第1章绪论线性规划数学模型
数学建模 第一篇第一章
第一篇 线性规划模型及应用第一章 线性规划问题的数学模型及其解的性质§1-1-1线性规划问题的数学模型引例：某工厂生产某种型号的机床，每台机床上需要2.9米、2.1米和1.5米长的三种轴各一根，这些轴需要用同一种圆钢制作，圆钢的长度为7.4米。
如果要生产100台机床，应如何下料，才能使得用料最省？分析：对于每一根长为7.4米的圆钢，截成2.9米、2.1米和1.5米长的毛坯，可以有若干种下料方式，把它截成我们需要的长度，有以下8种下料方式(表1-1-1)：表1-1-1 下料方式及每种方式毛坯的数目下料方式是从大到小、从长到短的顺序考虑的。
1.假若考虑只用3B 方式下料，需要用料100根；2.若采用木工师傅的下料方法：先下最长的、再下次长的、最后下短的(见表1-1-2)：表1-1-2 木工师傅的下料情况的用料表动一下脑筋，就可以节约用料4根，降低成本。
但这仍然不是最好的下料方法。
3.如果要我们安排下料，暂不排除8种下料方式中的任何一种，通过建立数学模型（线性规划数学模型）进行求解，寻找最好的下料方案。
设用1B ,2B ,3B ,4B ,5B ,6B ,7B ,8B 方式下料的根数分别为87654321,,,,,,,x x x x x x x x ，则可以建立线性规划数学模型:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+++++≥++++≥++++++++++=0,,,,,,,10043231002321002..m in 8765432187643176532432187654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x S 用LINGO 10.0软件求解，程序如下： Min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4>=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7>=100;x1+x3+3*x4+2*x6+3*x7+4*x8>=100;根据输出结果，得：,20,4021==x x 90m in ,0,0,30,0,0,0876543=======S x x x x x x (最优解不唯一)；或90m in ,0,0,0,0,30,0,50,1087654321=========S x x x x x x x x 。
1.1 线性规划的数学模型
A）＜ B）＞ C）≤ D）≥ E）=
C、 D、 E
32
一、选择题
5、关于线性规划模型，下面（
）的叙述正确。
A）约束方程的个数多于一个 B）求极大值问题时，约束条件都是小于或等于号 C）求极小值问题时，目标函数中变量的系数均为正 D）变量的个数一般多于约束方程的个数
一、线性规划的数学模型及特征
1、每个问题都用一组决策变量表示某一 方案；这组决策变量的值就代表一个具 体方案，一般这些变量取值是非负的。
所谓线性规 划就是求一 个线性函数 在一组线性 约束条件下 极值的问题。
2、存在一定的约束条件，这些约束条件 可以用一组线性等式或线性不等式来表 示。 3 、都有一个要求达到的目标，它可用决 策变量的线性函数（称为目标函数）来表 示。按问题的不同，要求目标函数实现最 大化或最小化。
n
A、 D
B.
MinZ x1 x2 3x3 x1 x2 5x3 10 2 20 s.t. x1 x2 x3 x , x 0, x 符号不限 3 1 2
m n 2 i i j 1
C.
MaxZ cj xj
j1
D.
MinZ c x b2 j yj
11
对我们有 何限制?
Hale Waihona Puke 12第4步 --表示约束条件
16 2 x1 2 x2 10 3 x 4 x 32 1 2 x1 , x2 0
13
设备 A 设备 B 设备 C 利润
I 2 0 3 3
II 0 2 4 5
资源限量 16 台时 10 台时 32 台时
3
运筹学先驱
前苏联数学家坎托罗维奇在1939年发表的 名为《 名为 《 生产组织与计划中的数学方法 生产组织与计划中的数学方法》 》的 小册子， 小册子 ， 是早期将数学引入生产领域的文 献。
数学建模之线性规划
第一章 线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义例1某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134m ax x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。
而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。
01线性规划模型
2
莫 莉
一、线性规划模型 1.1 线性规划模型
一、 线性规划模型
1、线性规划问题
在生产管理和经营活动中经常需要解决：如 何合理利用有限的资源，以得到最大的效益。
莫 莉
3
一、线性规划模型
例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗煤、 电、油三种资源。现将有关数据列表如下：
试拟订使总收入最大的生产计划方案。
1）典范型转化成标准型 加入剩余（松弛）变量。 2）标准型转化成典范型 等式可用两不等式表示。
3）一般型转化为典范型和标准型
无限制的变量可用两非负变量的差表示，或由某 一等式解出该无限制的变量。
2品，已知生产单位产 品所需设备台时及A、B两种原材料的消耗如下表：
（4）右端项 bi 0 ，仅需等式或不等式两端同乘（-1）；
令x ' x 即可。 （5）对 x 0，
30
莫 莉
8
莫 莉
第一章 线性规划
9
莫 莉
一、线性规划模型
例3 污水处理问题。环保要求河水含污低于2‰， 河水可自身净化20%。问：化工厂1、2每天各处理 多少污水总费用最少？
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莫 莉
一、线性规划模型
建模型之前的分析和计算，设：
化工厂1每天处理的污水量为x1万立方米；
化工厂2每天处理的污水量为x2万立方米。
其中X称为决策变量向量，C 称为价格系数向量，
A称为技术系数矩阵，b 称为资源限制向量。
？思考：为什么将A称为技术系数矩阵？
20
莫 莉
二、型式相互转换
3、一般线性规划转化为标准型线性规划
(1) 若要求目标函数实现最小化，即min z =CX，则只需 将目标函数最小化变换求目标函数最大化，即令z′= −z，于是得到max z′= −CX。 (2) 约束条件为不等式。分两种情况讨论： 若约束条件为“≤”型不等式，则可在不等式左端加 入非负松弛变量，把原“≤”型不等式变为等式约束； 莫 莉
一、一般线性规划问题的数学模型
第一章线性规划及单纯形法1、一般线性规划问题的数学模型问题的提出在生产管理的经营活动中，通常需要对“有限的资源”寻求“最佳”的利用或分配方式。
任何资源，如劳动力、原材料、设备或资金等都是有限的。
因此，必须进行合理的配置，寻求最佳的利用方式。
由此可以把有限资源的合理配置归纳为两类问题：一类是如何合理地使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大；另一类是在生产或经营的任务确定的条件下如何合理地组织生产，安排经营活动，使所消耗的资源数最少。
这是最常见的两类规划问题。
与规划问题有关的数学模型由两部分组成：一部分是约束条件，反映了有限资源对生产经营活动的种种约束，或者生产经营必须完成的任务，另一部分是目标函数，反映生产经营在有限资源条件下希望达到的生产或经营的目标。
例1 常山机器厂生产甲、乙两种产品。
这两种产品都要分别在A、B、C三种不同设备上加工。
按工艺材料规定，生产每件产品甲需占用各设备分别为2小时、4小时、0小时，生产每件产品乙需占用各设备分别为2小时、0小时、5小时。
已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12小时、16小时、15小时，又知每生产一件甲产品企业能获得2元利润，每生产一件乙产品企业能获得3元利润，问该企业应安排生产两种产品各多少件，使总的利润收入为最大？解：为更加直观理解题意，把上述问题转化为如下表格假定用x1和x2分别表示甲、乙两种产品在计划期内的产量。
因设备A在计划期内的可用时间为12小时，不允许超过，于是有2x1+2x2≤12。
对设备B、C也可列出类似的不等式：4x1≤16，5x2≤15。
企业的目标实在各种设备能力允许的条件下，使总的利润收入z=2x1+3x2为最大。
所以可归结为：约束于s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0,1551641222212121x x x x x x 使 z=2x 1+3x 2→max这是一个将生产安排问题抽象为在满足一组约束条件的限制下，寻求变量xl 和x2的决策值，使目标函数达到最大值的数学规划问题。
线性规划数学模型
目标规划的数学模型
4.达成函数(即目标规划中的目标函数) 目标规划的目标函数(准则函数)是按各目标约束的正、负 偏差变量和赋予相应的优先因子及权系数而构造的。当每 一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。 因此目标规划的目标函数只能是minZ = f(d＋、d－)。 一般说来，有以下三种情况，但只能出现其中之一： (1)要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要尽 可能小，则minZ = f(d＋＋ d－)。 (2)要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就是正 偏差变量尽可能小，则minZ = f(d＋)。 (3)要求超过目标值，即超过量不限，但不低于目标值， 也就是负偏差变量尽可能小，则minZ = f(d－)。 对由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处理即可。
• 为了弥补线性规划问题的局限性，解决有限资源和计 划指标之间的矛盾，在线性规划基础上，建立目标规 划方法，从而使一些线性规划无法解决的问题得到满 意的解答。
目标规划与线性规划的比较
• 线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条 件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求 得更切合实际的解。
润比作为权系数即70:120，化简为7:12，P2(7d2＋+12d2 -)
第二目标：P3(d4＋+d4 -)
MinZ = P1d1- + P2 (7d2+ +12d3- ) + P3 (d4- + d4+ )
st
3974xx102xxx11+1x+++1+dd+1542-3-01xx--2x2220d+dx2+3+d223=40=-+00-22d000510d-004+-
第1节线性规划的数学模型
第1节线性规划的数学模型线性规划(linear programming,LP)是运筹学中最成熟的一个分支,并且是应用最广泛的一个运筹学分支。
线性规划属于规划论中的静态规划,即单周期决策,是一种重要的优化工具,能够解决有限资源的最佳分配问题。
一、线性规划的三个要素决策变量(decision variable)是决策问题待定的量值。
决策变量应当完全描述出此问题应当作出的决策。
约束条件(constraint conditions)是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制。
目标函数(objective function)是指决策变量的函数表达式,表示决策者希望实现的目标,它是衡量决策优劣的准则。
线性规划的决策目标是单一的;同时,目标函数也是决策变量的线性函数。
目标函数中变量的系数称为价值系数,反映出每个决策变量单位取值对目标的贡献程度。
二、线性规划模型线性规划模型是目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数的最优化数学模型。
(一)线性规划一般模型[例1—1]生产计划问题某厂生产甲、乙两种产品,生产工艺路线为:各自的零部件分别在设备A,B加工,最后都需在设备C上装配。
经测算得到相关数据如表1—1所示。
表1—1甲、乙单位产品的生产消耗据市场分析,甲、乙单位产品的销售价格分别为73元和75元,试确定获利最大的产品生产计划。
解建立模型过程如下:(1)决策变量:此问题是要确定甲、乙两种产品的产量,这些待定的量值就称为决策变量。
设x1=生产甲产品的产量x2=生产乙产品的产量(2)约束条件:生产产品受到现有设备能力的制约,能力需求量不能突破有效供给量。
如果只考虑目标函数,则随着决策变量x1和x2值的增大,目标函数的值也会很快地增大,但是决策变量x1和x2的值受到三种设备加工能力的限制。
约束条件1:生产单位甲产品需耗2个小时的设备A,设备A加工能力不能超过16个小时,则设备A的约束条件表达为:2x1≤16约束条件2:设备B的加工能力约束条件表达为:2x2≤10约束条件3:设备C的装配能力也有限,其约束条件表达式为:3x1+4x2≤32(3)目标函数:目标是企业利润最大化,用Z表示利润。
线性规划的建模
存在一些约束条件，这些约束条件包括① 函数约束，可以用一组决策变量的线性函 数（称为约束函数）大于等于“≥”、小 于等于“≤”或等于“=”一个给定常数 （称为右端项）；②决策变量的非负约束。 具备以上三个特征(要素)的问题,我们称之 为线性规划问题。
则线性规划的标准形式还可以表示为如下几种形式： (1)矩阵形式 (2)向量形式
第一章 线性规划引论
◇学习重点 1、线性规划问题的建模及图解法(熟练掌 握)
2、非标准形LP化成标准形(重点.后续内 容学习的基础）
第一节 线性规划问题及其数学模型
线性规划概论： 线性规划是研究线性不等式组的理论， 或者说是研究（高维空间中）凸多面体的 理论，是线性代数的应用和发展。 解决两类问题： 1、如何合理使用有限的人力，物力和资 金，使得收到最好的经济效益。 2、如何合理使用人力，物力和资金， 以达到最经济的方式，完成生产计划的要 求。
对设备C，两种产品生产所占用的机时数 不能超过75，于是我们可以得到不等式： 3x2 ≤75 ；另外，产品数不可能为负，即 x1 ,x2 ≥0。同时，我们有一个追求目标， 即获取最大利润。于是可写出目标函数z为 相应的生产计划可以获得的总利润： z=1500x1+2500x2 。综合上述讨论，在加 工时间以及利润与产品产量成线性关系的 假设下，把目标函数和约束条件放在一起， 可以建立如下的线性规划模型：
1.1 线性规划问题的实例
例1 资源的合理利用问题 某厂计划在一个生产周期内生产甲，乙 两种产品，要消耗 A1 , A2 和 A3 三种资源，已知 每件产品对这三种资源的消耗，这三种资源 的现有数量和每件产品可获得的利润如表1-1 所示。问如何安排生产计划，使得即能充分 利用资源，又使总利润最大？
线性规划概念与数学模型
约束条件的图解:
每一个约束不等式在平面直角坐标系中都 代表一个半平面，只要先画出该半平面的边 界，然后确定是哪个半平面。
怎么画边界
?
怎么确定 半平面
以第一个约束条件（工时）
x1+2 x2 8 为例 说明约束条件的图解过程。
如果全部的劳动工时都用来生产甲 产品而不生产
乙产品，那么甲产品的最大可能产量为8吨，计算
D
条件的边界－－
4
Q4
Q3
直线CD，EF: E
3
F
4x1 =16,4x2 =12
2
Q2 4x2 = 12
1
Q1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
C
x1+4x2 = 8
4x1=16
三个约束条件及非负条件x1,x2 0所代表的公共部分
－－图中阴影区，就是满足所有约束条件和非负条件的点的
集合，即可行域。在这个区域中的每一个点都对应着一个可
目标函数值递增的方向， 用箭头标出这个方向。 图中两条虚线 l1和l2就 分别代表 目标函数等值线 2x1+3x2=0 和 2x1+3x2=6, 箭头表示使两种产品的总 利润递增的方向。
5
l3
A4
E
B
3
l1 l2 2
1
1
2
D
F 4x1=12
Q2 4,2
x1+2x2 = 8
A
3
4
5
6
7
8
9
B
4x1=16 C
1 1
1 1
1 1
B1 1
4 , B2 1
线性规划问题的数学模型
(2)
x j 0 j 1, 2,L , n
(3)
（1）式称为目标函数（2）式中等式或不等式称为约束条件 （3）式是非负约束条件
x1 , x2, …,xn称为决策变量，简称变量。
满足约束条件的一组变量的值 x1 x10 , x2 x20 ,L , xn xn0
称为线性规划问题的一个可行解，使目标函数取得最大（或最 小）的可行解称为最优解。此时，目标函数的值称为最优值。
单位产品
产品
耗用资源
资源
铜（吨）
电力（千瓦）
劳动日（个）
单位利润 （万元/公斤）
A（公斤）
9 4 3 7
B（公斤）
4 5 10 12
现有资源
360 200 300
解：假设生产A产品x1公斤， B产品x2公斤， x1 ， x2称为决 策变量，简称变量。得到利润7 x1 +12 x2万元，这一问 题的数学模型为：
数学建模系列讲座
（一）线性规划模型
线性规划问题
第一节 线性规划问题的数学模型
（一）引言
线性规划是运筹学的重要分支之一，也是研究较早、发展较快、应用较广 而且比较成熟的一个分支。自1947年线性规划被成功的运用于工业、交通、 农业和军事等各个领域后，现在它已成为管理科学的重要基础和手段之一。 随着计算机的普及，它的适应领域越来越广泛。
x1
-x1 + x2 =1
没有可行解，当然没有最优解。
第三节 单纯形法
（一）线性规划问题的标准形式
线性规划问题的数学模型有各种不同的形式。为了便于讨论，需要将线性 规划数学模型写成统一格式。
线性规划问题的标准型是：
max f c1x1 c2 x2 L cn xn
运筹学第一章线性规划
《运筹学》 第一章 线性规划
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4、无可行解——可行域为空集
X2
maxz=2X1+4X2
L3: X1<=4
s.t.
L1: X1+X2>=6
X1＋X2>=6 X1＋2X2<=6
L2: X1＋2X2<=6
L4: X2<=3
X1 <=4, X2<=3
X1>=0, X2>=0
二、一般线性规划问题的建模过程（方法）
追求什么目标？ 决策变量？ 目标函数？ 约束条件？
《运筹学》 第一章 线性规划
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课本P4例1.1: 生产安排问题 设X1,X2,X3是甲、乙、丙三种产品的产量，Z是工厂 的总利润。 maxz=3X1+2X2+5X3
s.t. X1+2X2+X3<=430 ——第一道工序 3X1＋2X3<=460 ——第二道工序 X1+4X2<=420 ——第三道工序 X1>=0, X2>=0 , X3>=0
b1
b2
Xm＝
bm
－
a1m1 a2m1 amm1
Xm＋1
a1n
a2n
－用…向－量的am形n 式Xn表示为：(1.j1m18a) j x j
b
n
ajxj
j m1
(1.19)
方程组的基是B，设XB是对应于这个基的基变量，XB=（
X1，X2，…，Xm）T
《运筹学》 第一章 线性规划
满足约束条件：
am
x1 1 am x2 2 x1, x2,, xn
数学建模线性规划论文1
数学建模线性规划论文1线性规划（Linear Programming, LP）是一种用于寻求最优解的数学模型，其可以广泛应用于决策支持系统、资源配置、生产计划、货运调度、供应链管理等领域。
本文通过研究一家食品加工企业的原料采购问题，探讨了如何利用线性规划模型优化资源配置，提高企业利润的方法。
在本研究中，通过构建数学模型，确定相关变量以及约束条件，最终得出最优决策方案。
第一章：绪论此章节给出研究的背景和意义，介绍线性规划思想以及研究思路和方法。
第二章：相关理论知识此章节主要介绍最优化理论和线性规划的数学方法，阐述如何基于线性规划模型进行决策分析。
第三章：研究问题的分析此章节详细分析了一家食品加工企业的原料采购问题，包括业务背景、必要假设、变量定义和约束条件，为后续模型构建和求解提供了理论基础。
第四章：模型的构建和求解此章节针对第三章中得出的问题模型，进行数学建模，确定决策变量和目标函数，建立优化线性规划模型。
同时，结合Gauss-Jordan消元法和单纯形法对模型进行求解，计算出模型最优解。
第五章：模型的检验和应用此章节通过对模型的检验、灵敏度分析和场景模拟，检验和验证模型的有效性，并通过实际案例进行应用。
第六章：结论与展望此章节总结本文的研究成果，得出结论和展望未来的研究方向。
总结：本文针对食品加工企业原料采购问题，以线性规划为理论基础，建立了相应的模型，利用线性规划的求解方法，求得了最优的采购方案。
同时，对模型进行灵敏度分析和场景模拟，检验和验证了模型的有效性。
该研究在实际生产中具有重要的应用价值，为企业优化资源配置提供了有力支持。
未来的研究可以进一步拓展线性规划模型的应用范围，并优化模型算法和求解方法，提高模型的精度和效率。
《管理运筹学》线性规划的数学模型及相关概念
物品1 物品2 物品3
重量（公斤/件） 10
41
20
价值（元 / 件） 17
72
35
x1
x2
x3
要在背包中装入这三种物品各多少件，使背包中的物品价值 最高。
8
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
16
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
二、线性规划的标准形式
例2-5 将下述LP问题化成标准形式
min z = 2x1 － 3 x2 ＋ x3 x1 － x2 ＋2 x3 ≤ 3
s.t. 2x1 ＋ 3 x2 － x3 ≥ 5
x1 ＋ x2 ＋ x3 = 4 x1 ≥0, x2 无约束， x3 ≤ 0
简记为：
x1 , x2 , … , xn ≥ 0
(M2): max z =CX
s.t.
AX = b X≥0
15
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
二、线性规划的标准形式
非标准形LP问题的标准化
一、极小化目标函数的问题
min z = CX
令 z′= － z
max z′= － CX
例：min z = 3x1 ＋ 2x2 max z′= － 3x1 － 2x2
解：令z′= -z ， x2= x2′ － x2 〞，x3′= -x3
max z′= － 2 x1 ＋ 3 x2′- 3x2 〞 ＋ x3′
x1 － x2′ + x2〞 －2 x3′ + x4 = 3
2x1+3x2′－ 3x2〞+ x3′ － x5 = 5
管理运筹学讲义 第1章 线性规划
max Z 3x1 5 x2 0 x3 0 x4 0 x5 16 2 x1 0 x2 x3 0 x 2 x x4 10 1 2 s.t. x5 32 3x1 4 x2 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
20
8
石家庄经济学院
管理科学与工程学院
第一节 线性规划的一般模型
三、线性规划的一般数学模型
• 用一组非负决策变量表示的一个决策问题； • 存在一组等式或不等式的线性约束条件； • 有一个希望达到的目标，可表示成决策变量的极值线性函数。 •具备以上三个特点的数学模型称为线性规划（Linear Programming，简记为LP），它的一般形式为：
,
c1 c CT 2 cn
,
b1 b 2 b bm
a11 a12 a1n a a a 2n A 21 22 am1 am 2 amn
max Z CX AX = b X 0
18 石家庄经济学院
A：技术系数矩阵，简称系数矩阵； b：可用的资源量，称资源向量； C：决策变量对目标的贡献，称价值向量； X：决策向量。
管理科学与工程学院
第二节 线性规划的单纯形法
一、线性规划的标准型式
1.标准型表达方式
x1 x 2 X xn
min Z 400 x1 700 x2 1400 x3 1900 x4 2500 x5 x1 x2 x3 x4 x5 100 s.t. 0.3x1 0.45 x2 0.73 x3 0.85 x4 0.92 x5 0.8 100 x 0, j 1, 2,...5 j
第一章 线性规划的模型(3)——第一章线性规划资料文档
4. 线性规划模型的标准形式
（1）变量：所有变量均xj≥0 （2）目标函数：为取“max”形式 （3）约束条件：全部约束方程均为“=”连接 （4）约束右端项：bi≥ 0 非标准形式情况有 变量： xj≤0 ,或xj无约束 目标函数：min 约束条件：“≤”或“≥” 约束右端项： bi<0
-10-
-2-
2.线性规划模型的一般要求
（1）变量：取值为连续的、可控的量； （2）目标函数：线性表达式； （3）约束条件：线性的等式或者不等式。
-3-
线性规划问题的一般形式
max z=c1x1+c2x2+………+cnxn
s.t. a11x1+a12x2+………+a1nxn≤(=, ≥)b1
a21x1+a22x2+………+a2nxn≤b2 ………… ………………… am1x1+am2x2+………+amnxn≤bm
如 x1+x23 x1+x2+ x3=3
当 “”时，引进剩余（surplus） 变量 - xs；
如 x1+2x2 4 x1+2x2－x4=4
（4）约束右端项：当 bi < 0，则不等式 两端同乘（- 1）
zmi
n
z
x z = -
z z
max
-11-
例：将下述LP模型标准化：
obj. Min z=2x1- x2+3x3
st.- 2x2+ x3 = 4 2x1- x2 - 3x3 5 x1 0, x2无符号限制, 解：设 zx3=- 0z, x2= x2 - x2 , x2 0 , x2 0, x3= - x3 , x3 0 ，x40, x50, 则有
最新第一章-线性规划问题及其数学模型
第一章线性规划问题及其数学模型一、问题的提出在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。
例1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。
表1-1该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3元，问应如何安排计划使该工厂获利最多？这问题可以用以下的数学模型来描述，设x1、x2分别表示在计划期内产品I、II的产量。
因为设备的有效台时是8，这是一个限制产量的条件，所以在确定产品I、II的产量时，要考虑不超过设备的有效台时数，即可用不等式表示为：x1+2x2≤8同理，因原材料A、B的限量，可以得到以下不等式4x1≤164x2≤12该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x1、x2以得到最大的利润。
若用z表示利润，这时z=2x1+3x2。
综合上述，该计划问题可用数学模型表示为：目标函数max z=2x1+3x2满足约束条件x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x 1、x 2≥0例2 某铁路制冰厂每年1至4季度必须给冷藏车提供冰各为15，20，25，10kt 。
已知该厂各季度冰的生产能力及冰的单位成本如表6-26所示。
如果生产出来的冰不在当季度使用，每千吨冰存贮一个季度需存贮费4千元。
又设该制冰厂每年第3季度末对贮冰库进行清库维修。
问应如何安排冰的生产，可使该厂全年生产费用最少？解：由于每个季度生产出来的冰不一定当季度使用，设x ij 为第i 季度生产的用于第j 季度的冰的数量。
按照各季度冷藏车对冰的需要量，必须满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33231343221242114144x x x x x x x x x x 。
，，，25201510==== 又每个季度生产的用于当季度和以后各季度的冰的数量不可能超过该季度的生产能力，故又有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33232213121143424144x x x x x x x x x x 。
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课程要求
答疑时间
每周二下午2:30-3:30，其它时间
课程考试方式与成绩构成
考试方式 闭卷考试
平时成绩占50%，期末考试占 成绩构成 50%
平时成绩由考勤和平时表现、平
时作业、测验和实验等环节共同 构成。
第一章 线性规划和单纯形法 本章主要内容：
线性规划问题及数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 单纯形法进一步讨论 数据包络分析 其他应用例子
第一节 线性规划问题及数学模型
1. 线性规划（Linear programming）问题的提出
生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这 就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题：
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最 少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完 成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的 经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
课程基本介绍——定义
• 运筹学所研究的，就是在经营管理活动中如 何行动，如何以尽可能小的代价，获取尽可 能好的结果，即所谓“最优化”问题。 • 中国学者根据“运筹于帷幄之中，决胜于千 里之外” 意译为“运筹学”，其意为运算筹 划，出谋献策，以最佳策略取胜。这实际上 极为恰当地概括了这门学科的精髓。
课程基本介绍
夫运筹帷幄之中，决胜千里之外。 ——《史记· 高祖本纪》
由来：西汉初年，天下已定，汉高祖刘邦在洛阳南宫举行盛大的宴 会，喝了几轮酒后，他向群臣提出一个问题：“我为什么会取得胜利？项 羽为什么会失败？”高起、王陵认为高祖派有才能的人攻占城池与战略要 地，给立大功的人加官奉爵，所以能成大事业。而项羽恰恰相反，有人不 用，立功不授奖，贤人遭疑惑，所以他才失败。汉高祖刘邦听了，认为他 们说的有道理，但是最重要的取胜原因是能用人。他称赞张良说：“夫运 筹帷幄之中，决胜千里之外，吾不如子房（古人有名，有字，子房为张良 的字）。”意思是说，张良坐在军帐中运用计谋，就能决定千里之外战斗
运作研究 /作业研究
• 学科产生：第二次世界大战英国波得塞（Bawdsey）雷 达站的研究
–问题：随着雷达性能的改善和配置数量的增多，出现了来自 不同雷达站的信息以及雷达站和整个防空作战系统的协调配 合问题 –1938年7月，波得塞雷达站的负责人罗伊（A . P .Rowe ）用 Operational Research命名防空作战系统运行的研究，这是运 筹学Operational Research（ O . R . ）的由来 –1940年9月英国成立了由物理学家布莱克特(Blackett)领导的第 一个运筹学小组。 –l 942年美国和加拿大也都相继成立运筹学小组 –据不完全统计，二战期间，仅在英、美和加拿大，参加运筹 学工作的科学家超过700名。
课程基本介绍——性质
运筹学具有如下的性质特点
运筹学是一门应用科学，应用现有的科学技术知识
和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者 选择最用来对问题建立
模型，并对模型的分析与求解
最优化思想 系统的整体思想 多学科的交叉与结合，如交通工程、物流工程、经
课程基本介绍——定义
• “运筹学是一门应用于管理有组织系统的科学”，“运筹学为 掌管这类系统的人提供决策目标和数量分析的工具”。—— 《大英百科全书》 • 运筹学“用数学方法研究经济、民政和国防等部门在内外环境
的约束条件下合理分配人力、物力、财力等资源，使实际系统 有效运行的技术科学，它可以用来预测发展趋势，制定行动规 划或优选可行方案”——《中国大百科全书》
的胜利。这说明张良心计多，善用脑，善用兵。后来人们就用“运筹帷幄”
表示善于策划用兵，指挥战争。
课程基本介绍——起源与发展
• 我国古代运筹学应用例子：
– 田忌赛马 – 丁渭修皇宫
无论哪种案例，这里都有筹划，以策略取胜的意思
运筹学
美：Operations Research 英：Operational Research
第一节 线性规划问题及数学模型
问题的提出
例1 美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。已知各制 造一件时分别占用的设备 A， B 的台时、调试工序时间 及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利 情况，如表 1-1 所示。问该公司应制造两种家电各多少 件，使获取的利润为最大。
课程基本介绍——定义
• 运筹学“主要研究经济活动与军事活动中能用数量来表
达有关运用、筹划与管理方面的问题，它根据问题的要 求，通过数学的分析与运算，作出综合性的合理安排， 以达到较经济较有效地使用人力物力”——《辞海》 • 运筹学“应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系 统中人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提 供有依据的最优方案，以实现最有效的管理”。—— 《中国企业管理百科全书》
济学、物理、化学等方法
课程基本介绍——分支
• 规划理论 线性规划 整数规划 • 图论与网络理论 • 排队论 非线性规划 动态规划 运输问题 目标规划
• 存储论
• 决策论
• 对策论
本课程具体内容与性质
运筹学教学大纲
运筹学进度安排
课程特点与相关要求
课程特点 与线性代数联系紧密， 做好相关数学知识的复习 认真听讲。 有问题及时反映 按时完成作业。每周第一次课之 前交。要求独立、准时完成
课程基本介绍——起源与发展
课程基本介绍——起源与发展
二次世界大战后，从事这些活动的许多专家转到了民用部 门，使运筹学很快推广到了工业企业和政府工作的各个方面， 从而促进了运筹学有关理论和方法的研究和实践，使得运筹学 迅速发展并逐步成熟起来。 运筹学发展到现在，但其内容已相当丰富，所涉及领域也十分 广泛。 现在这门新兴学科的应用已深入到国民经济的各个领域，成 为促进国民经济多快好省，健康协调发展的有效方法。 这门课的目的就是要系统地了解运筹学的基本概念、基本原 理、研究方法及其应用，掌握运筹学整体优化的思想和定量分析 的优化技术，并能正确应用各类模型分析和解决实际问题。