结构动力学方程及有限元方程

合集下载

相关主题

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

上一页下一页返回
8.4 振动系统响应分析
• 式中
——固有频率的对角阵。
• n 自由度无阻尼系统自由振动的动力学方程解耦后就转换为n 个独立的微分方程的求解问题。求出特征方程的n 个特征值和对应的特征向量后，就得到振动方程的n 个线性无关的特解，则式（8.66）可以写为：
上一页下一页返回
上一页下一页返回
8.3 固有特性分析
• 将解代入振动方程中，同时消去因子e jω t ，得：
• 系统的固有频率和振型是结构固有的特性，它仅与结构的质量和刚度有关，而与外界影响无关。外界扰动只能影响振幅，不能改变其固有
频率，若要改变结构的固有频率，只能从改变结构的质量或刚度入手，固有频率是结构动力性能的一个重要标志。
8.5 复杂系统动力学模型
• 3）系统的散逸函数D • 阻尼力虚功为： • 式中 C i ——阻尼系数； • v i——运动速度。 • 系统的阻尼力虚功为：
上一页下一页返回
8.5 复杂系统动力学模型
• 2. 系统的动力学方程 • 在广义坐标、功和能的基础上建立微分方程。 • 对广义坐标qj 的微分方程为：
上一页下一页返回
8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 根据虚位移原理有：
•
U =W
• 将式（8.3）分别代入式（8.1）和式（8.2）并整理，可得单元动力方程为：
• 式中
上一页下一页返回
8.1 结构动力学方程及有限元方程
• {R(t)}e 为单元节点的动载荷列阵，它是作用在单元上的体积力、表面力和集中力向单元节点移置的结果。
下一页返回
8.6 结构振动模态分析过程实例
• 如果知道了结构的固有频率，便可在设计时使结构的固有频率避开其在使用过程中的外部激振频率。
• 本节首先对ANSYS 模态分析基本操作环节和相关分析选项进行简要的说明，然后结合一个齿轮模态分析的实例来说明ANSYS 进行结构固有振动特性分析的具体分析过程。
上一页下一页返回
8.1 结构动力学方程及有限元方程
• [K]，[M]，[C]——结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。 • 其中，[K]与静力分析中的总刚度矩阵完全相同， • 而矩阵[M]、[C]也采用与[K]相同的集成方式， • 即：
上一页
返回
8.2 单元特性矩阵
• 8.2.1 单元质量矩阵
• 8.3.2 固有频率和振型的计算
• 阻尼对于系统结构的固有频率和振型的影响很小，因此求解固有频率和振型时，只需用阻尼的自由振动方程来求解，即：
上一页下一页返回
8.3 固有特性分析
• 自由振动时，结构上的各点做简谐振动，所以可以令： • 式中 {δ }——节点的振幅向量（振型）； • ω ——该振型对应的频率。 • 则：
• 分析机械结构振动的固有频率和振型问题可利用有限元方法来求解，其对应的数学问题就是解决矩阵的特征值和特征向量的问题。
• 8.3.1 广义特征值数值解法
• 固有特性分析实际上就是求解广义特征值问题。求解的数值方法主要有以下几种。
下一页返回
8.3 固有特性分析
• 1. 变换法 • 2. 迭代法 • 3. 子空间迭代法
下一页返回
8.2 单元特性矩阵
• 1. 一致质量矩阵 • 一致质量矩阵的分布较合理，可以求得更精确的振型，另外，其整个
模型的质量分布还受到网格划分形式的影响。 • 在离散后的结构中取出一个单元，根据达朗贝尔原理，单位体积上作
用的惯性力为：
上一页下一页返回
8.2 单元特性矩阵
• 由于惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和实施过程，则有： • 令：
上一页下一页返回
8.2 单元特性矩阵
• （3）矩形平面单元的一致质量矩阵为：
上一页
返回
8.3 固有特性分析
• 结构的固有特性由结构本身（质量与刚度分布）决定，而与外部载荷无关，它可以由一组模态参数来定量描述。固有特性包括固有频率、模态振型、模态质量、模态刚度以及模态阻尼比等。
• 固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的主要是避免结构出现共振和有害的振型，同时为响应分析提供必要的依据。
• 结构的模态分析技术是一种综合振动试验、数据处理及用计算机技术求取机械结构动态特性的有效工具。在机械结构的现代设计方法中，需要研究结构的固有振动特性、外界作用力及其在外力作用下的运动响应三者间的内在关系。通常，用来描述结构振动特性的参数有各阶固有频率、阻尼比及振型。这些参数又称为模态参数，获取这些参数的方法则称为模态分析技术。
的微分方程的求解问题，式（8.72）则可以写为：
上一页下一页返回
8.4 振动系统响应分析
• 利用单自由度的概念和方法，可得到稳态响应为： • hr（ t）为第r 阶模态的脉冲响应函数，则： • 代入整理得：
上一页下一页返回
8.4 振动系统响应分析
• 系统施加的初始条件为{δ (0)}和
上一页下一页返回
8.4 振动系统响应分析
• n 自由度无阻尼受迫振动的运动学方程为： • 令{δ } = [Φ ]{q}，对振动方程进行正则变换后得到： • 方程左乘以[Φ ]T ，得：
上一页下一页返回
8.4 振动系统响应分析
• 由振型向量的正交性得： • 转换后的激振力为： • n 自由度无阻尼系统受迫振动的动力学方程解耦后可转换为n 个独立
上一页
返回
8.4 振动系统响应分析
• 8.4.1 响应的分析方法
• 振动响应的分析方法主要有两种，一种是以系统主振型为基础的振型叠加法，另一类是数值积分法。
• 8.4.2 无阻尼系统的自由振动
• 无阻尼系统自由振动的运动微分方程为：
• 令：
下一页返回
8.4 振动系统响应分析
• 对振动方程进行正则变换后可得到： • 方程左乘以[Φ ]T ，得： • 由振型向量的正交性得：
8.2 单元特性矩阵
• 其单元质量矩阵[M]为2× 2阶矩阵。其集中质量矩阵为：m =W / g = ρ Al ，载荷均匀分布，节点i和节点 j各承担m / 2。则有：
• 杆单元的形函数矩阵为：
上一页下一页返回
8.2 单元特性矩阵
• 则杆单元的一致质量矩阵为： • （2）三角形平面单元的一致质量矩阵为：
上一页下一页返回
8.2 单元特性矩阵
• 按上式形成的单元质量矩阵称为一致质量矩阵，因为它采用了和刚度一致的形函数。这种质量矩阵取决于单元的类型和形函数的形式。
• 2. 集中质量矩阵 • 集中质量矩阵是一个对角矩阵，能简化动态计算，减小存储容量。利
用这种矩阵计算出的结构的固有频率偏低，不过其有限元模型本身比实际结构偏刚，两者可相互补偿，从而计算出的固有频率反而更接近真实值。 • 在工程实际中，为了求解方便，有人把单元质量平均分配到单元的各个节点上，如平面三角形单元的质量可分配为：
第8 章结构动力学分析
• 8.1 结构动力学方程及有限元方程 • 8.2 单元特性矩阵 • 8.3 固有特性分析 • 8.4 振动系统响应分析 • 8.5 复杂系统动力学模型 • 8.6 结构振动模态分析过程实例
返回
8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 运动方程可以用以下三种方法来建立，即： • （1）利用达朗贝尔原理引进惯性力，依据体系或微元体的力的平衡
阻尼力
（其中ρ 为材料的密度，v 是线性阻尼系数）
• ，则外力所做的虚功为：
上一页下一页返回
8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 式中
——作用于单元上的动态体积力、
• 动态表面力和动态集中力； • V——单元体积； • S——单元面积。
上一页下一页返回
8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 来自百度文库函数仅为坐标x、y、z 的函数，与时间无关，因此有：
• 确定广义坐标 qj 所对应的广义力为 Q′j 。 • 由拉格朗日方程得到n 自由度系统的运动方程为：
上一页下一页返回
8.5 复杂系统动力学模型
• 式中 [M]——质量矩阵； • [C]——阻尼矩阵； • [K]——刚度矩阵； • [M]，[C]和[K]都是n × n矩阵；
上一页
返回
8.6 结构振动模态分析过程实例
8.4 振动系统响应分析
• 则n 自由度无阻尼系统自由振动广义坐标下的稳态响应为：
• 8.4.3 无阻尼系统的受迫振动
• 求解受迫振动响应的方法是振型叠加法或称为模态分析方法，其基本思想是：利用振型矩阵，把描述系统运动的广义坐标变换到模态坐标（主坐标或正则坐标），把运动方程变换成n 个独立的方程，并求得系统在每个模态坐标下的响应，然后再得到系统在一般广义坐标下的响应。这种坐标变换过程，实际上是将振型进行组合叠加的过程和方法。
下一页返回
8.5 复杂系统动力学模型
• 1. 系统的能量 • 1）系统的动能T • 系统内质点的动能与其运动状态相关，可分为三类，即： • （1）平动刚体的动能：
• 式中 m i——刚体的质量，kg； • vi ——刚体平动的速度，m/s。
上一页下一页返回
8.5 复杂系统动力学模型
• （2）绕定轴转动刚体的动能：
• （3）平面运动刚体的动能：它等于随质心平动的动能与绕质心转动的动能之和，即
上一页下一页返回
8.5 复杂系统动力学模型
• 式中，vci ——刚体质心平动的速度； • J ci——刚体绕质心的转动惯量。 • 则系统的动能为：
• 2）系统的势能U • 系统的势能包括重力势能和弹性势能。
上一页下一页返回
• 模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型，这些模态参数可以由计算或实验分析取得。基于线性叠加原理，一个复杂的振动系统可以分解为许多模态的叠加，这样的一个分解过程被称为模态分析。任何结构或部件都有固有频率和相应的模态振型，这些属于结构或部件自身的固有属性。
下一页返回
8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 在动载荷作用下，设单元 e 的节点在任一瞬时发生的虚位移为 {δ (t)}e，其不仅是坐标的函数，而且也是时间的函数。则单元产生的虚位移为{d}，虚应变为{ε }，则单元内产生的虚应变能为：
• 单元除受动载荷外，还具有由加速度和速度引起的惯性力
和
条件，直接写出动力平衡方程，或根据几何条件直接写出运动方程。 • （2）利用广义坐标得到系统的动能、势能、阻尼耗散函数及广义力
表达式，再依据拉格朗日方程推导出用广义坐标表示的运动方程。 • （3）根据虚功原理推导出运动方程。
• 8.1.1 单元动力学方程
• 由于节点具有速度和加速度，所以结构也将受到阻尼和惯性力的作用。根据达朗贝尔原理，在引入惯性力和阻尼力之后，结构仍然处于平衡状态，因此，在动态分析中可采用虚位移原理来建立单元特性方程。
上一页下一页返回
8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 8.1.2 结构整体动力学有限元方程
• 将各个单元的刚度矩阵扩展成总刚度矩阵的阶数，并完成坐标转换，再进行叠加，可以得到结构的总动力学方程为：
• 式中 δ (t)——所有节点位移分量组成的 n 阶列阵（n 为结构的总自由度数）；
• 称为节点载荷列阵，即一个节点上的节点力是由该节点所在的所有单元的相应节点（同这个节点）上的节点力的总和来集成的；
上一页下一页返回
8.2 单元特性矩阵
• 单元质量矩阵为：
• 集中质量矩阵将单元的分布质量按等效原则分配到各个节点上，等效原则要求不改变原单元的质量中心，这样形成的质量矩阵称为集中质量矩阵。
• 3. 常用单元的一致质量矩阵 • （1）梁杆单元——纵向振动杆单元。只有纵向位移时，则有：
上一页下一页返回
，则：
• 方程的通解为：
• 则n 自由度无阻尼系统受迫振动广义坐标下的稳态响应为：
上一页
返回
8.5 复杂系统动力学模型
• 对于复杂机械系统多用拉格朗日法研究其动力学模型，在广义坐标、功和能的基础上建立微分方程，即：
• 式中 T ——系统动能； • U ——系统势能； • D ——虚功； • j Q′ ——广义势力； • j q ——系统广义坐标。
• 单元质量矩阵有以下两种形式： • （1）一致质量矩阵，又称为协调质量矩阵。这种矩阵与单元刚度矩
阵形成的方法是一样的，即利用形函数矩阵导出，它能比较准确地反映单元内质量分布的实际情况。 • （2）集中质量矩阵，又称为聚缩质量矩阵。它是将单元内分布的质量按质心不变的原则分配到单元的各个节点上。由于它没有耦合项的对角阵，所以使计算大为简化。虽然其精度不如一致质量矩阵好，但是也能满足工程计算的要求。