(完整版)四边形中“新定义”型试题探究

四边形中“新定义”型试题探究

浙江省象山县丹城中学 王赛英 徐敏贤 邮编 315700

所谓“新定义”型试题，是指在试题中给出一个考生从未接触过的新概念，要求考生现学现用，主要考查考生阅读理解能力、应用新知识能力、逻辑推理能力和创新能力.给“什么”，用“什么”，是 “新定义”型试题解题的基本思路.以四边形为背景的几何 “新定义”型试题，看似平淡无奇，仔细研读却发现试题韵味无穷，极具探究价值和选拔功能.求解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握相关的基本概念、性质,把握图形的变化规律.

一、以特殊点为契机进行 “新定义”

例1 （2007年宁波市中考数学试题）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l ，点P 为四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一点，PD=PB ，PA≠PC ，则点P 为四边形ABCD 的准等距点．

(1)如图2，画出菱形ABCD 的一个准等距点．

(2)如图3，作出四边形ABCD 的一个准等距点(尺规作图,保留作

图痕迹，不要求写作法)．

(3)如图4，在四边形ABCD 中，P 是AC 上的点，PA≠PC ，延长

BP 交CD 于点E ，延长DP 交BC 于点F ，且∠CDF=∠CBE ，CE=CF ．求

证：点P 是四边形ABCD 的准等距点．

(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．

解:（1）如图2，连结AC,在AC 上任取除AC 中点外的点P,点P 即为所画点．

（2）如图3，连结BD,作BD 的中垂线交直线AC 于点P,因点P 不是AC 的中点,故点P 即为所求作点．

（3）如图4，连结DB ，在△DCF 与△BCE 中，∠CDF=∠CBE ， ∠DCF=∠BCE ，CF=CE.∴△DCF ≌△BCE(AAS)，∴CD=CB, ∴∠CDB=∠CBD, ∴∠PDB=∠PBD ， ∴PD=PB ， ∵PA≠PC , ∴点P 是四边形ABCD 的准等距点.

（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线时，准等距点的个数为0个；

②四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．

图2 图1

图3 D C B A P

图4

D E C F

B P

A 图4

③当四边形的对角线不互相垂直，但互相平分时，准等距点的个数为0个；

④当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；

⑤当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个.

评析：本道题以特殊点为契机，创设了一个全新的概念——四边形的准等距点.第（1）小题是新定义的简单应用.第（2）小题根据新定义的内涵作图，其实质作一对角线的中垂线与另一对角线的交点，且这一交点不在另一对角线的中点上；思维敏锐、镇定从容的同学，从作图中不难发现一般的四边形等距点可能为0、1、2、无数个.第（3）小题，常中见新、拙中藏巧，利用新定义及三角形有关知识就可使命题获证.第（4）小题则难度极大，对分析问题能力、分类讨论能力、抽象思维能力、归纳能力及语言表达能力提出了极高的要求.好在（1）、（2）两小题解决后累积的经验，为第（4）小题解决铺设了平台，尤其是第（2）小题画图时产生的灵感，为第（4）小题的解决指引着思维的方向.于是，类比、联想能力强,思维敏捷的同学会从对角线位置关系入手，对四边形等距点个数进行分类研究；思维严密、深刻的同学，会根据对角线垂直与否及是否平分，分成五类，最后，经抽象、归纳成四类.

二、以特殊边为契机边进行 “新定义”

例2 （2007年北京市中考数学试题）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，设CD 、

BE 相交于点O ，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12

∠A. 请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；

（3）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且∠DCB=∠EBC=12

∠A.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.

解：（1）平行四边形、等腰梯形等.

（2）答：与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ）.四边形DBCE 是等对边四边形.

（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE.

证明：如图5，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 延长线于F 点，∴∠F=900= ∠EGC. ∵ 12

DCB EBC A ∠=∠=∠，BC 为公共边，∴BCF CBG △≌△. ∴BF=CG.∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB ，∠BEC=∠ABE+∠A ， ∴∠BDF=∠BEC ，又∵∠F= ∠EGC ，∴ BDF CEG △≌△，∴BD=CE ，∴四边形DBCE 是等对边四边形.

评析：此题以一组对边相等关系为契机，创设了一个全新的概念——等对边四边形.语言精练,设问流畅，层次感强.解决此题，需较强的分析问题能力、推理论证能力. 第（1）小题是新定义的简单应用.第（2）小题的第一问，利用三角形的内外角的数量关系即可解决；而第二问，易得猜想：BD=CE ，四边形DBCE 为等对边四边形，但凭直角得到的猜想不一定B O A D E C F G 图5