七年级上册数学第四章角的计算

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第四章第14课方位角-七年级上册初一数学(人教版)

第四章第14课方位角-七年级上册初一数学（人教版）一、方位角的引入在生活中，我们经常需要描述物体或者位置的方向。

比如，我们给朋友指路时会告诉他们左转、右转，或者直走多久多远。

但是这样的描述比较模糊，不够准确。

方位角就是一种用来描述方向的具体方法。

方位角通常用角度度量，与正北方向的夹角来表示。

在数学中，方位角是从正北方向开始，逆时针旋转到目标方向的角度。

方位角的范围是0°到360°，其中0°对应正北方向，90°对应正东方向，180°对应正南方向，270°对应正西方向。

二、方位角的计算方法要计算出物体或者位置的方位角，需要以下几个步骤：1.找到参照物：确定一个参照物，通常是正北方向。

2.确定目标方向：确定目标的位置或者物体所处的方向。

3.计算角度：根据目标方向与参照物之间的夹角，计算得出方位角。

例如，我们站在一条直线上，正北方向在正面，东方在右侧。

我们想知道右侧一个物体的方位角。

首先，我们需要找到正北方向作为参照物。

然后，我们确定物体的方向在右侧，即东方。

最后，我们计算出东方相对于正北方向的角度，这个角度就是物体的方位角。

三、方位角的应用场景方位角在生活中有很多应用场景，主要用于导航和定位。

1.地图导航：方位角可以帮助我们确定目标位置相对于起点的方向，从而指导我们正确地行走或驾驶。

2.天文观测：方位角常用于描述天体的位置，例如星星、行星等在天空中的方向。

3.建筑定位：方位角可以帮助工程师确定建筑物的朝向，以方便日后的设计和施工。

方位角的应用不仅在数学中有重要意义，还在其他学科中也有广泛的应用。

四、方位角的练习题下面是几道方位角的练习题，供大家练习：1.你站在一个正十二边形的顶点上，正北方向在正前方，这个顶点的方位角是多少？2.一个地图上一个城市的位置标记为A，另一个城市的位置标记为B，从A到B的方位角是120°，请问B到A的方位角是多少？3.你站在一个T型十字路口的中心，正北方向在你的正前方，正东方向在你的右手边，那么右手边车道的方位角是多少？4.在一个星空观测的夜晚，你看到一个亮星位于正西方向45°的地方，那么这颗星的方位角是多少？以上是方位角相关知识的介绍和练习题，通过练习可以更好地掌握方位角的概念和计算方法。

七年级数学上册第四章几何图形初步《角：余角和补角(方位角)》

新2024秋季七年级人教版数学上册第四章几何图形初步《角：余角和补角（方位角）》听课记录一、教学目标（核心素养）核心素养目标：1.空间观念：通过余角和补角的概念学习，增强学生的空间想象能力，理解角之间的互补与互余关系。

2.逻辑推理：掌握余角和补角的性质，学会运用这些性质进行角的计算和推理。

3.数学运算：提高学生的数学运算能力，尤其是在处理角的加减运算时能够准确无误。

4.问题解决：能够应用余角和补角的知识解决实际问题，如计算方位角等。

二、导入教师行为：•教师首先展示一个直角，并提问：“同学们，你们知道这个角是多少度吗？”学生回答后，教师继续引导：“如果我们从这个直角中减去一个角，得到的角与原来的角之间有什么关系呢？”•教师引入余角和补角的概念，简要说明它们各自的定义和性质。

学生活动：•学生积极思考并回答教师的问题，对直角有基本的认识。

•认真倾听教师讲解余角和补角的概念，初步理解它们之间的关系。

过程点评：•导入环节通过学生熟悉的直角入手，自然引出余角和补角的概念，激发了学生的学习兴趣和好奇心。

•教师的提问和引导有助于学生建立新旧知识之间的联系，为后续学习打下基础。

三、教学过程（一）余角和补角的概念讲解教师行为：•详细讲解余角和补角的定义，强调“和为90度”与“和为180度”的关键特征。

•通过图示和实例，帮助学生直观理解余角和补角的概念及其在空间几何中的应用。

学生活动：•认真听讲，记录关键信息，尝试用自己的话复述余角和补角的定义。

•观察图示和实例，加深对余角和补角概念的理解。

过程点评：•教师讲解清晰，图文并茂，有助于学生理解和掌握余角和补角的概念。

•学生积极参与，通过复述和观察，进一步巩固了所学知识。

（二）余角和补角的性质应用教师行为：•设计一系列练习题，包括角的加减运算、判断角的余角和补角等，让学生独立完成。

•巡视课堂，及时发现并解决学生在解题过程中遇到的问题。

•邀请学生分享解题思路和答案，进行集体讨论和纠正。

人教版七年级数学上第四章几何图形初步知能素养小专题(六) 角度的计算习题课件

七年级数学上册人教版
类型四：分类讨论思想求角度 7．(辉县期末)在平面上，已知∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，若 OM 平分 ∠AOB，ON 平分∠BOC，求∠MON 的度数．
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解：分两种情况计算：
如图①，当 OC 落在∠AOB 的内部时，
因为 OM 平分∠AOB，
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(2)因为 OC 平分∠AOD，∠COE＝∠1＋∠3＝70°，所以∠3＝∠4＝70°－∠1. 又因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，所以∠1＋∠2＋2(70°－∠1)＝180°，所以∠2＝40°＋∠1，因为∠2＝3∠1，即 40°＋∠1＝3∠1，所以∠1＝20°，所以∠2＝3∠1＝3×20°＝60°. 即∠2 的度数为 60°.
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如答图①，当∠AOD 在∠AOB 外部时，
因为∠COD＝∠AOC＋∠AOD＝60°，
OE 是∠COD 的平分线，
1
1
所以∠COE＝2∠COD＝2×60°＝30°，
所以∠AOE＝∠AOC－∠COE＝10°；
答图①
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如答图②，当∠AOD 在∠AOB 内部时，因为∠COD＝∠AOC－∠AOD＝20°， OE 是∠COD 的平分线，所以∠COE＝12∠COD＝12×20°＝10°，所以∠AOE＝∠AOC－∠COE＝30°. 所以∠AOE 的度数为 10°或 30°.
答图②
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(3)若把“∠AOB＝70°，∠BOC＝30°”改为“∠AOB 是锐角，且∠AOB ＝n°，∠BOC＝25n°”，(2)中的其余条件不变，请直接写出∠AOE 的度数为________(用含 n 的式子表示)．

人教版七年级数学上册第四章4.3《角》例题与讲解

4.3 角1．角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注； ②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间．破疑点角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．【例1－1】下列说法正确的是( )．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时组成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结论．平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了．答案：C【例1－2】如图，以点B 为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来．分析：.射线BA 与BD ，BA 与BC ，BD 与BC 各组成一个角．表示顶点的字母必须写在中间．当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把∠ABC 错写成“∠B ”．书写力求规范，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号一定要用“∠”，而不能用“＜”．解：以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABC ，∠ABD ，∠DBC .2.角的度量与换算(1)角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．(2)角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.谈重点角度的换算 (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；(2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝⎝⎛⎭⎫160′，1′＝⎝⎛⎭⎫160°，用除法．度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°48′36″用度表示．分析：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用⎝⎛⎭⎫160′乘以36.解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.(2)把36″化成分，36″＝⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝⎝⎛⎭⎫160°×48.6＝0.81°. 所以26°48′36″＝26.81°.3．角的比较与运算(1)角的比较： ①度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小． ②叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．解技巧角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC ，表示为∠AOB ＋∠BOC ＝∠AOC ；∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB ，表示为∠AOC －∠BOC ＝∠AOB .②代数意义：如已知∠A ＝23°17′，∠B ＝40°50′，∠A ＋∠B 就可以像代数加减法一样计算，即∠A ＋∠B ＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B －∠A ＝40°50′－23°17′＝17°33′.(3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC 是∠AOB 的平分线，则有∠1＝∠2＝12∠AOB 或∠AOB ＝2∠1＝2∠2.警误区角的平分线的理解角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．【例3】如图所示，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE ＝20°，∠AOD ＝40°，求∠DOE 的度数．解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE.∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.又∵∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，∴∠COE＝20°，∠COD＝40°.∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝20°＋40°＝60°.4．余角和补角(1)余角和补角的概念：①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角)的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.补角的性质：同角(等角)的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.(3)方位角：在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方位角．通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．通常要先写北或南，再写偏东还是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间互相依存，只能说∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1，或者说∠1与∠2互余，而不能说∠1是余角．【例4】如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．解：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°.又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°，所以∠DOF＝∠1＝40°.所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．【例5】如图所示，∠AOB ＝90°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，求∠MON 的大小．分析：解决问题的关键是把∠AOC －∠BOC 视为一个整体，代入求值．解：因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC ＝12∠AOC ，∠MOC ＝12∠BOC ，所以∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC )＝12∠AOB ＝12×90°＝45°. 6.钟表问题对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等．若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．【例6】上午9点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经过x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x )°，分针转过(6x )°，如图所示，可列方程360－6x －(90－0.5x )＝90，解得x ＝32811.即过32811分钟，时针与分针再一次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在动手操作中找出答案．这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图，进而求出点的转动角度．【例7】如图，把作图用的三角尺(含30°，60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下，一律看作点没有转动)．解：如图，从位置①到位置②，B 点转过90°；从位置②到位置③，B 点转过120°；从位置③到位置④，由题意B点看作不动．于是在整个过程中B点转过的角度为90°＋120°＝210°.8.归纳猜想在角的问题中的运用归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的．学习数学必须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现．运用n(n－1)2这个式子，能解决很多类似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家善于借鉴的结果．在学习过程中，注意不断总结、归纳规律，积累经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例8】(1)若在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?解：(1)每个人可与另外(n－1)个人握一次手，n个人就有(n－1)·n次握手，其中各重复一次，所以，握手总次数是n(n－1)÷2次．(2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手)，所以共有n(n－1)÷2条线段．图②中每条射线都与另外(n－1)条射线构成一个角(类似于握手)，所以共有n(n－1)÷2个角．9.方位角的应用(1)如图，画两条互相垂直的直线AB和CD相交于点O，其中一条为水平线，则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向，具体是：向上的射线OA表示正北方向，向下的射线OB表示正南方向，向右的射线OD表示正东方向，向左的射线OC表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．建立这四条方向线后，对于点P，如果点P在射线OA上，则称点P在正北方向；如果点P在射线OB上，则称点P在正南方向；如果点P在射线OC上，则称点P在正西方向；如果点P在射线OD上，则称点P在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分成四个直角，如果点P在正北方向线OA与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正北方向线OA的夹角是m°，则称点P在北偏东(或西)m°方向；如果点P在正南方向线OB与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正南方向线OB的夹角为m°，则称点P在南偏东(或西)m°方向．例如图中的射线OA，OB，OC，OD分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的OC，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．【例9】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°.(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是________；(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是____；(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是____；(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，∠COE＝____.解析：(1)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝90°－50°＝40°，∴∠AOB＝40°＋15°＝55°∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOC＝55°，∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝15°＋55°＝70°，∴OC的方向是北偏东70°.(2)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝40°，∴∠DOH＝40°，∴OD的方向是南偏东40°.(3)∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE＝90°.∵∠DOH＝40°，∴∠HOE＝50°，∴OE的方向是南偏西50°.(4)∵∠AOF＝15°，∠AOC＝55°，∴∠COG＝90°－∠AOF－∠AOC＝90°－15°－55°＝20°.∵∠EOH＝50°，∠HOG＝90°，∴∠COE＝∠EOH＋∠HOG＋∠COG＝50°＋90°＋20°＝160°.答案：(1)北偏东70°(2)南偏东40°(3)南偏西50°(4)160°。

七年级数学上册第四章几何图形初步认识4

D
C (F) D A C (F)
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
A (D)
B (E)
C (F)
(3)∠ABC = ∠DEF
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
估计图中∠1与∠2的大小关系,并用适当的方法检验.
2 1
(1)
2
1
(2)
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
角的大小与角的两边画出的长短有关吗？
(1)角的大小与角的两边画出的长短没有关系. (2)角张开的程度越小，角度就越小.
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
用放大镜看蚂蚁，用放大镜看自己的手，用放大镜看精致的邮票，用放大镜从太阳光里取火等等，都会得到令人开心的结果.那么，有没有放大镜放不大的事物呢？
你知道放大镜不能“放大”角的度数的原因吗？
已知O为直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分 ∠COB, 求∠EOF的大小.
C
E
F
A
O
B
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
解：∵ OE平分∠AOC，OF平分∠COB，
∴∠EOC=
1 2
∠AOC
∠COF= 1∠COB （角平分线的定义），
2
∵∠AOB=∠AOC+∠COB=180°
（平角的定义），
∠ABC > ∠DEF
D
70°
B
C
E
30°
F
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
比较两个角的大小的方法有三种： • 观察法 • 叠合法 • 度量法
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
两个角的大小关系有三种,记作：

子长县第二中学七年级数学上册第四章几何图形初步4.3角4.3.2角的比较与运算教学课件新版新人教版3

105°、120°、135°、150°、 165 °180°
75°
15°
观察思考 , 探究新知
动手做一做 : 在纸上画∠AOC , 然后将其剪下来 , 将其沿经过顶点的线対折 , 使边OA与OC重合.将角展开 , 折痕上任取一点记作点B.类比线段中点的定义 , 填空:
C
∠AOB=∠BOC= 1 ∠AOC ;
即 a + b - c = a + b + ( -c )
➢ 把加减混合运算的算式转化为加法运算后 , 为书写简单 , 可以省略算式中的括号及它前面的加号.
8 + 3 +〔-5〕+〔-7〕可以写成 : 8 + 3–5 + 7
计算 : (-21)+30-15-(-17).
解 (-21)+ 30-15-(-17) = (-21)+ 30 +(-15)+ 17 = (-21)+ (-15)+ 30 + 17 = -36 + 47 = 11
2
E
D
C
B
O
A
(2) 如果∠AOB=40° , ∠DOE=30° , 那么∠BOD
是多少度？解 : 因为 OB 平分∠AOC ,
E
D
C
B
所以 ∠BOC=∠AOB = 40°.
因为 OD 平分∠COE ,
所以∠COD=∠DOE = 30° ,
O
A
所以 ∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.
数的
〔-2〕× 3 = -6
发现 : 两数相乘 , 把一个因数换成它的相反数 , 所得的积是原来积的相反数.

人教版七年级数学上册第四章4.3角(教案)

6.培养学生的合作交流能力：通过小组讨论、交流，促进学生相互学习，提高合作交流能力。
本节课将围绕以上核心素养目标，结合教材内容，设计教学活动，点与重点
1.教学重点
-角的概念及其度量：理解角的定义，掌握角的度量方法，能够准确表示角的度数。
-角的分类：区分锐角、直角、钝角、平角、周角，并能够识别生活中各种角的例子。
在导入新课环节，通过提问方式引导学生回顾日常生活中的角，这样有助于激发他们的学习兴趣。但在讲授过程中，我发现有些学生对角的定义还不够明确，因此在今后的教学中，我需要更加细致地讲解基本概念。
在新课讲授环节，我采用了理论介绍、案例分析和重点难点解析相结合的方式。学生们对案例分析很感兴趣，但部分同学在理解角的性质时仍显得吃力。我意识到，对于这部分内容，需要通过更多具体的例子和实际操作来帮助学生理解。
人教版七年级数学上册第四章4.3角（教案）
一、教学内容
人教版七年级数学上册第四章4.3节，主要教学内容包括：
1.角的概念：了解角的定义，认识角的符号表示，掌握角的度量和单位。
2.角的分类：掌握锐角、直角、钝角、平角、周角的概念，学会分类判断。
3.角的度量：学习使用量角器测量角的度数，掌握角的度数表示方法。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解角的基本概念。角是由两条射线共享一个公共端点形成的图形。它是研究几何图形的基础，广泛应用于日常生活和各类工程中。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了角在三角板中的应用，以及它如何帮助我们解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角的度量方法和角的分类这两个重点。对于难点部分，我会通过动态演示和实际操作来帮助大家理解。

人教版初中数学七年级上册第四章4.3.3余角和补角

O
60°
上发现了客轮B.仿照表示灯塔方位的方法，
A
画出表示客轮B方向的射线.并说出你是怎样画出的.
②同时在它南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分别发现了货轮C和海岛D.请再画出表示货轮C和海岛D方向的射线.
如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东 60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它的北偏东30°方向，你能从图中确定这艘船的位置吗？
练习：看谁答得快:
∠α
∠α 的余角
∠α 的补角
30° 54° 90°
62°23′
ⅹ
60 °
150 °
36 °
126 °
00
另比余外角：大同，（等并9）且0 °角大的90补°角
27 ° 37 ′
117 ° 37 ′
90 x
同一个角的余角和补角什么关系？
1、动手画一画:
1）已知∠α(如图)，请利用三角板画的∠α的余角
样的角称为方位角.
方位角的表示习惯上以正北、正南方向为基准来描述物体的方向．即用“北偏东多少度”“北偏西多少度” 或者“南偏东多少度”“南偏西多少度”来表示方向．
北西北
西 O
西南南
东北东东南
北
30°
西
东
O 60°
南
北例4：如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A
在它南偏东60°方向上. ①在它北偏东40°方向
性质3：等角的补角相等
如图,∠1与∠2互余， ∠3与∠4互余，并且∠1= ∠3，
2
1
3
4
请问：∠ 2与∠4相等吗?为什么？你还能得出什么结论？
答：相等。
∵∠1与∠2互余，可得∠2=90°- ∠1 ；又∠3与∠4互余，可得∠4=90°- ∠3；且∠1= ∠3，所以90°- ∠1=90°- ∠3 ； ∴∠2= ∠4

余角和补角_课件

＝ (∠AOC+ ∠BOC ) ＝90° 所以， ∠COD 和∠COE 互为余角，同理， ∠AOD +∠BOE， ∠AOD +∠COE ， ∠COD +∠BOE 也互为余角.
∠1和∠2互补，即： ∠1是∠2的余角 ∠2是∠1的余角
注意事项
1．定义中的“互为”是什么意思？
即每一个角都是另一个角的余角并多次变换位置，如图，这
两角还是互为补角吗？
还是补角
补角和余角都是表示角度的大小关系，与位置无关．
练习
1．若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2=_1_8__0_°__． 2．∠1=90º－∠2,则∠1与∠2的关系为互__余_____．
解得： x =60 答：这个角的度数是60 °．
总结：直接求解有困难，就要想到列方程．
余角和补角之列方程
如何利用列方程的技巧解决与余角和补角有关的角度计算问题？
练习 ∠α 的余角是它的3倍，∠α 是多少度？答案：22.5°．
练习
一个角的余角比这个角的补角的还小10°，求这个角的余角及这个角的补角的度数．答案：这个角是60°，它的余角是30°，补角是120°．
探究
(1)已知∠1与∠2，∠3都互为补角．那么∠2和∠3的大小有什么关系？由∠1与∠2和∠3都互为补角，那么∠2＝180º－∠1， ∠3＝180º－ ∠1，所以∠2＝∠3.
探究
(2)已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补．若∠1＝∠3，那么∠2和 ∠4 相等吗？为什么？由∠1与∠2互补，得∠1＋∠2＝180°，所以∠2＝180º－∠1. 由∠3与∠4互补，得∠3＋∠4＝180º, 所以∠4=180º－∠3. 又因为∠1＝∠3，180º－∠1＝180º－∠3，所以∠2＝∠4.

人教版初中数学七年级上册教学课件第四章几何图形初步角角的比较与运算

课堂小结
比较度量法；叠合法. 角运算度与度、分与分、秒与秒分别相加、减.分秒相加时逢60要进位，相减时借1作60.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
分析：∠AOB是平角， ∠BOC=∠AOB-∠AOC .
解：由题意可知，∠AOB是平角， ∠AOB＝∠AOC＋∠BOC,
所以∠BOC＝ ∠AOB－∠AOC ＝180°－ 53°17′ ＝126°43′.
例2 把一个周角7等分，每一份是多少度的角（精确到分）?
解：360°÷7＝51°+3°÷7 ＝51°+180′÷7 ≈51°26′.
【课本P136 练习第1题】
2. 估计图中∠1与∠2的大小关系，并用适当的方法检验.
【课本P136 练习第2题】
3. 如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份？
【课本P136 练习第3题】
4. 如图，О是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线， ∠COD=31°28‘，求∠AOD的度数.
D C
E
A
O
B
2. 如果EC落在∠BOD的内部，那么∠AEC小于∠BOD，记作∠AEC＜∠BOD.
C D
E
AO
B
3. 如果EC落在∠BOD的外部，那么∠AEC大于 ∠BOD，记作∠AEC＞∠BOD.
思考图中共有几个角？它们之间有什么关系？
图中共有 3 个角.
∠AOC是∠AOB与∠BOC的和 .记作∠AOC= ∠AOB+∠BOC ；∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作：∠AOB=∠AOC-∠BOC ；类似地， ∠BOC= ∠AOC-∠AOB .

人教版七年级数学上册第四章专题训练(十) 角的计算中的数学思想及动点问题作业练习题

(2)若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°. ①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的t的取值；若不存在，请说明理由； ②在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时(如图③)，求∠AOC－ ∠BOE的度数．
②因为∠AOC＝∠COE－∠AOE＝140°－∠AOE，∠BOE＝90°－ ∠ AOE，所以 ∠ AOC－ ∠ BOE＝ (140° － ∠ AOE)－(90°－∠ AOE)＝ 50°，所以∠AOC－∠BOE的度数为50°
类型三整体思想 4．如图，已知∠AOB＝110°，OD为∠AOB内一条射线， OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．
解：因为 OE 平分∠AOD，OF 平分∠BOD，所以∠EOD＝12 ∠AOD， ∠DOF＝12 ∠DOB，所以∠EOF＝∠EOD＋∠DOF＝12 ∠AOD＋12 ∠DOB ＝12 (∠AOD＋∠DOB)＝12 ∠AOB＝12 ×110°＝55°
5．如图，OB，OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∠MON＝80°.
(1)若∠BOC＝40°，求∠AOD的度数； (2)若∠AOD＝x°，求∠BOC的度数(用含x的式子表示)
解：(1)因为∠ MON－ ∠BOC＝ ∠ BOM＋∠ CON， ∠ BOC＝40°， ∠MON＝80°，所以∠BOM＋∠CON＝80°－40°＝40°，因为OM平分∠AOB，ON平分∠COD，所以∠AOM＝∠BOM，∠DON＝∠CON，所以∠AOM＋∠DON＝40°，所以∠AOD＝∠MON＋∠AOM＋∠DON ＝80°＋40°＝120°
解： (1)∠BOC ＝ ∠ BOE ，理由：因为 ∠ AOB ＝ 90° ，所以 ∠ BOC ＋ ∠ AOC＝ 90° ， ∠ AOD ＋ ∠ BOE＝ 90° ，因为 OA平分 ∠ COD ，所以 ∠AOD＝∠AOC，所以∠BOC＝∠BOE

人教版七年级数学上册第四章几何图形初步余角和补角

1
2
3
= ∠2=180°–∠1
∠3=180°–∠1
结论：同角 (等角) 的补角相等.
类似地,可以得到：同角 (等角) 的余角相等.
探究新知
素养考点余角和补角的识别
例如图,点A,O,B在同一直线上,射线 OD 和 D 射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC,
图中哪些角互为余角？
解：因为点A,O,B在同一直线上, 所以∠AOC和∠BOC 互为补角.
（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
解：OE平分∠BOC,理由如下：因为∠DOE=90°,所以∠AOD+∠BOE=90°,
D
所以∠COD+∠COE=90°,
所以∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE,
因为OD平分∠AOC,所以∠AOD=∠COD,
AO
所以∠COE=∠BOE,所以OE平分∠BOC．
x + ( 3x+30 ) = 90. 解得 x=15.
故 ∠B 的度数为15°.
探究新知
素养考点 2 余角、补角、角平分线相结合的题目
例2 如图,已知O为AD上一点,∠AOC与∠AOB互补,OM,ON
分别为∠AOC,∠AOB的平分线,若∠MON=40°,试求∠AOC与
∠AOB的度数．
M C
B
N
DO
C E
B
巩固练习
如图,已知∠AOB=90°, ∠AOC= ∠BOD,则与∠AOC 互余的角有_______∠__B_O__C__和__∠__A. OD
AC
D
O
B
探究新知
E 西
C F
知识点 3 方位角
北 D

角的计算方法总结归纳

七年级上学期第四章：角的计算方法总结归纳1、七年级上学期数学第四章：几何图形中角的计算基本理解问题一：图中有几个角？答：三个，∠BAC，∠CAD，∠BAD问题二：这三个角之间有什么联系？答：∠BAC+∠CAD=∠BAD，∠BAD−∠BAC=∠CAD∠BAD−∠CAD=∠BAC∠BAD 问题三：如果射线AC是∠BAD的角平分线，那么∠BAC=∠CAD =12问题四：如果∠BAC：∠CAD=2:3，∠BAD=500，求其他的角解：设∠BAC的度数为2x,则∠CAD的度数为3x2x+3x=50解得x=10则∠BAC=2x=200, ∠CAD=3x=3002、角的计算①直接计算典型例题1、如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数．解：因为∠AOB=90°，OE平分∠AOB所以∠BOE=12∠AOB=450因为∠EOF=60°所以∠BOF=∠EOF−∠BOE=150因为OE平分∠AOB所以∠COB=2∠BOF=300所以∠AOC=∠AOB+∠COB=1200分析：正推：将题目所给的条件联系起来，通过一个条件（已知）或者两个条件（已知）联合可以推出哪些（未知），最后联系已知和推出来的未知联合在一起，看能否得出结论。

反推：又或者倒推题目，要求出所求的问题，求出知道哪些，进而求出这些所需要的条件是什么，再看看题目已经知道的条件是什么，还需要什么变式训练：1、如下图所示，已知∠AOC=∠BOD=800,∠BOC=350，求∠AOD的度数O DCBA2、O是直线上一点，OC是任一条射线，OD、OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线。

（1）请你直接写出图中∠BOD的补角，∠BOE的余角。

（2）当∠BOF=25°时，试求∠DFE和∠AOD的度数分别是多少。

3、如图,O为直线AB上一点,∠AOC＝50°,OD平分∠AOC,∠DOE＝90°(1)请你数一数, 图中有_______个小于平角的角；(2)求出∠BOD的度数；(3)请通过计算说明OE是否平分∠BOC.②方程的思想典型例题1、如图，O是直线AB上一点，∠AOC=∠BOD，射线OE 平分∠BOC，∠EOD=42°，求∠EOC的大小．解：设∠AOC的度数为x度，则∠BOD的度数也是x度因为∠EOD=42°所以∠BOE=x+420因为射线OE平分∠BOC∠EOC=∠BOE=x+420则x+x+42+x+42=180解得：x=320∠EOC=x+420=740分析：一般用方程思想的题目，给出的角的度数比较少，角与角之间的关系比较多。

(名师整理)最新人教版数学7年级上册第4章第3节《角》精品课件

B. 35.5°＝35°50′
C. 35.5°＜35.5′
D. 35.5°＞35°5′
11. 钟表在8：25时，时针与分针所夹角的度数为
()
B
A. 101.5°
B. 102.5°
C. 120°
D. 125°
12. 计算：(1) 50°－15°30′＝ 34°30；′
(2) 38°7′4″＋59°28′59″－61°5′9″＝
M
1
P N
D．图中共有三个角∠MON，∠POM，∠PON.
5.把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（ A ）
A．2°21′36″
B．2°18′36″
C．2°30′60″
D．2°3′6″
6.若∠A=20°18′，∠B=20°15′，∠C=20.25°，则有（ C ）
A．∠A＞∠B＞∠C
B．∠B＞∠A=∠C
16. 计算： (1) 180°－46°42′； 133°18′
(2) 132°20′56″＋35°42′18″； 168°3′14″
(3) 50°24′×3； 151°12′
(4) 33°18′32″×5； 166°32′40″
(5) 97°40′÷6； 16°16′40″
(6) 13°16′×5－19°12′÷6. 63°8′
2. 已知∠A＝45°18′，∠B＝45°15′30″，∠C＝45.15°，则 ( ) AA. ∠A＞∠ຫໍສະໝຸດ ＞∠CB. ∠B＞∠A＞∠C
C. ∠A＞∠C＞∠B
D. ∠C＞∠A＞∠B
3. 用一副三角尺不能画出的角的度数是
()
C
A. 75°
B. 105°
C. 110°
D. 135°

七年级数学角的计算公式

七年级数学角的计算公式
我们要了解七年级数学中关于角的计算公式。

首先，我们要明确什么是角。

角是由两条射线从一个公共端点开始并延伸到无限远所形成的几何图形。

在数学中，我们经常需要计算角的大小，或者将一个角分解为其他几个角。

1. 角的和与差:
如果两个角是相等的，我们可以用以下公式来计算它们的和或差：
$\text{角度1} + \text{角度2} = 180^\circ - \text{夹角}$
$\text{角度1} - \text{角度2} = \text{夹角}$
2. 角的补角:
两个角的和为90°时，我们称这两个角为补角。

$\text{补角} = 90^\circ - \text{角度}$
3. 角的倍角和半角:
$\text{倍角} = 2 \times \text{角度}$
$\text{半角} = \frac{1}{2} \times \text{角度}$
4. 角的余角:
两个角的和为180°时，我们称这两个角为余角。

$\text{余角} = 180^\circ - \text{角度}$
这些是七年级数学中关于角的计算的基本公式。

通过这些公式，我们可以解决许多与角相关的数学问题。

七年级数学上册第四章 3角例题与讲解北师大版

七年级数学上册第四章 3角例题与讲解北师大版1．角的定义(1)静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角．如图甲．角的有关概念：顶点：两条射线的公共端点．边：组成角的两条射线．(2)动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形．如图乙．谈重点角的理解(1)角有两个特征：①角是由两条射线组成的；②这两条射线有公共的端点．(2)角的大小与角的两边的长短无关：由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大小与角的两边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关．【例1】下列说法错误的有( )．①有公共点的两条射线形成的图形是角②从一点引出的两条射线形成的图形是角③角的大小与两边所画的长度有关④线段绕着一个端点旋转也可以形成角A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①×公共点与公共端点不同②√具备角的两个基本元素③×角的大小不因为两边的长短而改变④×角的两边是射线答案：C2．角的表示方法及画法角的表示方法有四种．(1)三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为∠AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A，B写在两旁．(2)顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的∠AOB也可记为∠O.(3)阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中的∠AOB可记为∠1.(4)希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(α，β，γ等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中的∠BOC可记为∠α.这种方法与数字表示法实际上是一样的．释疑点表示角时的注意事项①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”．②表示角所用的符号“∠”，不能写成小于号“<”．③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图(2)中以O为顶点的角有∠1，∠α，∠AOC ，就不能用∠O 来表示了．否则，就会产生混乱．3．平角、周角(1)平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角，平角是180°，如图1.(2)周角：如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角．周角等于360°.(3)平角与周角的关系：一周角等于两平角．平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射线就是周角．角必须有顶点和两边．【例3】下列说法是否正确，为什么？①平角是一条直线；②钟表上的分针经过1小时形成一个周角．分析：可根据平角和周角的形成定义判断．解：①错．因为平角是一条射线绕着它的端点旋转到反方向位置时形成的图形，平角有顶点、边这些基本元素，而直线没有，故是错误的； ②正确．因为分针经过1小时会旋转一周，所以分针经过1小时会回到初始位置，即能形成一个周角．4．度、分、秒的换算(1)角的单位及意义角的单位是度、分、秒．意义：①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，记作1°；②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，记作1′；③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，记作1″.(2)度、分、秒的进率及换算方法度、分、秒的进率是60.即1°＝60′，1′＝60″，1°＝60′＝3 600″.度6060⨯÷分6060⨯÷秒(3)度、分、秒有关的计算度、分、秒的进率是六十进制，不同于十进制．在运算中满60才向高位进1，而借1则表示低位的60.在进行度、分、秒的加减法或乘除法的运算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减、不够除的要借位．从高位借的，单位要化为低位的单位后才能进行运算．在相乘或相加时，当低位大于或等于60时，要向高位进位．【例4－1】 (1)用度、分、秒表示48.13°为__________；(2)用度表示23°9′36″为__________．解析：(1)先把0.13°化成分：60′×0.13＝7.8′，再把0.8′化成秒：60″×0.8＝48″，所以48.13°＝48°7′48″；(2)先把36″化成分：⎝ ⎛⎭⎪⎫160′×36＝0.6′，再把9.6′化成度：⎝ ⎛⎭⎪⎫160°×9.6＝0.16°，所以23°9′36″＝23.16°.答案：(1)48°7′48″ (2)23.16°【例4－2】计算：(1)13°29′＋78°37″； (2)61°39′－22°5′32″；(3)23°53′×3； (4)107°43′÷5.分析：先将相同单位相加减，注意进位和借位；乘法要先乘低位，再乘高位；除法是先除高位，高位余数换算成低位数后，再除低位．解：(1)13°29′＋78°37″＝91°29′37″.(2)61°39′－22°5′32″＝61°38′60″－22°5′32″＝39°33′28″.(3)23°53′×3＝69°159′＝71°39′.(4)107°43′÷5＝(105°＋2°43′)÷5＝105°÷5＋163′÷5＝21°＋(160′＋180″)÷5＝21°＋160′÷5＋180″÷5＝21°32′36″.5.角的计数方法数角的个数与数线段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数．常用的有两种方法：①始边计数法：先以某条边为始边(固定一边)，按顺时针方向或逆时针方向找到与之构成的所有的角，然后再以另一条射线为边，重复上面的过程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的总个数．②分类计数法：先数清基本的角，再数由两个基本角组成的角，由三个基本角组成的角……【例5】如图，图中共有多少个角？用字母分别表示出来．分析：要确定有多少个角，需要先确定始边与终边的条数．可以用始边计数法数角的个数．即先以OA为始边，则能与它组成角的边有3条，就有3个角；再以OB为始边，按逆时针数出角的个数，依次类推．解：以OA为一边的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD；以OB为一边且不重复的角有∠BOC，∠BOD；以OC为一边且不重复的角有∠COD.因此图中共有6个角，它们分别为：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD.6．角的应用角在生活和生产中随处可见．本节的有关角的应用主要是钟表中的角．钟面上共有12个大格，把周角平均分，即360°÷12＝30°.钟表面上有60个小格，360°÷60＝6°.因此，时针每小时转动30°，分针每分钟转动6°.时针与分针的夹角的求法：先确定时针与分针之间有几个大格，即有多少个30°.用30°乘大格数．特别注意：①从时针开始数，所形成的角有时需要按顺时针数，如3：40；有时需要按逆时针数，如2：50.②从时针开始，按顺时针形成的角，两个度数相减；按逆时针形成的角度数相加．③时针每分钟转30°÷60＝0.5°.【例6】如图是部分节目的播出时间，分别确定出钟表上时针与分针所成的最小的角的度数．分析：确定钟表上时针与分针所成的最小角的度数，需要先确定时针与分针形成的角中包含几个大格和小格．节目时间大格度数小格度数夹角新闻联播19：0030°×50°150°新闻30分12：000°0°0°今日说法12：3530°×535×0.5°相加电视剧20：0030°×40°120°解：新闻30分：0°；今日说法：30°×5＋35×0.5°＝167.5°；电视剧：30°×4＝120°.。

人教版七年级数学上册：4.3.3余角和补角说课稿

本节课的主要知识点包括：余角的定义、性质和计算；补角的定义、性质和计算。通过本节课的学习，学生能够理解并掌握余角和补角的概念，能够运用它们解决实际问题。
（二）教学目标
知识与技能：
1.理解并掌握余角和补角的概念。
2.能够运用余角和补角的性质进行计算。
3.能够运用余角和补角的知识解决实际问题。
过程与方法：
3.对于小组讨论，设计更具吸引力的讨论题目，并适时给予指导和激励。
课后，我将通过以下方式评估教学效果：
1.收集和分析学生的练习和作业，评估知识掌握情况。
2.与学生交流，了解他们对课堂内容的理解和感受。
3.自我反思，记录教学过程中的亮点和不足。
反思和改进措施：
1.根据学生的反馈调整教学方法和节奏。
2.对课堂活动进行优化，提高学生的参与度。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
1.个人练习：设计具有代表性的练习题，让学生独立完成，检验学习效果。
2.小组讨论：将学生分成小组，针对实际问题进行讨论，共同解决。
3.数学游戏：设计余角和补角相关的数学游戏，让学生在游戏中巩固知识。
4.实践活动：让学生在课后寻找生活中的余角和补角实例，并进行记录和分享。
这些教具和多媒体资源在教学中的作用是：直观展示知识点，激发学生学习兴趣，提高课堂互动性，帮助学生更好地理解和掌握知识。
（三）互动方式
为促进学生的参与和合作，我计划设计以题进行提问，引导学生积极思考，检验学习效果。
2.小组讨论：将学生分成小组，针对实际问题进行讨论，鼓励他们发表见解，共同解决问题。
3.课堂游戏：设计余角和补角相关的数学游戏，让学生在游戏中互动，提高学习兴趣。