@高等数学(B2)期末模拟试卷(一)及答案

高等数学（B2）期末模拟试卷（一）
一、选择题（本大题共10小题，每题3'，共30'）:
1. )1ln(41222
2-++--=
y x y x z ，其定义域为----------------------------------（A ）.
A {}41),(2
2
<+<y x y x B {
}
41),(2
2<+≤y x y x C {
}41),(2
2≤+<y x y x D {
}
41),(2
2≤+≤y x y x .
2. 设y
x z =，则=dz --------------------------------------------------------------------------（D ）. A dy yx xdx x y y
1
ln -+ B dy x dx yx y y +-1
C xdy x xdx yx
y y ln ln 1+- D xdy x dx yx y y ln 1+-.
3. 由椭圆
116
252
2=+y x 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（ C ）. A 520
2y dx π
⎰
B 520
4y dx π⎰ C 420
2x dy π⎰ D 4
20
4x dy π⎰.
4. 设)3,2,1(=a ρ，)4,3,2(=b ρ，)2,1,1(-=c ρ
，则.)(c b a ρρρ⋅⨯为--------------------（A ）.
A 5-
B 1-
C 1
D 5. 5. 设05432:=+++∏z y x ，4
1
321:
-=
=-z y x L ，则∏与直L 的关系为---（ A ）. A L 与∏垂直 B L 与∏斜交 C L 与∏平行 D L 落于∏内.
6. 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{}
40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D ,)(2
2y x f +为D 上的连续函数，则
σd y x f D
)(22⎰⎰
+可化为----------------------------------------------------（C ）.
A
σd y x f D )(
1
22⎰⎰+ B σd y x f D )(21
22⎰⎰+
C σd y x f
D )(4
1
22⎰⎰
+ D σd y x f D )(81
22⎰⎰+.
7. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C ）.
A x
e cx y += B x e
c y x
c +=+21
C x c e c y x
21+= D )(21x
e x c c y +=.
8. 下列哪个级数收敛---------------------------------------------------------------------------（D ）. A
∑∞
=-1
)1(n n
B
∑
∞
=+1
1001
n n C ∑∞
=+1
100n n n
D
∑∞
=1
100
100
n n . 9. 若⎰⎰=D
d 4σ，其中ax y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数=a ---------------------（ B ）.
A 3
22 B 2 C 3
4
2 D 2
32. 10. 若幂级数
∑∞
=-1
)1(n n
n
x a
在3=x 处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（ B ）. A 1 B 2 C 3 D 4.
二、计算题（本大题共4小题，每题7'，共28'）:
1. 设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，若)cos ,(sin y x f z =，求
.,2y x z x z ∂∂∂∂∂ 解： ,cos 1xf x
z
=∂∂
=∂∂∂y x z 2.cos sin )sin (cos )(1212xf y y xf x z y -=-⋅=∂∂∂∂ 2. 设)sin(2
2
y x z +=，求⎰⎰
D
zdxdy . D :22224ππ≤+≤y x .
解：
⎰⎰
D
zdxdy =)4cos (cos 22πππ-
3. 设曲线x
e y 2=， )1ln(+=x y 与直线1=x 及y 轴所围成的区域为D ，求D 的面积.
解D 的面积=
2ln 2)1(212
-+e . 4. 解微分方程.2x e x y dx
dy
x -+=
解：x xe y x
dx dy -=-1
x xe x Q x
x P -=-=)(,1
)(
⎰
-=∴x dx x P ln )(， x x x dx
x P e dx e xe dx e
x Q ----=⋅=⎰
⎰⎰ln )()(
故通解为)(C e
x y x
+-=-
三、计算题（本题9'）设⎰⎰
=20
2sin π
πy y
dx x
x
dy I ，（1）改变积分次序；
（2）计算I 的值.
解：⎰
⎰
=
20
2
sin π
πy
y
dx x
x
dy I =πππ
π
π
2
1)2(sin sin 2022022-=-=⎰⎰⎰dx x x x x dy x x dx x
x 四、证明题（本题8'）求证：曲面a z y x =++上任何点处的切平面在各坐标
轴上的截距之和等于a .
解：设切点为（000,,z y x ）且设=),,(z y x F a z y x -++，
则切平面方程为：
+
-)(2100
x x x +
-)(2100
y y y 0)(2100
=-z z z
令0==z y 可得：切平面在x 轴上的截距为 a x z x y x x 000000=++
同理可得：切平面在z y ,轴上的截距分别为,,00a z a y
因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于a a z a y a x =++000。

五、计算题（本题8'）求1
1
(1)n n
n x n +∞
=-∑的收敛域及和函数.
解：解：x x n x n n n n n n =⋅+⋅-++-++++∞→1
1
)1(1
11
)1(1
)1()1(lim
Θ 故12)1(1
21
+-+∞
=∑n x n n n
的收敛半径为1
易知当1=x 时，1)1(11+-+∞
=∑n x n n n
收敛；当1-=x 时，1)1(11
+-+∞
=∑n x n n n 发散 因此1)1(1
1
+-+∞
=∑n x n n n
在]1,1(-收敛。

六、计算题（本题8'）设)(x f y =是第一象限内连接A )1,0(，B )0,1(的一段连续曲线，
),(y x M 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点.若梯形OCMA
的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为
3
1
63+x ，求)(x f 的表达式. 解：⎰+=
++133
1
6)1(2x x ydx y x 11
122)1(2122++=⇒-=-'⇒=-'++Cx x y x
x y x y x y y x y 由20)1(-=⇒=C y ，故 2
)1()(-=x x f
七、应用题（本题9'）设生产某种产品必须投入两种要素, 1x 和2x 分别为两种要素的
投入量,产出量为 3
223
1
12x x Q =, 若两种要素的价格之比为
42
1
=p p ,试问: 当产出量12=Q 时, 两种要素的投入量21 , x x 各为多少，可以使得投入总费用最小？
解:．该题为求费用函数 221121),(x p x p x x C += 在条件1223
223
11=x x 下的最小值问题.为此作拉格朗日函数 )212(),,(3223
112211x x x p x p x x L -++=λλ
令⎪⎩
⎪⎨⎧
12
20340
3232
23113123112322321121==-==-=-
-
x x x x p L x x p L x x λλ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒122832231112x x x x
⎩⎨⎧==⇒24
321x x ，即两种要素各投入3,24可使得投入总费用最小.。