大工17秋《复变函数与积分变换》在线作业

东大奥鹏《复变函数与积分变换》在线作业1参考资料

12.
A.A
B.B
C.C
D.D
正确答案:A
13.
A.A
B.B
C.C
D.D
正确答案:C
14.
A.A
B.B
C.C
D.D
正确答案:C
15.
A.A
B.B
C.C
D.D
正确答案:B
16.
A.A
B.B
C.C
D.D
正确答案:D
17.
A.A
B.B
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D.D
正确答案:B
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A.A
B.B
C.C
D.D
正确答案:D
19.
东北大学
《复变函数与积分变换》在线作业
参考答案
试读一页
20春学期《复变函数与积分变换》在线作业1-0001
试卷总分:100
一、单选题(共20道试题,共60分)
1.
A.A
B.B
C.C
D.D
正确答案:C
2.
A.A
B.B
C.C
D.D
正确答案:B
3.
A.A
B.B
C.C
D.D
正确答案:D
4.
A.A
B.B
C.C
A.A
B.B
C.C
D.D
正确答案:A
20.
A.A
B.B
C.C
D.D
正确答案:D
二、判断题(共10道试题,共40分)
1.
A.错误
B.正确
正确答案:B
2.由圆周的内部和外部及圆周上一点组成的点集是一个区域
A.错误
B.正确
正确答案:B
3.

《复变函数与积分变换复旦大学修订版》全部习题答案23页word文档

第 1 页复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 33311;;;.22n z i ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭①： ∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xyz a x a y-⎛⎫=⎪+⎝⎭++． ②解：设z =x +iy ③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+= ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩¢．∴当2n k =时，()()Re i 1kn=-，()Im i 0n=；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数①解：2i -+== ②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=④解：1i 1i 22++==4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式．并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--===其中8πarctan 19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=． ③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcosisin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根．解：⑵-1的三次根解：的平方根．解：πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z-+++=L证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=L11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图. 解：(1)、argz =π．表示负实轴． (2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

复变函数与积分变换试题及答案5

复变函数与积分变换试题及答案5复变函数与积分变换试题与答案 1．若u(x,y)与v(x,y)都是调和函数，则f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是解析函数。

2．因为|sinz|?1，所以在复平面上sinz有界。

3．若f(z)在z0解析，则f(n)(z)也在z0解析。

24．对任意的z，Lnz?2Lnz二填空1．2．ii?arg??2?2i ， ?2?2i 。

ln(?3i)? ， ii? 。

2f(z)?2z?4z下，曲线C3.在映照在z?i处的伸缩率是，旋转角是。

1??0是z1?e2zRes[4,0]?z的阶极点，。

三解答题设f(z)?x2?axy?by2?i(cx2?dxy?y2)。

问常数a,b,c,d13为何值时f(z)在复平面上处处解析？并求这时的导数。

求(?1)C的所有三次方根。

其中C是z?3．4．z2dz?0到z?3?4i的直线段。

|z|2ezcoszdz。

(积分曲线指正向)dz?|z|?2z(z?1)(z?3)5．。

(积分曲线指正向)f(z)?6 将1(z?1)(z?2)在1?|z|?2上展开成罗朗级数。

|z|?1保形映照到单位圆内|w|?1且满足11πf()?0argf?()?222的分式线性映，7.求将单位圆内照。

四解答题1．求0 t?0f(t)kt?e t?0 的傅氏变换。

设f(t)?t2?te?t?e2tsin6t??(t), 求f(t)的拉氏变换。

F(s)?1s2(s2?1)，求F(s)的逆变换。

设4. 应用拉氏变换求解微分方程ty2y3ye, (0) 1y(0)0y复变函数与积分变换试题答案 1若u(x,y)与v(x,y)都是调和函数，则f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是解析函数。

|sinz|?1，所以在复平面上sinz有界。

2．因为3．若f(z)在z0解析，则f(n)(z)也在z0解析。

24．对任意的z，Lnz?2Lnz1．i2i3πππ?arg??ln(?3i)?ln3?ii??2k π?2?2i4， ?2?2i4。

大工《复变函数与积分变换》模拟试卷B

机密★启用前大连理工大学网络教育学院2015年3月份《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷考试形式：闭卷试卷类型：（B ）☆ 注意事项：本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。

学习中心______________ 姓名____________ 学号____________一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、复数)2)(3()2)(3(i i i i z +--+=的模为（ A ）A 、1B 、2C 、21 D 、32、设zie i =，则=z Re （ B ）A 、2π B 、2π-C 、πD 、π-3、函数z z f 5sin )(=的周期是（ C ）A 、2π B 、5π C 、52πD 、π24、对函数2)(z z z f ⋅=可导与解析的描述以下正确的是（ D ） A 、2)(z z z f ⋅=处处可导，处处解析 B 、2)(z z z f ⋅=处处不可导，处处不解析 C 、2)(z z z f ⋅=仅在0=z 处可导，处处解析D 、2)(z z z f ⋅=仅在0=z 处可导，处处不解析5、⎰==-+-2||2112z dz z z z （ A ）A 、i π4B 、i π2C 、i πD 、06、函数21z 在点10=z 处的泰勒展式为（ A ） A 、1|1z |)1)(1()1(0<--+-∑∞=，nn nz nB 、1|1z |)1)(1(0<--+∑∞=，n nz n C 、1|1z |)1()1(0<---∑∞=，nn nz nD 、1|1-z |)1)(1()1(0<---∑∞=，n n nz n7、设zz z f 1sin)(2=，则=]0),([Re z f s （ A ） A 、!31- B 、!31 C 、31-D 、318、利用留数计算积分⎰=nz n dz z ||()tan(π为正整数)的值为（ B ）A 、i n 4B 、i n 4-C 、n 4D 、n 4-9、已知t t t f sin cos )(=，则F =)]([t f （ A ） A 、)]2()2([2--+ωδωδπiB 、)]2()2([2-++ωδωδπiC 、)]2()2([--+ωδωδπiD 、)]2()2([-++ωδωδπi10、在区间],0[+∞上的卷积=≠*)0(sin sin k t k t k （ B ）A 、k t k t k t 2sin cos 21+ B 、kt k t k t 2sin cos 21+-C 、kt k t k t 2sin cos 21-- D 、kt k t k t 2sin cos 21-二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、6)1(i +的值为i 8-。

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为。

3、复数i i (1)-的指数形式为。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划） 1、2121z z z z +=+ （）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （）3、()()i i i 125432+=++ （）三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（）（A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

(完整版)《复变函数与积分变换》习题册(2)

第一章复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念;熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式；了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。

一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-,则x = ，y =3、若1231izi i，则z4、若(3)(25)2i i zi,则Re z5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+,则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为，指数表示式为 .8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________. 9、设i z 21=，i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____。

10、设4i e 2z π=，则Rez=____________. Im()z = 。

z11、。

方程0273=+z 的根为_________________________________。

12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为 . 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________.14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________，虚部=),(y x v _________。

15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线的内部.16二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. （）2、若z 为纯虚数，则z z ≠. （）3、若 a 为实常数，则a a = （）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为。

3、复数i i (1)-的指数形式为。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划） 1、2121z z z z +=+ （）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （）3、()()i i i 125432+=++ （）三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（）（A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

复变函数与积分变换考题附答案

答案：一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1sin )44--+i ππ2、1,1-+--i i3、2104+-=v u4、4+k e ππ5、12+i二、计算与解答题（本大题共8小题，每小题9分，总计72分）1.223e ()d ()==-⎰f z z ξξξξξ，当(1)||3,>z 22023e e ()()d =2[]'|()==-=-⎰z f z i z ξξξξξξπξξ 220222e ()e 212|2()=----==-z z i i z z ξξξξππξ (2)0||3,<<z 122222e e ()()d d -=+-⎰⎰C C z f z z ξξξξξξξξ2222221e e 21222----=+=z z z z i i i z z z πππ(3)0=z ，22033e 2()d (e )''|42!=====⎰i f z i ξξξξπξπξ 2、2()()(,)=++f z x y iv x y φ，由于2(,)()=+u x y x y φ为调和函数，故=-xx yy u u ，即''()2=-y φ，212()=-++y y C y C φ.由C-R 方程，12=,2==-+=-x y y x u x v u y C v 从而得到 132=++v xy C x C . 由于(0)'(0)0==f f ，得1230===C C C . 因此2222()(,)2,()2=-==-+=，y y v x y xy f z x y xyi z φ. 3、将函数21()-=z f z z在将01=z 处展开成泰勒级数，并指出收敛半径. 收敛半径1=R ，即|1|1-<z2101111()(1)()'(1)()'11(1)((1)(1))'(1)(1)∞∞+==-==--=--+-=----=--∑∑n n n nn n z f z z z z z z z z n z4、333241111()cos (1)2!4!2!4!==-+-=-+-z f z z z z z z z z11Re [(),0]4!24==s f z5、扩充复平面内函数3e ()(1e )=-zz f z z 的奇点为,0∞和使10,1,12,0,1,2,-=====±±z z e e z Ln i k k π当220,11(1)(1)2!2!2!=-=-+++=---=---z z z z k e z z z故0=z 是()f z 的四级极点.设()1,(2)0,'(2)0=-=≠z g z e g k i g k i ππ2,1,2,==±±z i k k π是一级极点.又lim 2→∞=∞k k i π，故∞不是孤立奇点.6、841d (2)(5)=--⎰z z z z812Re [(),]2(Re [(),5]Re [(),])===-+∞∑k k i s f z z i s f z s f z ππ851Re [(),5]lim(5)(),Re [(052→=-=∞-），]＝z s f z z f z s f z 所以，原式8152-＝-2iπ7、ℱ0000[()cos ]()cos ()2-+∞+∞---∞-∞+=⋅=⋅⎰⎰i t i t iwtiwte ef t t f t t edt f t e dt ωωωω00()()0011()()[()()]22+∞---+-∞=⋅+⋅=-++⎰i t i tf t e f t e dt F F ωωωωωωωωℱ0000[()cos ]()cos cos |1+∞--=-∞===⎰i t i t t f t t t te dt te ωωωδωω8、两边Laplace 变换得 2()(4)(1)=++sY s s s求逆变换得 4441()c o s s in 171717-=-++t y t e t t 三1、由卷积定理L a t t af t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰0d )(L ss aF t f 1)(]1*)([⋅=3、由C-R 方程得 '()0=+=-=x x y y f z u iv v iu ，得0====x x y y u v v u ，从而12,==u c v c ，故()f z 在D 内恒为常数.。

复变函数与积分变换练习题带答案(1)

f (t) = 1 + F () eitd 建立的 F () 与 f (t) 之间的对应称作傅里叶逆变换。
2π −
22.傅里叶逆变换是指由表达式 f (t) = 1 + F () eitd 建立起来的 F () 到 f (t) 之间
2π −
的对应.
23．若
f
(t)
= 3t2
+ tet
+ sint ，则函数
z2 − 3z + (z − 4)2
2dz
=
10πi
.
8. 设 C 为单位圆周 z = 1，则 d z 2 Cz
9. 设 C 为从 z = 0到 z =1+ i 的直线段，则 z d z = i 。 C
10. 设 C 为从 (0,1) 到 (1,1) 的直线段，则 z Re(z) d z = 1 + 1 i
|z
+i|=
（√）
3. 设 C 是一条简单正向闭曲线, f (z) 在以 C 为边界的有界闭区域 D 上解析, z0 为 D 内任
一点，那么
C
f (z) z − z0
d
z
=
2 if
( z0
)
；
（√）
4. 设 f (z) 在简单正向闭曲线 C 及其所围区域 D 内处处解析, 那么 f (z) 在 D 内具有 2 阶
解:
C
的方程为
x y
= =
t， t，0
t
1
，即，
z
=
t
+ it，0
t
1
,
dz =（1+i）dt
于是,原式= 1t（1+ i）dt = 1+ i .

大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷

优秀学习资料欢迎下载20XX 年3月份《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷考试形式：闭卷试卷类型：（A ）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、B2、C3、C4、D5、B6、D7、B8、A9、C10、A一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（） A 、),(),(y x iu y x v +B 、),(),(y x iu y x v -C 、),(),(y x iv y x u -D 、xvi x u ∂∂-∂∂ 2、设),2,1(4)1( =++-=n n in n n α，则n n α∞→lim （） A 、等于0B 、等于1C 、等于iD 、不存在3、下列级数中，条件收敛的级数为（）A 、∑∞=+1)231(n niB 、∑∞=+1!)43(n nn iC 、∑∞=2ln n nn iD 、∑∞=++-11)1(n n n i4、21)(-=z z f 在1-=z 处的泰勒展开式为（） A 、3|1|)1(312101<++=-∑∞=+z z z n n n B 、3|1|)1(31210<++-=-∑∞=z z z n n n C 、3|1|)1(31210<++=-∑∞=z z z n n n D 、3|1|)1(312101<++-=-∑∞=+z z z n n n 5、设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的（） A 、可去奇点B 、本性奇点C 、m 级极点D 、小于m 级的极点6、设幂级数1,-∞=∞=∑∑n n n nn n znc z c 和101+∞=∑+n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是（）A 、321R R R <<B 、321R R R >>C 、321R R R <=D 、321R R R ==7、把z 平面上的点1,,1321-===z i z z 分别映射为w 平面上的点i w w w ===321,1,0的分式线性映射得（）A 、zzi w -+⋅=11 B 、zzi w +-⋅=11 C 、zzi w -+⋅=111D 、zzi w +-⋅=1118、设)0(0,0,0)(>⎩⎨⎧≥<=-ββt e t t f t，则F =)]([t f （） A 、22ωβωβ+-iB 、22ωβωβ++iC 、22ωβωβ--iD 、22ωβωβ-+i9、函数)2(t -δ的拉氏变换L =-)]2([t δ（） A 、1B 、se 2C 、se2-D 、不存在10、幂级数∑∞=0!n nzn 的收敛半径是（）A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、将幂函数i+15表示成三角形式为_______________________ 2、将幂函数i i 表示成指数形式为________________ 3、设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰zdz z C3)(_________。

(完整版)《复变函数与积分变换》习题册(2)

第一章复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算；熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式；了解区域的概念；理解复变函数的概念；理解复变函数的极限和连续的概念。

一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-，则x = ，y =3、若1231izi i，则z4、若(3)(25)2i i zi，则Re z5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+，则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为，指数表示式为。

8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________.9、设i z 21=,i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____.10、设4i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。

z11、.方程0273=+z 的根为_________________________________.12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为。

13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________. 15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线的内部。

16二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. ( )2、若z 为纯虚数，则z z ≠. ( )3、若 a 为实常数，则a a = （）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。

大工秋《复变函数与积分变换》辅导资料六

复变函数与积分变换辅导资料六主题：第二章解析函数2—3节学习时间：2013年11月4日一11月10日内容：本周首先介绍判定解析的条件一柯西-黎曼条件，其次，将在实数域上熟知的初等函数推广到复数域上来，并讨论它们的解析性。

解析函数有很多重要的性质，必须很好地掌握，其学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、熟练掌握复变函数解析的充要条件2、会判断一个函数是否解析3、了解指数函数、对数函数、幕级数、三角函数、双曲函数的定义及它们的解析性质、运算性质基本概念：柯西-黎曼方程知识点：初等函数的解析性第二节、函数解析的充要条件(要求达到“简单应用”层次)定理1:设函数f (z)二u(x, y) • iv(x, y)定义在区域D内，贝U f(z)在D内一点z = x，iy可导的充要条件是：u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)可微，并且在该点满足柯西-黎曼方程—二ex -：u■:yL、L、.L, l、L、:v u rv :v : u ，且 f (z) i i- :x :x :x :y : y定理2：设函数f (z^u(x, y) iv(x, y)在区域D内有定义，则f(z)在D内解析的充要条件是：u(x,y)与v(x, y)在D内处处可微，并且满足柯西-黎曼方程■: y -：v-U■:yo -：x典型例题:例、试证函数f (z^z3z21在复平面解析证：令 f (z)二u iv ,z = x iy得u 二x3「3xy2x2_ y21v = 3x2y -y32xy因为出二3x2_3y2ex 2x; 2 二3x2— 3y22x;』一-6xy — 2y;二=6xy 2y :y :y :xcU eV cu:x y y利用解析函数的充要条件，可证得f(z)在复平面解析第三节、初等函数 (要求达到“识记”层次) 、指数函数对于任何复数z = x+iy ,称w=e z= e x_s^ =e x(cos y + iSn y)为指数函数。

复变函数与积分变换试题和答案

复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模.幅角。

2．-8i 的三个单根分别为： . . 。

3．Ln z 在的区域内连续。

4．z z f =)(的解极域为：。

5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。

6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。

7．指数函数的映照特点是：。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若)(ωF =F [f (t )].则)(t f = F )][(1ω-f。

10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件.则L [f (t )]=。

二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=.求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数.且f (0)=0。

三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。

1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。

（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。

八、（10分）就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ .ππk arctg 22ln 32+-2.3-i 2i 3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 0 7.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110. ⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0 （3分）∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221 （3分） z 1=0z 2=1]11[2+-=i π=0（2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i （2分）六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（3分） ∴结论成立（2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX（3分）S （2）-（1）：∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数 10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。

复变函数及积分变换试题及答案

第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 若（），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。

A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。

2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（）。

A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰（）。

A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（）。

A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的（）。

A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（）。

A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =（）L （），（()Re 0s >）。

A.22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. ks 1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.23(1)i += [1] ；----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z ！收敛于 [2] ；3. 设0Z 为复函数）（z f 的可去奇点，则）（z f 在该点处的留数为 [3] . ；4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-（k 为待定复常数）可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<；5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成，分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ； 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ；三、判断题（每小题2分，共10分）1. 平面点集D 称为一个区域，如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。

大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷B

大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷B机密★启用前大连理工大学网络教育学院2013年3月份《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷考试形式：闭卷试卷类型：（B ）☆ 注意事项： 1、本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。

2、所有试题必须答到试卷答题纸上，答到试卷上无效。

3、考试结束后，考生须将试卷和试卷答题纸一并交回。

学习中心______________ 姓名____________ 学号____________一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、设C 是正向圆周3||=z ，则=?Cdz z z 3)2-(sin π（b ）A 、i π2-B 、i π-C 、i πD 、i π22、复数i -1的模是（ d ） A 、1B 、2C 、0D 、23、复数8-i z =的辐角的主值=z arg （ b ）A 、π2B 、πC 、0D 、2π 4、幂级数∑∞=1n nnz 的收敛半径为（b ）A 、0B 、1C 、2D 、不存在5、已知C 为正向圆周：2||=z ，则=? dz z zC1-4（ a ） A 、0B 、-1C 、1D 、26、积分=+?+∞∞dx xe xi -21（ d ） A 、e π2 B 、eπ2- C 、eD 、eπ 7、映射2z i e =ω在点i z -0=处的伸缩率为（ c ）A 、1B 、1-eC 、2D 、e8、下列变换中不正确的是（ d ） A 、F )(1)]([ωδπω+=i t u B 、F 1)]([=t δC 、F1)]([2-1=ωδπD 、F)(-)-(]os [000-1ωωδωωδω+=t c9、若F )()]([ωF t f =，则F =)]([t F （ b ） A 、)(2ωπfB 、)(-2ωπfC 、)(ωπfD 、)(-ωπf10、下列选项中不正确的是（d ）A 、L )0Re (1)]([>=s s t u B 、L 1)]([=t δ C 、L )Re Re (-1][a s a s e at>= D 、L )0Re (1][>=t二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、若ππω32sin 32cosi +=，则=++421ωω____0___。

大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷B答案

机密★启用前大连理工大学网络教育学院2014年8月份《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷答案考试形式：闭卷试卷类型：B一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1、A2、B3、C4、D5、A6、A7、A8、B9、A 10、B二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、i 8-2、)4sin 4(cos 22ππi +3、)34arctan(5ln -+πi 4、1 5、条件收敛6、27、反演8、2 9、)2(12s es -+ 10、tt te e +-1 三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）1、解法1：设),(),()(y x iv y x u z f +=，那么),(),()(y x iv y x u z f -=。

（2分）由于)(z f 在点000iy x z +=处连续，则),(y x u 与),(y x v 在),(00y x 处必连续。

（3分）既然),(y x v 在),(00y x 处连续，那么),(y x v -在),(00y x 也连续，从而)(z f 在点0z 处连续。

（3分）解法2：因为|)()(||)()(||)()(|000z f z f z f z f z f z f -=-=-（2分）又因)(z f 在点0z 处连续，所以对于任意给定的0>ε，必存在一个正数)(εδ，当δ<-||0z z 时，ε<-|)()(|0z f z f ，（3分）从而当δ<-||0z z 时，有ε<-|)()(|0z f z f 。

所以)(z f 在点0z 处也连续。

（3分）2、解：函数)(z f 的奇点为0=z 和1=z ，故应在1||0<<z 内展开)(z f 为洛朗级数（2分）：)!1!2111()1(1)(221 +++++⋅+++++=-=nn zz n z z z z z z e z f （2分） ++++++=)!1!211(1n z （2分）即1)!1!211(]0),([Re 1-=++++==-e n C z f s （2分） 3、解：已知 ++-=+-=+∞=∑53120!51!31)!12()1(sin z z z z k z k k k，原式展开成幂级数的展开式形式为++-22!51!311z z （4分）所以0=z 为二阶极点。

复变函数与积分变换练习册参考答案

5 5
分析：显然原方程可化简为一个典型的二项方程。
⎛ 1+ z ⎞ 解：由直接验证可知原方程的根 z ≠ 1 。所以原方程可改写为 ⎜ ⎟ = 1。 ⎝ 1− z ⎠
令
5
ω=
1+ z ， ……………(1) 1− z
2π i 5
则 ω = 1 ， ……………………(2)
5
方程(2)的根为 ω = 1, e
(5) lim
z →1
zz + 2 z − z − 2 3 = 。 2 z2 −1 zz + 2 z − z − 2 ( z + 2)( z − 1) z +2 3 = lim = lim = 。 2 z →1 ( z − 1)( z + 1) z →1 z + 1 2 z −1
提示： lim
z →1
(1 − cos α ) 2 + sin 2 α = 4sin 2
α
2
= 2sin
α
2
；因为当 0 < α < π 时，
sin α > 0 ， 1 − cos α > 0 ，则 arg z = arctan
= arctan(tan +i sin
π −α
2
)=
π −α
2 e
π −α i 2
sin α α = arctan(cot ) 1 − cos α 2
。
6、 ( 2)
=e
2 ln 2 − 2kπ
7、方程 sinh z = i 的解为三、计算和证明 1、试证函数
1 在复平面上任何点都不解析。 z
利用 C-R 条件，即用解析的充要条件判别，即 u =