高中数学必修-函数与方程

高中数学必修

函数与方程

1.函数零点的概念

对于函数y=f(x),x∈D,我们把使f(x)=0的实数x叫作函数y=f(x),x∈D的零点.

注意：函数的零点是实数,而不是点;并不是所有的函数都有零点,若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.

2.函数的零点与方程根的联系

由函数零点的概念可知,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.

3.二次函数的零点

对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),其零点个数可根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式来确定,具体情形如下表:

Δ>0Δ=0Δ<0

方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有两个不相等的实数

根

有两个相等的实数根无实数根

函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点个数有两个零点有一个零点无零点

函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象

a>0

a<0

函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与轴的

交点个数

有两个交点有一个交点无交点

4.零点存在性定理

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

注意：在上述定理的条件下,只能判断出零点存在,不能确定零点的个数.

【辨析比较】f (a )·f (b )<0与函数f (x )存在零点的关系

①.若函数y =f (x )在闭区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a )·f (b )<0,则函数y =f (x )一定有零点.

图1

②.由函数y =f (x )在闭区间[a ,b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0,如图1.所以f (a )·f (b )<0是y =f (x )在闭区间[a ,b ]上有零点的充分不必要条件.事实上,只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时,函数值才变号,即相邻两个零点之间的函数值同号.

注意：若函数f (x )在[a ,b ]上单调,且f (x )的图象是连续不断的一条曲线,则f (a )·f (b )<0⇒函数f (x )在[a ,b ]上只有一个零点. 5.二分法的概念

对于在区间[a ,b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y =f (x ),通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 6.用二分法求函数零点近似值的步骤

给定精确度ε,用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下: 第一步:确定区间[a ,b ],验证f (a )·f (b )<0,给定精确度ε. 第二步:求区间(a ,b )的中点x 1. 第三步:计算f (x 1).

(1)若f (x 1)=0,则x 1就是函数的零点;

(2)若f (a )·f (x 1)<0,则令b =x 1(此时零点x 0∈(a ,x 1)); (3)若f (x 1)·f (b )<0,则令a =x 1(此时零点x 0∈(x 1,b )).

第四步:判断是否达到精确度ε,即若|a -b |<ε,则得到零点近似值a (或b ),否则重复第二、三、四步. 7.常见的几种函数模型

(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)．

(2)反比例函数模型：y ＝k

x ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)．

(3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．

(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．

(5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．

(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)．

8.三种函数模型之间增长速度的比较

题型一：判断函数零点问题

【例1】函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是()

A．0B．1C．2D．3

【例2】函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是()

A．(0,1) B．(1,2) C．(－2，－1) D．(－1,0)

【例3】已知函数和在的图象如下所示：

给出下列四个命题：

①方程有且仅有6个根②方程有且仅有3个根

)

(x

f

y=)

(x

g

y=]2,2

[-

)]

(

[=

x

g

f0

)]

(

[=

x

f

g

③方程有且仅有5个根 ④方程有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.

【过关练习】

1.设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)

D ．(3,4)

2.函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

3.函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间 （ ） A.

B.

C.

D.(1,2)

4.函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >g ，则()y f x =在区间[1,2]上（ ）. A. 没有零点

B. 有2个零点

C. 零点个数为偶数

D. 零点个数为k ，k N ∈

题型二：根据零点求取值范围

【例1】函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．

【例2】已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________． 【例3】已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0,2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围．

【过关练习】

1.函数f (x )＝2x －2

x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )

A ．(1,3)

B ．(1,2)

0)]([=x f f 0)]([=x g g ⎪⎭

⎫ ⎝⎛41,81⎪⎭

⎫ ⎝⎛21,41⎪⎭

⎫ ⎝⎛1,21