Ch2 流体中声波-02 波动方程的建立

三维运动方程
三个方向上都不均匀； ¡ 媒质的三个基本方程乃至波动方程的推导完全类似 于一维情形,不同的只是现在还要计及y、 z方向压 强的变化而作用在体积元上的力,体积元的速度也 不恰好在x方向, 而是空间的一个矢量. ¡ 为避免重复,这里不再逐一推导, 只把一维情况的结 果简单地推广到三维情况； ¡ 以下将小体元一维的运动方程和连续性方程推广到 三维。
∂ρ ∂ ( ρ vz ) ∂ρ 和 − = ∂t ∂z ∂t
因此，一般的连续性方程为(小体元在三个方向上都有质量净流入) ：
r ∂v 进行线性化处理后可得 ρ 0 = −∇p ∂t
即 −∇g( ρ v ) =
r
r
∂ρ ∂t
∂ ( ρ vx ) ∂ ( ρ v y ) ∂ ( ρ vz ) ∂ρ = − + + ∂x ∂y ∂z ∂t
∇2 = ∂2 ∂2 ∂2 + + 为直角坐标系里的拉普拉斯(Laplace)算符. ∂ x 2 ∂ y2 ∂ z 2 1 ∂ 2p 2 c0 ∂ t2
r r Ag B = ( Ax
Ay
Bx Az )g By = Ax Bx + Ay By + Az Bz B z
类似地可得振速、密度变化量等量的三维波动方程:
于是三个方向的方程可以写在一个方程中：
∂v r ∂vy ρ x i + ∂t ∂t ∂ r ∂ = − i + ∂y ∂x
即 ρ
∂ r ∂ r ∂ r ∇= i + j + k 为纳不拉(Nabla)算符(劈形算符)。 ∂x ∂y ∂z
r ∂v = −∇p，其中 ∂t
r ∂vz r ∂p r ∂p r ∂p r j+ k = − i + j+ k ∂t ∂y ∂z ∂x r ∂ r j + k p = −∇p ∂z
(
)
f ( x) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 )
f ( x ) − f ( x0 ) ≈ f '( x0 )( x − x0 ) = f ( x ) ≈ f ( x0 ) + ∂f ( x ) ( x − x0 ) ∂x ∂f ( x) ( x − x0 ) ∂x
通过声压可以进而求得密度的变化量、质点速度等其 它描述声场物理量所满足的波动方程. 声振动作为一个宏观的物理现象,必然要满足牛顿第二 定律、质量守恒定律和热力学定律. 从一维情形(平面波问题)入手，推广到三维.
对连续性方程求时间导数 −∇ ⋅ (ρ0
r ∂v ∂ 2 ρ′ )= ∂t ∂ t2
三维波动方程
• 只能作用于矢量; • 对一个矢量的散度运算，相当于两个矢量的点乘积; • 运算结果是一个标量.
散度算符 ∇g= div
对物态方程求时间导数并代入，并考虑到 ∇g∇p = ∇ 2 p 于是可得小振幅声波声压p的三维波动方程为 ∇ 2 p =
r 1 ∂ 2ρ ' r 1 ∂ 2v 2 ∇ 2v = 2 和 ∇ ρ '= 2 c0 ∂ t 2 c0 ∂ t 2
由三维运动方程 ρ 0
∂v ∂v x ∂p ∂p = − , ρ0 y = − , ∂t ∂x ∂t ∂y ∂ 1 ∂p p dt = − dt, 所以 vx = − ∫ ρ0 ∂ x ∂ x ∫ ρ0
根据理想流体的“小振幅声波”假设，质点的振动速度 远小于声波的传播速度， 0
v << c
可以证明，
ρ0
∂v ∂p ≈− ∂t ∂x
中国石油大学(北京)测井系乔文孝
2010/9/26
2.连续性方程(质量守恒定律)
设想在声场中取一足够小体积元,其体积为Sdx, 如在体积元左侧面 (ρv ) (ρ v ) x处,媒质质点的振动速度为vx ,密度为ρx
x x + dx
2.连续性方程(质量守恒定律)
(ρ v )x (ρv )x +dx
在单位时间内通过左侧面流入该体 积元的质量 (ρv)xS; 在同一单位时间内从体积元经过右侧 面流出的质量 ∂ (ρ v) x −(ρ v) x+dx S ≈ − (ρ v) x + dx S ∂x 单位时间内流入体积元的净质量为 −
§2-3理想流体媒质中的声波方程
根据声波过程中的物理规律,建立声压随空间位 置和随时间变化的关系,这种关系的数学表示就 是声波波动方程. 研究 p = p x, y, z , t = ?
函数的泰勒级数展开
f ( x) = ∑
n =0 ∞
f ( n ) ( x0 ) ( x − x0 )n , n = 0,1, 2,... n!
其中
∇= ∂ r ∂ r ∂ r i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
矢量函数的散度
∂x
r r r r , ρ v = ρ vx i + ρ v y j + ρ vz k
∂y
∂z
r ∂v r ∂ρ ′ = −∇p ,三维连续性方程 −∇g(ρ 0v 三维运动方程 ρ 0 )= ∂t ∂t 2 物态方程 p = c0 ρ '
2.连续性方程(质量守恒定律)
(ρ v )x (ρv )x +dx
3.物态方程(热力学定律)
声波过程可认为是绝热过程,这样,就可认为压强P仅是密度ρ的单 值函数,即 P = P( ρ ) 因而由声扰动引起的压强和密度的微小增量满足 dP = 这里下标“s”表示绝热过程
−
∂ (ρ v) ∂ρ = ∂x ∂t
r 速度场的性质 ∂v = −∇p ∂t
矢量函数的旋度
ρ0 ∂v z ∂p =− ∂t ∂z
rot =∇× 为旋度算符
它只能作用于一个矢量,其运算结果是一个矢量.
r i r r ∂ rot v =∇ × v = ∂x vx r j ∂ ∂y vy r k ∂ ∂ vz ∂ v y r ∂ vx ∂ vz r ∂ v y ∂ vx r = − − − i + k j+ ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y vz
1. 运动方程
设想在声场中取一足够小的体积元,其体积为Sdx, 由于声压随位置 x而异,因此作用在体积元左侧面与右侧面上的力不相等,其合力就 导致这个体积元里的质点沿x方向运动.
1. 运动方程
ρ dv ∂p =− dt ∂x
F1
P0+p
P0+p+dp F2
X
F1 = (P0 + p )S
P0+p F1
c2 =
( )
dP dP = dρ ρ − dV V ρ S
(
)
S
ρ
=
1 K = S βS ρ ρ
在平衡态(P0,ρ0)附近将c2按泰勒级数展开 可得：
βS = −
dV
V dP
为绝热体积压缩系数 单位压强变化引起的体积相对变化,负号表示压强 和体积的变化方向相反;
d 2P dP dP c2 = = + ( ρ − ρ0 ) + ... 2 d ρ S d ρ S ,0 d ρ S ,0
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第二章 流体中声波的基本性质
¡ 流体中的波动方程, 平面波 ¡ 能量、声压级、边界条件 ¡ 声波垂直入射和斜入射两种流体界面 ¡ 非均匀波、声波垂直透过中间层
第二章 流体中声波的基本性质
¡ 矩形声波导 ¡ 柱面波，圆柱波导 ¡ 球面波、点声源 ¡ 偶极源、相控线阵声源 ¡ 活塞型声源的辐射特性 ¡ 活塞源轴线上的远近场临界距离
r ∂ ( ρ vx ) ∂x + ∂ ( ρ vy ) ∂y + ∂ ( ρ vz ) ∂z
其中 ∇g( ρ v ) = div ( ρ v ) = 线性化处理可得
表示 ρ v 的散度.
r
r ∂ρ ′ −∇g(ρ0 v )= ∂t
中国石油大学(北京)测井系乔文孝
2010/9/26
r r r ∂ ( ρ vx ) ∂ ( ρ v y ) ∂ ( ρ vz ) + + 矢量 ρ v 的散度: ∇g( ρ v ) = div ( ρ v ) =
r v
是质点的振动速度，
∇p = gradp 表示标量函数p的梯度。
三维运动方程
一维运动方程 ρ
三维连续性方程
在x方向有(小体元在x方向有质量净流入)： − 类似地，在y、z方向有 −
∂ ( ρvy ) ∂y =
∂ ( ρ vx ) ∂ρ = ∂x ∂t
dvx ∂p =− dt ∂x
r dv = −∇p 三维运动方程 ρ dt
P0+p+dp F2
X
F2 = (P0 + p + dp )S
∂p dp = dx ∂x
x
x+dx
∂p dx 小体元在x方向所受合力 F = F1 − F2 = − S ∂x dv ∂p =− Sdx , 根据牛顿第二定律可得 ρ Sdx dt ∂x dv ∂p 整理可得 ρ =− dt ∂x
x
x+dx
d P c = = d ρ s
2
3.物态方程(热力学定律)
绝热过程
dP d ρ dV , = − , dρ V S ρ s ρ ρ S
P = P ( ρ ), dP =c 2 d ρ , c2 =
dP d ρ S
∂ (ρ v) Sdx ∂ x
在单位时间内体积元内质量的增加量必然等于流入体积元的净 质量,即 ∂ (ρ v) ∂ M ∂ρ − Sdx = = Sdx. ∂x ∂t ∂t 整理后可得