16第十二章协方差分析
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3
概述
例
➢比较几种配合饲料对猪的增重效果
•试验控制：选用初始体重相同（近）的猪进行 分组试验 方差分析
当试验控制不能实现？
• 统计控制：利用增重对初始重的回归关系，对 初始重的影响进行校正
回归分析＋方差分析＝协方差分析
试验控制永远是第一位的！
4
协方差分析的模型和假定
模型
方差分析： Yijai ij
回归系数 bTSST PST((XX)Y) 170.28.5000750.015 回归平方和 S总 S 回归 bTST P(XY )
0.01510 .80750.1621
离回归平方和 S总 S 离回 S归 T S(Y)S总 S 回归
0.255 06.162 01.0935
校正的日增重总平方和：SST*(Y) SS总离回归 12
F 30.96**
误 差 21 175.25
4.21
0.1238 20
0.0228 0.00114
总 计 23 720.50 10.81 0.2556 22
20
0.0228 0.00114
22
0.0935
F0.01(2, 20) = 5.85
14
单向分类资料的协方差分析
单向分类资料的协方差分析表
变异 来源
自由度
X和Y的平方和与乘积和
组间 k-1 SS A( X ) SPA(XY ) SS A(Y )
组内 N-k SS E( X ) SPE( XY ) SS E(Y )
➢随机误差服从正态分布 N(0,2) ，且互相
独立
6
单向分类资料的协方差分析
例12-1：3种饲料的增重效果比较试验
饲 料
初始重(X)/日增重(Y)（kg）
平均
X 15 13 11 12 12 16 14 17 13.75
A1
Y 0.85 0.83 0.65 0.76 0.80 0.91 0.84 0.90 0.82
当试验指标（Y）的变异既受一个或几个分 类变量，也受一个或几个连续变量的影响，可 采用协方差分析
2
概述
目的
➢消除连续变量对Y的影响，使方差分析的检 验功效更高，结果更可靠 • 连续变量可能会增大 Y 的组间差异，导致 错误结论 • 连续变量可能会增大 Y 的组内变异，降低 检验功效
➢消除分类变量的影响，使回归分析的结果更 可靠
SST(Y), SSA(Y), SSE(Y)（误差I）
• 初始重（X）的各项平方和
SST(X), SSA(X), SSE(X)
• X和Y的各项乘积和
SPT(XY), SPA(XY), SPE(XY)
9
单向分类资料的协方差分析
2.对日增重组内平方和进行校正(在日增重的组 内变异中将初始体重的影响剔除)
回归分析： Yij*(XijXi)i*j
协方差分析： Y i jai(X i jX i)ei j
协变量 Co-variable
Y i j（ X i jX i)aiei j
Y i jai(X i jX i)ei 5j
协方差分析的模型和假定
假定 ➢协变量是非随机变量，没有度量误差 ➢Y 对协变量的回归是线性的，并且各处理内 的回归系数是齐性的
对回归关系的显著性检验
变异来源 回归
离回归 总计
平方和 0.1010 0.0228 0.1238
自由度 均方
1
0.1010
20 0.00114
21
F 88.60**
校正的日增重组内平方和： F0.01(1, 20) = 8.10
SSE*(Y) SS组内离回归
11
单向分类资料的协方差分析
3. 对日增重总平方和进行校正（从日增重的总 变异中将初始重的影响剔除）
回归系数 b组内 SSP E SE((XX)Y) 14.27.2055880.0240
回归平方和 S组 S 内回 b组 归内 SE P(XY ) 0.02 440.20808.1010
离回归平方和 S组 S 内离 S回 E S(Y归 )S组 S 内回归 0.123 08.10100.022
10
单向分类资料的协方差分析
单向分类资料的协方差分析
4. 对日增重的处理平方和进行校正 校正的处理平方和：
SS*A(Y) SST*(Y)SSE *(Y) 0.09350.02280.0707
13
单向分类资料的协方差分析
5. 校正的方差分析
变异来源 饲料 误差 总计
方差分析表
自由度 平方和 均 方
F
2
0.0707 0.0353 30.96**
单向分类资料的协方差分析
不考虑初重, 对日增重的方差分析
变异 来源
平方和 自由度 均方
F
饲料
0.1318
2
0.0659 11.17**
误差
0.1238
21
0.0059
总和
0.2556
23
F0.01(2, 21) = 5.78
8
单向分类资料的协方差分析
协方差分析
1. 计算有关统计量
• 日增重（Y）的各项平方和
X 17 16 18 18 21 22 19 18 18.63
A2
Y 0.97 0.90 1.00 0.95 1.03 1.06 0.99 0.94 0.98
X 22 24 20 23 25 27 30 32 25.38
A3
Y 0.89 0.91 0.83 0.95 1.00 1.02 1.05 1.10 0.97 7
SP
2 T(
XY
)
SS T ( X )
均方Байду номын сангаас
MS A MS E
F
MS A MS E
单向分类资料的协方差分析
例12-1的协方差分析表
变自
异 来 源
由 度
饲 料2
X和Y的 平方和与乘积和
SSX
S PX Y
SSY
545.25 6.60 0.1318
校正 Y的
自由 校正平方
度
和
均方
2 0.0707 0.0353
第十二章 协方差分析 Analysis of covariance
(ANCOVA)
概述 协方差分析的模型与假定 单向分类资料的协方差分析 双向分类资料的协方差分析
概述
概念：将方差分析和回归分析结合起来的 一种统计分析方法
➢方差分析：一个或几个因子（分类变量）对变量Y （连续变量）的影响
➢回归分析：一个或几个变量（连续变量）对变量Y （连续变量）的影响
总计 N-1 SST ( X ) SPT (XY) SST (Y )
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变异 校正 来源 自由度
Y的 校正平方和
组间 k-1
SS
* A(Y
)
SST* (Y
)
SS
* E
(Y
)
组内 N-k-1
总变 异
N-2
SS
* E (Y )
SS
E (Y
)
SP
2 E(
XY
)
SS E ( X )
SS
* T
(Y
)
SS T (Y )
概述
例
➢比较几种配合饲料对猪的增重效果
•试验控制：选用初始体重相同（近）的猪进行 分组试验 方差分析
当试验控制不能实现？
• 统计控制：利用增重对初始重的回归关系，对 初始重的影响进行校正
回归分析＋方差分析＝协方差分析
试验控制永远是第一位的！
4
协方差分析的模型和假定
模型
方差分析： Yijai ij
回归系数 bTSST PST((XX)Y) 170.28.5000750.015 回归平方和 S总 S 回归 bTST P(XY )
0.01510 .80750.1621
离回归平方和 S总 S 离回 S归 T S(Y)S总 S 回归
0.255 06.162 01.0935
校正的日增重总平方和：SST*(Y) SS总离回归 12
F 30.96**
误 差 21 175.25
4.21
0.1238 20
0.0228 0.00114
总 计 23 720.50 10.81 0.2556 22
20
0.0228 0.00114
22
0.0935
F0.01(2, 20) = 5.85
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单向分类资料的协方差分析
单向分类资料的协方差分析表
变异 来源
自由度
X和Y的平方和与乘积和
组间 k-1 SS A( X ) SPA(XY ) SS A(Y )
组内 N-k SS E( X ) SPE( XY ) SS E(Y )
➢随机误差服从正态分布 N(0,2) ，且互相
独立
6
单向分类资料的协方差分析
例12-1：3种饲料的增重效果比较试验
饲 料
初始重(X)/日增重(Y)（kg）
平均
X 15 13 11 12 12 16 14 17 13.75
A1
Y 0.85 0.83 0.65 0.76 0.80 0.91 0.84 0.90 0.82
当试验指标（Y）的变异既受一个或几个分 类变量，也受一个或几个连续变量的影响，可 采用协方差分析
2
概述
目的
➢消除连续变量对Y的影响，使方差分析的检 验功效更高，结果更可靠 • 连续变量可能会增大 Y 的组间差异，导致 错误结论 • 连续变量可能会增大 Y 的组内变异，降低 检验功效
➢消除分类变量的影响，使回归分析的结果更 可靠
SST(Y), SSA(Y), SSE(Y)（误差I）
• 初始重（X）的各项平方和
SST(X), SSA(X), SSE(X)
• X和Y的各项乘积和
SPT(XY), SPA(XY), SPE(XY)
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单向分类资料的协方差分析
2.对日增重组内平方和进行校正(在日增重的组 内变异中将初始体重的影响剔除)
回归分析： Yij*(XijXi)i*j
协方差分析： Y i jai(X i jX i)ei j
协变量 Co-variable
Y i j（ X i jX i)aiei j
Y i jai(X i jX i)ei 5j
协方差分析的模型和假定
假定 ➢协变量是非随机变量，没有度量误差 ➢Y 对协变量的回归是线性的，并且各处理内 的回归系数是齐性的
对回归关系的显著性检验
变异来源 回归
离回归 总计
平方和 0.1010 0.0228 0.1238
自由度 均方
1
0.1010
20 0.00114
21
F 88.60**
校正的日增重组内平方和： F0.01(1, 20) = 8.10
SSE*(Y) SS组内离回归
11
单向分类资料的协方差分析
3. 对日增重总平方和进行校正（从日增重的总 变异中将初始重的影响剔除）
回归系数 b组内 SSP E SE((XX)Y) 14.27.2055880.0240
回归平方和 S组 S 内回 b组 归内 SE P(XY ) 0.02 440.20808.1010
离回归平方和 S组 S 内离 S回 E S(Y归 )S组 S 内回归 0.123 08.10100.022
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单向分类资料的协方差分析
单向分类资料的协方差分析
4. 对日增重的处理平方和进行校正 校正的处理平方和：
SS*A(Y) SST*(Y)SSE *(Y) 0.09350.02280.0707
13
单向分类资料的协方差分析
5. 校正的方差分析
变异来源 饲料 误差 总计
方差分析表
自由度 平方和 均 方
F
2
0.0707 0.0353 30.96**
单向分类资料的协方差分析
不考虑初重, 对日增重的方差分析
变异 来源
平方和 自由度 均方
F
饲料
0.1318
2
0.0659 11.17**
误差
0.1238
21
0.0059
总和
0.2556
23
F0.01(2, 21) = 5.78
8
单向分类资料的协方差分析
协方差分析
1. 计算有关统计量
• 日增重（Y）的各项平方和
X 17 16 18 18 21 22 19 18 18.63
A2
Y 0.97 0.90 1.00 0.95 1.03 1.06 0.99 0.94 0.98
X 22 24 20 23 25 27 30 32 25.38
A3
Y 0.89 0.91 0.83 0.95 1.00 1.02 1.05 1.10 0.97 7
SP
2 T(
XY
)
SS T ( X )
均方Байду номын сангаас
MS A MS E
F
MS A MS E
单向分类资料的协方差分析
例12-1的协方差分析表
变自
异 来 源
由 度
饲 料2
X和Y的 平方和与乘积和
SSX
S PX Y
SSY
545.25 6.60 0.1318
校正 Y的
自由 校正平方
度
和
均方
2 0.0707 0.0353
第十二章 协方差分析 Analysis of covariance
(ANCOVA)
概述 协方差分析的模型与假定 单向分类资料的协方差分析 双向分类资料的协方差分析
概述
概念：将方差分析和回归分析结合起来的 一种统计分析方法
➢方差分析：一个或几个因子（分类变量）对变量Y （连续变量）的影响
➢回归分析：一个或几个变量（连续变量）对变量Y （连续变量）的影响
总计 N-1 SST ( X ) SPT (XY) SST (Y )
15
变异 校正 来源 自由度
Y的 校正平方和
组间 k-1
SS
* A(Y
)
SST* (Y
)
SS
* E
(Y
)
组内 N-k-1
总变 异
N-2
SS
* E (Y )
SS
E (Y
)
SP
2 E(
XY
)
SS E ( X )
SS
* T
(Y
)
SS T (Y )