数学：6.6《关注三角形的外角》教案(北师大版八年级下)

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《三角形的外角》教案(苏版初二上册数学)

∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=540°
又∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠1+∠2+∠3==360°。
你能用语言叙述本例的结论吗？
三角形外角的和等于360°。
七、交流展现(3)
1、课本15页练习
2、已知：D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°
3.已知，如图，在△ABC中，D是三角形内一点，
求证：∠BDC>∠BAC。
九、小结
1、什么是三角形外角？
2、三角形的外角有哪些性质？
（1.三角形的外角与它相邻的内角互补。
2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4.三角形的外角和等于360°。
求：(1)∠BDC度数．(2)∠BFD度数．
八、巩固练习：
1.一个三角形的两内角分别55°和65°，它的外角不可能是（）
A. 115°B. 120°C. 125°D. 130°
2.已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么那个三角形是（）
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上三种情形都有可能
二、自主学习(1)：
1.自学内容：教材第15页“摸索”上.
2.自学要求：学生明白得三角形外角的概念。
三、交流展现(1)：
1：三角形外角的定义：________________________________
2：外角的特点有三：(1)顶点在___________上．(2)一条边是______________．(3)另一条边是__________________．

北师大八年级数学教案-三角形的外角

第2課時三角形的外角1．瞭解並掌握三角形的外角的定義；(重點)2．掌握三角形內角和定理的兩個推論，利用這兩個推論進行簡單的證明和計算．(難點)一、情境導入上節課我們證明三角形內角和定理．在證明三角形內角和定理時，用到了把△ABC的一邊BC延長得到∠ACD，這個角叫做什麼角呢？下面我們就給這種角命名，並且來研究它的性質．二、合作探究探究點一：三角形內角和定理的推論1【類型一】三角形內角和定理的推論1如圖，如果∠1＝100°，∠2＝145°，那麼∠3等於()A．110°B．160°C．137°D．115°解析：∠1＝100°∠2＝145°∠BAC＝80°∠ABC＝35°∠3＝∠BAC＋∠ABC＝115°方法總結：三角形的外角等於與它不相鄰的兩個內角的和，而不是等於任意兩個內角的和．【類型二】三角形內角和定理的推論1的規律探究如圖，在△ABC中，∠A＝m，∠ABC和∠ACD的平分線交於點A1，得∠A1；∠A1BC 和∠A1CD的平分線交於點A2，得∠A2；…；∠A2015BC和∠A2015CD的平分線交於點A2016，則∠A2016＝________．解析：因為BA 1平分∠ABC ，CA 1平分∠ACD ，所以∠A 1BC ＝12∠ABC ，∠A 1CD ＝12∠ACD ，因為∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，即12∠ACD ＝∠A 1＋12∠ABC ，所以∠A 1＝12(∠ACD －∠ABC)＝12∠A ，所以∠A 1＝12m.同理∠A 2＝12∠A 1＝122∠A ＝m 22.依此類推，∠A 2016＝122016∠A ＝m22016，故填错误!.方法總結：解題用到三角形的內角和定理及推論．從圖形中找規律，首先要得到前幾項，然後比較它們之間的關係，歸納猜想得出一般結論．探究點二：三角形內角和定理的推論2如圖，P 是△ABC 內的一點，求證：∠BPC ＞∠A.解析：由題意無法直接得出∠BPC ＞∠A ，延長BP 交AC 於D ，就能得到∠BPC ＞∠PDC ，∠PDC ＞∠A.即可得證．證明：延長BP 交AC 於D ，∵∠BPC 是△ABC 的外角(外角定義)，∴∠BPC ＞∠PDC(三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角)．同理可證：∠PDC ＞∠A ，∴∠BPC ＞∠A.方法總結：利用推論2證明角的大小時，兩個角應是同一個三角形的內角和外角．若不是，就需借助中間量轉化求證．三、板書設計三角形的外角⎩⎪⎨⎪⎧外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角利用已經學過的知識來推導出新的定理以及運用新的定理解決相關問題，進一步熟悉和掌握證明的步驟、格式、方法、技巧．進一步培養學生的邏輯思維能力和推理能力，特別是培養有條理的想像和探索能力，從而做到強化基礎，激發學習興趣．。

初中数学_三角形证明的复习教学设计学情分析教材分析课后反思

北师大版初中数学八下第一章《三角形的证明复习课》教学设计北师大版初中数学八年级下册第一章三角形的证明复习课第一课时一、学生学情分析学生在本章学习并证明完成了全部8条基本事实，并学习了三类特殊的三角形------等腰三角形，等边三角形，直角三角形。

通过对这三类三角形性质和判定的探索与证明积累了一定的探索经验，并继续深入学习证明的方法和格式；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.再将文字语言与图形语言，符号语言转换方面也有了很大提升。

八年级学生已有合情推理，慢慢的侧重于演绎推理，在经历了对八条基本事实时的探究，证明过程中，积累了更多的活动经验。

在学习了本章后，无论是对证明的必要性的体会，对证明严谨性以及证明思路的多样性上都有了长足的进步。

具备自己整理知识，进行知识梳理，逐渐将学习内容纳入知识体系的能力。

二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.经过一个阶段的学习，有必要对有关知识进行回顾与思考，引导学生回顾总结本章学习的主要内容及其蕴含的数学思想，并思考这些内容获得的过程，帮助学生逐步构建知识体系，养成回顾与反思的学习习惯。

本节课的教学目标是：1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．重点与难点重点：1.构建本章知识内容框架，发现其中关联2.通过对典型例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。

北师大版八年级数学三角形的外角教案

《三角形的外角》教学设计
教学过程一、直接导入
二、新课
1、三角形外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
2、探究1：请画出三角形的外角
探究2：外角之间的关系
探究3：外角与内角之间的关系
3、三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
事实上：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
三、练习：
1、上图中的哪个角是三角形的外角
教学目标1、理解三角形的外角.
2、掌握三角形外角的性质,能利用三角形外角的性质解决问题.[来3源:Z_xx_]
3、在观察、操作、推理等探索过程中,开展学生的分析、推理能力.
录制工具和方法屏幕录制型
教学重点三角形的外角和三角形外角的性质.
教学难点理解三角形的外角.
教学方法讲授法、自主探究
教学手段多媒体辅助教学
2、∠BEC是〔〕的一个外角，
∠BDC是〔〕的一个外角
∠BFC是〔〕的一个外角，
3、说出以下图形中∠1度数：
四、课堂小结
1.学到了什么？
2.数学研究的常用方法.
五、思考
，如图∠A=50°、∠B=20°、∠C=30°。

求∠BDC 度数。

北师大版八年级下66关注三角形的外角教案

教学目标：1.理解三角形的外角概念，能够准确计算三角形的外角大小。

2.掌握证明三角形外角和的方法，能够使用三角形外角和定理解决相关问题。

3.培养学生观察、分析、解决问题的能力。

教学重点：1.外角的概念及计算方法。

2.证明三角形外角和定理的方法。

3.运用三角形外角和定理解决问题。

教学难点：1.三角形外角和定理的理解与证明。

2.运用三角形外角和定理解决复杂问题。

教学准备：1.教师准备多个示例三角形的图形和角度大小。

2.学生准备直尺和量角器。

教学过程：一、导入（10分钟）1.复习上节课所学的内角概念，并与外角进行对比。

2.提出问题：“你为什么觉得三角形的外角和是180度呢？”引导学生思考外角和的特点。

二、概念阐述（15分钟）1.提供示例三角形，引导学生观察三角形的外角与内角的关系，并总结外角的定义与性质。

2.引入三角形外角和概念，并给出三角形外角和的定理：“一个三角形的各个外角之和等于180度。

”3.教师给出证明三角形外角和定理的思路，引导学生尝试证明。

三、小组合作（20分钟）1.将学生分成小组，每个小组给一些三角形，要求计算外角和。

2.学生利用直尺和量角器测量三角形角的大小，并计算外角和。

3.学生将计算结果进行对比，讨论各自解题的方法与答案是否一样。

四、整体讲评（15分钟）1.随机抽取几组学生谈论解题方法与答案的不同之处，让学生体会到解题方法的多样性。

2.引导学生总结求三角形外角和的一般方法，鼓励学生发现规律。

3.通过讲解示例题，解决学生在小组讨论中未解决的问题。

五、拓展应用（20分钟）1.提供更复杂的三角形图形，引导学生运用三角形外角和定理解决问题。

2.鼓励学生提出更多的问题，让学生在解决问题中进一步理解三角形的外角和定理。

3.引导学生将所学知识应用于实际生活中，如测量房间、城市道路的角度等。

六、总结归纳（10分钟）1.整理学生的思考与讨论，进行知识总结和归纳。

2.强调三角形外角和定理的重要性和应用价值，并巩固学生的理解。

2021年八年级数学下册 6.6关注三角形的外角教案北师大版

2021年八年级数学下册 6.6关注三角形的外角教案北师大版●教学目标（一）教学知识点1.三角形的外角的概念.2.三角形的内角和定理的两个推论.（二）能力训练要求1.经历探索三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力.2.理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用.（三）情感与价值观要求通过探索三角形内角和定理的推论的活动，来培养学生的论证能力，拓宽他们的解题思路.从而使他们灵活应用所学知识.●教学重点三角形内角和定理的推论.●教学难点三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用.●教学过程Ⅰ.巧设现实情境，引入新课回忆：上节课我们证明了三角形内角和定理，大家来回忆一下：它的证明思路是什么？（通过作辅助线，把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.这样就可以证明三角形的内角和等于180°）.那三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用.Ⅱ.讲授新课1、三角形的外角三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.2、外角的特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上.（2）一条边是三角形的一边.如：（3）另一条边是三角形某条边的延长线.（4）一个三角形有6个外角。

3、外角的性质议一议如图，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？误区：三角形的一个外角等于两个内角的和.它也大于三角形的一个内角.如：（1）（2）图（1）中，∠ACD是△ABC的外角，从图中可知：△ACB是钝角三角形.∠ACB>∠ACD.所以∠ACD不可能等于△ABC内的任两个内角的和.图（2）中的△ABC是直角三角形，∠ACD是它的一个外角，它与∠ACB相等.三角形的一个外角等于和它不相邻．．．．．的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻．．．．．的内角.4、什么叫推论由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论。

5、三角形内角和定理的推论的应用图6－59［例1］已知，如图6－59，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，求证：AD∥BC.6、若证明两个角不相等、或大于、或小于时，该如何证呢？图6－60［例2］已知，如图6－60，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E是边AC 上一点，延长BC到D，连接DE.求证：∠1>∠2.Ⅲ.课堂练习Ⅳ.课时小结主要研究了三角形内角和定理的推论：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.Ⅴ.课后作业2.预习提纲用自己的语言梳理本章知识.Ⅵ.活动与探究1.如图，求证：（1）∠BDC>∠A.（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.如果点D 在线段BC 的另一侧，结论会怎样？ 33172 8194 膔40593 9E91 麑 _37999 946F 鑯y29431 72F7 狷30770 7832 砲21925 55A5 喥37021 909D 邝H28984 7138 焸w22009 55F9 嗹。

7.5第2课时三角形的外角1-2021-2022学年八年级上册初二数学(教案)(北师大版)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形外角在实际生中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.教学难点
-难点在于理解三角形外角与相邻内角的互补关系，以及这个性质在解题中的应用。
-学生在运用外角性质进行证明时，可能会感到困惑，如何将外角性质与已知的几何定理结合使用。
-难点还在于引导学生从实际问题中抽象出几何模型，特别是在解决一些综合性的几何问题时，如何正确地识别和应用外角性质。
-举例：在解决一个综合题目时，难点在于指导学生如何通过画出一个三角形的外角来发现新的角度关系，进而解决原问题。例如，当给定三角形的两个内角和一条边时，学生需要通过作外角来找到第三个内角，这里学生可能会对外角的添加位置和如何利用外角性质求解感到困难。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三角形的外角》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求一个三角形未知角度的情况？”（例如，在修补篱笆时计算需要多少角度的木条）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形外角的奥秘。
7.5第2课时三角形的外角1-2021-2022学年八年级上册初二数学（教案）（北师大版）
一、教学内容
本节课选自《初二数学（北师大版）7.5第2课时三角形的外角》，教学内容主要包括以下几部分：
1.理解三角形外角的概念，掌握三角形外角与相邻内角的关系。

6.6关注三角形的外角

6.6关注三角形的外角学前准备重点：掌握三角形外角的两条性质难点：灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题学习准备1.三角形内角和定理是什么？2.什么是三角的外角？课中导学阅读感知通过阅读课本242-244页回答下列问题1.什么是推论？2.三角形内角和定理的两个推论（三角形外角的两个性质）是什么？3.三角形的内角与外角有哪些关系？4.三角形外角具有哪些特征？合作探究如图1，求证：（1）∠BDC＞∠A；（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A。

小组讨论1.上图与我们所研究过的图形有所不同，那么如何转化为我们研究过的图形呢？2.有几种证明方法？选择一种你认为简单的方法完成。

3.解决问题的过程中你用到了哪些知识？哪些数学思想？4.如果改变D点的位置在线段BC的另一侧，你是否能解答？试一下吧！巩固练习1.如图2，在△ABC中，∠A=80°，点D是BC延长线上的一点，∠ACD=150°，，则∠B= 。

2.如图3，∠1=27°，∠2=95°，∠3=38°，求∠4的度数。

3.已知；如图4，∠BAF 、∠CBD 、∠ACE 是△ABC 的三个外角，求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°反思感悟通过本节课的学习，我们知道了： 1. 三角形内角和定理的两个推论； 2. 三角形的外角一般为图上条件，在已知条件中并不出现，我们称三角形外角为图上隐含条件，所以在审题时要确认图上已知条件，还要认真审阅图形的隐含条件；3. 证角的不等关系用“三角形外角大于与它不相邻任一内角”来证；4. 本节课用到了数形结合、转化的数学思想。

课后巩固1. 如图5，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一条直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E= 度。

2.如果三角形三个外角度数之比为3：4：5，那么这个三角形一定是（）A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 斜三角形3.如图6，△ABC 的外角的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

2022人教版数学《三角形的外角》配套教案(精选)

三角形的外角【知识与技能】1.掌握三角形的外角的定义.2.掌握三角形的外角的三个重要定理.【过程与方法】先通过画图学习三角形外角的定义，再用上一节学过的证明技术证明“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，再由上面的结论直接推出：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.通过对教材例2的学习，引导学生得出一个重要定理：三角形外角的和等于360°.【情感态度】经历由已知定理推出新定理的过程使学生了解“推陈出新”的辩证唯物主义世界观.【教学重点】三角形的外角定义及性质.【教学难点】利用三角形的外角性质解决有关问题.一、情境导入，初步认识问题1 画一个三角形，延长三角形的一边，就得到三角形的一个外角，请根据图形探究三角形的外角的定义.问题 2 任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有怎样的关系？你能发现并证明吗？问题3 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？【教学说明】学生分组讨论，然后交流成果，对问题2要求学生写出已知、求证，再写出证明过程.这里要重点指导，必要时板书示范.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知思考 1.一个三角形有几个外角？2.三角形的外角有哪些性质.【归纳结论】1.定义：三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.2.一个三角形的每一个顶点处有两个外角，它们是对顶角.为了方便，在每一个顶点处只取一个外角，所以一个三角形共有三个外角.（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；（注意：这里的不相邻三个字特别重要，不可缺少）.（3）三角形的外角和等于360°.三、运用新知，深化理解1.下列四个图形中，能判断∠1＞∠2的是（）2.如图，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB=35°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（）A.35°B.70°C.110°D.120°3.如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶4，求∠1，∠2，∠3的度数.4.五角星ABCDE中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于多少度.5.如图,证明∠1＞∠A.6.如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD.（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.【教学说明】教师根据实际情况选取讲解.【答案】1~5略.6.解：（1）解法一：如图（甲），延长BP交直线AC于点E.∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD，∵∠APB=∠PAE+∠PEA，∴∠APB=∠PAC+∠PBD.解法二：如图（乙），过点P作FP∥AC，∴∠PAC=∠APF.∵AC∥BD，∴FP∥BD.∴∠FPB=∠PBD.∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD.解法三：如图（丙），∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°.即∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°.又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∴∠APB=∠PAC+∠PBD.（2）不成立.（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB.（b）当动点P在射线BA上时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB.或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）.（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD.选择（a）证明：如图（丁），连接PA，连接PB交于AC于M.∵AC∥BD，∴∠PMC=∠PBD.又∵∠PMC=∠PAM+∠APM，∴∠PBD=∠PAC+∠APB.选择（b）证明：如图（戊），∵点P在射线BA上，∴∠APB=0°.∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC.∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD.选择（c）证明：如图（巳），连接PA，连接PB交AC于F∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD.∵∠PAC=∠APF+∠PFA，∴∠PAC=∠APB+∠PBD.四、师生互动，课堂小结1.三角形的外角等于和它不相邻两内角的和.2.三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角.1.布置作业：从教材“习题”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学应突出学生主体性原则，即通过探究学习，指引学生独立思考，自主得到结果，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.第3课时二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质1．会用描点法画出y ＝a (x －h )2＋k 的图象．2．掌握形如y ＝a (x －h )2＋k 的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2之间的联系．一、情境导入对于二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象，你能说出它的顶点坐标、对称轴和开口方向吗？你能再说出一个和这个函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向一致的二次函数吗？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质【类型一】二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象求二次函数y ＝x 2－2x －1的顶点坐标、对称轴及其最值．解析：把二次函数y ＝x 2－2x －1化为y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的形式，就会很快求出二次函数y ＝x 2－2x －1的顶点坐标及对称轴．解：y ＝x 2－2x －1＝x 2－2x ＋1－2＝(x －1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)，对称轴是直线xx ＝1时，y 最小值＝－2.方法总结：把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)化成y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)形式常用的方法是配方法和公式法．【类型二】二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，x ＝－1是对称轴，有下列判断：①b －2a ＝0；②4a －2b ＋c <0；③a －b ＋c ＝－9a ；④若(－3，y 1)，(32，y 2)是抛物线上两点，则y 1>y 2.其中正确的是( )A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④解析：∵－b2a ＝－1，∴b ＝2a ，即b －2a ＝0，∴①正确；∵当x ＝－2时点在x 轴的上方，即4a －2b ＋c >0，②不正确；∵4a ＋2b ＋c ＝0，∴c ＝－4a －2b ，∵b ＝2a ，∴a －b ＋c ＝a －b －4a －2b ＝－3a －3b ＝－9a ，∴③正确；∵抛物线是轴对称图形，点(－3，y 1)到对称轴x ＝－1的距离小于点(32，y 2)到对称轴的距离，即y 1>y 2，∴④正确．综上所述，选B.方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a 、b 、c 的符号确定：抛物线开口方向决定了a 的符号，当开口向上时，a ＞0，当开口向下时，a ＜0；抛物线的对称轴是x ＝－b2a ；当x ＝2时，二次函数的函数值为y ＝4a ＋2b ＋c ；函数的图象在x 轴上方时，y >0，函数的图象在x 轴下方时，y <0.【类型三】利用平移确定y ＝a (x －h )2＋k 的解析式将抛物线y ＝13x 2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )A ．y ＝13(x －2)2－1B ．y ＝13(x －2)2＋1C ．y ＝13(x ＋2)2＋1D ．y ＝13(x ＋2)2－1解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y ＝13x 2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y ＝13x 2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y ＝13x 2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y ＝13(x －2)2－1，故选A.探究点二：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的应用【类型一】y ＝a (x －h )2＋k 的图象与几何图形的综合如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝－2，点C 在抛物线上，且位于点A 、B 之间(C 不与A 、B 重合)．若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为________．(用含a 的式子表示)解析：如图，∵对称轴为直线x ＝－2，抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，∴OB ＝4，∵由抛物线的对称性知AB ＝AO ，∴四边形AOBC 的周长为AO ＋AC ＋BC ＋OB ＝△ABC 的周长＋OB＝a＋4.故答案是：a＋4.方法总结：二次函数的图象关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质，将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用．【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的实际应用心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数y＝－110(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？解：(1)0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；13≤x≤30时，学生的接受能力逐步降低．(2)当x＝10时，y＝－110(10－13)2＋59.9＝59.故第10分钟时，学生的接受能力是59.(3)当x＝13时，y值最大，，故第13分钟时，学生的接受能力最强．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.第1课时单项式与单项式、多项式相乘一、新课导入1.导入课题：有一块长方形的大型画布，它的长为5×103cm，宽为3×102cm，你能计算出它的面积吗？画布的面积是(5×103)×(3×102)cm2，你能计算出它的结果是多少吗？2.学习目标：（1）能叙述出单项式乘以单项式,单项式乘以多项式的运算法则.（2）灵活地运用法则进行计算和化简.3.学习重、难点：重点：单项式乘单项式及单项式乘以多项式的运算法则及应用.难点：单项式乘单项式及单项式乘以多项式的运算法则的应用.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：探究单项式乘以单项式的运算法则.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：采用“计算、观察、比较、归纳”的学习方法获取结论.（4）自学参考提纲：①怎样计算（5×103）×（3×102）？计算过程中用到哪些运算律及运算性质？（5×103）×（3×102）=5×3×103×102运用了乘法交换律.=（5×3）×（103×102）运用了乘法结合律.=15×105=1.5×106.运用了乘法的运算.②如果将上式中不是指数的数字改为字母，能得到怎样的算式，写出试试看.计算ac5·bc2=ab·c7; 3a2b·2ab3=6a3b4.③通过刚才的尝试，能归纳出单项式与单项式相乘的运算法则吗？④完成教材第99页“练习”第2题.2.自学：学生结合自学参考提纲进行自主探究.3.助学：（1）师助生：①明了学情：抽查不同层次的学生，了解学生完成探究的过程和结果是否正确.②差异指导：引导学困生复习回顾幂的乘方、同底数幂的乘法，积的乘方法则及运算律.（2）生助生：学生之间相互交流帮助解决疑难问题.4.强化：（1）单项式与单项式相乘的法则.（2）计算：(1)2c5·5c2；（2）(-5a2b3)·(-4b2c).解：（1）10c7；（2）20a2b5c1.自学指导：（1）自学内容：教材第98页例4.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真观察例4解题的过程，注意符号变化和运算顺序.（4）自学参考提纲：①请你回忆同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的法则.②计算(2x)3·(－5xy2)时，先算（2x）3，再与(-5xy2)相乘.为什么？因为有理数的混合运算法则为：①先算乘方，再乘除，最后加减;②同级运算，从左到右进行;③如有括号按小括号、中括号、大括号依次进行.③计算：3x2·5x3=15x5；2ab·5ab2·3a2b=30a4b4；4y·（－2xy2）=-8xy3；（a3b）2·（a2b）3=a12b5.2.自学：结合自学指导，研读课本例题.3.助学：（1）师助生：①明了学情：抽查不同层次学生的计算情况，了解存在的主要问题.②差异指导：对理解运算顺序的确定有困难的学生进行指导.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：交流与总结：①运算顺序；②运算符号.1.自学指导：（1）自学内容教材第99页到教材第100页例5上面.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真看书，重要的内容打上记号，有疑问的地方做上记号.（4）自学参考提纲：①等式p(a+b+c)=pa+pb+pc，是根据矩形的面积关系得出来的，你能根据分配律得到这个等式吗？②等式p(a+b+c)=pa+pb+pc提供了单项式与多项式相乘的方法，你是如何理解的？③单项式乘以多项式应用了乘法的什么运算律？乘法分配律.④试标出单项式乘以多项式的运算法则中的关键字词.⑤试一试：－2x(x+y)=-2x2-2xy;3ab(a+b)=3a2b+3ab2;－(m－n+2)=-m+n-2.2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师采取交谈、抽查方式了解自学进度及存在的问题.②差异指导：强调法则要点：“乘多项式的每一项”，“把所得的积相加”，并注意符号法则.（2）生助生：生生互相交流帮助解决疑难.4.强化：（1）运算法则:①文字表达：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.②式子表达：p（a+b+c）=pa+pb+pc.（2）单项式乘以多项式中的每一项，不要漏掉任何一项，并要注意符号的确定，合并同类项之前的项数与多项式的项数相同.（3）计算：（－2a2）·（3ab2－5ab3）.=-6a3b2+10a3b31.自学指导：（1）自学内容：教材第100页例5.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真观察例5的计算过程的依据，要注意去括号后的符号变化.（4）自学参考提纲：①标出例5题目中的单项式和多项式.②通过例5尝试归纳单项式乘多项式的计算步骤.③单项式乘以多项式的运算法则，就是把单项式乘以多项式的问题转化为单项式乘以单项式的问题.④思考：结合例5，你能说说当式子中含有负号时的简化方法吗？2.自学：结合自学参考提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生是否领会单项式乘多项式的方法和依据.②差异指导：重点对第（1）、（2）小题符号问题进行指导.（2）生助生：学生之间互助交流解决疑难.4.强化：（1）将单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式的乘法，将新知识转化为已学过的知识.（2）计算：①(－2a)·(2a+1) ②2x2(3x2－5y) ③3a(5a－2b)=-4a2-2a =6x4-10x2y =15a2-6ab（3）根据提示填空：计算：(12ab2－13a2b－6ab)·(－6ab)方法一：原式=12ab2·（－6ab）+（-13a2b）·（－6ab）+（-6ab）·（－6ab）＝-3a2b3＋2a3b2＋36a2b2方法二：原式=12ab2·（－6ab）-13a2b·（－6ab）－6ab·（－6ab）.＝-3a2b3＋2a3b2＋36a2b2三、评价1.学生的自我评价：各小组组长汇报本组的学习情况，总结经验、收获和不足.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在学习中的态度、方法、收效及不足进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学应由学生根据已有知识（如乘法分配律法则等）自主推导出单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，充分体现学生课堂上的主体作用，再结合具体问题的解答，由学生间互相交流，体会法则计算的本质，以便灵活应用于解题之中.一、基础巩固（第1题25分，第2题20分，第3题15分，共60分）1.细心填一填.（1）（-2a2b3）（-3ab）=6a3b4;（2）（4×105）·(5×104)=2×1010;（3）（-2ab2）2·（-a2b)3=-4a8b7;（4）(x2-2y)·(-xy)=-x3y+2xy2;（5）(-a2)·(ab+abc)=-a3b-a3bc.2.认真选一选.（1）化简x(2x－1)－x2(2－x)的结果是（B）A.－x3－x 3－x C.－x2－1 3－1（2）化简a(b－c)－b(c－a)+c(a－b)的结果是（B）A.2ab+2bc+2acB.2ab－2bc D.－2bc（3）如图是L形钢条截面，它的面积为（B）A.ac+bcB.ac+(b-c)cC.(a-c)c+(b-c)cD.a+b+2c+(a-c)+(b-c) （4）下列各式中计算错误的是（C）A.2x·(2x3+3x－1)=4x4+6x2－2xB.b(b2－b+1)=b3－b2+bC.－12x(2x2－2)=－x3－xD.23x(32x3－3x+1)=x4－2x2+23x3.计算：(3x2+12y－23y2)·(－12xy)3解：原式=(3x2+12y-23y2)·(-18x3y3)=-38x5y3-116x3y4+112x3y5.二、综合应用（每题10分，共20分）4.某地有一块梯形实验田，它的上底为m （m），下底为n （m），高是h （m）.（1）用m、n、h表示这块梯形的面积S；（2）当m=8m，n=14m，h=7m时，求S.解：（1）S=12(m+n)h（2）S=12×（8+14）×7=77（m2）5.某商家为了给新产品做宣传，向全社会征集广告用语及商标图案，结果下图商标中标，求此商标图案阴影部分的面积.解：S阴影=14πa2+2a·a-12·3a·a=1 4πa2+12a2三、拓展延伸（每题10分，共20分）6.已知：单项式M、N满足2x(M+3x)=6x2y2+N，求M、N. 解：2x(M+3x)=6x2y2+N,2x·M+6x2=6x2y2+N∴N=6x22x·M=6x2y2M=3xy27.若（a m+1b n+2）·(a2n-1b2m)=a5b3,求m+n的值.解：(a m+1b n+2)(a2n-1b2m)=a5b3a m+2n b2m+n+2=a5b3m+2n=52m+n=3-2∴3m+3n=6∴m+n=2.。

6.6 关注三角形的外角课件3(北师大版八年级下)

更加努力!
证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), E 5 ∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角). 4 A ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义). ∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角). ∴ ∠1>∠2(不等式的性质). 3 1 B
如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1 与图中的其它角有什么关系? A ∠1+∠4=1800 ; 2 ∠2+∠3 +∠4=1800. ∠1>∠2; 3 4 1 B C D ∠1>∠3; 以上说明了什么? 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD 平分外角∠EAC,∠B= ∠C. E A 求证:AD∥BC. 分析:要证明AD∥BC,只需要 B 证明“同位角相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补”.
· ·C
D
例2 已知:如图6-14,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长 D BC到D,连接DE. 2 求证: ∠1>∠2. C
∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
A B H
2 1F
E
C
D
思考题
已知:如图所示. 求证:(1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
B D E A
C
总结:今天我们学习的内容是一.三角形内角和定理的推论: 1.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 2.三角形的一个外角大于任何一个和它

6.6关注三角形的外角上课课件

C 320 1480 D 900 A
210
B
2.已知：国旗上的正五角星形如图所示. 求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
A
B
E
C
D
A 解：∵∠1是△BDF的一个外角(外角定义) ∴∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) B H
2 1F
E
C
D
又∵∠2是△EHC的一个外角(外角定义) ∴∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) 又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理) ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质)
B 3
D
探索思考
☞
A
如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其它角有什么关系? ∠1+∠4=1800 ;
B
3
2
4 1 C
∠1=∠2+∠3 ∠1>∠2; ∠1>∠3;
D
证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理), ∠1+∠4=1800(1平角等于1800), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换). ∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分). 用文字表述为: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
已知: ∠ BAF,∠CBD, ∠ ACE是 ∠△ABC的三个外角.
0 360 则∠ BAF+∠CBD+∠ ACE=
F
A B D
C
E
应用：

6.6 关注三角形的外角课件5(北师大版八年级下)

证明: ∵∠EAC＝∠B＋∠C( ) ) ) ) ) 想一想还有其他证明方法吗？ B C A
E
D
∠B＝∠C ( 1 ∴∠C＝ ∠EAC ( 2 ∵AD平分∠EAC ( 1 ∴ ∠DAC ＝ ∠EAC ( 2 ∴∠DAC＝∠C ( ∴AD∥BC (
)
)
练习: 1、如果三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和为 180°，那么这个外角等于（ 900 ） 2、 ∠1， ∠2， ∠3为ΔABC的外角，
一、学习目标
1．掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明． 2．体会几何中不等关系的简单证明．
3．引导学生从内和外、相等和不等的不同角度
对三角形作更全面的思考．
二、温故知新
问题一：如图在ΔABC 中∠A、∠B、∠C是 ΔABC 的什么元素?它们之间有什么关系？
问题二：下面的角中那些是外角？三角形的外角有什么特征？
4
找一找
A 1A3BBCD
D
2
C
1
三、解读探究
探究一：
三角形的一个外角与其相邻内角之间有何关系？
A
∠ ACD+ ∠ ACB=180°
B
C
D
三角形的一个外角与它相邻内角的和是180°
探究二：
三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角之间有何关系？
A
∠ ACD+ ∠ ACB=180° ∠ACD= ∠ A+ ∠ B
A
D
C
链接生活
2、五角星是我们生活中常见的图
形，如图所示，你知道等于多少度么？（选做题）
2 B C 1 D
∠1= ∠B ∠2= ∠A
∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B 即∠ACD= ∠A+ ∠B

6.6关注三角形的外角

定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。 A 特征： (1) 顶点在三角形的一个顶点上． (2) 一条边是三角形的一边． C B (3) 另一条边是三角形某条边的延长线．
规定：凸多边形每个内角邻两个外角这两个角是对顶角，只计一个三角形有3个外角,正方形有4个外角,五边形有5个外角,六边形有6个外角,七边形有 7个外角……n边形有n个外角
45° 100°
B
解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知), ∴ ∠B= ∠DCA—∠A=100°—45°=55°
C
D
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠DCA+∠BCA=180°(1平角=180°). ∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
我能行
2、如图，求∠1、∠2 的度数
3 41
B
C
D
证明：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 A 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角. 求证： ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
3 2 1
B 证明:
C
D
∵ ∠1 =∠2+ ∠3 （三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和） ∴ ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
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像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论推论可以当作定理使用.
B D A E C A
B
D
C
小结
拓展
回味无穷
三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800. 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

北师大版数学八（下）各章节教学目标

北师大版数学八（下）各章节教学目标第一篇：北师大版数学八(下)各章节教学目标八(下)数学北师大版 2004年11月第3版第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1.经历将一些实际问题抽象为不等式的过程，体会不等式也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，进一步发展符号感。

2.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义。

3.经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，掌握不等式的基本性质。

4.理解不等式（组）的解及解集的含义；会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集；会解一元一次不等式组，并会在数轴上确定其解集；初步体会数形结合的思想。

5.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

6.初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别。

§1 不等关系1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式的意义，初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一。

2.经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力。

§2 不等式的基本性质1.经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。

2.掌握不等式的基本性质。

§3 不等式的解集1.理解不等式的解与解集的意义。

2.了解不等式解集的数轴表示。

§4 一元一次不等式1.经历一元一次不等式概念的形成过程。

2.会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。

3.初步认识一元一次不等式的应用价值，发展学生分析问题、解决问题的能力；初步感知实际问题对不等式解集的影响，积累利用一元一次不等式解决简单实际问题的经验。

§5 一元一次不等式与一次函数1.通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解函数概念，并从中初步体会一元一次不等式与一次函数的内在联系。

2.通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系。

6.6关注三角形的外角(复备)

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
② 已知：如图，在三角形 ABC 中，∠1 是它的一个外角，E 为边 AC 上一点，延长 BC 到 D，连接 DE．求证：∠1>∠2． E A
D 2 C 1 B 复习巩固所学知识，理清 F 思路，培养学生的归纳概括能力．注意事项：学生对于三角形外角的
1 ∴∠DAC= ∠EAC 2 1 2 1 2
学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第 2 小题中，要引导学生找到一个过渡角 ∠ACB，由∠ 1>∠ACB，∠ ACB>∠2，再由不等关系的传递性得出∠1>∠2。
∴∠DAC=∠C（等量代换） ∵∠B+∠BAC+∠C=180° ∴∠B+∠BAC+∠DAC=180° 即：∠B+∠DAB=180°
问题 2：任意一个△ABC 的一个外角∠ACD 与∠A、∠B 的大小会有什么关系呢？通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的由学生归纳得出：两个推论，引导学生从内
推论 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．例 1、已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE 是△ABC 的三个外角．求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360° 分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证．证明：(略)．
证法一：（1）连接 AD，并延长 AD，如图，则∠1 是△ABD 的一个外角，∠2 是△ACD 的一个外角. ∴∠1>∠3. ∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）即：∠BDC>∠BAC. （2）连结 AD，并延长 AD，如图. 则∠1 是△ABD 的一个外角，∠2 是△ACD 的一个外角. ∴∠1=∠3+∠B ∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+ ∠C+∠BAC

八年级数学上册7.5三角形的内角和定理第2课时三角形的外角教学设计 (新版北师大版)

八年级数学上册7.5三角形的内角和定理第2课时三角形的外角教学设计（新版北师大版）一. 教材分析本节课的主要内容是三角形的外角性质。

学生已经学习了三角形的内角和定理，对三角形的内角有了深入的理解。

在此基础上，引入三角形的外角性质，既是对学生已有知识的巩固，也是对知识体系的拓展。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对图形有了一定的认识。

但是，对于三角形的外角性质，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解并掌握三角形的外角性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握三角形的外角性质，能运用外角性质解决一些简单问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的观察能力、操作能力、猜想能力和验证能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、严谨求实的科学态度。

四. 教学重难点1.重点：三角形的外角性质。

2.难点：三角形的外角性质的证明和应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、情境教学法、合作学习法等，引导学生主动探究，合作交流，从而掌握三角形的外角性质。

六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、黑板、粉笔、三角板等。

2.学生准备：笔记本、尺子、三角板等。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过回顾上节课的内容，引导学生复习三角形的内角和定理。

然后，提出问题：“同学们，你们知道三角形还有一个重要的性质吗？那就是三角形的外角。

”从而引出本节课的内容。

2. 呈现（10分钟）教师通过课件或黑板，呈现三角形的外角性质，让学生初步感知。

3. 操练（15分钟）教师引导学生通过观察、操作，尝试证明三角形的外角性质。

学生在操作过程中，可以发现三角形的外角等于它不相邻的两个内角之和。

4. 巩固（10分钟）教师通过一些例子，让学生运用外角性质解决实际问题，巩固所学知识。

5. 拓展（10分钟）教师引导学生思考：三角形的外角性质有哪些应用？可以解决哪些问题？从而拓展学生的知识视野。

7 三角形的外角教案北师大版数学八年级上册

第2课时三角形的外角1．掌握三角形外角的两条性质．2．进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧．重点：三角形外角的两条性质．难点：运用三角形的外角的两条性质解决相关问题．一、导入新课1．我们已学习过三角形内角和定理是什么？2．△ABC的内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角．如下图，∠1是△ABC的∠ACB的外角，你能在图中画出△ABC的其他外角吗？3．猜想：图中的∠1与其他角之间有什么关系？你能证明这个猜想吗？二、探究新知探究1三角形的外角．上面的∠ACD叫做△ABC的外角．也就是三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．师：想一想，三角形的外角共有几个？生：共有六个．注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角．探究2三角形外角的性质．教师引导学生回忆，容易知道三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，它与另外两个角有怎样的数量关系呢？如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？∵CM∥AB，∴∠A＝∠1，∠B＝∠2，又∠ACD＝∠1＋∠2，∴∠ACD＝∠A＋∠B.师：你能用文字语言叙述这个结论吗？学生讨论，教师板书：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．师：由加数与和的关系你还能知道什么？生：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．三、新知归纳1．三角形的外角是三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角．2．定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．3．定理：三角形的—个外角大于任何一个和它不相邻的内角．四、典例剖析例1如图所示，E为BA延长线上一点，F为CA延长线上一点，AD 平分∠EAC .(1)图中△ABC 的外角有哪几个？(2)若∠B ＝∠C ，求证：AD ∥BC .思路分析：在(1)中判断哪些角是△ABC 的外角，关键是看这个角是否由三角形的一边和另一边的反向延长线组成．在(2)中，要证AD ∥BC ，可以考虑证∠EAD ＝∠B (或∠DAC ＝∠C )，由∠EAC 是△ABC 的外角，可得∠EAC ＝∠B ＋∠C ，又由AD 平分∠EAC ，∠B ＝∠C ，我们可以得到∠EAD ＝∠DAC ＝∠B ＝∠C ，从而证得AD ∥BC .解：(1)图中△ABC 的外角有两个：∠FAB ，∠EAC .(2)证明：∵AD 平分∠EAC (已知)，∴∠EAD ＝12∠EAC (角平分线的定义)．∵∠EAC 是△ABC 的外角(三角形外角的定义)，∴∠EAC ＝∠B ＋∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)．∵∠B ＝∠C (已知)，∴∠EAC ＝∠B ＋∠C ＝2∠B (等量代换)．∴∠B ＝12∠EAC (等式的性质)．∴∠EAD ＝∠B (等量代换)．∴AD ∥BC (同位角相等，两直线平行)．例2 如图，在△ABC 中，AD ，BE 分别是∠BAC ，∠ABC 的平分线．(1)若∠C ＝70°，∠BAC ＝60°，则∠BED 的度数是________；若∠BED ＝50°，则∠C 的度数是________．(2)探究∠BED 与∠C 的数量关系，并证明你的结论．思路分析：(1)根据三角形的内角和得到∠ABC ＝50°，根据角平分线的定义得到∠BAD ＝12∠BAC ＝30°，∠ABE ＝12∠ABC ＝25°，根据三角形的外角性质即可得到结论；根据三角形的外角性质，得∠BED ＝∠BAD ＋∠ABE ，再由角平分线的定义和三角形内角和定理即可求∠C ；(2)根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论．解：(1)因为∠C ＝70°，∠BAC ＝60°，所以∠ABC ＝50°.因为AD ，BE 分别是∠BAC ，∠ABC 的平分线，所以∠BAD ＝12∠BAC ＝30°，∠ABE ＝12∠ABC ＝25°，所以∠BED ＝∠BAD ＋∠ABE ＝30°＋25°＝55°.因为∠BED ＝50°，所以∠ABE ＋∠BAE ＝50°，所以∠ABC ＋∠BAC ＝2×50°＝100°，所以∠C ＝80°.(2)∠BED ＝90°－12∠C .证明如下：因为AD ，BE 分别是∠BAC ，∠ABC 的平分线，所以∠ABE ＝12∠ABC ，∠BAE ＝12∠BAC .因为∠BED＝∠ABE ＋∠BAE ＝12(∠ABC ＋∠BAC )＝12(180°－∠C )＝90°－12∠C .例3 如图所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD 于D ，AB >AC .求证：∠ACD>∠ABC.思路分析：要证明的结论中的角因所在的三角形是不同的三角形，故不能直接比较大小，应把一般三角形转化为特殊三角形，若延长CD交AB于点E，这样可以把∠ACD转移到与∠ABC相关的位置．证明：∵AB>AC(已知)，∴延长CD交AB于点E(如图)．∵AD平分∠BAC(已知)∴∠EAD＝∠CAD(角平分线的定义)．∵AD⊥CD(已知)，∴∠ADE＝∠ADC＝90°(垂直的定义)．∴∠AED＋∠EAD＝∠CAD＋∠ACD＝90°(直角三角形的两个锐角互余)．∴∠AED＝∠ACD(等式的性质)．又∵∠AED是△BEC的一个外角(已知)，∴∠AED>∠ABC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)，∴∠ACD>∠ABC(等量代换)．五、反馈训练完成《作业与单元评估》随堂演练．六、课堂小测1．若△ABC中，2(∠A＋∠C)＝3∠B，则∠B的外角等于(C) A．36°B．72°C．108°D．144°2．如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是(B)A．∠A>∠1>∠2B．∠2>∠1>∠AC．∠A>∠2>∠1D．∠2>∠A>∠13．如下图，在△ABC中，∠A＝80°，点D是BC延长线上一点，∠ACD＝150°，则∠B＝__70°__.4．如下图，点B，C，D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝__54°__.5．已知：如下图，已知AD是△ABD和△ACD的公共边．求证：∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C.证明：如图：延长AD到点E，则∠BDE＝∠BAD＋∠B，∠CDE＝∠CAD＋∠C.∴∠BDC＝∠BDE＋∠CDE＝∠BAD＋∠B＋∠CAD＋∠C＝∠BAC＋∠B＋∠C.七、课堂小结1．三角形外角的性质：(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．2．探究这些性质用了化归的数学思想．3．了解运用辅助线是解决几何问题的常见解题思路．八、布置作业完成《作业与单元评估》课后作业的相关练习．。

数学初二下北师大版6.6关注三角形的外角导学案(1)导学案

数学初二下北师大版6.6关注三角形的外角导学案（1）导学案【学习目标】1、 .了解三角形外角的概念2、掌握三角形内角和定理的推论及其证明3、经历探究三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力.【学习重点、难点】重点：三角形内角和定理的推论.难点：三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用【使用说明及学法指导】预备好课本、练习本、双色笔及作图工具。

全力以赴完成导学案，相信自己一定行。

【预习案】【一】知识链接：1、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角2、外角的特征：〔1〕顶点在三角形的一个顶点上.〔2〕一条边是三角形的一边.如：〔3〕另一条边是三角形某条边的延长线.〔4〕一个三角形有6个外角。

3、三角形的内角和等于1800。

4、直角三角形的两锐角互余【二】预习自测：1、指出图〔1〕中哪些角是三角形的外角？2、如图〔1〕，在△ABC 中，∠A+∠B+∠ACB=∠ACB+∠ACD=∠ACD 与∠A+∠B 有何关系？3、填空：图〔2〕中∠α＝_________，图〔3〕中∠α＝_________，图〔4〕中∠α＝_________;α38°62°20°α°30°25°150°α〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕4、由一个公理或定理直截了当推出的定理，叫做那个公理或定理的决〕【探究案】【一】自主学习:通过以上计算〔预习自测部分〕，你能得到什么结论？(只写一个具有等量关系的结论)【二】合作探究、展示点评：，如图，在△ABC 中，AD 平分外角∠EAC ，∠B=∠C ，求证：AD ∥BC.温馨提示；要证明AD ∥BC ，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”【三】拓展提升:1. 如图,△ABC 中,∠ABC=∠C=72°,BD 平分∠ABC,求∠ADB 的度数.D C B A 【训练案】【一】当堂检测：课本P 244随堂练习1【二】课后作业课本P245习题6.7第2、3题。

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