数形结合思想在数学教学中的意义 文档

数形结合思想在数学教学中的意义

一、引言

（一）问题研究的背景

数学以现实世界的数量关系和空间形式作为其研究的对象，而数和形是相互联系的，也是可以相互转化的.把问题的数量关系与空间形式结合起来考察，或者把数量关系转化成图形的性质问题，或者把图形的性质转化成数量关系问题，这种处理问题的思想与方法就是数形结合的思想方法.

早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了.我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系.17世纪上半叶，法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁，在点与数对之间、曲线与方程之间建立起来对应关系，用代数方法研究几何问题，从而创立了解析几何学.后来，几何学中许多长期不能解决的问题，例如三等分任意角、化圆为方等问题，最终也借助于代数方法得到了完满的解决.即使在近代和现代数学的研究中，几何问题的代数化也是一条重要的方法原则，有着广泛的应用.

“数形结合”是一种重要的数学思想，也是一种智慧的数学方法.我们在研究抽象的“数”的时候，往往要借助于直观的“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”.通过．

“数”与“形”的结合，我们对事物、规律的把握就能既容易又

细微、深刻.

“数形结合”的应用大致又可分为两种情形：第一种情形是“以

数解形”，而第二种情形是“以形助数”.“以数解形”就是有些

图形过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图

形赋值，如边长、角度等等.“以形助数”是指把手抽象的数学

语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法.

沟通数与形的内在联系，不仅使几何学获得了代数化的有力工具，也使许多代数学和数学分析的课题具有了明显的直观性，在

数学解题中，运用数形结合思想，就是根据问题的具体情形，或

者把图形性质问题转化成数量关系来研究，后者把数量关系问题

转化成图形性质来研究，以便以数助形或以形助数，使问题简单化、抽象问题具体化.

（二）问题研究的意义

数学学习，不单纯是数的计算与形的研究，其中贯串始终的是

数学思想和数学方法.在中学数学里所接触到的一些思想方法中，数形结合的思想方法无疑是比较重要的一种.数形结合是根据数

学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭

示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，. 使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决．

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.

二、数形结合思想在中学数学教学中地位

（一）数形结合思想在数学教学中的研究意义及作用

数形结合思想在数学教学中有着重要的研究意义.教学中运用形象记忆的特点，使抽象的数学尽可能地形象化，这样对学生输入的数学信息和印象就更加深刻，在学生的脑海中形成了数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆.例如：在研究函数时，可以利用函数图形来记忆有关函数的知识点，像函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性以及凹凸性等.

数形结合思想有利于培养学生的发散思维能力.发散思维是从同一来源的材料或同一个问题中探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同视角、不同方面研究同一个问题.

（二）数形结合思想解决的问题

数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：

（1）解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运．

算快捷明了.

（2）解决函数问题：借助于图像研究函数的性质是一种常用的方法.函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法.

（3）解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题.处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路.

（4）解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法.

（5）解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.

（6）解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数.用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决.

（7）解决向量问题：向量是沟通代数与几何的桥梁.

（8）解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线. 的性质及其相互关系的研究中

（9）解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算. （三）数形结合思想应用的原则及途经

1.数形结合遵循的原则

（1）等价原则

等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何的转化应是对应的，即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系应具有一致性.

例方程x3=2sinx的实根个数为（）.

A.3个

B.5个

C.7个

D.9个

错解作函数y=x13与y=2sinx的草图.由于两个函数均为奇函数，故只需要作x≥0的部分，又因为x>8时，x13>2≥2sinx.故图形只需取[0，3π]就行了（如图1所示）.除原点外还有一个交点，再由奇偶性知有7个交点，故选C.

分析当x=18时，1813=12>2×18>2sin18.因此在0，π2内还有一个交点，所以正确的答案为D，如图2所示.

图1

图2

（2）双向性原则

双向性原则是指几何形象直观的分析，进行代数计算的探. 索．