结构动力学方程及有限元方程

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结构设计知识：结构设计中的自由振动分析

结构设计知识：结构设计中的自由振动分析自由振动分析是结构设计中十分重要的一环，它可以帮助分析结构在无外力作用下自然振动的情况，为结构的设计提供基础指导和优化设计的方向。

自由振动分析是一种在无外力作用下模拟结构振动行为的方法，可以分析出结构的固有频率和振型。

结构的固有频率取决于结构形状、材料、质量等因素，是一种结构本身固有的振动频率。

振型指的是在结构固有频率下，结构的不同部位产生的变形情况。

在进行自由振动分析时，需要通过有限元分析等方法建立结构的数学模型，并通过求解结构的动力学方程得到结构的固有频率和振型。

其中，动力学方程体现了结构的质量、弹性、阻尼等特性。

结构的动力学方程一般可以表示为：Mx''+Cx'+Kx=0其中，M是结构的质量矩阵，C是结构的阻尼矩阵，K是结构的刚度矩阵，x''，x'，x分别表示结构的加速度、速度、位移。

通过求解动力学方程，可以得到结构在各个固有频率下的振型和固有频率值。

这些固有频率值和振型可以帮助设计师了解结构的振动特性，并在设计中优化结构的形状和材料，以使得结构在实际工作状态下能够有更好的抗振性能。

自由振动分析在结构设计中的应用非常广泛，例如在建筑领域，可以通过自由振动分析来优化建筑物结构的抗震能力；在机械设计中，可以通过自由振动分析来优化机械零件的结构，提高机械的工作效率和稳定性；在航空领域，可以通过自由振动分析来优化飞机部件的形状和材料，提高整个飞机的结构性能等等。

总之，自由振动分析是结构设计中非常重要的一环，它可以帮助设计师了解结构的振动特性，优化结构的形状和材料，提高结构的抗振能力。

在实际的结构设计中，设计师应该根据实际需要，合理地运用自由振动分析的方法，以确保结构的设计和建造质量。

动力学有限元

6.2结构动力有限元法理论与模型一、基本原理在实际问题的求解中，应用最广的是基于位移的有限元素法。

此法的基本思想是把本来为连续的工程结构分割成在结点上相联的单元组合体。

取这些结点的位移为基本未知量，并假定每个单元中的位移用单元位移函数来描述，这实质上是假定了单元的模态。

在此基础上，利用能量变分原理进行单元分析的全结构分析，得到全结构的振动平衡方程，从而把连续体的动力学问题化为多自由度系统的振动问题。

有限元动力分析的基本过程是首先将工程结构离散化，通过选择合理的单元确定出分析模型，在此基础上选择位移函数，进行单元分析，确定单元的刚度、质量、阻尼、载荷矩阵，再经过坐标变换，通过能量变分原理，进行全结构分析，建立系统的振动平衡方程。

最后运用有限元数值方法进行方程的求解。

结构动力有限元法采用的单元位移函数与静力分析相同，基本原理和求解过程也与静力分析相同，不同之处仅在分析模型的确定与运动方程的建立方面。

二、动态分析模型的确定由于结构动态分析中除考虑弹性力外，还要考虑惯性力和阻尼力，其运动方程是常微分方程组，所以动态分析的复杂程度高，计算工作量大，有限元分析模型要尽量精炼、简单。

1.模型确定的基本原则•分析模型应与分析的目的相适应。

动力分析的目的各不相同，有的是为了提供固有特性计算动态响应或供控制系统用；有的是为了舱内提供振动环境。

不同的目的，通常要求不同的模态数与计算精度。

显然，用于估算基本固有频率的模型应当比计算冲击响应的模型简单。

用于设计计算的模型应当比用于校核计算的模型简单。

•分析模型要与选用的计算工具与计算条件相适应。

计算机软件种类日益丰富，选择分析模型要与所用程序、所用计算机容量相适应。

如对于容量大的计算机，可选用较为复杂的有限元模型，而对于容量小的计算机则在能反映结构动态性能的前提下尽量简化模型，使求解规模尽量小。

对于大模型，可选用子结构模型，采用模态综合方法求解。

应注意, 不一定模型愈精细精度就愈高。

结构有限元分析 (2)

结构有限元分析1. 简介结构有限元分析是工程领域中一种常用的数值分析方法，用于解决结构载荷下的应力、变形和振动问题。

通过将复杂的结构分成有限个简单的单元，通过求解每个单元的应力和位移，再将它们组合得到整个结构的应力和位移场。

有限元方法广泛应用于各种工程领域，如土木工程、机械工程和航空航天工程等。

2. 有限元分析的基本原理有限元分析的基本原理是建立结构的有限元模型，然后通过求解有限元模型的力学方程，得到结构的应力和位移场。

有限元模型通常由节点和单元构成。

节点是结构中的关键点，单元是连接节点的构造单元，常用的单元包括三角形单元、四边形单元和六面体单元等。

通过对单元的弯曲、伸长等变形进行逼近，可以得到结构的位移场。

然后，根据位移场和材料的力学性质，可以计算结构的应力场。

3. 有限元分析的步骤有限元分析通常包括以下步骤：步骤1：离散化将结构分成有限个单元，并为每个单元选择合适的单元类型。

步骤2：建立单元刚度矩阵根据每个单元的几何形状、材料性质和节点位移，建立单元的刚度矩阵。

步骤3：建立全局刚度矩阵将所有单元的刚度矩阵组装成全局刚度矩阵。

步骤4：应用边界条件根据结构的边界条件，将边界节点的位移固定或施加给定的载荷。

步骤5：求解线性方程组根据边界条件将全局刚度矩阵和载荷向量进行约束，然后通过求解线性方程组得到结构的位移。

步骤6：计算应力和应变根据得到的位移场和材料的力学性质，计算结构的应力和应变场。

4. 有限元分析的应用领域有限元分析是一种非常灵活和广泛应用的方法，可以用于解决各种结构工程中的力学问题，包括：•结构静力学分析：用于计算结构的应力和变形。

•结构动力学分析：用于计算结构的振动频率和模态形状。

•结构优化设计：通过调整结构的几何形状、材料和边界条件，实现结构的最佳设计。

•结构疲劳分析：用于评估结构在长期应力加载下的疲劳寿命。

有限元分析在工程实践中得到了广泛应用，可以帮助工程师在设计和优化结构时做出准确的决策。

结构动力学问题的有限元法

K Q
K Q
对于结构动力学问题，节点载荷阵还包括惯性力和阻尼力。
e e e K Q (M C ) e e 1 m

或改写为：
C K M Q

代入：
dV Q N u
T T T
M N N dV
dV N N
e T
e
e dV Q N u
e T T
N N dV C
其中：
M M C C
e
e
质量阵和阻尼阵的叠加方法与刚度阵的叠加方法相同，也是对称稀疏阵。
三、动力方程的简化
M e N T N dV
称为一致质量矩阵，是稀疏带状阵。
如果将单元质量阵近似作为对角阵，则方程变成彼此独立，避免联立，称为集中质量阵或团聚质量阵。解耦例如长度为L，截面积为A，密度为ρ的梁单元。 i
A，ρ
L
j
x
1 A L 0 集中质量阵： m 2 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
156 22L 22L 2 一致质量阵： 4 L AL m 13L 420 54 2 13 L 3 L
54 13L 13L 3L2 156 22L 2 22L 4 L
ˆ P K P K
T
在变换[K]和[M]的过程中，有时使用一次雅克比变换将一个非对角线元素化为零以后，它在另一次变换中会重新变为非零元素，但在素质上有所减小。这说明需要反复使用雅克比变换，最终非对角线元素将趋于零。在实际求解过程中，不必严格地把矩阵[K]和[M]所有的非对角线元素变换为零，通常在完成一次变换后进行判断是否达到预 l 1 (l ) 设的精度：

六、-动力学问题的有限元法

❖ 至于哪些问题可作准静态来处理，需要综合考虑分析目的与精度要求，构件的尺度和动态特性（固有振动周期），载荷的特性（上升前沿和作用时间），计算机资源情况等。
2) 结构动力学问题
❖ 该领域研究下列问题：弹性结构（系统）的自由振动特性（频率和振型）分析；瞬态响应分析；频率响应分析；响应谱分析等。
力学问题。对等效系统应用虚功原理：
V T dV V uT ( f u u)dV S uT T dS
• 将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离散系统控制方程——结构有限元动力学方程：
M a(t) C a(t) K a(t) Q(t)
❖ 就结构的瞬态响应分析而言，典型的有结构在冲击载荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是，载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近，远大于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作用随时间剧烈变化的载荷。
❖ 结构动力学问题在工程中具有普遍性。
3) 弹塑性动力学问题
❖ 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击，人工地震勘探，无损探伤等。
❖ 大多数显式方法是条件稳定的：当时间步长大于结构最小周期的一定比例时，计算得到的位移和速度将发散或得到不正确的结果；
❖ 隐式方法往往是无条件稳定的，步长取决于精度，而不是稳定性方面的考虑。
❖ 典型的显式方法是所谓的“中心差分法”，其基本思想如下。
• 中心差分法 ❖ 将某时刻的加速度和速度用中心差分表示：
• 对于3节点三角形单元，按上述公式计算得到的一致质量矩阵为：
• 该单元的集中质量矩阵为：
• 实际应用中，两种质量矩阵都有应用，得到的计算结果相差不多。采用集中质量矩阵可以使计算得到简化，提高计算效率，由此得到的自振频率常低于精确解。

结构动力学方程及有限元方程

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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 根据虚位移原理有：
•
U =W
• 将式（8.3）分别代入式（8.1）和式（8.2）并整理，可得单元动力方程为：
• 式中
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• {R(t)}e 为单元节点的动载荷列阵，它是作用在单元上的体积力、表面力和集中力向单元节点移置的结果。
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8.2 单元特性矩阵
• 1. 一致质量矩阵 • 一致质量矩阵的分布较合理，可以求得更精确的振型，另外，其整个
模型的质量分布还受到网格划分形式的影响。 • 在离散后的结构中取出一个单元，根据达朗贝尔原理，单位体积上作
用的惯性力为：
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8.2 单元特性矩阵
• 由于惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和实施过程，则有： • 令：
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 8.1.2 结构整体动力学有限元方程
• 将各个单元的刚度矩阵扩展成总刚度矩阵的阶数，并完成坐标转换，再进行叠加，可以得到结构的总动力学方程为：
• 式中 δ (t)——所有节点位移分量组成的 n 阶列阵（n 为结构的总自由度数）；
• 称为节点载荷列阵，即一个节点上的节点力是由该节点所在的所有单元的相应节点（同这个节点）上的节点力的总和来集成的；
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8.2 单元特性矩阵
• （3）矩形平面单元的一致质量矩阵为：
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8.3 固有特性分析
• 结构的固有特性由结构本身（质量与刚度分布）决定，而与外部载荷无关，它可以由一组模态参数来定量描述。固有特性包括固有频率、模态振型、模态质量、模态刚度以及模态阻尼比等。

有限元分析-动力学分析

1.为何傅里叶变换要换成正弦函数余弦函数这样的三角级数？ 2. 谐振运动的特征是什么？谐振运动有阻尼存在吗？
梁结构瞬态动力学分析实例
A steel beam of length and geometric properties shown in Problem Specifications is supporting a concentrated mass, m. The beam is subjected to a dynamic load F(t) with a rise time tr and a maximum value F1. If the weight of the beam is considered to be negligible, determine the time of maximum displacement response tmax and the response ymax. Also determine the maximum bending stress σbend in the beam.
谱分析
谱分析是一种将模态分析结果与已知的谱分析联系起来的计算位移和应力的分析技术。它主要用于时间历程分析，以便确定结构在任意时间变化载荷下的动力学响应，简单而言就是载荷的谱不再是简谐运动。
简支梁的两端作垂直运动，也就是地震时的作用，确定其响应频率。
梁对地基地震时的谱分析
A simply supported beam of length , mass per unit length m, and section properties shown in Problem Specifications, is subjected to a vertical motion of both supports. The motion is defined in terms of a seismic displacement response spectrum. Determine the nodal displacements, reactions forces, and the element solutions.

机械结构动力学分析与有限元模拟

机械结构动力学分析与有限元模拟在机械工程领域，机械结构动力学分析与有限元模拟是非常重要的研究内容。

机械结构动力学分析是研究机械结构在运动过程中的力学行为和变形特性，而有限元模拟则是利用计算机方法对机械结构进行数值模拟和分析。

机械结构动力学分析主要研究机械结构在受到外力作用下的动力响应，包括机械结构的振动、变形和应力分布等。

在实际工程中，机械结构的动力响应对于结构的稳定性和寿命有着很大的影响。

通过动力学分析，可以评估机械结构的工作性能和安全性能，为机械设计提供理论依据。

有限元模拟是一种基于离散数值方法的计算方法，能够通过将连续问题离散为有限个子问题，然后对每个子问题进行离散和求解，从而得到整个问题的数值解。

在机械结构动力学分析中，有限元模拟可以对机械结构的动态响应进行数值计算和仿真。

通过建立机械结构的有限元模型，可以对结构的振动特性、应力分布和变形情况进行快速准确的分析。

有限元模拟的基本思想是将机械结构离散为有限个单元，然后根据物体的几何形状、材料性质和边界条件建立单元的刚度矩阵和质量矩阵。

通过求解整个机械结构的刚度方程和质量方程，可以得到机械结构的振动模态和响应。

有限元模拟可以帮助工程师更好地理解机械结构的动力学特性，为设计优化和结构改进提供依据。

在实际工程中，机械结构动力学分析与有限元模拟可以应用于很多领域。

例如，汽车工程师可以通过动力学分析和有限元模拟来研究汽车悬挂系统的振动特性，优化悬挂系统的设计，提高汽车的行驶稳定性和乘坐舒适性。

航空航天工程师可以利用动力学分析和有限元模拟来研究飞机机翼的动力响应，通过结构改进来提高飞机的飞行性能和安全性能。

除了应用于工程设计之外，机械结构动力学分析与有限元模拟还可以用于解决机械结构故障和失效的问题。

例如，一些机械结构在长期使用过程中可能会出现裂纹和疲劳损伤，这对结构的安全性和可靠性会造成很大的威胁。

通过动力学分析和有限元模拟，工程师可以预测结构的疲劳寿命和失效模式，为结构的检修和维护提供参考。

有限元-第9讲-动力学问题有限单元法

a1 ae a2
... an
ui(t) ai vi(t)
wi(t)
(i 1,2,...n,)
（3）形成系统的求解方程
••
•
M a(t)C a(t)K(ta )Q (t)
（1.8）
其中
••
•
a(t)和a(t)
分别是系统的结点加速度向量和结点速度向量，
M,C,K和Q(t)分别是系统的质量、阻尼、刚度和结点载荷向量。9
•
at
1 2t
att att
中心差分法的递推公式
（3.1）（3.2）
1 t2 M 2 1 tC a t t Q t K 2 t2 M a t 1 t2 M 2 1 tC a t t（3.3）
上式是求解各个离散时间点解的递推公式，这种数值积分方法又称为逐步积分法。
动力分析的计算工作量很大，因此提高效率，节省计算工作量的数值方案和方法是动力分析研究工作中的重要组成部分。目前两种普遍应用的减缩自由度的方法是减缩法和动力子结构法。
11
第2节质量矩阵和阻尼矩阵
一、协调质量矩阵和集中质量矩阵
单元质量矩阵
Me NTNdV称为协调质量矩阵。 Ve
集中质量矩阵假定单元的质量集中在结点上，这样得到的质量矩阵是对角线矩阵。以下分实体单元和结构单元进行讨论。
16
第2节质量矩阵和阻尼矩阵
按第二种方法计算，得到集中质量矩阵与第一种方法结果一样。
注：对于8结点矩形单元，两种方法得到的集中质量矩阵不同。
在实际分析中，更多的是推荐用第二种方法来计算集中质量矩阵。 2.结构单元
2结点经典梁单元、协调质量矩阵和集中质量矩阵如下所示：（1）协调质量矩阵
位移插值函数是 N N 1 N 2 N 3N 4（2.7）

有限元课件ch9 结构动力学

n
K
(n)
K 1 0 0
n i

0 0 K n
令
y 1 Y
Y Y Y
2 i 1
可以得到： i
Y M y
(i) T
(1 )
Y Y Y Y { }
(2) 2
y 称为几何坐标，称为正则坐标 M Y K Y P (t )
Y M K P ( t ) ， P ( t ) 广义荷载列阵
(i) T ( j) 2
j
(i) T
( j)
又已知：
M M ， K K
T
T
Y M Y 0 Y K Y 0
(i) T ( j) (i) T ( j)
振型关于质量正交振型也关于刚度正交
Y M Y M
(i) T (i)
M
i
， i (0)
Y M y ( 0 )
(i) T
M
i
i ( t ) i ( 0 ) cos i t
i (0)

sin
i
t
1 M i
i

t
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Pi (τ ) sin
i
( t τ ) dτ
i
1、主要问题：确定自振频率和相应振型；
m2
Y1 2
2、自振频率和自由度个数相等，由特征方程求出； 3、每个频率都对应自己的主振型； 4、主振型是结构的固有性质。
m1
第2振型

飞机结构动力学中的有限元分析研究

飞机结构动力学中的有限元分析研究随着现代航空工业的迅速发展，飞机结构的设计和制造技术也在不断提高，这使得飞机的性能和安全性得到了极大的改善。

然而，在飞机的设计和制造过程中，结构动力学是必须要考虑的一个重要因素。

飞机在飞行过程中会受到各种复杂的载荷和振动，如果结构不够牢固，就可能会发生失效的情况，对乘客和机组人员的人身安全构成威胁。

因此，为了确保飞机的安全，在设计和制造过程中必须要进行结构动力学分析。

在结构动力学分析中，有限元分析是一种广泛应用的数值方法。

有限元分析是一种利用一定的数学方法，将复杂结构抽象成一组简单的有限元单元，并用计算机求解结构的运动方程的方法。

通过这种方法，可以得到结构的应变、应力等信息，从而预测结构在不同载荷和振动条件下的响应，为飞机的设计和制造提供重要的支持。

接下来，本文将从飞机结构动力学分析中的有限元分析入手，探讨其相关内容。

一、有限元分析的基本原理有限元分析的基本原理是将复杂的结构模型划分成多个单元，然后通过一定的数学方法将这些单元拼接起来，形成一个整体的模型。

将结构模型划分成单元时，需要考虑到结构的几何形状、材料特性等因素。

在构建结构模型时，需要根据力学定律建立结构上的位移-力的关系式，然后利用这些关系式构建结构的刚度方程。

刚度方程是一个大型的线性代数方程组，可以求解结构的位移、应变、应力等信息。

二、研究的应用有限元分析在飞机结构动力学中有着广泛的应用，其应用包括静力学分析、模态分析、动态分析等。

其中，静力学分析是指在静态载荷作用下，对结构内的应力和变形进行分析和计算。

模态分析是指在正常运行时，分析结构产生的振动，从而确定结构的固有频率和振型。

动态分析是指在飞行过程中，对结构的响应进行研究，可以有效预测飞机在不同振动条件下的应变、应力和固有频率等信息。

有限元分析在飞机结构动力学中的应用，可以帮助设计师对飞机结构进行全面的性能评估和优化，从而提高飞机的安全性和可靠性。

此外，有限元分析还可以用于研究飞机的结构损伤和疲劳寿命，预测结构在不同条件下的寿命，并制定适当的维护计划，确保飞机的安全飞行。

有限元第五章有限元动力学基本原理

第五章有限元动力学分析基本原理
在前面的介绍中，我们均假设作用在弹性体（或结构）上的载荷与时间无关，与此相应的，位移、应力及应变等也都和时间无关，即前面介绍的全部内容皆称结构静力学有限元方法。但工程实际中还存在着另外一类载荷与时间有关的动载荷作用于结构或弹性体，此时，相应的位移、应力、应变等都与时间有关，而且必须考虑惯性力和加速度等因素，这类分析或问题，成为动力学分析。对于质点—弹簧系统的振动，大家比较熟悉，例如一个自由度为n的质点—弹簧振系，其动平衡方程为
停止迭代此时为低阶特性

2
1
（ i 1）
(i 1)
三、机械结构固有频率与振型
2.矩阵迭代法
例题：已知一振动系统的质量矩阵、刚度矩阵用迭代法计算其最高阶固有频率和振型。
1 0 0 3 2 0 M 0 2 0 K 2 5 3 0 0 3 0 3 3 1 1 1 解： 1 1 1.5 1.5 K 1 1.5 11 / 6
& & & M C K P
第五章有限元动力学分析基本原理
上式中每一项的含义不同
& & M C 为阻尼力

K 为弹性力
对于单元体而言，可以得到类似的上述方程

e T N N dV V
于是，令e T V来自m N N dV
一、单元质量矩阵的计算
1.一致质量矩阵
e
m 的计算式是通式，并因为计算质量矩阵和刚度矩
阵使用的形状函数一致，因此被称为一致质量阵。

结构动力学问题的有限元法

二、单元分析
单元分析旳任务仍是建立单元特征矩阵，形成单元特征方程。动态分析中，单元特征矩阵：刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。
动态分析中，仍采用虚位移原理建立单元特征矩阵。
在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移 qe ，则单元内也产生相应旳虚位移 d 和虚应变。单元内产生旳虚应变能为:
式中，ω为简谐振动圆频率；{Φ}为节点振幅列向量。
将解代入振动方程中，同步消去因子ejωt，可得
K 2 M 0
上式为一广义特征问题。根据线性代数可知，求解该问题能够求出n个特
征值
12
,
12
,,
2 n
和相相应旳n个特征向量
1,2 ,n 。其中特
征值ωi(i=1,2,…..,n)就是构造旳i阶固有频率，特征向量{Φi} i(i=1,2,…..,n)就是构造
三、总体矩阵集成总体矩阵集成旳任务是将各单元特征矩阵装配成整个构造旳特征矩阵，
从而建立整体平衡方程，即
M q Cq K q Rt
式中，{q}为所以节点位移分量构成旳n阶列阵，n为构造总自由度数；
R
t
n
Ri
t
（i为节点数），称为节点载荷列阵；[K]、[M]、[C]
分别为构i造1 旳刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。
旳i阶模态振型。
振型{Φi}是构造按频率ωi振动时各自由度方向振幅间旳相对百分比关系，它反应了构造振动旳形式，并不是振幅旳绝对大小。
固有特征分析实际上就是求解广义特征值问题。求解旳数值措施主要有 1、变换法基本思想是经过一系列矩阵变换，将矩阵[M][K]化为对角阵，
k11
K d
k 22
5 动态分析有限元法

机械结构有限元分析---结构动力问题有限元法

K V B DB dV
e T
单元阻尼矩阵
单元刚度矩阵单元等效结点荷载向量
F (t )e V N T FV dV S N T Fs T dS
07
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
7.3 结构运动方程及其动力学矩阵
一、结构的运动方程按照与静力有限元相同的方法，将所有单元的运动方程进行集成，可得结构总体运动方程：
07
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
7.1 动力学问题的基本概念
1、自由振动与受迫振动自由振动——动荷载为零，由初始位移和初始速度引起的结构振动。受迫振动——由动荷载引起的结构振动。 2、动力问题的主要研究内容结构的自振特性分析（无阻尼自由振动分析)，寻求结构的固有频率和主振型

结构的动力响应分析（受迫振动分析），寻求结构的动内力、动位移的大小及其变化规律。

07
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
3、动力有限元法的基本概念

结构离散
与静力问题相同，基本未知量仍为独立的结点位移 {δ}，但{δ}是时间t的函数，同时是确定结构全部质量位置的参数，故又称作动力自由度。位移模式
07
制作：南昌航空大学————贺红林，2014
2、集中质量矩阵将分布质量按某种原则换算成结点集中质量，按单元动力自由度顺序放入相应位置形成的单元质量矩阵，称集中质量矩阵。当质量均匀分布时，常按照结点所分担的线段、面积和体积确定该结点集中质量的大小。因为假设集中质量集中成质点，故没有转动惯量，与转动自由度相对应的质量为零。
0 sin t
代带入自由振动方程得
K M O

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，则：
• 方程的通解为：
• 则n 自由度无阻尼系统受迫振动广义坐标下的稳态响应为：
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8.5 复杂系统动力学模型
• 对于复杂机械系统多用拉格朗日法研究其动力学模型，在广义坐标、功和能的基础上建立微分方程，即：
• 式中 T ——系统动能； • U ——系统势能； • D ——虚功； • j Q′ ——广义势力； • j q ——系统广义坐标。
8.2 单元特性矩阵
• 其单元质量矩阵[M]为2× 2阶矩阵。其集中质量矩阵为：m =W / g = ρ Al ，载荷均匀分布，节点i和节点 j各承担m / 2。则有：
• 杆单元的形函数矩阵为：
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8.2 单元特性矩阵
• 则杆单元的一致质量矩阵为： • （2）三角形平面单元的一致质量矩阵为：
的微分方程的求解问题，式（8.72）则可以写为：
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8.4 振动系统响应分析
• 利用单自由度的概念和方法，可得到稳态响应为： • hr（ t）为第r 阶模态的脉冲响应函数，则： • 代入整理得：
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8.4 振动系统响应分析
• 系统施加的初始条件为{δ (0)}和
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8.3 固有特性分析
• 将解代入振动方程中，同时消去因子e jω t ，得：
• 系统的固有频率和振型是结构固有的特性，它仅与结构的质量和刚度有关，而与外界影响无关。外界扰动只能影响振幅，不能改变其固有
频率，若要改变结构的固有频率，只能从改变结构的质量或刚度入手，固有频率是结构动力性能的一个重要标志。
8.4 振动系统响应分析
• 则n 自由度无阻尼系统自由振动广义坐标下的稳态响应为：
• 8.4.3 无阻尼系统的受迫振动
• 求解受迫振动响应的方法是振型叠加法或称为模态分析方法，其基本思想是：利用振型矩阵，把描述系统运动的广义坐标变换到模态坐标（主坐标或正则坐标），把运动方程变换成n 个独立的方程，并求得系统在每个模态坐标下的响应，然后再得到系统在一般广义坐标下的响应。这种坐标变换过程，实际上是将振型进行组合叠加的过程和方法。
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8.5 复杂系统动力学模型
• 1. 系统的能量 • 1）系统的动能T • 系统内质点的动能与其运动状态相关，可分为三类，即： • （1）平动刚体的动能：
• 式中 m i——刚体的质量，kg； • vi ——刚体平动的速度，m/s。
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8.5 复杂系统动力学模型
• （2）绕定轴转动刚体的动能：
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 根据虚位移原理有：
•
U =W
• 将式（8.3）分别代入式（8.1）和式（8.2）并整理，可得单元动力方程为：
• 式中
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• {R(t)}e 为单元节点的动载荷列阵，它是作用在单元上的体积力、表面力和集中力向单元节点移置的结果。
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• [K]，[M]，[C]——结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。 • 其中，[K]与静力分析中的总刚度矩阵完全相同， • 而矩阵[M]、[C]也采用与[K]相同的集成方式， • 即：
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8.2 单元特性矩阵
• 8.2.1 单元质量矩阵
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8.6 结构振动模态分析过程实例
• 如果知道了结构的固有频率，便可在设计时使结构的固有频率避开其在使用过程中的外部激振频率。
• 本节首先对ANSYS 模态分析基本操作环节和相关分析选项进行简要的说明，然后结合一个齿轮模态分析的实例来说明ANSYS 进行结构固有振动特性分析的具体分析过程。
• 结构的模态分析技术是一种综合振动试验、数据处理及用计算机技术求取机械结构动态特性的有效工具。在机械结构的现代设计方法中，需要研究结构的固有振动特性、外界作用力及其在外力作用下的运动响应三者间的内在关系。通常，用来描述结构振动特性的参数有各阶固有频率、阻尼比及振型。这些参数又称为模态参数，获取这些参数的方法则称为模态分析技术。
• （3）平面运动刚体的动能：它等于随质心平动的动能与绕质心转动的动能之和，即
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8.5 复杂系统动力学模型
• 式中，vci ——刚体质心平动的速度； • J ci——刚体绕质心的转动惯量。 • 则系统的动能为：
• 2）系统的势能U • 系统的势能包括重力势能和弹性势能。
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8.4 振动系统响应分析
• n 自由度无阻尼受迫振动的运动学方程为： • 令{δ } = [Φ ]{q}，对振动方程进行正则变换后得到： • 方程左乘以[Φ ]T ，得：
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8.4 振动系统响应分析
• 由振型向量的正交性得： • 转换后的激振力为： • n 自由度无阻尼系统受迫振动的动力学方程解耦后可转换为n 个独立
8.5 复杂系统动力学模型
• 3）系统的散逸函数D • 阻尼力虚功为： • 式中 C i ——阻尼系数； • v i——运动速度。 • 系统的阻尼力虚功为：
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8.5 复杂系统动力学模型
• 2. 系统的动力学方程 • 在广义坐标、功和能的基础上建立微分方程。 • 对广义坐标qj 的微分方程为：
条件，直接写出动力平衡方程，或根据几何条件直接写出运动方程。 • （2）利用广义坐标得到系统的动能、势能、阻尼耗散函数及广义力
表达式，再依据拉格朗日方程推导出用广义坐标表示的运动方程。 • （3）根据虚功原理推导出运动方程。
• 8.1.1 单元动力学方程
• 由于节点具有速度和加速度，所以结构也将受到阻尼和惯性力的作用。根据达朗贝尔原理，在引入惯性力和阻尼力之后，结构仍然处于平衡状态，因此，在动态分析中可采用虚位移原理来建立单元特性方程。
• 8.3.2 固有频率和振型的计算
• 阻尼对于系统结构的固有频率和振型的影响很小，因此求解固有频率和振型时，只需用阻尼的自由振动方程来求解，即：
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8.3 固有特性分析
• 自由振动时，结构上的各点做简谐振动，所以可以令： • 式中 {δ }——节点的振幅向量（振型）； • ω ——该振型对应的频率。 • 则：
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8.4 振动系统响应分析
• 8.4.1 响应的分析方法
• 振动响应的分析方法主要有两种，一种是以系统主振型为基础的振型叠加法，另一类是数值积分法。
• 8.4.2 无阻尼系统的自由振动
• 无阻尼系统自由振动的运动微分方程为：
• 令：
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8.4 振动系统响应分析
• 对振动方程进行正则变换后可得到： • 方程左乘以[Φ ]T ，得： • 由振型向量的正交性得：
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 8.1.2 结构整体动力学有限元方程
• 将各个单元的刚度矩阵扩展成总刚度矩阵的阶数，并完成坐标转换，再进行叠加，可以得到结构的总动力学方程为：
• 式中 δ (t)——所有节点位移分量组成的 n 阶列阵（n 为结构的总自由度数）；
• 称为节点载荷列阵，即一个节点上的节点力是由该节点所在的所有单元的相应节点（同这个节点）上的节点力的总和来集成的；
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8.2 单元特性矩阵
• 1. 一致质量矩阵 • 一致质量矩阵的分布较合理，可以求得更精确的振型，另外，其整个
模型的质量分布还受到网格划分形式的影响。 • 在离散后的结构中取出一个单元，根据达朗贝尔原理，单位体积上作
用的惯性力为：
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8.2 单元特性矩阵
• 由于惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和实施过程，则有： • 令：
• 单元质量矩阵有以下两种形式： • （1）一致质量矩阵，又称为协调质量矩阵。这种矩阵与单元刚度矩
阵形成的方法是一样的，即利用形函数矩阵导出，它能比较准确地反映单元内质量分布的实际情况。 • （2）集中质量矩阵，又称为聚缩质量矩阵。它是将单元内分布的质量按质心不变的原则分配到单元的各个节点上。由于它没有耦合项的对角阵，所以使计算大为简化。虽然其精度不如一致质量矩阵好，但是也能满足工程计算的要求。
阻尼力
（其中ρ 为材料的密度，v 是线性阻尼系数）
• ，则外力所做的虚功为：
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 式中
——作用于单元上的动态体积力、
• 动态表面力和动态集中力； • V——单元体积； • S——单元面积。
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 形函数仅为坐标x、y、z 的函数，与时间无关，因此有：
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8.4 振动系统响应分析
• 式中
——固有频率的对角阵。
• n 自由度无阻尼系统自由振动的动力学方程解耦后就转换为n 个独立的微分方程的求解问题。求出特征方程的n 个特征值和对应的特征向量后，就得到振动方程的n 个线性无关的特解，则式（8.66）可以写为：
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• 模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型，这些模态参数可以由计算或实验分析取得。基于线性叠加原理，一个复杂的振动系统可以分解为许多模态的叠加，这样的一个分解过程被称为模态分析。任何结构或部件都有固有频率和相应的模态振型，这些属于结构或部件自身的固有属性。
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8.2 单元特性矩阵
• 单元质量矩阵为：
• 集中质量矩阵将单元的分布质量按等效原则分配到各个节点上，等效原则要求不改变原单元的质量中心，这样形成的质量矩阵称为集中质量矩阵。

结构动力学方程及有限元方程

结构设计知识：结构设计中的自由振动分析

动力学有限元

结构有限元分析 (2)

结构动力学问题的有限元法

六、-动力学问题的有限元法

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机械结构动力学分析与有限元模拟

有限元-第9讲-动力学问题有限单元法

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有限元第五章 有限元动力学基本原理

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