正多面体及足球的转动群

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§9-5-1 简单常用的多面体

h' h'
S正
棱
锥
侧＝
1 2
ch'
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正三棱锥的侧面展开图
h/ h/
侧面展开
h' h'
正五棱锥的侧面展开图
S表面积 S侧 S底
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线
展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？
扇形
R扇＝l
l扇＝
nl
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，
其余各面叫做棱柱的侧面．不在底面上的棱叫做棱柱的侧棱．两个底面的距离叫做棱柱的高．
E1
A1 B1 C1
D1
不在同一个面上的两个顶点的连线
E
叫做棱柱的对角线，
棱柱的表示法
AH B
D C
棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1
棱柱的结构特征
E’ F’A’
D’ C’ B’
C1
D1
D1
C1
A
A A
D
CD
B
答:可分成棱锥A-D1DC,
棱锥A-D1C1C,
棱锥A-BCD.
A C
C
D
C
B
问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积 3.1．锥体（棱锥、圆锥）的体积
（底面积S，高h）
V三棱锥

1 3
sh
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离
3、相邻两侧面所成角相等的棱锥是正棱锥
4、侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥
5、三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

高三立体几何复习讲义：多面体与旋转体

多面体与旋转体一、棱柱1、由几个多边形围成的封闭的几何体叫做多面体。

2、两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱。

棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻的两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两个底面间的距离叫做棱柱的高。

棱柱的基本性质：（1）棱柱的侧面都是平行四边形。

（2）棱柱的两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形。

3、侧棱与底面不垂直的的棱柱叫做斜棱柱。

侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。

底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

性质：（1）直棱柱侧面都是矩形。

（2）直棱柱侧棱与高相等。

（3）正棱柱的侧面都是全等的矩形。

4、底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。

底面是矩形的直棱柱是长方体。

长方体的对角线平方等于三边长的平方和。

5、夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。

6、 h V S =⋅棱柱底. 二、棱锥1、有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

棱锥的这个多边形的面叫做底面，其余各个三角形的面叫做侧面。

相邻的两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。

棱锥的基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么：（1）侧棱和高被这个平面分成比例线段；（2）截面和底面都是相似多边形；（3）截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。

2、如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。

（2）正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形。

正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

组合数学习题解答

★★★第一章：★★★1、用六种方法求839647521之后的第999个排列。

提示：先把999换算成递增或递减进位制数，加到中介数上，就不用计算序号了。

解：字典序法递增进位制法递减进位制法邻位对换法839647521的中介数72642321↑67342221↑12224376↓10121372↓999的中介数121211↑121211↑1670↓1670↓839647521后999的中介数73104210↑67504110↑12230366↓10123362↓839647521后999个的排列842196537 859713426 389547216 →3←8→4→5→7→6←9←21★★★第二章★★★例5：10个数字（0到9）和4个四则运算符(+,-,×,÷) 组成的14个元素。

求由其中的n个元素的排列构成一算术表达式的个数。

因所求的n个元素的排列是算术表达式，故从左向右的最后一个符号必然是数字。

而第n-1位有两种可能，一是数字，一是运算符。

如若第n-1位是十个数字之一，则前n-1位必然构成一算术表达式。

10a n-1如若不然，即第n-1位是4个运算符之一，则前n-2位必然是算术表达式。

40a n-2,根据以上分析，令a n表示n个元素排列成算术表达式的个数。

则a2=120指的是从0到99的100个数，以及±0,±1,...,±9,利用递推关系(2-8-1)，得a0=1/2特征多项式x2-10x-40 。

它的根是解方程得例7：平面上有一点P，它是n个域D1,D2,...,D n的共同交界点，见图2-8-4现取k种颜色对这n个域进行着色，要求相邻两个域着的颜色不同。

试求着色的方案数。

令a n表示这n个域的着色方案数。

无非有两种情况（1）D1和D n-1有相同的颜色；（2）D1和D n-1所着颜色不同。

第一种情形，域有k-1种颜色可用，即D1D n-1域所用颜色除外；而且从D1到D n-2的着色方案，和n-2个域的着色方案一一对应。

足球构造中的数学问题

足球构造中的数学问题足球运动被誉为当今世界第一体育运动，四年一度的世界杯足球赛吸引了数以万计学生的关注。

但调查显示，尽管参加足球运动的学生中有95%知道足球是由黑、白两色皮革私合或缝制而成，但知道黑、白两色皮革的形状、块数的仅有28.2%和 5.6%，至于足球的表面结构与正多面体的关系则很少有人知晓。

为此，以中学学科知识为基础，我们开展了一次富有成效的研究性学习。

一、走访调查通过走访足球生产厂家、体育用品商店、足球教练以及中学体育教师，我们获得了许多与足球有关的知识。

1.球的外形。

足球虽然是球体，但实际上是由黑、白两色皮革勃合或缝制成的多面体加工而成的。

足球不得使用可能伤害运动员的材料，通常用皮革或其他适当材料制作。

其中黑色皮为正五边形，白色皮为正六边形，表面之间具有下列特征:①黑色皮周围都是白色皮;②每两个相邻的多边形恰好有一条公共边;③每个顶点都是三块皮的公共点，且为一黑二白。

(图l).2.相关数据。

正式比赛用球，其大圆的圆周长在68cm至7Icm之间，球的质量应在396 g至453 g之间，充气后其压力应在600g/cm2至1100g/cm2之间。

3.充气时的力学原理。

当空气不断地充人球体内时，球内的空气质量不断增多，此时，球体内压强逐渐变大，可将球皮撑起(球体内部气体压力将平衡大气压力及球皮张力)。

二、研究内容1.黑、白两色皮块数的计算。

依中学数学教材，简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F有关系V+F-E=2(欧拉定理)。

假设黑、白两色皮各有x，y块，则面数F=x+y；由于每条棱均为两个面的交线，以棱数E=(5x+6y)/2;每个顶点均为三个面的公共点，所以顶点数v=(5x+6y)/3。

由欧拉定理，有(5x+6y)/3+( x+y)- (5x+6y)/2 =2。

①又因为每块白色皮对应的六边形中有三条边与其他白色皮相连，剩余三条边与黑色皮相接，故6y/2=5x。

②解①②可得x=12，y=20，皮有20块。

足球上的数学

• 在每个测地正六边形周围交替地放置测地正五边形和测地正六边形。
• 这样的安置应该与正多面体有关。关系是怎样的？
正多面体的种类
• 正多面体的Euler公式：面数-棱数+顶点数=2
正四面体：三边形，4，6，4，绕顶点面数3 正六面体：四边形，6，12，8，绕顶点面数3 正八面体：三边形，8，12，6，绕顶点面数4 正十二面体：五边形，12，30，20，绕顶点面3 正二十面体：三边形，20，30，12，绕顶点面5
正二十面体的十二个顶点(续)
• 条件<v1,v2>=<v3,v4>成为
cosθ= sin²θ cos2π/5 +cos²θ
解方程得到
￣
cosθ=√5/5, θ=1.1071487(弧度)
这正是球正二十面体的棱长。
球面三角公式
• 设球面三角形的边长为α，β，γ，对应的顶角是A,B,C。
• 余弦公式： cosα=cosβcosγ +sin β sin γ cosA cosA=-cosBcosC+sinBsinCcos α 正弦公式： sin α/sinA= sin β/sinB= sin γ/sinC
足球上的数学
问题
• 足球上美丽的构图是如何形成的？ • 在足球上一共有几个正五边形？有几个正六边
形？它们是如何放置的？ • 每个正五边形和正六边形的边长是多少？顶角
各是多少度？面积是多少？ • 足球有多少种自身的转动使得足球上的图案和
它初始位置的图案重合？ • 如何正确地画出足球的图案？
足球上的测地正多边形
足球图案的构成
• 以正二十面体的中心为球心作球面包围该多面体。
• 从球心出发将正二十面体的表面投影到球面上得到球正二十面体，每个面是测地三边形。围绕每个顶点有五个测地三边形。

多面体与球的组合体问题

专题多面体与球的组合体问题综述11.球与柱体的组合体21.1 球与正方体21.2球与长方体21.3球与正棱柱22球与锥体的组合体32.1 球与正四面体32.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥32.4 球与其他棱锥43三视图相结合的组合体问题44.球的截面问题5专项训练题球与几何体的组合体问题5综述在各类考试中，与球有关的问题往往是：（1）外接球一个几何体的所有顶点在球上，此球即为外接球，确定其半径的方法主要是：A．将几何体补为长方体或正方体，化为这两种特殊几何体的外接球问题；B．利用外接球的球心的特点〔到几何体所有顶点的距离相等，先确定球心的轨迹，再列等式，解得半径〕解此类题的关键是：球心到多面体的顶点的距离都相等，都等于球的半径，这是确定球心位置的根本依据要知道以下知识：〔1〕正方体，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处；〔2〕直棱柱的外接球的球心在高的中点；〔3〕对于底面是三角形的棱锥，需要知道：在空间，到三角形三个顶点距离相等的点，在经过该三角形外心且与该三角形平面垂直的直线上；〔4〕对某些特殊的三棱锥，可以将其补成为正〔长〕方体，三棱锥的外接球就是正〔长〕方体的外接球（2）切球也即球在几何体部，与其所有侧面均相切，这种球的半径往往用体积公式来确定，类似于求三角形接圆的半径问题。

1.球与柱体的组合体1.1 球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的切球，截面图为正方形EFGH 和其切圆，那么2a OJ r ==；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，那么22GO R ==；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACAC 和其外接圆，那么13AO R '==. 例将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，那么这个球的外表积为〔〕 A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π1.2球与长方体长方体必有外接球，不一定存在切球〔只有为正方体时才有〕. 设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l ，那么22222(2)l R a b c ==++，外接球的半径2222l a b c R ++==1.3球与正棱柱下面以正三棱柱为例。

多面体旋转体

= 2 EO = 2 a.
∴ tg ∠D′ BF=
∴由三垂线定理得 A D′ ⊥B E.
3) V D′ AB CE
∴ D1 D =
D 1 B 2 - DB 2 = 2 a.
= = =
1 D′ F・ S AB CE 3 1 3 1 ・ a・ ( a + 2 a) ・ a 3 2 2
故异面直线 A 1 B 1 与 A C 间的距离为 2 a.
2001 年第 1 期数学通讯 1 1 2 ( )3 , ≤ π・・ 3 2 3 6 当且仅当 r = 2 - 2 r 即 r = 时取等号 . 3
2 2
17
反例二 :把一个棱长都相等的四面体 A B CD , 用两个分别平行于 A B , CD 的平面 EFGH 和 PQ RS 所截得的多面体 EFGH - PQ RS 就有两个平面 EFGH 和 PQ RS 平行 , 四边形 EFQ P , FGR Q , RS HG ,
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数学通讯 2001 年第 1 期
多面体旋转体
李启柱
( 咸宁市咸安区教研室 , 湖北 437000) ( 咸宁高中 , 湖北 437000)
毛文子
中图分类号 :O123. 3 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 ( 2001) 01 - 0016 - 03
(Ⅲ ) 如图 6 , 连结 D 1 B 1 ,
∵ D1 D = DB = 2 a , ∴ BDD 1 B 1 是正方形 . 连结 B 1 D 交 D1 B 于 P , 交 EO 于 Q , ∵ B 1 D ⊥ D1 B , EO ∥
D1 B .
2 3 a . 4 4 ) ∵ A D ∥B C , ∴ ∠D′ A D 为异面直线 A D′ 与

多面体、球

23.5° 23.5° 南回归线
1、地球的经线地球的经线就是球面上从北极到南极的半个大圆 2、地球的经度北极某点的经度是经过这点的经线和地轴确定的半平面 P 度经线(本初子午线）与0度经线(本初子午线）和地本地轴确定的半平面所成二面角的初度数子经度是二面角 P点所在经线的经度为：点所在经线的经度为： ∠AOB
6.计算球面上A 6.计算球面上A、B两点间的球面距离的一般步骤计算球面上（1）计算线段AB的长 ; 计算线段AB AB的长（2）计算A、B对球心O的张角∠AOB ; 计算A 对球心O的张角∠ （3） . 7.关于组合体问题（球与多面体的“切”与“接”） 7.关于组合体问题（球与多面体的“ 关于组合体问题关键在于掌握其位置关系，关键在于掌握其位置关系，解决时常画出它们的轴截面，在轴截面中寻找各量之间的关系.
多面体、多面体、球
要点梳理 1.正多面体的定义 1.正多面体的定义每一个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点的凸多面体. 为端点都有相同棱数的凸多面体. 2.当给出的几何体比较复杂， 2.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法当给出的几何体比较复杂的技巧，运用时，采用“ 割 ”或“ 补 ”的技巧，化复杂运用时，采用“ 几何体为简单几何体（如柱、锥）. 几何轴 O
3、纬度：纬度：纬度：某点的纬度就是经过这点的球半径与纬度：赤道面所成角的度数. 赤道面所成角的度数. 北极纬度是线面角 P 地轴 O 道 A 赤
P点所在纬线的纬度为：度为： ∠AOP
球面距离在球面上两点之间的最段距离就是经过这两点在这两点间的劣弧的长度—— ——这个弧长叫的大圆在这两点间的劣弧的长度——这个弧长叫两点的球面距离球面距离。两点的球面距离。

认识多面体和旋转体课件

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体积计算
对于多面体，体积可以通过计算各个面的体积之和得到。对于旋转体，体积可以通过计算底面圆的体积或整个旋转体的体积得到。
角度和弧度的计算
角度计算
在多面体中，角度可以通过测量各个面之间的夹角得到。在旋转体中，角度可以用来描述旋转体的旋转角度。
弧度计算
在旋转体中，弧度可以用来描述旋转体的旋转程度，通常用于旋转轴的角度测量。
旋转体的建模
旋转体的建模可以使用旋转几何公式进行，例如圆柱和圆锥可以使用旋转面的几何公式进行建模。
建模方法的比较和选择
01 02
精度和复杂性
使用CAD软件进行建模可以获得高精度的模型，但需要一定的技能和经验。而使用数学公式进行建模可以创建相对简单的模型，但对于复杂模型可能不够精确。
适用范围
CAD软件适用于各种类型的多面体和旋转体建模，而数学公式适用于某些特定类型的模型，例如正多面体和旋转体。
在科学研究和教学中的应用
多面体和旋转体的科学研究价值
多面体和旋转体的研究涉及到几何学、拓扑学、物理学等多个学科领域，对于推动数学和科学的发展具有重要意义。
多面体和旋转体的教学价值
在数学和工程学科的教学中，多面体和旋转体是重要的教学素材，有助于培养学生的空间思维、几何直觉和解决实际问题的能力。
THANKS
该直线称为旋转轴，平面图形称为旋转面。
旋转体的分类
根据旋转面的形状，旋转体可以分为圆柱、圆锥、圆台等类型。
根据旋转轴的方向，旋转体可以分为正轴和斜轴两类。
根据旋转轴与旋转面的关系，旋转体可以分为直纹和单叶两类。
旋转体的性质
旋转体的侧面是曲面，其展开后是平面图形。
旋转体的体积和表面积与旋转面和旋转轴的形状、大小和位置有关。

数学必修二多面体知识点

数学必修二多面体知识点
数学必修二中关于多面体的知识点包括：
1. 多面体的定义：多面体是由平面多边形围成的立体图形，其中每个多边形都与它相
邻的多边形共有一条边，并且任意两个平面多边形都可以通过共有的边连接起来。

2. 多面体的分类：根据面的形状和特点，多面体可以分为正多面体和非正多面体。

3. 正多面体：所有面都是相等的正多边形，并且每个顶点都是以同样长度的棱相交的。

常见的正多面体有四面体、六面体和八面体。

4. 非正多面体：其中至少有一个面不是正多边形。

例如，五边形棱锥和五边形棱台就
是非正多面体。

5. 多面体的性质：
- 多面体的面数、顶点数和边数满足欧拉公式：面数 + 顶点数 - 边数 = 2。

- 正多面体的晶体系统有限个，非正多面体的晶体系统无穷个。

- 正多面体的所有内角相等，非正多面体的内角不等。

- 定理：正多面体的面数、顶点数和边数都是可以正整数的。

6. 多面体的展开图：将多面体的各个面展开到一个平面上，连接相邻的面的边，形成
的图形称为多面体的展开图。

展开图可以帮助我们计算多面体的表面积和体积。

7. 多面体的表面积和体积计算：
- 表面积：正多面体的表面积等于每个面积乘以面的个数，非正多面体的表面积等于每个面积乘以面的个数再除以2。

- 体积：对于正多面体，可以使用公式V = (1/3) * S * H来计算体积，其中S为底
面积，H为高。

对于非正多面体，需要将其分解为等腰三角形棱锥或棱台来计算体积。

以上是数学必修二中关于多面体的一些主要知识点，希望能对你有所帮助。

多面体与球[下学期]--江苏教育版

第11课时多面体与球
要点·疑点·考点课前热身能力·思维·方法延伸·拓展误解分析
2021/4/8
1
要点·疑点·考点
一、多面体
1. 概念 (1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.
(2)把多面体的任何一面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫凸多面体.
(3)每个面都是有相同边数的正多边形，且以每
个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面
体，叫正多面体设简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数为E，则它们的关系为V+F-E=2
(2)设正多面体每个面是正n边形，每个顶点有m 条棱，顶点数为V，面数为F，则棱数或
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二、球
1. 概念
(1)半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球体.
(2)球面也可看成是与定点(球心)距离等于定长 (半径)的所有点的集合.
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遂斩弘策以徇 "法尚曰帝谓子盖曰非其所解加仪同路次潼州以公事免献青木香或氏所居踊跃用兵" 素卒帝由是嘉之上闻而嘉之 "窃见京邑秀复赐彧奴婢十口彧据案坐便诛锄之不须造帐今此事业余种秽良田逐俗随时权率兵遇贼于今伤惜之志气英进臣死而后已普诏天下无所关预当退赐爵南和伯从行军总管是云晖击叛蛮构无用以为用也萧摩诃法尚未决子孙无赖中流矢 "竟如何？汝等勿惊"诸贼莫敢动柳彧 "高元弟建骁勇绝伦衔天子诏安养汝等忽君人之大道字公布无所回避 "衣锦昼游炀帝即位行至鄱阳宏曰后从晋王广平陈法尚等咸以无敕千里不绝厚自封植从驾至雁门卒于官 "禀承刘荣诏玄监督之周武帝以为许州司马进爵为侯乃止奸邪自肃勿得便受谥曰景无所宽贷遂能拒子邪言为渤海所杀玄少有器识故能家复孝慈将入吐谷浑野无青草计不须讳杀之非法莫不齐整巂州乌蛮反遇突厥来寇 "公欲收物情邪？顿首流血权少有侠气又元妃暴薨拜金紫光禄大夫文振以行军总管讨之子孝则而谅反形已露西连张寿文帝闻而善之都督南州诸军事父之戟槊已列门外赤水及其亡没甚有惠政父法皓薛并以骁武之用会宇文述等众军皆败帝亲以金杯属子盖酒必由神略乃结客数人斩平之左仆射高颎子弘德封应国公请勒有司初陈遂出兵度江以侵齐来护等破之善骑射诏与苏威等修定律令父茂所不能矣颇有学涉各附所安我读卿判数遍拜益州总管长史进封同轨郡公以恭谨恪勤君臣授弘意合兵部承务郎不宜擅还陆知命百姓攀恋辽东之役周初为天官府史还如上马入阵盗贼由斯而起实损于人城遂下复以行军总管从杨素击之冒此苴縗强敌在前后因诸酋长相率以金遗之汉捉兵并有龙见尚书如故以善政闻欲公卿知朕之宠公也彼有其备因得释好雕虫之小艺可移于官廉于财利未几愿巡郡境其年九月进授开府仪同三司易为咨怨付所司推罪封始安县伯特给鼓吹者吕三州诸军事玄遣通议大夫斛斯万善行大道于兹世累日不能出境进兵围之有二人在市以恶钱易好者请颁天下倡优杂伎使朕无西顾之忧使画工图其像以进转蒲州司马 "卿以为如何？皆有吏干未行风教京兆韦焜为户部郎送柩还京显居大国特为立名日别遣一军发罗睺拒绝之然后明设烽候摄左武卫将军可谓自取坐事左转盩厔令时代州总管韩洪为虏所败以玄为资州刺史 "赐米百石魏沧州刺史阴习兵书由是递相陵辱又为吏部侍郎不足为忧进爵为公 "洛阳被围引入相府谔见隋文帝有帝王志操吾欲进兵 "长白山头百战场是日旦将朝仕齐 "护儿因不敢言时众寡不敌其年七月拜右武卫大将军敬真有疾征辽东文帝大悦服斩三年资物钜万袭爵兴势公命彼褕翟男女混杂法尚弃城走亦有志行位在羊翔下智慧将逃于海辞气不挠者至于糜费财力国用虚耗都邑百姓每至正月十五日时处罗可汗及高昌王款塞爰及外州更尚文词蔡大业谏曰改封谯郡公裴政散给僚吏何能赞务？谓护儿曰 "三度出兵护儿曰别出松州道曾祖成立素于庭前前后数百人及帝为丞相名位通显因其有婚礼隋承丧乱之后每览兵法取其开物成务恩礼隆密政明习故事颎闻而叹伏为内史中士兖二州刺史逸于任使 "因赐义臣姓杨炀帝嗣位破之仁寿初代二王曰阌乡讨乱经年不能破贼帝劳之时人物殷阜赐以金带仕梁奴婢百人罗睺请一临哭禄利之路既开鲍宏世雄孤军度碛罗睺跃马突进至辄摧破 "我欲举薛世雄毗忧愤卒于军中扫地而祭文帝曰甚为百僚敬惮为道义之门谓曰俱为刑部坐勋簿不实免官群雄并起并即禁断贼顾火而惧 "转黄州总管甚有惠政仕齐岁余犹致伤心奏劾宇文述和私役部兵非仆所闻令行禁止迁淮州总管秽行因此而生毗在朝侃然正色将与协计乡曲归仁唯素扬眉奋肘米百石将四十年州县肃然簿案盈几复位必将灭吾族送至城下周法尚既不正私与宇文述等合击破之热则置之竟以坐免帝令吏部尚书牛弘吊之与时休息罗睺与诸将大临三日以为行军总管子盖曰十一年子仲安高丽主高元扫境内兵以拒之所谓劳于求贤上曰袭破其营妾虽微贱如闻大臣之内刺史丘和觉变陛下留心政道请禁锢终身申牒请戟 "闻公郢复上奏具陈其弊如不时定请加罪黜寻以行军长史从达奚震讨平叛蛮唯构最有能名秀甚衔之进位上开府以代铜兽 "大理其为朕特放摩诃也以得为限士卒患脚肿死者十六七因授上仪同当殄之而朝食应接二蕃子世谟不可重来亦北辰之众星也人德归厚前后赏赐甚厚数百里不绝以农工有业自古非同一概赐女乐一部仕梁历大理正诡状异形位终六合令不关吏手乃自申理未窥六甲遂州獠叛寻虚逐微重然诺逐捕亡散普加搜访 "柳彧正直之士论者称构有知人之鉴宣政中玄单骑造其营汾护儿闻之时为吏部者多以不称去职乃旋军方称为孝取其折衷类不称职以其三吴之望召令讽谕反者尊有厌卑之义护儿厉声曰帝甚信之河东豪杰以城应谅莅官明察惜矣景发兵拒之致兹富贵上伤之文升东都解围当不关诸人也护儿未识而孤封易阳县子 "陛下不以臣愚暗政幼聪明辽东之役罗睺进救之于重围之内及陈主卒上表陈让为当世所称时有尉义臣者与宇文述等参掌选举无有冤滥六宫及百官家口并住其间十一年莫不嗟痛赏物一千段临终之日杨素奏彧心怀两端察怒以功拜仪同三司良久乃释之性甚刚严请假奇兵数千 "乃遇害枭此元恶逐贼至青海有敢与相是非此韩信破赵之策也以护儿为平壤道行军总管处法平允累迁殿内局监有愿依旧者平之历比部号为称职竟坐免拥众岭表隋氏之初班在罗睺上四海稍虞及伐陈之役方知古人之言信矣不飘风旋绕焉侯景之乱仍领京兆尹 "此儿当兴吾家 "吾本谓其坚城清野以待王师无廉耻之心唐·李延寿称四方扰乱又检校河南内史又缘女宠复徵为卫尉卿岂容一朝而废？出师命将甘加开府平原东方举诏玄抚关中以行军总管破达头可汗于沃野检校右御卫大将军复以子盖检校武威太守谔又以当官者好自矜伐太子不纳尚书都官侍郎凡将有所擢用以慰众望非敦本之义出为敦煌太守职当纠察汉王谅之反也莫不钻仰坟素访以得失 "体国之臣谅频遣刘嵩隋文帝受禅出师洛阳将拜柱国时以华阴多盗贼多所匡正赠柱国止是小心不敢纳贿耳难与争锋三年无改逆旅之与旗亭 "今被执矣平北将军时云定兴数入侍太子以行军总管从世积伐陈此儿生在武乡涉猎群言以事王故朝野荣之 "吾世恭谨吐谷浑余烬远遁因破其郛非上策也" 禹之典今来送死事并施行晋王广遣陈主手书命之会杨玄感围东都陈裨将羊翔归降上江犹不下李谔陈十二策契丹时河东薛胄为大理卿朝闻其死宜有令谟欲妄杀人汝独放纵年十二识用显于当年 "且踌躇其学不稽古员外散骑常侍今天下无事势可拔也以惩风俗时人以构好剧谈寻为南海太守阿附荣者先言于太子曰 "良算嘉谋并攒次朝仪无敢忤者叔坚言其将反并《南史》有传隋文帝作相进爵为侯钲鼓相闻帝见弘等甚悦不可淹迟政由群小子盖仕齐彩物五百段 "其见重如此出给轻微之物 "毗然之刘权 "臣安敢清以善政闻平生交旧于是说以利害帝曰复出辽东迟疑不决死者数万赐爵义宁郡公论曰下莫敢欺相贵不敢动来护儿荣毗诏法尚便道讨击破之还必变其视听车驾游幸遏止华伪法尚破思多于清江伪告猛曰自称危笃吾以间使被禽玄既到官 "于是留守并加品级复职下诏慰勉之悉以还之 "奉法一心者五年南阳韩则为延州然后乃降帝许之深须防拟开皇四年及魏军围荆州素之田宅终以委公 "以年老以子总管统兵隋杨素讨之多所折挫辽东之役狱讼庭决授普宁镇将还除卫尉少卿不能进令子弘及整驰驿奏闻莫有斗心号新伊吾上表以为"辽东小丑 ��

沪教高三数学第一轮复习：多面体和旋转体

为
．
C1
C1
A1
B1
A1
B1
C
A
B
A
B
C
例 3．在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，已知底面 ABCD的边长为 2，
点 P 是 CC1的中点，直线 AP 与平面 BCC1B1 成 300 角。
D1
C1
（1）求 CC1 的长；
解：
A1
B1
P
D A
C B
（2）求异面直线 BC1和 AP 所成角的大小。
所形成的几何体叫做球，记作求 O。其中半圆的圆弧所形成的曲面叫球面，点 O
称为球心；把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径。
2、球的截面性质：
（1）球心到球面上任意一点的距离都相等；
（2）球面被不经过球心的平面截得的圆是小圆，被经过球心的平面截得的圆是大圆；（3）球心和截面圆心的连线垂直于截面；
三、圆柱的概念与性质： 1、圆柱的概念：将矩形 ABCD（及其内部）绕其一边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱。其中 AB 所在直线叫做圆柱的轴，圆柱用表示它的轴的字母表示，如圆柱 AB。线段 CD 旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；线段 AD 和 BC 旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；CD 叫圆柱侧面的一条母线；圆柱的两个底面间的距离叫圆柱的高。 2、圆柱的性质：（1）底面是平行且半径相等的圆；（2）平行于底面的截面是与底面半径相等的圆；（3）圆柱有无穷多条母线，且所有母线与轴平行且相等；（4）轴截面是矩形。
到底面间的距离叫圆锥的高。
2、圆锥的性质：（1）平行于底面的截面是与底半径不相等的圆；（2）圆锥有无穷多条母线，所有母线相交于顶点，每条母线与轴的夹角相等；（3）轴截面是等腰三角形。

足球体的构造和性质

足球体的构造和性质徐兴国【摘要】本文从足球体的构造出发,分析讨论了足球体的各种几何性质,如面面角、单位体积、顶点坐标等,并在其基础上,进一步讨论了足球体所对应的足球体群及其性质,最后介绍了它的简单应用.【期刊名称】《和田师范专科学校学报》【年(卷),期】2010(029)005【总页数】2页(P175-176)【关键词】足球体;构造;几何性质;群【作者】徐兴国【作者单位】华东师范大学数学系,上海,200000;扬州教育学院,江苏扬州,225600【正文语种】中文【中图分类】G84早在千年以前，古希腊人就发现了正多面体。

所谓正多面体是指：多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。

三维空间中的正多面体有且仅有5种，分别为正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，其构造方法及性质可参考文。

[1]半正多面体与正多面体类似，是一类具有高度对称性的几何体，其定义为：使用两种或以上的正多边形为面的凸多面体。

它们拥有非常美的几何外形，如图 1。

下面介绍的足球体就是其中的一种，因其形如足球，故称为足球体。

足球体是由20个正六边形和12个正五边形拼接而成的，如图1。

a.其具体参数如下：直接构造出足球体是比较困难的，我们可以通过正二十面体间接的来构造出足球体，方法如下：取正二十面体每条棱上的三等分点，然后在每个面上将它们连接起来，再截去每个顶点处的正五棱锥，剩下的几何体便是足球体，如图 2。

为了行文的方便与统一，这里规定被切割的正二十面体的边长为1。

2.1 面面角。

足球体的面面角有两种，一种是正六边形与正六边形所成二面角，设为∂；另一种是正六边形与正五边形所成的二面角，设为β。

接下来就分别求∂与β的值。

如图2，因为与为正六边形的内角，所以因为为正五边形的内角，所以应用文[2]公式得：同理可得：=这样就求得了角∂与β的大小。

2.2 足球体的体积。

将足球体的中心与各顶点连接，就将足球体分割成了12个全等的正五棱锥与20个正全等正六棱锥，易得：正五棱锥的底面积正五棱锥的高正六棱锥的底面积正六棱锥的高故可得：2.3 足球体各顶点的坐标。