16第十二章协方差分析
协方差剖析[指南]
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、发展心理学的生态系统理论生态系统理论是由美国心理学家布朗芬布伦纳提出，他承认生物因素和环境因素交互影响着人的发展，自然环境对人的发展是一个主要影响源。
环境的影响是“一组嵌套结构，每一个嵌套在下一个嵌套中，就像一套俄罗斯的嵌套娃娃一样”。
换句话说，发展的个体处在从直接环境（像家庭）到间接环境（像宽泛的文化）的几个环境系统的中心或嵌套与其中。
布朗芬布伦纳将生态环境分为四个系统，第一层系统，微系统。
这是最里层的系统，指个体活动和交往的直接环境。
对大多数婴儿来说，微系统仅限与家庭，然后随着儿童进入托儿所、学前班，以及与同伴群体和社区玩伴的交往，此系统变得越来越复杂。
儿童不仅受到微系统中人的影响，而且他们的生物和社会性特征――习惯、气质、生理特征和能力，也影响着同伴的行为。
例如，困难型婴儿可能会疏远父母，甚至导致父母出现矛盾，这足以破坏婚姻关系。
微系统中任何两个个体的交往都有可能受第三者的影响。
例如，父亲明显地影响着母－婴交往：有着亲密幸福的婚姻关系、夫妻相互支持的母亲对婴儿的反应比婚姻关系紧张、缺少配偶支持的母亲更有耐心、更敏感。
因此，微系统的确是一个动态的发展情境，生活与其中的每个人都影响着别人，同时也受别人的影响。
第二层系统，中间系统，指的是在微系统，如家庭、学校和同伴群体之间的联系或相互关系。
布朗芬布伦纳认为，如果微系统之间有较强的支持性关系，发展可能实现最优化。
例如，与父母建立安全、和谐关系的幼儿在童年和青少年时期也易于被同伴接纳和建立亲密、支持性的友谊关系。
第三层系统，外层系统。
是指哪些儿童并未直接参与但却对他们的发展产生影响的系统。
如父母的工作环境就是一个外层系统影响因素，儿童在家庭的情感关系可能会受到父母是否喜欢其工作的影响。
同样，儿童在校的经历也会受到外层系统的影响，如学校的整体计划。
第四层系统，宏系统。
宏系统是指微系统、中间系统、外层系统嵌套与其中的文化、亚文化和社会阶层背景。
宏系统实际上是一个广阔的意识形态。
协方差分析课件
求解模型如下：
令 bi i ,求 bi , b , 使
SS
i 1 s t j 1
y
ij
bi b x ij
2
最小。 记 n st
1 t y i y ij t j 1 1 s x i x ij s i 1
1 s t y y ij st i 1 j 1
2
最小。 上式对 , 求偏导数，并令其为零，可求 得 , 的估计为
ˆ
i 1
( y ij - y i )( x ij - x i )
j 1 s i 1
s
t
( x ij - x i )
j 1
t
2
ˆx ˆ y
由此可算得
ST
i 1 s t j 1
，并且 相互独立。
上述两个问题的模型可以推广到一般情况。
下面只讨论一个影响因素，一个协变量的 协方差分析模型。 设因素A有s个水平，每个水平试验t次。 数学模型：
yij bx ij i ij
i 1 ,2 , , s
2
j 1 ,2 , , t
s i 1
其中 εij ~N( 0 , σ ) ，并且 相互独立， α i 0
Ⅱ x y Ⅲ x y
此问题中，A1,A2,A3三个水平是可以控制 的，它们作为分类变量A的值，而苹果第一年产 量x是不可控制的，要分析x与苹果增加重量的 关系，我们把它作为普通变量，即协变量来处 理。 画出x与y的散点图，观察这两个量的关系 可看出，x与y之间有明显的线性关系。于是我 们假设：
（1）第一年重量x和增加重量y之间有线 性关系 y b0 bx 再考虑肥料因素对增重的影响，我们设： （2）施用肥料Ai ,苹果增重为μi （3）影响苹果增重的随机误差为 ij εij ~N( 0 , σ 2 )
协方差分析
协方差分析协方差分析（ANCOVA）是一种在统计学中常用的方法，用于比较两个或更多组之间的平均值是否存在差异，并控制一个或多个可能存在的共同协变量的影响。
在本文中，将介绍协方差分析的基本概念、假设前提、模型、效应检验、应用注意事项等内容。
一、基本概念协方差分析是一种结合了方差分析（ANOVA）和回归分析的技术，旨在研究组间的差异是否受到一个或多个协变量的影响。
协变量指的是可能影响因变量的其他变量，例如年龄、性别、智力水平等。
通过控制协变量的影响，协方差分析可以更准确地评估组间的差异是否真正存在。
二、假设前提三、模型在协方差分析中，需要估计各组的平均值（μ）和回归系数（β1和β2），以及误差项的方差（σ²）。
通过比较组间方差与误差项方差的比值，可以判断在控制协变量的情况下，组间的差异是否显著。
四、效应检验另外，还可以通过比较回归系数的显著性来判断协变量对因变量的影响。
如果协变量的回归系数显著，表示协变量对因变量的影响在各组之间存在差异。
五、应用注意事项在进行协方差分析时，需要注意以下几点：1.选择合适的协变量：选择与因变量相关的协变量，以减少协变量的影响，提高结果的准确性。
2.检验协变量与因变量之间的线性关系：协变量与因变量之间的关系应该是线性的，否则可能导致结果不准确。
3.选择适当的控制组：选择适当的控制组进行比较，以保证对组间差异的探究更有说服力。
4.检验方差齐次性假设：协方差分析要求各组之间的方差应该是齐次的，如果方差齐次性假设不成立，可能导致结果失真。
5.做出合理的解释：协方差分析仅能提供组间的比较结果，不能得出因果关系的结论。
因此，在解释结果时应谨慎，并结合实际情况进行合理解释。
总结：协方差分析是一种在统计学中常用的方法，用于比较组间平均值是否存在差异，并控制可能存在的共同协变量的影响。
通过协方差分析，可以更准确地评估组间差异的显著性，并提供合理的解释。
在进行协方差分析时，需要注意选择合适的协变量、检验线性关系、选择适当的控制组、检验方差齐次性假设，并做出合理的解释。
协方差分析
__ __
ˆ Y1 Y1 bc ( X X 1 ) ˆ Y2 Y 2 bc ( X X 2 ) 两修正均数之差是： ˆ ˆ （ (Y1 Y2) Y1 Y2 ) bc ( X 1 X 2 )
__ __ __ __ _ __ __
合起来，检验两组或多组修正均数间有无差异
的一种统计方法，用于消除混杂因素对分析指
标的影响。
协方差分析概念
例如在研究饲料营养价值时，采用动物实验，若不考 虑动物进食量和初始体重的差别，直接用方差分析来比较 不同饲料组动物所增体重，以评价不同饲料的营养价值， 这样做是不恰当的。因为动物所增加的体重除与饲料的营 养价值有关外，还与动物的初始体重、进食量有关，而进 食量多少往往难以控制。若利用直线回归分析的方法找出 进食量与所增体重的数量关系，求得当进食量相等时（即 扣除进食量的影响），各饲料组动物所增体重的修正均数， 然后再用方差分析（或t检验方法）检验各修正均数间有 无差别，这样做才合理。
A N O VA 年龄 组间 组内 总数 平方和 1696.154 4500.000 6196.154 df 1 24 25 均方 1696.154 187.500 F 9.046 显著性 .006
协方差分析
估计 因变量: 胆固醇含量 对象 均值 标准误 a 壮族妇女 221.997 9.991 汉族妇女 237.003a 9.991 a. 模型中出现的协变量在下列值处进行评估: 年龄 = 46. 3846. 95% 置信区间 下限 上限 201.330 242.664 216.336 257.670
1306 154 .4 351.9692 26
V总＝n-1=26-1=25
协方差分析讲课课件
02
03
04
读取数据并将其转换为 NumPy数组。
使用SciPy的`cov`函数 计算协方差矩阵。
将计算结果存储在变量 中或直接打印输出。
06 案例分析
案例一：不同教育程度对收入的影响
总结词
教育程度对收入具有显著影响，但性别和工 作经验等因素可能对结果产生干扰。
在进行协方差分析之前，需要对数据进行预处理，包括数据 转换和标准化。数据转换可以将连续变量转换为分类变量， 或者将分类变量转换为连续变量。标准化则可以将数据调整 到同一量纲，使其具有可比性。
计算协方差和相关系数
总结词
协方差和相关系数是衡量两个变量之间线性关系的统计量。
详细描述
在协方差分析中，需要计算协方差和相关系数，以衡量两个变量之间的线性关 系。协方差表示两个变量共同变动的程度，相关系数则表示两个变量之间的线 性关系的强度和方向。
通过协方差分析，可以评估分类 变量对连续变量的独立影响，以 及控制其他变量的影响后，分类 变量对连续变量的影响。
协方差分析的适用场景
当需要研究分类变量对连续变量的独立影响时，可以考虑使用协方差分析。
当存在多个控制变量，且需要控制这些变量对连续变量的影响时，协方差分析是一 个有效的工具。
当分类变量和连续变量的关系受到其他变量的影响时，协方差分析可以帮助排除这 些变量的干扰，更准确地评估分类变量对连续变量的影响。
总结词
显著性差异是协方差分析的主要目的， 需要通过F值和概率p值进行判断。
详细描述
在协方差分析中，需要根据F值和概率p值来判 断变量之间的显著性差异。如果F值的概率p值 小于预设的显著性水平（如0.05），则认为组 间存在显著性差异。同时，还需要对每个效应 量进行解释，以更深入地了解数据之间的差异。
协方差分析(Analysis_of_Covariance)PPT资料35页
总离差平方和修正值的定义和计算式如下：
kn
Tyy(adj)
(Yij(adj) Y )2
• 协方差分析可以解决这类问题。
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
Mslab @ TianjinUniv
协方差分析是如何解决这个问题的呢? 首先,我们看看方差分析数据结构：
Yijuti eij
第i组第j个观 测值
一般均值
第i组的组效 应
随机误差
方差分析的前提是除随机误差外，水平变量是影响观测值的唯一变量
实验前后，同一地区的交通事故量应该有某种联系！－－回归关系 销售白酒后交通事故多的地区有可能是因为其原来交通事故就比其他地区多！
直接收集统计资料的有两种方式：实验式和非实验式。
如果条件可以完全控制的话（只一个因素变化，其他因素统一）实验式收集数 据进行方差分析理论上是可以保证精度的。
但是实验条件不能完全控制的时候就要采取统计控制，即用统计的方法排除数 据中的干扰因素从而提高精度。——我们知道，就算12个地区白酒的销售方式 是随机指定的，由于每组仅仅有四个地区，很难保证三组地区的交通事故只与 白酒的销售有关而其他因素统一水平。
Analysis of Convariance (2020年1月13日)
总思路
Mslab @ TianjinUniv
在观测值中去除协变量的影响之后，应用方差分析
于是，我们用协变量对观测值进行修正，去掉“遗传”因素
Y i(ja)d Y jij(X ij X ) u ti e ij
协变量修正后的 观测值
Mslab TianjinUniv
协方差分析
Analysis of Covariance
协方差分析
n j1
xi• x••
2 a xHale Waihona Puke 2• i1 nx•2• an
( 4 3 )
(4 4) (45)
(46) (47)
a n
TXY
xi• x••
i1 j1
yi• y••
a
xi•
yi•
i1
n
x•• y•• an
(4 8)
a n
EYY
yij yi• 2 SYY TYY
的均方做F 检验, FMeG S1 16.6443.08 MeG S2 5.403
F6,6,0.05＝4.82,F＜F0.05,可以认为各组方差具备齐 性,
⑷ 检验回归线是否平行 i＝ ：在⑵中已经计算
出 组 内 剩 余 平 方 和 SSeG 和 用 公 共 回 归 系 数 b* 计 算得到的误差平方和SSe,SSeG完全是由随机因素 造成的：三条回归线用同一b*计算出的误差平 方和SSe,包括由于随机误差及回归系数两种变差 所产生的平方和,因而回归系数平方和,
SSe＝EYY－E2XY／EXX a n－1 －1 SS’e＝SYY－S2XY／SXX an－2
MSe＝SSe／ a n －1 －1
SS’e －SSe
a－1
SS’e －SSe ／ a －1
在协方差分析表中,除列入检验假设所需要 的处理效应平方和之外,还列入了全部平方和及 交叉乘积和,协方差分析的结果,不论零假设是否
a
SXX
i1
n j1
xij x••
2
a
i1
n j1
xi2j
x•2• an
a n
SXY
xij x••
i1 j1
协方差分析
协方差分析
197第十章 协方差分析第一节 协方差分析的意义协方差分析有二个意义，一是对试验进行统计控制，二是对协方差组分进行估计，现分述如下。
一、对试验进行统计控制为了提高试验的精确性和准确性，对处理以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制，使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。
但在有些情况下，即使作出很大努力也难以使试验控制达到预期目的。
例如：研究几种配合饲料对猪的增重效果，希望试验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不同，将影响到猪的增重。
经研究发现：增重与初始重之间存在线性回归关系。
但是，在实际试验中很难满足试验仔猪初始重相同这一要求。
这时可利用仔猪的初始重(记为x )与其增重(记为y )的回归关系，将仔猪增重都矫正为初始重相同时的增重，于是初始重不同对仔猪增重的影响就消除了。
由于矫正后的增重是应用统计方法将初始重控制一致而得到的，故叫统计控制。
统计控制是试验控制的一种辅助手段。
经过这种矫正，试验误差将减小，对试验处理效应估计更为准确。
若y 的变异主要由x 的不同造成(处理没有显著效应)，则各矫正后的y '间将没有显著差异(但原y 间的差异可能是显著的)。
若y 的变异除掉x 不同的影响外，尚存在不同处理的显著效应，则可期望各y '间将有显著差异(但原y 间差异可能是不显著的)。
此外，矫正后的y '和原y 的大小次序也常不一致。
所以，处理平均数的回归矫正和矫正平均数的显著性检验，能够提高试验的准确性和精确性，从而更真实地反映试验实际。
这种将回归分析与方差分析结合在一起，对试验数据进行分析的方法，叫做协方差分析(analysis of covariance )。
二、估计协方差组分在第八章曾介绍过表示两个相关变量线性相关性质与程度的相关系数的计算公式：∑∑∑----=22)()())((y y x x y y x x r若将公式右端的分子分母同除以自由度(n -1)，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=∑∑∑)1()()1()()1/())((22n y y n x x n y y x x r （10-1）其中1)(2--∑n x x 是x 的均方MS x ，它是x 的方差2x σ的无偏估计量；1)(2--∑n y y 是y 的均方MS y ，它是y 的方差2yσ的无偏估计量；1981))((---∑n y y x x 称为x 与y 的平均的离均差的乘积和，简称均积，记为MP xy ，即MP xy =1))((---∑n y y x x =1))((--∑∑∑n ny x xy （10-2）与均积相应的总体参数叫协方差（covariance ），记为COV (x ,y )或xy σ。
16第十二章协方差分析
概述
例
比较几种配合饲料对猪的增重效果
•试验控制：选用初始体重相同（近）的猪进行 分组试验 方差分析
当试验控制不能实现？
• 统计控制：利用增重对初始重的回归关系，对 初始重的影响进行校正
回归分析＋方差分析＝协方差分析
试验控制永远是第一位的！
4
协方差分析的模型和假定
模型 方差分析： Yij ai ij
当试验指标（Y）的变异既受一个或几个分 类变量，也受一个或几个连续变量的影响，可 采用协方差分析
2
概述
目的
消除连续变量对Y的影响，使方差分析的检 验功效更高，结果更可靠 • 连续变量可能会增大 Y 的组间差异，导致 错误结论 • 连续变量可能会增大 Y 的组内变异，降低 检验功效
消除分类变量的影响，使回归分析的结果更 可靠
0.0935 0.0228 0.0707
13
单向分类资料的协方差分析
5. 校正的方差分析
变异来源 饲料 误差 总计
方差分析表
自由度 平方和 均 方
F
2
0.0707 0.0353 30.96**
20
0.0228 0.00114
22
0.0935
F0.01(2, 20) = 5.85
14
单向分类资料的协方差分析
SY *
MS E [1 SS A( X ) ]
n
SSE( X ) (k 1)
范围r 2 3
2.95 3.10
0.0563 0.0592
4.02 4.22
0.0768 0.0806
21
双向分类资料的协方差分析
例：
B 因
子
变 量
协方差分析
9
在分析阶段控制混杂因素的方法： 1、采用分层分析：如把年龄分组，再比较 同一年龄组的正常体重与超重组有无差别。 （适用：计量、计数资料） 2、率的标准化（适用：计数资料） 3、协方差分析（适用：计量资料） 4、多因素分析（适用：计量、计数资料）
可以控制的混杂因素：最好在设计阶段（也可 在分析阶段）进行控制。 难以控制的混杂因素：在分析阶段进行控制。
7
常见的实例
（1）比较正常妊娠妇女与患葡萄胎的妇女 血中胎盘生乳素（hpl）含量的差别，以了 解葡萄胎对胎盘功能的影响，这时停经天 数就是一个混杂因素，因为停经天数对hpl 有直接影响 。
8
常见的实例
14
回归分析结果：
正常组没有回归关系（P=0.907）
15
两条回归直线不平行
结论：本资料 不宜做协方差 分析
16
不满足条件时的处理方法 X与Y不满足线性关系时，通常情况下是 对X或Y或两者作适当的变量变换，使之符 合线性关系。
年龄和胆固醇取对数后，仍不满足要求
17
协方差分析适用的资料
协方差分析可用于： 完全随机设计、配伍设计、拉丁方设计、析 因设计等资料； 协变量X可以仅有一个，称一元协方差分析； 协变量也可以有多个，称多元协方差分析。
48
3.5
58
7.3
33
4.6
41
4.7
51
5.8
71
8.4
43
5.8
76
协方差分析——精选推荐
我们先来看一个问题：芬兰由几十个小的自治区组成。
在芬兰，白酒的批发和零售是国家垄断的。
几个世纪以来，法律规定白酒只能在城市自治区中销售。
但是去年这条法律要做修改了，该国的相关部门尝试性地在农村自治区销售白酒,进而研究白酒的销售方式是否会影响当地的交通事故量在去年<a name=baidusnap0></a>夏天</B>，他们任选12个农业自治区，在其中4个开设了白酒专卖店；另外4个授权饭店销售白酒；余下的4个保持原来的状态，即禁止销售白酒。
为比较销售白酒对交通事故是否有影响，我们搜集到三组实验区域一年后的交通事故发生数：销售白酒对当地的交通事故有影响吗？认为白酒的销售没有影响交通事故率。
真的是这样吗？稍加分析我们就会发现，我们的分析有问题直接收集统计资料的有两种方式：实验式和非实验式。
如果条件可以完全控制的话（只一个因素变化，其他因素统一）实验式收集数据进行方差分析理论上是可以保证精度的。
但是实验条件不能完全控制的时候就要采取统计控制，即用统计的方法排除数据中的干扰因素从而提高精度。
――我们知道，就算12个地区白酒的销售方式是随机指定的，由于每组仅仅有四个地区，很难保证三组地区的交通事故只与白酒的销售有关而其他因素统一水平。
协方差分析可以解决这类问题。
协方差分析是如何解决这个问题的呢? 观测值一般均值+水平影响+协变量影响+随机误差从离差分解的角度我们来解释协方差分析于是，我们用协变量对观测值进行修正，去掉“遗传”因素下面的问题是，如何计算回归系数我们把回归系数的计算分为两种情况计算总离差平方和时: 我们最终要检验的是分组自变量对因变量有无以原命题为真为基础进行的.因此,这里我们认为ti 0,即,用回归模型计算回归系数.其最小二乘无偏估计值为为了简化表示，我们定义当计算组内离差平方和时，我们使用组内回归系数它的计算如下：同样为了简化表示，我们定义接着就要计算组间平方和了。
统计学与研究方法试题答案
统计学与研究方法试题答案第一章绪论1单选题1、总体是指（）A.全部研究对象B.全部研究对象中抽取的一份C.全部样本D.全部研究指标E.全部同质研究对象的某个变量的值2、统计学中所说的样本是指（）A.随意抽取的总体中任意部分B.有意识的选择总体中的典型部分C.依照研究者要求选取总体中有意义的一部分D.依照随机原则抽取总体中有代表性的一部分E.有目的的选择总体中的典型部分3、下列资料属等级资料的是（）A.白细胞计数B.住院天数C.门急诊就诊人数D.病人的病情分类E.ABO血型分类4、为了估计某年华北地区家庭医疗费用的平均支出，从华北地区的5个城市随机抽样调查了1500户家庭，他们的平均年医疗费用支出是997元，标准差是391元。
该研究中研究者感兴趣的总体是（）A.华北地区1500户家庭B.华北地区的5个城市C.华北地区1500户家庭的年医疗费用D.华北地区所有家庭的年医疗费用E.全国所有家庭的年医疗费用5、欲了解研究人群中原发性高血压病（EH）的患病情况，某研究者调查了1043人，获得了文化程度、高血压家族史、月人均收入、吸烟、饮酒、打鼾、脉压差、心率等指标信息。
则构成计数资料的指标有（）A.文化程度、高血压家族史吸烟、饮酒、打鼾B.月人均收入、脉压差、心率C.文化程度、高血压家族史、、打鼾D.吸烟、饮酒E.高血压家族史、饮酒、打鼾第二章计量资料统计描述及计数资料统计描述1、描述一组偏态分布资料的变异度，以（）指标较好。
A.全距B.标准差C.变异系数D.四分位数间距E.方差2、用均数和标准差可以全面描述（）资料的特征。
A.正偏态分布B.负偏态分布C.正态分布D.对称分布E.对数正态分布3、各观察值均加（或减）同一数后（）。
A.均数不变B.几何均数不变C.中位数不变D.标准差不变E.变异系数不变4、比较某地1~2岁和5~5.5岁儿童身高的变异程度。
宜用（）。
A.极差B.四分位数间距C.方差D.变异系数E.标准差5、偏态分布宜用（）描述其分布的集中趋势。
章协方差分析研究生精品PPT课件
检验和回归系数的假设检验。符合上述条件，或经变量变换后
同一个体两个不同时间的观测
两个个体的实验观测结果相互独立 两个不同时间观测结果常不相互独立
对差数用成对资料 t 检验推论两种处理 对差数用成对资料 t 检验推论该处理有
有无差别
无作用；
处理前后的相关与回归分析。
重复测量设计(单因素)
受试者编号
1 2 3 4 5 6 7 8
受试者血糖浓度(mmol/L)
原因，包括随机误差所引起的y的变异程度，称为离 回归平方和或剩余平方和，记为SS剩。
SS总 SS回 SS剩
F SS回/ 回 MS回
SS剩 / 剩
MS剩
F MS组间 MS组内
SS总
(Y Y )2
Y 2 ( Y)2 n
SS回
blXY
l
2 XY
l XX
SS剩
SS总SS回l 源自y1.协方差分析：是解决混杂因素影响的分析方 法，它是将线性回归与方差分析结合起来，检验2 个或多个修正均数间有无差别的假设检验方法。目 的把与Y有线性关系的协变量影响化为相等后，再 来比较修正均数间的差别。
2.修正均数：假定各组协变量相等时的均数。
3.协变量：又称混杂因素，处理因素以外影 响观察指标的变量
处理。
单因素方差分析变异构成
个体变异
处理因素
随机误差
组间变异
• SS组间
总变异
SS 总
随机误差
组内变异
SS组内
个体变异
各种变异的表示方法
• SS总 • 总 • MS总
SS组内 组内 MS组内
三者之间的关系：
SS总= SS组内+ SS组间 总= 组内+ 组间
协方差分析
例题：A-B比较
Sd
2.442 (1 1 50.875 59.52 ) 0.958
88
589.75
t yi (x x) y j (x x) 62.06 64.29 6.837
SD
0.958
查t表 t0.05(20)=2.086 t0.01(20)=2.845
A-C比较：
S d
k：处理数 n：每组成对资料数 k=3 n=8
② 计算回归系数b
b SPe 679.125 1.1515 SSex 589.75
③ 对回归关系进行检验
S b
Sy/x SSe x
S y / x ：回归标准误
Sy/x
Qe ve
48.83 1.56 20
Sb
1.56 0.0653 589.75
SPe SPxy SPk 679.125
◆ 测验x与y间是否存在直线回归关系
对处理内（误差项）作回归分析
① 计算离回归平方和Qe和自由度Ve：
Qe
SSe y
(SPe )2 SSe x
830.875
679.1252 589.75
48.83
Ve k (n 1) 1 3 (8 1) 1 20
本例x-y变量间回归系数检验，回归关系 极显著，必须对反应量（y）进行矫正。
◆ 测定矫正后 yi (x x) 的差异性
① 计算总变异离回归平方和 （即对总变异
进行离回归分析）
QT
SST y
(SPT )2 SST x
765.752 891.625
945.833
271.67
VT n k 2 8 3 2 22
52 58 54 61 70 64 69 66 495
协方差分析
比较：调整前：Y2=98>Y3=96.875>Y1=81.75 调整后：Y2=99.5>Y1=94.95>Y3=82.175 结论是：第二种饲料最好，第一种次之，第三种最差。
第四步：回归显著性检验的方程分析表： 变异来 源 回归 平方和 DF 均方 F
剩余
总变异
SSR=E2XY / EXX 1 =420.8752/175.25 =1010.76 SSe=EYY-SSR 20 =1238.375-1010.76 =227.615 EYY=1238.375 21
1010.76 88.81**
SY3Y3=∑Y32-(∑Y3)2/N =945-(55)2/8=566.875 SX3X3=∑X32-(∑X3)2/N =347-(43)2/8=115.875 SX3Y3=∑X3Y3-∑X3∑Y3/N =541-43×55/8=245.375 b3=SX3Y3/SX3X3 =245.375/115.875=2.118 a3=y3-bx3 =96.875-2.118×25.375 =43.141 Y3=43.141+2.118X3 SSe3=SY3Y3-bSx3y3 =566.875-2.118×245.375 =47.171 d f = n3-2=6 MSe3=SSe3/(n3-2) =47.171/6=7.862
X3Y3 -2 4 0 15 50 84 150 240 541
25 49 225 112 80 -4 36 0 523
SY1Y1=∑Y12-(∑Y1)2/N =1032-(-66)2/8=487.5 SX1X1=∑X12-(∑X1)2/N =344-(-50)2/8=31.5 SX1Y1=∑X1Y1-∑X1∑Y1/N =523-(-50)(-66)/8=1105 b1=SX1Y1/SX1X1 =110.5/31.5=3.508 a1=y1-bx1 =81.75-3.508×13.75 =33.516 Y1=33.516+3.508X1 SSe1=SY1Y1-bSx1y1 =487.5-3.508×110.5 =99.866 d f = n1-2=6 MSe1=SSe1/(n1-2) =99.866/6=16.644
在报告中使用协方差分析进行解读
在报告中使用协方差分析进行解读标题：在报告中使用协方差分析进行解读1. 什么是协方差分析？1.1 协方差的概念1.2 协方差矩阵的构建1.3 协方差分析的用途2. 为何选择协方差分析？2.1 理解变量间的关系2.2 探索影响结果的因素2.3 比较不同组之间的差异3. 协方差分析的解读和使用步骤3.1 数据收集与处理3.2 协方差矩阵的计算3.3 解读协方差分析结果3.4 结果有效性的评估4. 实例案例：市场营销策略优化4.1 确定关键变量4.2 收集数据并进行协方差计算4.3 解读协方差矩阵和分析结果4.4 制定相应的优化策略5. 协方差分析的局限性和应对策略5.1 数据限制的影响5.2 初始假设的设定5.3 多重比较问题的应对6. 协方差分析的未来发展方向6.1 大数据时代的挑战和机遇6.2 结合其他数据分析方法的趋势6.3 实时分析对决策的影响1. 什么是协方差分析？协方差分析是一种统计分析方法，用于研究不同变量之间的关系，通过计算变量之间的协方差来衡量变量之间的相关性。
协方差表示了两个变量的变化趋势是否一致，如果两个变量的协方差大于0，则它们呈正相关，如果协方差小于0，则呈负相关，协方差接近0则表示两个变量之间没有线性关系。
2. 为何选择协方差分析？协方差分析能够在未知变量之间建立关系，并探索这些变量对结果的影响程度。
这有助于我们更好地理解问题、比较不同组间的差异以及提出相应的解决方案。
3. 协方差分析的解读和使用步骤在进行协方差分析时，首先需要收集和处理相关数据，然后构建协方差矩阵，接着解读协方差分析结果，并评估结果的有效性。
4. 实例案例：市场营销策略优化假设我们是一家公司的市场营销团队，我们希望通过协方差分析来优化我们的市场营销策略。
我们确定了一些关键变量，如广告投入、销售额、产品评分等。
我们收集了相关数据，并计算出协方差矩阵。
通过解读协方差矩阵和分析结果，我们可以发现广告投入与销售额呈正相关，产品评分与销售额也呈正相关。
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X 17 16 18 18 21 22 19 18 18.63
A2
Y 0.97 0.90 1.00 0.95 1.03 1.06 0.99 0.94 0.98
X 22 24 20 23 25 27 30 32 25.38
A3
Y 0.89 0.91 0.83 0.95 1.00 1.02 1.05 1.10 0.97 7
F 30.96**
误 差 21 175.25
4.21
0.1238 20
0.0228 0.00114
总 计 23 720.50 10.81 0.2556 22
单向分类资料的协方差分析
不考虑初重, 对日增重的方差分析
变异 来源
平方和 自由度 均方
F
饲料
0.1318
2
0.0659 11.17**
误差
0.1238
21
0.0059
总和
0.2556
23
F0.01(2, 21) = 5.78
8
单向分类资料的协方差分析
协方差分析
1. 计算有关统计量
• 日增重（Y）的各项平方和
当试验指标（Y）的变异既受一个或几个分 类变量，也受一个或几个连续变量的影响，可 采用协方差分析
2
概述
目的
➢消除连续变量对Y的影响，使方差分析的检 验功效更高，结果更可靠 • 连续变量可能会增大 Y 的组间差异，导致 错误结论 • 连续变量可能会增大 Y 的组内变异，降低 检验功效
➢消除分类变量的影响，使回归分析的结果更 可靠
单向分类资料的协方差分析
4. 对日增重的处理平方和进行校正 校正的处理平方和：
SS*A(Y) SST*(Y)SSE *(Y) 0.09350.02280.0707
13
单向分类资料的协方差分析
5. 校正的方差分析
变异来源 饲料 误差 总计
方差分析表
自由53 30.96**
回归系数 b组内 SSP E SE((XX)Y) 14.27.2055880.0240
回归平方和 S组 S 内回 b组 归内 SE P(XY ) 0.02 440.20808.1010
离回归平方和 S组 S 内离 S回 E S(Y归 )S组 S 内回归 0.123 08.10100.022
10
单向分类资料的协方差分析
SST(Y), SSA(Y), SSE(Y)（误差I）
• 初始重（X）的各项平方和
SST(X), SSA(X), SSE(X)
• X和Y的各项乘积和
SPT(XY), SPA(XY), SPE(XY)
9
单向分类资料的协方差分析
2.对日增重组内平方和进行校正(在日增重的组 内变异中将初始体重的影响剔除)
3
概述
例
➢比较几种配合饲料对猪的增重效果
•试验控制：选用初始体重相同（近）的猪进行 分组试验 方差分析
当试验控制不能实现？
• 统计控制：利用增重对初始重的回归关系，对 初始重的影响进行校正
回归分析＋方差分析＝协方差分析
试验控制永远是第一位的！
4
协方差分析的模型和假定
模型
方差分析： Yijai ij
20
0.0228 0.00114
22
0.0935
F0.01(2, 20) = 5.85
14
单向分类资料的协方差分析
单向分类资料的协方差分析表
变异 来源
自由度
X和Y的平方和与乘积和
组间 k-1 SS A( X ) SPA(XY ) SS A(Y )
组内 N-k SS E( X ) SPE( XY ) SS E(Y )
SP
2 T(
XY
)
SS T ( X )
均方
MS A MS E
F
MS A MS E
单向分类资料的协方差分析
例12-1的协方差分析表
变自
异 来 源
由 度
饲 料2
X和Y的 平方和与乘积和
SSX
S PX Y
SSY
545.25 6.60 0.1318
校正 Y的
自由 校正平方
度
和
均方
2 0.0707 0.0353
➢随机误差服从正态分布 N(0,2) ，且互相
独立
6
单向分类资料的协方差分析
例12-1：3种饲料的增重效果比较试验
饲 料
初始重(X)/日增重(Y)（kg）
平均
X 15 13 11 12 12 16 14 17 13.75
A1
Y 0.85 0.83 0.65 0.76 0.80 0.91 0.84 0.90 0.82
回归分析： Yij*(XijXi)i*j
协方差分析： Y i jai(X i jX i)ei j
协变量 Co-variable
Y i j（ X i jX i)aiei j
Y i jai(X i jX i)ei 5j
协方差分析的模型和假定
假定 ➢协变量是非随机变量，没有度量误差 ➢Y 对协变量的回归是线性的，并且各处理内 的回归系数是齐性的
对回归关系的显著性检验
变异来源 回归
离回归 总计
平方和 0.1010 0.0228 0.1238
自由度 均方
1
0.1010
20 0.00114
21
F 88.60**
校正的日增重组内平方和： F0.01(1, 20) = 8.10
SSE*(Y) SS组内离回归
11
单向分类资料的协方差分析
3. 对日增重总平方和进行校正（从日增重的总 变异中将初始重的影响剔除）
第十二章 协方差分析 Analysis of covariance
(ANCOVA)
概述 协方差分析的模型与假定 单向分类资料的协方差分析 双向分类资料的协方差分析
概述
概念：将方差分析和回归分析结合起来的 一种统计分析方法
➢方差分析：一个或几个因子（分类变量）对变量Y （连续变量）的影响
➢回归分析：一个或几个变量（连续变量）对变量Y （连续变量）的影响
回归系数 bTSST PST((XX)Y) 170.28.5000750.015 回归平方和 S总 S 回归 bTST P(XY )
0.01510 .80750.1621
离回归平方和 S总 S 离回 S归 T S(Y)S总 S 回归
0.255 06.162 01.0935
校正的日增重总平方和：SST*(Y) SS总离回归 12
总计 N-1 SST ( X ) SPT (XY) SST (Y )
15
变异 校正 来源 自由度
Y的 校正平方和
组间 k-1
SS
* A(Y
)
SST* (Y
)
SS
* E
(Y
)
组内 N-k-1
总变 异
N-2
SS
* E (Y )
SS
E (Y
)
SP
2 E(
XY
)
SS E ( X )
SS
* T
(Y
)
SS T (Y )