函数项级数一致收敛的几个判别法及其应用

函数项级数一致收敛性判别法及其应用

栾娈 20111101894

数学科学学院 数学与应用数学11级汉班

指导老师：吴嘎日迪

摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法. 关键词:一致收敛,函数项级数,和函数

1.函数列与一致收敛性

(1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{S n （x ）}(或函数项级数∑∞

=1

)(n n x u 的

部分和序列)。若对任给的0>ε，存在只依赖于ε的正整数N （ε），使n > N （ε）时，不等式

ε<-)()(x S x S n

对X 上一切x 都成立，则称{S n （x ）}（∑∞

=1

)(n n x u ）在X 上一致收敛于S （x ）.

一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达：

设 =-S S n X

x ∈s u p )()(x S x S n -，

如果 0lim =-∞

→S S n n 就称S n （x ）在X 上一致收敛于S(x ).

例1 讨论 =

+=X x

n nx x S n 在2

2

1)([0，1]的一致收敛性

由于S （x ）=0, 故

2

11)(m a x 1

=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛==-≤≤n S x S S S n n x o n ，

不收敛于零，故在[0，1]上非一致收敛 (2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{f n

}一致收敛于的f 几何意义：对任

给的正数ε

，存

N

，对一切序号大于N 的曲线y=f n

(x )都落在以曲

线y= f (x )+ε与y=f (x )-ε为上，下边界的带形区域内. 2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件）

柯西准则

函数项级数)(1x u k k ∑∞

=在I 上一致收敛的充要条件是;

ε

ε<+++==∈∀∈∀>∀∈=∃>∀++++++=++∑)(...)()()(-)()(,,

,,0211

)(x u x u x u x S x S x u

I x N p N n N N N p n n n n p n p

n n k k

E 都有

及

证明：必要性： 已知)(1

x u k k ∑∞

=在区间I 一致收敛，设其和函数式S （x ）,即

2

)()(ε

<-x S x S n

也有2

)()(ε

<-+x S x S p n

于是

ε

ε

ε

=+

<

-+-≤-+-=-=+++++=∑2

2

)()()()()

()()()()()()(1

x S x S x S x S x S x S x S x S x S x S x u

n p n n p n n p n p

n n k k

充分性：已知I x N p N n N N N ∈∀∈∀>∀∈=∃>∀++及,,)(,0εε

有

ε<=+=+=∑)(-)()(1

x S x S x u

n p n p

n n k k

从而)(1

x u k k ∑∞

=在区间I 收敛，没其和函数是S （x ）,因为p 是任意正整数，所以

当∞→p 时，上述不等式有ε<-)()(x S x S n 即函数项级数)(1

x u k k ∑∞

=在区间I 一致

收敛.

余项准则

函数列{f }n 在D 上一致收敛于f 的充要条件是0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n D

x n

3.函数项级数一致收敛判别法 （1）充分条件

定理1（魏尔斯特拉斯判别法）

若对充分大的n ,恒有实数n a 使得n n a x u ≤)(对X 上任意的x 都成立，并且数项级

数)(x u

a n

n ∑∑收敛，则在X 上一致收敛.

证明 由∑n a 的收敛性，对任给的ε>0,可得N （ε），使n >N (ε)时 ε<++++++p n n n a a a ...21（p=1,2,…）, 对X 上的一切的x 我们有

≤++≤++++++)(...)()(...)(11x u x u x u x u p n n p n n ε<++++++p n n n a a a ...21， 由一致收敛的柯西充要条件即得定理的结论.

例2 若∑n a 绝对收敛，则∑n a sin nx 和∑n a cos nx 在),(+∞-∞内都是绝对收敛和一致收敛的级数. 事实上，

n n a nx a ≤sin ， n n a nx a ≤cos ， 由魏尔斯特拉斯判别法即可得证. 定理2(阿贝尔判别法)

若在X 上)(x b n ∑一致收敛，又对X 中每一固定的x ,数列)(x a n 单调.而对任意的n 和X 中每个x ，有L x a n ≤)(（不依赖于x 和n 的定数），那么)()(x b x a n n ∑在X

上一致收敛.

这个定理与数项级数的阿贝尔定理相似，其证明也大体相同，只要利用阿贝尔引

理即可。事实上，由)(x b n ∑的一致收敛性，对任意给定的ε>0,可得N （ε），使n >N (ε)时恒有

ε<++++)(...)(1x b x b p n n （p=1,2…）， 固定x ,由上式及)(x a n 的单调性，利用阿贝尔引理得到

,...)

2,1);((3)

(2)(()

()(...)()(111=>≤+<++++++++p N n L x a x a x b x a x b x a p n n p n p n n n εεε

再从一致收敛的柯西充要条件即可. 例3设级数∑n a 收敛，证明∑∑=

+

→n

x

n

x a

n

a 0

lim .

证明：因为

11≤x

n

，

且,..)

2,1),,0[()

1(11=+∞∈+>

n x n n

x

x

，故}1{x

n

单调且一致有

界，又级数∑n a 收敛，即∑n a 在),0[+∞上一致收敛，所以由阿贝尔判别法知，