明方法,并以此说明做习题过程中体会总结并与所学知识和已有的结论联系尤为重要。

关键词:欧氏空间,线性映射,基

中图分类号:G642文献标识码：A文章编号：1007-8320（2011）07-0167-01 Advanced algebra in a different solution Exercise

GAO Ying

(Department of Mathematics,College Algebra and Geometry，Chongqing Normal University,Chongqing400047,China) Abstract:Mathematics Advanced Algebra is an important basis for professional courses,which is characterized by abstract rigorous,problem-solving approach and flexible.Article for an advanced algebra exercises,gives a different method of proof,and as experience shows the process of doing exercises concluded with the knowledge and contacts have been important conclusions.

Keywords:euclidean space;linear mapping;base

收稿日期：2011-05-03

作者简介：高英（1982—），女，内蒙古乌兰浩特人，博士，讲师，

研究方向：多目标优化、数学教育。

基金项目：重庆师范大学博士启动基金(No.10XLB015)、重庆市

教育委员会科学技术研究项目(No.KJ110624)和重庆

市科委重点实验室专项经费资助项目。

（下转第175页）

第38卷第7期

的证明，并且所用到的知识都是高等代数中一些重要的结论。通过不同的方法解题可以让学生了解到一道数学题的证明不止一种方法，只要在做题的过程中联系所学的内容,可以得到许多不同的方法，这也将有助于加深对已学内容的理解。高等代数由于抽象,因此需要学生多做练习,并且要考虑它的不同解法,由此对所学内容加深理解。在教学实践中,可以发现学生如果能够自觉地上下联系、经常总结,就会对这门课的感兴趣,非常愿意去学习并能学好它。

参考文献

[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高

等教育出版社,2003.

[2]王萼芳，石生明，等.高等代数辅导与习题解答[M].北京：高等教育出

版社，2006.

（上接第167页）最终将班集体建设成为和谐、民主、祥和的

大家庭。

4因人制宜，因材施教

想要更好的提高班级管理工作质量，就必须深入了解学生内心需要，了解每一位学生的家庭状况以及社会交往情况，针对每位学生的特长、爱好、性格等建立一套完整的个人档案，并随时观察每位学生的学情状态，为他们分别制定合适的教学目标，必要时开展个别教育。在具体教学中，教师要全方位看待学生，不要仅仅看到学生的优点或缺点，要根据“尺有所短、寸有所长”的原则，看到学生身上的闪光点，比如有的学生比较自信；有的学生集体观念较强；有的学生心态很好；还有的学生具有坚强的意志等。但是人无完人，每位学生身上不可避免的存在一定缺陷，如心理素质较差、容易自大或自负、自控能力差、组织纪律性不强等。班主任教师不能只看到优等生的优点，后进生的缺陷，否则，只能使后进生产生逆反心理，加深了他们的自卑心态，很有可能会从此一蹶不振。因此，班主任教师要因材施教、因人制宜，注重发挥学生的优势，帮助学生改善自身的缺点，促进学生身心的健康发展，提高班级团队的整体素质。

5坚持“以人为本”的科学发展观

班主任教师要转变自身的教育理念，尊重学生的主体地位，发挥自身的主导作用，看到存在于学生身上的个体差异，认识到个体差异的不同造就了他们不同的思维方式与接受能力，根据他们喜好、习惯的不同，采取个别交谈的方式对他们进行思想教育。要知道，学生是一个个鲜活独立的个体，并不是工厂按照统一标准生产出来的产品，因此，班主任教师除了要对学生进行共性教育以外，还应该特别注重学生之间的个体差异性，运用感情疏导、诚恳交谈等方式，站在朋友的立场上为学生排忧解难，尽量遵循“表扬与启发并用”的原则，让学生理解班主任话语的弦外之音，感受到班主任的一番苦心。这种方式不但有利于化解所有问题与矛盾，还有助于增进学生与教师之间的感情。

总而言之，在当今社会科技发展日新月异的背景下，班主任教师也要不断提高自身道德修多样与专业水平，以适应新社会对教师的更高要求，顺利历史发展潮流。作为班主任教师，要肩负起社会赋予的重要使命，不断改进教学方法、提高自身综合素质、了解学生心理状况，采取因材施教、因人制宜的管理方式，树立教书与育人共进的教学理念，注重调动学生积极性、主动性与创造性的学习精神，全面提高高职学生的综合能力，为其将来的顺利就业奠定基础。

参考文献

[1]邵娴.浅谈高职班主任的工作艺术[J].吉林省教育学院学报(学科版)，2009，(1).

[2]边巍.高职班主任工作的几点体会[J].科技信息，2009，(35).

[3]臧健.做好高职班主任的几点体会[J].职业技术，2006，(18).

心理学认为：人在确立目的和实现目的过程中，都可能遇到各种困难。战胜困难的过程，就是通过意志努力来实现预定目的的过程。克服困难是意志行动最重要的特征，克服困难的行为称之为意志行动。

对于高职高专学生来说，引导他们树立自己的奋斗目标并朝这个目标而努力是非常重要的。只有有了奋斗目标，才会有前进的动力，学习的热情，才会对学习有持久的动力。对高职高专学生来说，A级证或B级证是他们在英语学习上必须要考得的一张很有份量的证书，相当于本科生的英语六级证或四级证，但相当一部分层次较差的高职高专学生的英语水平相当差，150分的题，很多同学的成绩在50分以下，要过B 级很不容易。这时就要鼓励学生确立自己的目标并为之努力。实践表明，有目标并持之以恒的学生成功率更高。

综上所述，非智力因素对智力因素的发展始终起着动力、促进、引导、维持和加强的作用，对学生的学习成绩影响很大，因此，在教学中要充分利用非智力因素对学习的影响，培养学生的非智力因素，促进学生学习成绩的提高。

参考文献

[1]Arnold,J.Affect in Language Learning[M].Cambridge:Cambridge University Press,1999

[2]张大均.教育心理学[M].北京：人民教育出版社，1999.

[3]在职攻读教育硕士专业学位全国统一（联合）考试大纲及指南[Z].北京：北京师范大学出版社，2001.

[4]徐锦芬，占小海.大学英语教学中教师运用情感因素的现状调查与研究[J].疯狂英语教师版，2010，（1）：4-8.

[5]李海彦，刘珍龙.英语课堂教学的有效激励策略[J].疯狂英语教师版，2010，（1）：106-108.

李惠桂：非智力因素对高职高专英语学习的促进作用

（上接第173页）

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