高中数学必修-函数与方程

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高中数学教案必修1 第十讲：函数与方程

博途教育学科教师辅导讲义(一）学员姓名: 年级：高一日期：辅导科目：数学学科教师：刘云丰时间：课题第十讲：函数与方程授课日期教学目标1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2、理解函数的零点与方程的联系.教学内容函数与方程〖教学重点与难点〗◆教学重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法；◆教学难点：函数零点存在的条件。

〖教学过程〗一、函数的零点探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

出示表格，填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

一元二次方程方程的根二次函数图像与X轴的交点x2-2x-3=0 x1=-1，x2=3 y=x2-2x-3 （-1，0），（3，0）x2-2x+1=0 x1= x2=1 y=x2-2x+1 （1，0）x2-2x+3=0 无实数根y=x2-2x+3 无交点（图1-1）函数y=x 2-2x-3的图像（图1-2）函数y=x 2-2x+1的图像（图1-3）函数y=x 2-2x+3的图像归纳：1.如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x 轴没有交点；2.如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x 轴有交点。

反之，二次函数图像与x 轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；二次函数图像与x 轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。

1.函数的零点概念：对于函数y=f(x)(x ∈D),把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数y=f(x)(x ∈D)的零点。

xy0 －32 1 12 －－－－...... . . . .x y－32 1 12 54 3yx－21 12. . .. .（1）意义方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x 轴有交点函数y=f(x)有零点（2）求函数的零点① 代数法：求方程f(x)=0的实数根② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

高中优秀教案高一数学教案：《函数与方程》

高一数学教案：《函数与方程》高一数学教案：《函数与方程》一、教材分析本节是一般高中课程规范试验教科书数学必修1的第三章第一节，是在同学学习函数的基本性质和指、对、幂三种基本初等函数基础上的后续，呈现函数图象和性质的应用。

本节重点是通过"二分法'求方程的近似解，使同学体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。

本课是本章节的第一节课，结合函数图象和性质向同学介绍零点概念及其存在性，为后面"二分法'的学习打下伏笔，也为后来的算法学习作好基础。

二、学情分析通过学校的学习，同学已经娴熟把握了一次方程、二次方程求根的方法、描点作图法和一次函数、二次函数、反比例函数的图象;通过高中前两章的学习，强化了描点作图法，初步把握了对勾函数、指数函数、对数函数、幂函数的图象及基本性质，具备肯定的看图识图力量,这为本节课利用函数图象，推断方程根的存在性供应了肯定的学问基础。

但是，同学对函数与方程之间的联系缺乏了解，因此我们有必要点明函数的核心地位。

三、教学目标的确定1.学问与技能：(1)能够结合详细方程(如二次方程)，说明方程的根、相应函数图象与x轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系;(2)正确理解函数零点存在性定理：了解图象连绵不断的意义及作用;知道定理只是函数存在零点的一个充分条件;(3)能利用函数图象和性质推断某些函数的零点个数;(4)能顺当将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的函数;并会推断存在零点的区间(可使用计算器)。

2.过程与方法：通过同学活动、商量与探究，体验函数零点概念的形成过程，引导同学学会用转化与数形结合思想方法讨论问题，提高数学学问的综合应用力量。

3.情感看法价值观：让同学初步体会事物间相互转化以及由特别到一般的辨证思想，充分体验数学语言的严谨性，数学思想方法的科学性，让同学进一步受到数学思想方法的熏陶，激发同学的学习热忱。

最新版教材高中数学必修一知识讲解_函数与方程_基础

函数与方程【学习目标】(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.【要点梳理】要点一：函数的零点 1.函数的零点（1）一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则a 叫做这个函数的零点. 要点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标； ③函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根．④零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点）．归纳：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．（2）二次函数的零点二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表.（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数()y f x =在一个区间[]a b ，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0f a f b <，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点()0x a b ∈，，使()00f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数()f x 在区间[],a b 上有()()0f a f b ⋅>，()f x 在(,)a b 内也可能有零点，例如2()f x x =在[]1,1-上，2()23f x x x =--在区间[]2,4-上就是这样的．故()f x 在(),a b 内有零点，不一定有()()0f a f b ⋅<． ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图象不是连续不断的曲线，()f x 在(),a b 内也可能是有零点，例如函数1()1f x x=+在[]2,2-上就是这样的．（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程()0f x =，方程()0f x =无实根则函数无零点，方程()0f x =有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与()y g x =的图象交点的横坐标．要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系（1）设x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ＞0）的两实根，则x 1、x 2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是：①当x 1＜x 2＜k 时，有0()02f k b k a ⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪-<⎩；②当k ＜x 1＜x 2时，有0()02f k b k a⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪->⎩；③当x 1＜k ＜x 2时，()0f k <；④当x 1，x 2∈（k 1，k 2）时，有12120()0()02f k f k b k k a ∆≥⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩；⑤当x 1、x 2有且仅有一个在（k 1，k 2）时，有12()()0f k f k <．要点诠释：讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k =0时，也就是一元二次方程根的零分布．（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2．①2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪>>⇔+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩；②2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪<<+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩；③1200cx x a<<⇔<； ④x 1=0，x 2＞0⇔c =0，且0b a <；x 1＜0，x 2=0⇔c =0，且0ba>．要点三：二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数()y f x =定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度. 第一步：在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使()0f a 与()0f b 异号，即()()000f a f b ⋅<，零点位于区间[]00,a b 中.第二步：取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122x a b a a b =+-=+. 计算()0f x 和()0f a ，并判断：①如果()00f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()000f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==；③如果()()000f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b == 第三步：取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122x a b a a b =+-=+. 计算()1f x 和()1f a ，并判断：①如果()10f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()110f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==； ③如果()()110f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b ==； ……继续实施上述步骤，直到区间[],n n a b ，函数的零点总位于区间[],n n a b 上，当n a 和n b 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x =的近似零点，计算终止.这时函数()y f x =的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()() <0f a f b ．（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根．【经典例题】类型一、求函数的零点例1．已知函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-．（1）解方程(x +3)(x +1)(x ―2)=0；（2）画出函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的图象（简图），并求出函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的零点；（3）讨论函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-在零点两侧的函数值的正负．【解析】（1）方程有三个根x 1=―3，x 2=―1，x 3=2．（2）函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的图象如右图，零点为―3，―1，2．（3）由函数的图象可以直观地看出，在函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的零点―3左侧的函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正．【总结升华】（1）方程(x +3)(x +1)(x ―2)=0左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为0，方程就成立，所以x +3=0或x +1=0或x ―2=0，所以x =―3或x =―1或x =2；（2）可以用描点的方法画出函数图象的简图；（3）在x 轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在x 轴的下方，纵坐标为负，相应的函数值就为负．举一反三：【变式1】已知函数()()()1()f x x a x b a b =--+<，且m ，n 是方程()0f x =的两个根（m ＜n ），则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是（）A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜n ＜bC ．m ＜a ＜n ＜bD ．a ＜m ＜b ＜n 【答案】B【解析】由函数()()()1f x x a x b =--+，我们可以看到a 、b 为()()()g x x a x b =--的零点，且()()1f a f b ==0()()f n f m >==，如右图，则应有a ＜m ＜n ＜b ，故选B ．例2.若一次函数f （x ）=ax +b 有一个零点2，那么函数2()g x ax bx =+的零点是．【思路点拨】由题意可知，2a +b =0，即b =－2a ；代入并令g （x ）=0解得x =0或12x =．【答案】0，12【解析】∵一次函数f （x ）=ax +b 有一个零点2， ∴2a +b =0，即b =－2a ；∴令22()2(12)0g x ax bx ax ax ax x =+=-=-=，解得，x =0或12x =；故答案为：0，12．【总结升华】本题考查了函数的零点与方程的根之间的关系．举一反三：【变式1】求函数：(1)223y x x =--+；(2)376y x x =-+的零点.【答案】（1）-3，1；（2）-3，1，2．【解析】(1)由求根公式解得121, 3.x x ==- (2)方程3760x x -+=可化为()()()()()()()()()()322661611161161230x x x x x x x x x x x x x x x x --+=---=+---=-+-=--+= 由()()()1230x x x --+=知1233,1, 2.x x x =-==所以函数223y x x =--+的零点为-3，1；函数376y x x =-+的零点为-3，1，2.【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.类型二、函数零点的存在性定理例3．已知函数2()3xf x x =-，问：方程()0f x =在区间[]1,0-内有没有实数根？为什么？【答案】没有实数根【解析】先求出(1)f -及(0)f 的值，进而确定(1)f -和(0)f 的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定()f x 在[]1,0-上有实数根．122(1)3(1)03f --=--=-<，02(0)3010,f =-=>且函数2()3xf x x =-的图象是连续曲线，()f x ∴在区间[]1,0-内有实数根【总结升华】利用函数零点的存在性定理可以判断方程()0f x =在某区间内是否有实数根，是利用计算机求方程近似根的重要依据，因此必须熟练掌握这个定理．需要注意的是，方程()0f x =在区间[],a b 内有实数根，不一定有()()0f a f b ⋅<．举一反三：【变式1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点：（1）[]2()318,1,8;f x x x x =--∈（2）[]3()1,1,2f x x x x =--∈-；（3）[]2()log (2),1,3f x x x x =+-∈．【答案】（1）存在；（2）存在；（3）存在．【解析】（1）(1)200,(8)220,f f =-<=>(1)(8)0f f ∴⋅<故2()318f x x x =--在[]1,8上存在零点．（2）(1)10,(2)50,f f -=-<=>(1)(2)0,f f ∴-⋅<故3()1f x x x =--在区间[]1,2-上存在零点．（3）2222(1)log 31log 210,(3)log 53log 830f f =->-==-<-=，∴(1)(3)0f f ⋅<，故2()log (2)f x x x =+-在区间[]1,3上存在零点．【高清课程：函数与方程377543 例3】【变式2】若函数3()31,[1,1]f x x x x =+-∈-，则下列判断正确的是（） A ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定有解 B ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定无解 C ．函数f （x ）是奇函数 D ．函数f （x ）是偶函数【答案】A类型三、一元二次方程根的分布例4．已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0．（1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）和（1，2）内，求m 的取值范围．（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求m 的取值范围．【答案】（1）5162m -<<-；（2）112m -<≤ 【解析】（1）条件说明函数2221y x mx m =+++的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知，(1)20(0)210(1)420(2)650f f m f m f m -=>⎧⎪=+<⎪⎨=+<⎪⎪=+>⎩，∴121256m Rm m m ∈⎧⎪⎪<-⎪⎪⎨<-⎪⎪⎪>-⎪⎩．∴5162m -<<-．（2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有(0)0(1)0001f f m >⎧⎪>⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎩．∴12121110m m m m m ⎧>-⎪⎪⎪>-⎨⎪≥≤⎪⎪-<<⎩或．∴112m -<≤ 【总结升华】本例两个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解就变得非常直观简捷．“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题中要注意应用．举一反三：【变式1】关于x 的方程ax 2―2(a +1)x +a ―1=0，求a 为何值时：（1）方程有一根；（2）方程有一正一负根；（3）方程两根都大于1；（4）方程有一根大于1，一根小于1．【答案】（1）0a =或13a =-（2）01a <<（3）不存在实数a （4）0a > 【解析】（1）当a =0时，方程变为―2x ―1=0，即12x =-，符合题意；当0a ≠时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以1240a ∆=+=，解得13a =-．综上可知，当0a =或13a =-时，关于x 的方程ax 2―2(a +1)x +a ―1=0有一根．（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得10a a-<．又1240,a ∆=+>解得01a <<．（3）方程两根都大于1，图象大致如图所以必须满足0,0,2(1)1,2(1)0.a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,2(1)1,2(1)0.a a af <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩两不等式组均无解．所以不存在实数a ，使方程两根都大于1．（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图所以必须满足0,(1)0a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0a f <⎧⎨>⎩解得0a >．类型四、用二分法求函数的零点的近似值例5.（2016 河南许昌月考）已知函数32()231f x x x x =--+．（1）求证：f （x ）在区间（1，2）上存在零点；（2）若f （x ）的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f （x ）=0的一个近似解（精确到0.1）．【思路点拨】（1）根据函数零点存在定理即可判断．（2）由二分法的定义进行判断，根据其原理——零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越接近的特征选择正确答案．【答案】（1）略；（2）1.3【解析】（1）证明：∵32()231f x x x x =--+， ∴f （1）=－1＜0，f （2）=7＞0， ∴f （1）·f （2）=－7＜0且32()231f x x x x =--+在（1，2）内连续，所以f （x ）在区间（1，2）上存在零点；（2）由（1）知32()231f x x x x =--+在（1，2）内存在零点，由表知，f （1）=―1，f （1.5）=1，∴f （1）·f （1.5）＜0，∴f （x ）的零点在（1，1.5）上，∵f （1.25）=―0.40625，∴f （1.25）·f （1.5）＜0，∴f （x ）的零点在（1.25，1.5）上， ∵f （1.375）=0.18359，∴f （1.25）·f （1.375）＜0，∴f （x ）的零点在（1.25，1.375）上；∵f （1.3125）=－0.31818，∴f （1.3125）·f （1.375）＜0，∴f （x ）的零点在（1.3125，1.375）上， ∵f （1.34375）=0.01581，∴f （1.3125）·f （1.34375）＜0，∴f （x ）的零点在（1.3125，1.34375）上，由于｜1.34375－1.3125｜=0.03125＜0，且1.3125≈1.3，1.34375≈1.3，所以f （x ）=0的一个精确到0.1的近似解是1.3．【总结升华】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解，属于基本概念的运用题．举一反三：【高清课程：函数与方程377543 例4】【变式1】若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（） A ．1.2 B ．1.3C ．1.4D ．1.5【答案】C【变式2】设()338xf x x =+-，用二分法求方程338xx +-在x ∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f （1.5）＞0，f （1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A ．（1，1.25）B ．（1.25，1.5）C ．（1.5，2）D ．不能确定【思路点拨】由已知“方程3380xx +-=在x ∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f （1.5）＞0，f （1.25）＜0，它们异号．【答案】B【解析】∵f （1.5）•f （1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选B ．【总结升华】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y =f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且f （a ）f （b ）＜0，则函数y =f （x ）在区间（a ，b ）上有零点．类型五、用二分法解决实际问题例6.某电脑公司生产A 种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A 种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．（1）求2010年每台电脑的生产成本；（2）以2006年的生产成本为基数，用二分法求2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）【答案】（1）3200；（2）11% 【解析】（1）设2010年每台电脑的生产成本为P 元，根据题意，得P (1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得P =3200（元）．故2010年每台电脑的生产成本为3200元．（2）设2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率为x ，根据题意，得5000(1－x )4=3200（0＜x ＜1）4观察上表，可知f (0.1)·f (0.15)＜0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点x 0．取区间（0.1，0.15）的中点x 1=0.125，可得f (0.125)≈－269．因为f (0.125)·f (0.1)＜0，所以x 0∈(0.1，0.125)．再取（0.1，0.125）的中点x 2=0.1125，可得f (0.1125)≈－98．因为f (0.1)·f (0.1125)＜0，所以x 0∈(0.1，0.1125)．同理可得，x 0∈(0.1，0.10625)，x 0∈(0.103125，0.10625)，x 0∈(0.104687，0.10625)，x 0∈(0.10546875，0.10625)，由于|0.10546875－0.10625|＜0.01，所以原方程的近似解为0.11．故2006～2010生产成本平均每年降低的百分率为11%．举一反三：考点必考知识必备【变式1】如右图所示，有一块边长为15 cm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．（1）求出盒子的体积y （cm 3）以x （cm ）为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；（2）如果要做成一个容积是150 cm 3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x 是多少？（精确到0.1 cm ）【答案】（1）y =x (15－2x )2 0＜x ＜7.5 （2）0.8 cm 或4.7 cm【解析】（1）由题意，盒子的体积y 以x 为自变量的函数解析式y =x (15－2x )2，其定义域为01520x x >⎧⎨->⎩，即0＜x ＜7.5．（2）原问题可转化为当y =150时，求方程x (15―2x )2=150的近似解．设g (x )=x (15―2x )2―150，由于g (0)·g (1)＜0且g (4)·g (5)＜0．所以方程在（0，1），（4，5）内各有一根，在区间（0，1）内的近似解为0.8，其逼近区间为（0.8125，0.875），且|0.8125－0.875|=0.0625＜0.1；在区间（4，5）内的近似解为4.7，其逼近区间为（4.625，4.6875），且|4.626－4.6875|=0.0625＜0.1．所以截去的小正方形的边长是0.8 cm 或4.7 cm ．。

新教材人教版B版必修一函数与方程课件(10张)

x m, 其中m>0.若
x m,
存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是
. 解题导引
解析 f(x)的大致图象如图所示:
若存在b∈R,使得方程f(x)=b有三个不同的根,只需A点在B点的下方,即4m-m2<m,又m>0,所以m>3. 答案 (3,+∞)
2
∴f(1)·f(2)<0,
根据零点存在性定理知f(x)=ln
x-
2 x2
的零点所在的区间为(1,2).故选B.
答案 B
考向二函数零点的应用
例2 (2017江西赣州一模,11)已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x
1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是 ( )
A.1<x1<2,x1+x2<2
第三步,计算f(x1): (i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; (ii)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); (iii)若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)); 第四步,判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则,重复第二、三、四步.
与方程的根
1.函数的零点
(1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使① f(x)=0 的实数x叫做函数
y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与② x轴
有交点⇔函数y=f(x)有③ 零点 .
2.函数零点存在性定理
注意零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点,并不能判断零点的个数,但如果函数在区间上是单调函数,则该函数在区间上至多有一个零点. 3.二分法 (1)对于区间[a,b]上连续不断的,且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 从而得到零点近似值的方法,叫做二分法. (2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间[a,b],验证④ f(a)·f(b)<0 ,给定精确度ε; 第二步,求区间(a,b)的中点x1;

高中数学必修一函数与方程知识点总结

高中数学必修一函数与方程知识点总结函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

从本质上讲，函数与方程没是没有什么区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。

可以说，函数的研究离不开方程。

列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

典型例题1：很多时候，在高考数学学习中，如果我们能实现函数与方程的互相转化、接轨，就能达到解决问题的目的。

我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。

它体现了联系和变化的辩证唯物主义观点。

一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。

对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。

另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

典型例题2：典型例题3：函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。

我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答。

第三章-3.2-函数与方程、不等式之间的关系高中数学必修第一册人教B版

图3.2-5
知识点4 二分法
例4-5 (2024·广东省梅州市期中)用二分法研究函数的零点时，经过第一次计算得, ，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )
D
A., B., C., D.,
【解析】因为,，所以 ,故由用二分法求函数零点的步骤，知,第二次应计算的函数值为 .
题型6 不等式恒成立与能成立问题
例20 (2024·陕西省渭南市期中)设函数 .
（1）若对于一切实数,恒成立，求的取值范围;
【解析】当时，（此题易忽略对二次项系数的讨论,从而造成漏解）显然，恒成立;当时，则有解得 .的取值范围为 .
（2）对于,恒成立，求的取值范围.
【解析】方法1当时，恒成立，即恒成立.令, .当时，在上是增函数, .，解得. .
例15（1）解关于的不等式： .
【解析】将不等式变形为 .当，（根据与的大小关系分类讨论）即或时，不等式的解集为或；当，即或时,不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为或 .
（2）解关于的不等式: .
【解析】若，（题干未说明是二次不等式时，切勿忘记对进行讨论）则原不等式为，故解集为 .若, .①当,即时，方程的两根为 , , 当时，原不等式的解集为 }.②当，即时，原不等式的解集为 .③当，即时，原不等式的解集为 .若， .
考向1 求函数的零点个数
例22 (天津高考题)已知函数函数 ,则函数的零点个数为( )
A
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】方法1当时，,所以, ,此时函数的小于零的零点为 ;当时，,, ,函数无零点；当时， , , ,函数大于2的零点为 .综上可得函数的零点的个数为2.
图3.2-13
区间端点值或区间中点值

苏教版高中数学必修一知识讲解_函数与方程_基础

函数与方程【学习目标】(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.【要点梳理】要点一：函数的零点 1.函数的零点（1）一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则a 叫做这个函数的零点. 要点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标； ③函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根．④零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点）．归纳：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．（2）二次函数的零点二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表.（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立. 2．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数()y f x =在一个区间[]a b ，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0f a f b <，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点()0x a b ∈，，使()00f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数()f x 在区间[],a b 上有()()0f a f b ⋅>，()f x 在(,)a b 内也可能有零点，例如2()f x x =在[]1,1-上，2()23f x x x =--在区间[]2,4-上就是这样的．故()f x 在(),a b 内有零点，不一定有()()0f a f b ⋅<． ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图象不是连续不断的曲线，()f x 在(),a b 内也可能是有零点，例如函数1()1f x x=+在[]2,2-上就是这样的．（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程()0f x =，方程()0f x =无实根则函数无零点，方程()0f x =有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数()()()F x f x g x =-的零点就是方程()()f x g x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与()y g x =的图象交点的横坐标．要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系（1）设x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ＞0）的两实根，则x 1、x 2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是：①当x 1＜x 2＜k 时，有0()02f k b k a ⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪-<⎩；②当k ＜x 1＜x 2时，有0()02f k b k a⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪->⎩；③当x 1＜k ＜x 2时，()0f k <；④当x 1，x 2∈（k 1，k 2）时，有12120()0()02f k f k b k k a ∆≥⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩；⑤当x 1、x 2有且仅有一个在（k 1，k 2）时，有12()()0f k f k <．要点诠释：讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布．（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2．①2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪>>⇔+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩；②2121212400,000b ac b x x x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪<<+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩；③1200cx x a<<⇔<； ④x 1=0，x 2＞0⇔c=0，且0b a <；x 1＜0，x 2=0⇔c=0，且0ba>．要点三：二分法1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数()y f x =定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度. 第一步：在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使()0f a 与()0f b 异号，即()()000f a f b ⋅<，零点位于区间[]00,a b 中.第二步：取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122x a b a a b =+-=+. 计算()0f x 和()0f a ，并判断：①如果()00f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()000f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==；③如果()()000f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b == 第三步：取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122x a b a a b =+-=+. 计算()1f x 和()1f a ，并判断：①如果()10f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()110f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==； ③如果()()110f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b ==； ……继续实施上述步骤，直到区间[],n n a b ，函数的零点总位于区间[],n n a b 上，当n a 和n b 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x =的近似零点，计算终止.这时函数()y f x =的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f a 、()f b 的值比较容易计算且()() <0f a f b ．（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程()()f x g x =的根，可以构造函数()()()F x f x g x =-，函数()F x 的零点即为方程()()f x g x =的根．【经典例题】类型一、求函数的零点例1．已知函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-．（1）解方程(x+3)(x+1)(x ―2)=0；（2）画出函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的图象（简图），并求出函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的零点；（3）讨论函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-在零点两侧的函数值的正负．【解析】（1）方程有三个根x 1=―3，x 2=―1，x 3=2．（2）函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的图象如右图，零点为―3，―1，2．（3）由函数的图象可以直观地看出，在函数()(3)(1)(2)f x x x x =++-的零点―3左侧的函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正．【总结升华】（1）方程(x+3)(x+1)(x ―2)=0左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为0，方程就成立，所以x+3=0或x+1=0或x ―2=0，所以x=―3或x=―1或x=2；（2）可以用描点的方法画出函数图象的简图；（3）在x 轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在x 轴的下方，纵坐标为负，相应的函数值就为负．举一反三：【变式1】已知函数()()()1()f x x a x b a b =--+<，且m ，n 是方程()0f x =的两个根（m ＜n ），则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是（）A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜n ＜bC ．m ＜a ＜n ＜bD ．a ＜m ＜b ＜n 【答案】 B【解析】由函数()()()1f x x a x b =--+，我们可以看到a 、b 为()()()g x x a x b =--的零点，且()()1f a f b ==0()()f n f m >==，如右图，则应有a ＜m ＜n ＜b ，故选B ．例2. 求下列函数的零点. (1)()32f x x =-； (2)()41f x x =-.【答案】（1）23；（2）-1，1．【解析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根. (1)由()320f x x =-=得23x =，所以函数的零点是23； (2)由()()()()421111f x x x x x =-=++-，令()0f x =得x=1，-1，故函数的零点是-1，1. 【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.举一反三：【变式1】求函数：(1)223y x x =--+；(2)376y x x =-+的零点.【答案】（1）-3，1；（2）-3，1，2．【解析】(1)由求根公式解得121, 3.x x ==- (2)方程3760x x -+=可化为()()()()()()()()()()322661611161161230x x x x x x x x x x x x x x x x --+=---=+---=-+-=--+= 由()()()1230x x x --+=知1233,1, 2.x x x =-==所以函数223y x x =--+的零点为-3，1；函数376y x x =-+的零点为-3，1，2.【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.类型二、函数零点的存在性定理例3．已知函数2()3xf x x =-，问：方程()0f x =在区间[]1,0-内有没有实数根？为什么？【答案】没有实数根【解析】先求出(1)f -及(0)f 的值，进而确定(1)f -和(0)f 的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定()f x 在[]1,0-上有实数根．122(1)3(1)03f --=--=-<，02(0)3010,f =-=>且函数2()3xf x x =-的图象是连续曲线，()f x ∴在区间[]1,0-内有实数根【总结升华】利用函数零点的存在性定理可以判断方程()0f x =在某区间内是否有实数根，是利用计算机求方程近似根的重要依据，因此必须熟练掌握这个定理．需要注意的是，方程()0f x =在区间[],a b 内有实数根，不一定有()()0f a f b ⋅<．举一反三：【变式1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点：（1）[]2()318,1,8;f x x x x =--∈（2）[]3()1,1,2f x x x x =--∈-；【答案】（1）存在；（2）存在；（3）存在．【解析】（1）(1)200,(8)220,f f =-<=>(1)(8)0f f ∴⋅<故2()318f x x x =--在[]1,8上存在零点．（2）(1)10,(2)50,f f -=-<=>(1)(2)0,f f ∴-⋅<故3()1f x x x =--在区间[]1,2-上存在零点．【课程：函数与方程377543 例3】【变式2】若函数3()31,[1,1]f x x x x =+-∈-，则下列判断正确的是（） A ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定有解 B ．方程f （x ）=0在区间[0，1]内一定无解 C ．函数f （x ）是奇函数 D ．函数f （x ）是偶函数【答案】A类型三、一元二次方程根的分布例4．已知关于x 的二次方程x 2+2mx+2m+1=0．（1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）和（1，2）内，求m 的取值范围．（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求m 的取值范围．【答案】（1）5162m -<<-；（2）112m -<≤ 【解析】（1）条件说明函数2221y x mx m =+++的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知，(1)20(0)210(1)420(2)650f f m f m f m -=>⎧⎪=+<⎪⎨=+<⎪⎪=+>⎩，∴121256m Rm m m ∈⎧⎪⎪<-⎪⎪⎨<-⎪⎪⎪>-⎪⎩．∴5162m -<<-．（2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有(0)0(1)0001f f m >⎧⎪>⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎩．∴12121110m m m m m ⎧>-⎪⎪⎪>-⎨⎪≥≤-⎪⎪-<<⎩或．∴112m -<≤ 【点评】本例两个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解就变得非常直观简捷．“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题中要注意应用．举一反三：【变式1】关于x 的方程ax 2―2(a+1)x+a ―1=0，求a 为何值时：（1）方程有一根；（2）方程有一正一负根；（3）方程两根都大于1；（4）方程有一根大于1，一根小于1．【答案】（1）0a =或13a =-（2）01a <<（3）不存在实数a （4）0a > 【解析】（1）当a=0时，方程变为―2x ―1=0，即12x =-，符合题意；当0a ≠时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以1240a ∆=+=，解得13a =-．综上可知，当0a =或13a =-时，关于x 的方程ax 2―2(a+1)x+a ―1=0有一根．（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得10a a-<．又1240,a ∆=+>解得01a <<．（3）方程两根都大于1，图象大致如图所以必须满足0,0,2(1)1,2(1)0.a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,2(1)1,2(1)0.a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩两不等式组均无解．所以不存在实数a ，使方程两根都大于1．（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图所以必须满足0,(1)0a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0a f <⎧⎨>⎩解得0a >．类型四、用二分法求函数的零点的近似值例5.求函数()32236f x x x x =+--的一个正数零点(精确到0.1). 【答案】1.7【解析】由于()()160,240f f =-<=>，可取区间[]1,2作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.【总结升华】应首先判断x 的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.举一反三：【课程：函数与方程377543 例4】【变式1】若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（） A ．1.2 B ．1.3C ．1.4D ．1.5【答案】C【变式2】用二分法求函数()25f x x =-的一个正零点（精确到0.01）【答案】2.24【解析】⑴由()()21, 2.5 1.25f f =-=，()()2 2.50f f <可知函数的一个正零点在[]2,2.5区间中； ⑵取[]2,2.5的区间中点2.25；⑶计算()2.25 5.062550.0625f =-=；⑷由于()()2 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2,2.25 ⑸取[]2,2.25的区间中点2.125；⑹计算()2.125 4.49442550.505575f =-=-；⑺由于()()2.125 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.125,2.25； ⑻取[]2.125,2.25的区间中点2.1875；⑼计算()2.1875 4.785156350.248437f =-=-；⑽由于()()2.1875 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.1875,2.25； ⑾取[]2.1875,2.25的区间中点2.21375；⑿计算()2.21375 4.90068950.099311f =-=-；⒀由于()()2.21375 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.21375,2.25； ⒁取[]2.21375,2.25的区间中点2.231875⒂计算()2.231875 4.98126650.018734f =-=-；⒃由于()()2.231875 2.250f f <，则有零点的新区间为[]2.231875,2.25； ⒄取[]2.231875,2.25的区间中点2.2409375； ⒅计算()2.2409375 5.02208150.022081f =-=； ⒆由于()()2.231875 2.24093750f f <，⒇由于()()2.23640625 2.24093750f f <，则有零点的新区间为[]2.236406255,2.2409375；又因为零点要求精确到0.01，而区间两端点近似值相同都是2.24，所以函数()25f x x =-的一个正零点为：2.24.类型五、用二分法解决实际问题例6.某电脑公司生产A 种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A 种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．（1）求2010年每台电脑的生产成本；（2）以2006年的生产成本为基数，用二分法求2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）【答案】（1）3200；（2）11% 【解析】（1）设2010年每台电脑的生产成本为P 元，根据题意，得P(1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得P=3200（元）．故2010年每台电脑的生产成本为3200元．（2）设2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率为x ，根据题意，得5000(1－x)4=3200（0＜x ＜14精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用观察上表，可知f (0.1)·f (0.15)＜0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点x 0．取区间（0.1，0.15）的中点x 1=0.125，可得f (0.125)≈－269．因为f (0.125)·f (0.1)＜0，所以x 0∈(0.1，0.125)．再取（0.1，0.125）的中点x 2=0.1125，可得f (0.1125)≈－98．因为f (0.1)·f (0.1125)＜0，所以x 0∈(0.1，0.1125)．同理可得，x 0∈(0.1，0.10625)，x 0∈(0.103125，0.10625)，x 0∈(0.104687，0.10625)，x 0∈(0.10546875，0.10625)，由于|0.10546875－0.10625|＜0.01，所以原方程的近似解为0.11．故2006～2010生产成本平均每年降低的百分率为11%．举一反三：【变式1】如右图所示，有一块边长为15 cm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．（1）求出盒子的体积y （cm 3）以x （cm ）为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；（2）如果要做成一个容积是150 cm 3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x 是多少？（精确到0.1 cm ）【答案】（1）y=x(15－2x)2 0＜x ＜7.5 （2）0.8 cm 或4.7 cm【解析】（1）由题意，盒子的体积y 以x 为自变量的函数解析式y=x(15－2x)2，其定义域为01520x x >⎧⎨->⎩，即0＜x ＜7.5．（2）原问题可转化为当y=150时，求方程x(15―2x)2=150的近似解．设g(x)=x(15―2x)2―150，由于g(0)·g(1)＜0且g(4)·g(5)＜0．所以方程在（0，1），（4，5）内各有一根，在区间（0，1）内的近似解为0.8，其逼近区间为（0.8125，0.875），且|0.8125－0.875|=0.0625＜0.1；在区间（4，5）内的近似解为 4.7，其逼近区间为（4.625，4.6875），且|4.626－4.6875|=0.0625＜0.1．所以截去的小正方形的边长是0.8 cm 或4.7 cm ．。

高中数学的函数与方程

高中数学的函数与方程函数与方程是高中数学中的重要内容，它们是数学中的基础概念，无论是在理论上还是在实际应用中都有着广泛的意义和应用。

本文将从以下几个方面对高中数学中的函数与方程进行论述。

一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。

函数的定义包括自变量、因变量和对应关系，常用的表示方法有函数箭头、函数表达式和函数图像等。

函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，这些性质能够帮助我们更好地理解和分析函数的特点。

二、常见的函数类型在高中数学中，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

线性函数是最简单的函数，它的图像是一条直线；二次函数的图像是抛物线；指数函数的图像是逐渐增长或递减的曲线；对数函数是指数函数的逆运算；三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在几何和物理问题中有着广泛的应用。

三、方程的解与解法方程是数学中的等式，它含有未知数，求解方程就是要找出使得等式成立的未知数的值。

方程的解是指能够满足方程的未知数的取值，有时方程可能有一个解，有时可能有多个解，还有时可能没有解。

求解方程的方法有代入法、消元法、因式分解法、配方法、二次根式法等，不同的方程类型和解法适用于不同的问题。

四、函数与方程的应用函数与方程在实际问题中有着广泛的应用。

例如，线性函数可以用来描述物体的直线运动、温度的变化等；二次函数可以用来描述物体的自由落体运动、抛物线的形状等；指数函数可以用来描述人口增长、金融投资的收益等；对数函数可以用来解决指数方程等。

通过将函数与方程应用到实际问题中，我们可以更好地理解和解决实际问题。

综上所述，高中数学的函数与方程是数学中的重要内容，它们不仅具有理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。

了解函数与方程的定义、性质、类型以及应用，可以帮助我们更好地理解和掌握数学知识，提高数学思维和解决问题的能力。

高中数学函数与方程知识点及例题解析

肄高高中高高中数学函数与方程知识点及例题解析膂【知识梳理】蒆1、函数零点的定义芆(1 )对于函数y =f(x)，我们把方程f(x) =0的实数根叫做函数y=f(x)的零点。

蒄(2)方程f (x) =0有实根二函数y = f (x)的图像与x轴有交点二函数y = f (x)有零点。

因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)=0是否有实数根，有几个实数根。

函数零点的求法：解方程f(x) =0，所得实数根就是f(x)的零点薀(3 )变号零点与不变号零点蕿①若函数f(x)在零点X。

左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点。

芆②若函数f(x)在零点X。

左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点。

蚁③若函数f(x)在区间a,b ］上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)c0是f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件。

莂2、函数零点的判定芈(1)零点存在性定理：如果函数y =f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的曲线，并且有 f (a) f (b) ：：：0，那么，函数y =f(x)在区间a,b内有零点，即存在& (a,b)，使得“畑=0,这个x°也就是方程f(x) =0的根。

莆(2)函数y二f(x)零点个数(或方程f(x) =0实数根的个数)确定方法肂① 代数法：函数y=f(x)的零点=f(x)=0的根；螀②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

肇(3)零点个数确定菜厶.0：= y=f(x)有2个零点二f(x)=0有两个不等实根；蒃,■：- 0^ y = f(x)有1个零点二f(x) =0有两个相等实根；蒂也<0二y = f(x)无零点二f(x)=0无实根；对于二次函数在区间hb］上的零点个数，要结合图像进行确定•1、2、肀二分法薅(1)二分法的定义：对于在区间［a,b］上连续不断且f(a).f(b)：：：o的函数y=f(x)，通过不断地把函数y = f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法；袄(2)用二分法求方程的近似解的步骤：羀① 确定区间［a,b］,验证f(a) f (b) ：：:0,给定精确度；;衿②求区间(a,b)的中点c；蚅③计算f (c)；芅(i )若f(c) =0,则c就是函数的零点;蚂(ii)若f (a) f (c) <0 ,则令b=c(此时零点沧(a,c));蚈(iii)若 f (c)(b) ：：：0,则令a = c(此时零点x0：=(c,b));螅④判断是否达到精确度S即a-b 则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步莂【经典例题】腿1 •函数f(x)=2x+x‘ - 2在区间(0,1)内的零点个数是( )袅2•函数f(x)= 2x+ 3x 的零点所在的一个区间是 ()袁3•若函数f(x)二a x-x-a (a 0且a=1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 ____________________ .蒀4.设函数 f(x)(x ：二 R)满足 f( -x )=f(x), f(x)=f(2 —X)，且当 x ：二［0,1］时,1 3则函数h (x)=g(x)-f(x)在［- — ,—］上的零点个数为()2 2袅 A、5 B 、6 C 、7 D 、82膃5•函数f(X)=XCOSX 在区间［0,4］上的零点个数为( )艿 A 、4 B 、5 C 、6 D 、7膈6.函数 f(x) =、j x -COSX 在［0,：：)内 ()羅A 、没有零点 B 、有且仅有一个零点 C 、有且仅有两个零点 D 、有无穷多个零点a, a — b 三122薄7•对实数a 和b ,定义运算？”： a?b =〈设函数f(x) = (x 2— 2)?(x — x 2), x € R ，若函数y =f(x)b, a — b>1.—c 的图象与X 轴恰有两个公共点，则实数 C 的取值范围是()肅8.已知函数f (x ) = log a x x -b(a> 0,且a = 1).当2 v a v 3 v b v 4时，函数f (x )的零点x ° (n, n 1), n N ,贝V n 二 ____ .羅9.求下列函数的零点：32葿(1) f(x)二x -2x -x 2 ；羀10.判断函数y = x 3— x — 1在区间［1,1.5］内有无零点，如果有，求出一个近似零点 (精确度0.1).螃 A 、(- 2, - 1) B 、( - 1,0)C 、(0,1)D 、 (1,2)3f(x)=x .又函数 g(x)= |xcos (二肁 A、(—汽一2］ U (2) f(x)二x-£.XB 、(―汽—2］ U羇C 、-1,3D 、3U膄【课堂练习】肂1、在下列区间中，函数 f(x)二e x• 4x -3的零点所在的区间为 (蝿2、若X 0是方程lg x x=2的解，贝y X o 属于区间芄A、 (0,1) B 、 (1,1.25) C 、 (1.25,1.75)蒃3、下列函数中能用二分法求零点的是袃 4、函数 f x =2x+3x 的零点所在的一个区间是莁 6、函数 f X = '. x -cosx 在［0, •：：)内肃8、下列函数零点不宜用二分法的是()蒄9、函数f(x)=log 2X+2X-1的零点必落在区间C 、 *1D 、(1,2)薈 A . ( -2,-1) (-1, 0) C 、( 0, 1)(1 , 2)莄5、设函数f X =4sin (2x+1) -x ，则在下列区间中函数f X 不存在零点的是袄 A、［-4,-2］B 、［-2,0］C 、［0,2］D 、［2,4］1 膁 A 、(— — 0)4?1B 、匕C 、(1,1) 4 2D 、D 、 (1.75,2)莇 A 、没有零点 B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点有无穷多个零点蒄7、若函数f (x)的零点与g(x^4X2x -2的零点之差的绝对值不超过0.25, 则f (x)可以是()芅 A、 f (x) = 4x -12f(xH(x-1)f (x) = e x-11f (x)=ln(x-23莀A、 f(x)二x -8 B 、 f(x)=lnx 3C 、f(x)=x 22、、2x 22f (x) _ -x 4x11莃10、lg x 0有解的区域是( )x羁A、(0, 1] B、(1, 10] C、(10, 100]莆11、在下列区间中，函数f(x)=ex4x -3的零点所在的区间为()1 1 11 13蚅A、(-—,0)B、(0，;) C、(~ - ) D、(二，)4 4 4 2 2 4 肄12、函数f (x^ ： x log 2 x的零点所在区间为( )蚀A、[0,1]8C、1D、[?1]螀13、设f x]=3x• 3x -8 ,用二分法求方程3x• 3x -8 =0在x三i：1,2内近似解的过程中得f 1 :: 0, f 1.5 0, f 1.25 :：: 0,则方程的根落在区间( )肅A、(1,1.25) B、(1.25,1.5) C (1.5,2) D、不能确定蒂14、设函数f(x) =4sin(2x，1)-x，则在下列区间中函数 f (x)不存在零点的是( )螂A、1-4, -2\B、[-2,ol C、〔0,21 D、12,4 1x2 +2x_3 x 兰0袀15、函数f (x) ，零点个数为(l—2+l nx,x:>0C、1 蒆16、若函数f(x) =x3 x2 -2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:羀那么方程x3・X2-2X-2=0的一个近似根(精确到0.1)为 ( )羄A、1.2 B、 1.3 C、1.4 D、1.5莄17、方程2 -・x2=3的实数解的个数为 ________________ .聿18、已知函数f(x) =x2• (a2 -1)x a _2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数2聿19、判断函数f (x) =4x • x2 _^x3在区间［-1,1］上零点的个数，并说明理由。

高中数学教案：函数与方程的关系

高中数学教案：函数与方程的关系函数与方程的关系一、引言在高中数学课程中，函数与方程是重要的概念之一。

函数是由自变量和因变量构成的数学规律，而方程则描述了两个表达式之间的相等关系。

函数与方程有着密切的关系，它们可以相互转化和表示。

本教案将探讨函数与方程的关系，并介绍如何通过图象、实例和计算来理解和应用这一概念。

二、函数与方程的基本概念1. 函数的定义函数是指一个集合内每个元素都对应于另一个集合内唯一确定元素的规律。

通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为对应的因变量。

2. 方程的定义方程是含有未知数并且等于一个已知值的数学表达式。

例如，2x+3=7就是一个简单的一次方程。

3. 函数与方程之间的区别- 函数是描述两个集合之间对应关系的规律，而方程则描述两个表达式之间相等关系。

- 函数可以用图象或公式表示，而方程只能通过等号连接两个表达式。

- 函数必须满足垂直线测试（每个x值只有一个对应y值），而方程则没有这个限制。

三、函数与方程的转化1. 方程转化为函数给定一个方程，我们可以通过将未知数表示为常量的函数，从而将方程转化为函数。

例如，对于方程2x+3=7，我们可以将其转化为函数f(x)=2x+3。

2. 函数转化为方程给定一个函数，我们可以通过将因变量表示为未知数的表达式，从而将函数转化为方程。

例如，对于函数f(x)=2x+3，我们可以将其转化为方程2x+3=y。

四、通过图象理解函数与方程的关系1. 图象表示的意义函数和方程都可以通过图象进行可视化表示。

图象能够帮助我们直观地理解和分析函数与方程之间的关系。

2. 图象上的点与解集图象上的每个点都代表了自变量和因变量之间的对应关系。

对于方程来说，图象上所有满足该等式的点构成了解集；而对于函数来说，则是每个自变量在图象上只有一个相应因变量。

五、实例分析：线性函数与一次方程1. 线性函数简介线性函数是最简单且常见的一类函数。

其表达式为f(x)=ax+b（a和b为常数），在图象上呈现为一条直线。

高中数学函数与方程归纳

高中数学函数与方程归纳高中数学：函数与方程归纳导言：函数与方程是高中数学中的重要内容，它们在数学建模、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用。

本文将围绕函数与方程进行归纳总结，从基本概念、性质、图像、解法等方面进行讨论，帮助读者更好地理解和掌握这一重要知识点。

一、函数的基本概念与性质1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将两个集合之间的元素按照某种规律进行对应。

通常用一个字母代表函数，如f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

1.2 函数的性质函数可以分为奇函数和偶函数、增函数和减函数等。

奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)；增函数满足f(x1)<f(x2)，当x1<x2；减函数满足f(x1)>f(x2)，当x1<x2。

二、常见函数类型的图像与性质2.1 一次函数一次函数的图像是一条直线，形如y=ax+b。

斜率a决定了直线的倾斜程度，截距b代表直线与y轴的交点。

一次函数的图像是一条斜率为a的直线。

2.2 二次函数二次函数的图像是一条抛物线，形如y=ax²+bx+c。

二次函数的开口方向由二次项的系数a的正负性决定，开口向上为a>0，开口向下为a<0。

顶点是抛物线的最高点或最低点。

2.3 幂函数幂函数的图像是一条曲线，形如y=ax^b。

幂函数的特点是，当b>1时曲线上升得越来越快，当0<b<1时曲线上升越来越慢。

2.4 指数函数指数函数的图像是一条曲线，形如y=a^x。

指数函数的特点是，当a>1时曲线上升得越来越快，当0<a<1时曲线上升越来越慢。

指数函数的导数等于函数值与自变量的乘积。

2.5 对数函数对数函数的图像是一条曲线，形如y=logₐx。

对数函数的特点是，曲线渐近于x轴和y轴，且当x趋近于无穷大时，对数函数值无限增大。

三、方程的解法与应用3.1 一元一次方程一元一次方程是形如ax+b=0的方程。

3.2 高中必修一数学教案《函数与方程、不等式之间的关系》

高中必修一数学教案《函数与方程、不等式之间的关系》教材分析函数是中学数学的核心概念，函数的零点是函数的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机地联系在一起。

本节课是在学生学习了函数的性质，数形结合的知识，了解方程的根与函数零点之间的关系的基础上，结合函数图象和性质，判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，以及函数与方程的综合应用，如知道零点求参数范围等问题。

学情分析学生在初中已经分别学习了一元二次函数的相关知识及其图象，同时也熟练地掌握了求解一元二次方程的方法，但是学生对它们以及不等式之间的关系还没有深刻的理解，在学生的头脑中，函数、方程、不等式都是模糊的。

通过这节课的学习，能让学生真正地体会数学内容之间的关联性和互化性，知道可以用函数解决相关的数学问题，重点提升学生数学抽象、直观想象和数学运算素养。

教学目标1、明确本节课的研究对象，从特殊函数入手，引导学生学会探究数学问题的方法，帮助学生理清函数与方程、不等式之间的关系。

2、掌握函数零点的概念和性质，熟练掌握应用函数解一元二次不等式和求零点的一元高次不等式的方法。

3、渗透数形结合、分类讨论、从特殊到一般、函数与方程等数学思想方法。

教学重点1、理解零点的概念与性质。

2、应用函数解不等式的步骤与方法。

教学难点函数与方程、不等式之间的关系。

教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、导入已知函数f（x）= x - 1，我们知道，这个函数的定义域为x∈R，而且可以求出，方程f（x）= 0的解集为 {1}，不等式f（x）＞0的解集为{1，+∞}，不等式f（x）＜0的解集为{-∞，1）。

在图3-2-1中作出函数f（x）= x-1的图象，总结上述方程，不等式的解集与函数定义域、函数图象之间的关系。

二、新知由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合。

具体来说，假设函数f（x）的定义域为D，若A = {x∈D | f（x）＜0}B = {x∈D | f（x）= 0}C = {x∈D | f（x）＜0}显然，A，B，C两两的交集都为空集，且D = A∪B∪C。

高中数学函数与方程的解法

高中数学函数与方程的解法高中数学是学生们在学习过程中最常接触到的科目之一。

其中，函数与方程的解法是数学学习中的重要内容。

本文将探讨高中数学中函数与方程的解法，包括一元一次方程、一元二次方程、指数函数和对数函数等。

一、一元一次方程的解法一元一次方程是高中数学中最基础的方程类型之一。

解一元一次方程的方法有多种，其中最常用的是等式两边加减法、等式两边乘除法和消元法。

首先，等式两边加减法是最简单的解法之一。

我们可以通过将等式两边加减同一个数，使得方程的某一边消去某个项，从而求得未知数的值。

其次，等式两边乘除法也是常用的解法之一。

我们可以通过将等式两边乘以或除以同一个数，使得方程的某一边消去某个系数，从而求得未知数的值。

最后，消元法是一种更复杂但更灵活的解法。

通过将方程中的某个未知数消去，得到只含有一个未知数的方程，然后再用其他方法解这个方程，最终求得未知数的值。

二、一元二次方程的解法一元二次方程是高中数学中较为复杂的方程类型之一。

解一元二次方程的方法有多种，其中最常用的是配方法、因式分解法和求根公式法。

首先，配方法是解一元二次方程的基本方法之一。

通过将方程进行配方，将二次项拆分成两个一次项的和或差，从而将一元二次方程转化为一元一次方程或两个一元一次方程。

其次，因式分解法也是常用的解法之一。

我们可以通过将一元二次方程进行因式分解，找到方程的根，从而求得未知数的值。

最后，求根公式法是解一元二次方程的一种通用方法。

通过利用求根公式，即一元二次方程的根的公式表达式，我们可以直接求得方程的根。

三、指数函数的解法指数函数是高中数学中重要的函数类型之一。

解指数函数的方法有多种，其中最常用的是对数函数法和换底公式法。

首先，对数函数法是解指数函数的基本方法之一。

通过将指数函数转化为对数函数，我们可以利用对数函数的性质来求解指数函数的解。

其次，换底公式法也是常用的解法之一。

通过利用换底公式，即将指数函数的底换成其他底的对数函数，我们可以简化指数函数的计算，从而求得解。

3.2函数与方程、不等式之间的关系-人教B版高中数学必修第一册(2019版)教案

3.2 函数与方程、不等式之间的关系-人教B版高中数学必修第一册（2019版）教案一、教学目标1.能够了解函数与方程、不等式之间的关系；2.能够掌握一次函数、二次函数的相关知识；3.能够熟练运用函数求解方程、不等式。

二、教学内容1.函数与方程–函数在坐标系中的表示方法–函数方程的两种形式：显式解和隐式解–利用函数求解方程2.函数与不等式–一次函数的性质–二次函数的图像与性质–利用函数求解不等式三、教学重点和难点1.教学重点：函数方程的两种形式，利用函数求解方程和不等式；2.教学难点：二次函数的图像及其性质。

四、教学策略1.教师讲授与学生自主学习相结合；2.通过图像和实例进行教学；3.激发学生的兴趣，提高课堂参与度。

五、教学过程第一步：引入新知识教师通过讲解实例引发学生对函数与方程、不等式之间的关系的兴趣，为接下来的学习铺垫。

第二步：授课1.函数与方程–函数在坐标系中的表示方法函数在坐标系中的表示方法有图形、表格和公式三种。

其中，图形最容易理解，表格便于计算，公式最具普适性。

–函数方程的两种形式：显式解和隐式解函数方程的显式解指的是“y=函数表达式”，隐式解是除y之外的变量和常量所组成的方程式。

–利用函数求解方程利用函数求解方程，可以将需要求解的方程式代入函数表达式中，求出变量值，即为方程的解。

2.函数与不等式–一次函数的性质一次函数对应的图像是一条直线，其性质包括：斜率决定了直线的倾斜方向和大小，截距决定了直线与y轴的交点。

–二次函数的图像与性质二次函数对应的图像是抛物线，其性质包括：开口方向由二次项系数的正负决定，开口朝上的抛物线最小值为D，对称轴方程为x=-b/2a。

–利用函数求解不等式利用函数局部区间的正负性和函数性质，将不等式转化为相等式或函数的零点问题，从而求解不等式。

第三步：练习通过例题进行练习，加深学生对知识点的理解和掌握程度。

第四步：分组讨论将学生分成小组，进行讨论和分享，培养学生彼此之间的合作精神和交流能力。

人教版高中数学必修一第三章函数的应用3.1函数与方程(教师版)【个性化辅导含答案】

函数与方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、掌握函数的零点和二分法的定义．2、会用二分法求函数零点的近似值。

一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。

对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。

特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。

函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。

二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。

特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。

高中数学-函数与方程

函数与方程知识要点：1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。

零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。

既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。

2．二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ；y =a (x －x 1)(x －x 2)；y =a (x －x 0)2+n 。

（2）当a >0，f (x )在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ，令x 0=21(p +q )。

若－ab2<p ，则f (p )=m ，f (q )=M ；若p ≤－a b 2<x 0，则f (－a b2)=m ，f (q )=M ；若x 0≤－a b 2<q ，则f (p )=M ，f (－a b2)=m ；若－ab 2≥q ，则f (p )=M ，f (q )=m 。

高中数学函数与方程

高中数学函数与方程高中数学中，函数与方程是非常重要的概念，对于学生的数学基础培养和综合应用能力的提高都有至关重要的作用。

本文将围绕函数与方程展开讨论，从基本概念到典型例题，帮助学生更好地掌握这一部分知识。

一、函数的基本概念函数是数学中的一个重要概念，通俗地讲，函数就是一种对应关系，它将自变量的取值映射到因变量的取值。

在函数的定义域内，每个自变量对应且仅对应一个因变量，这就是函数的基本特点。

在高中数学中，经常遇到线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等各种类型的函数。

线性函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b是常数，a不等于零；二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于零；指数函数和对数函数则涉及到e、ln等特殊的数学常数。

二、函数的性质及应用函数有许多重要的性质，比如奇偶性、单调性、周期性等。

学生在学习函数时，需要理解这些性质，并且灵活运用到具体问题中。

例如，对于奇函数来说，当自变量取相反数时，函数值也取相反数；而对于周期函数来说，当自变量增加一个周期时，函数值不变。

函数在现实生活中的应用也非常广泛，比如物理学中的运动学问题、化学中的反应速率问题、经济学中的成本收益问题等。

学生在学习函数的过程中，需要注重将抽象的数学概念与实际问题相结合，通过解决实际问题来加深对函数的理解。

三、方程的基本概念方程是数学中另一个重要的概念，它是含有未知数的等式。

方程的解就是能够使该等式成立的未知数的值，方程的解集合通常称为方程的解集。

在高中数学中，经常遇到一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程等各种类型的方程。

一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b为常数且a不等于零；一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数且a不等于零。

四、方程的解法及应用解方程是数学学习的一大重点，学生需要掌握各种类型方程的解法。

比如一元一次方程可以通过逆运算消去形成的常数项来解得未知数的值，一元二次方程可以通过配方法、求根公式等方法来求解。

(word完整版)高中数学必修一3.1函数与方程练习题及答案

高中数学必修一 3.1函数与方程练习题及答案上述函数是幕函数的个数是 ( A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个A. 有且仅有一个根B. 至多有一个根C. 至少有一个根D.以上结论都不对A.14400亩B . 172800亩C .17280 亩D . 20736亩8. 若函数f x 既是幕函数又是反比例函数，则这个函数是f X = ________9. 幕函数f(x)的图象过点⑶丿27)，则f (x)的解析式是 ______________________2.已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、 (1,5)内，那么下面命题错误的(A.函数 f(x)在(1,2)或 2,3内有零点 B.函数 f(x)在(3,5)内无零点 C 屈数 f (X )在(2,5)内有零点 D.函数 f(x)在(2,4)内不一定有零点 3.若a0,b 0, ab 1 2 ，则l(log a b log 1 alog a blog 1 a A .2B. 2log a b log 1 alog a b log 1 aC . 2D.24. 求函数 f(x) 2x33x 1零点的个数为 D. 4C. 3( )ab与A. 1B. 2 log 1 a ln 2 log 】a2的关系是5.已知函数yf(x)有反函数，则方程f(x) 0(26.如果二次函数y x mx (m3)有两个不同的零点，则 m 的取值范围是(A. 2,6B. 2,6C.2,6D. , 2 U 6 ,7.某林场计划第一年造林10000亩,以后每年比前一年多造林 20%，则第四年造林(1.若y x2八八心i,y(x 1)2,y x,y a x (a 1)10. 用二分法”求方程X 3 2x 5 °在区间23］内的实根，取区间中点为 X 。

2.5，那么下一个有根的区间是 __________________11. 函数f （x ） lnx X 2的零点个数为 _________________ 12.设函数y f （x ）的图象在a,b 上连续，若满足 ________________ ，方程f （x ） °在a,b 上有实根.1f （x ） x — x 113.用定义证明：函数x在减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少?上是增函数14.设x1与x 2分别是实系数方程ax 2 bx c ° 禾a 2OX 0，求证：方程畀bx C°有仅有一根介于x1和x2之间.15.函数f(x)x 22ax 1 a在区间°」上有最大值2，求实数a 的值16.某商品进货单价为 4°元，若销售5°元，可卖出5°个，如果销售单价每涨1元，销售量就17.函数y xA.是奇函数，且在R 上是单调增函数B. 是奇函数，且在R 上是单调减函数C.是偶函数，且在R 上是单调增函数D. 是偶函数，且在R 上是单调减函数18.已知a log2 °.3,b2,c 0.2 ，则a,b,c 的大小关系是（22. 一个高中研究性学习小组对本地区2000年至2002年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 ___________ 万盒.A . a b cB . cC.a c bD.b19.函数f(x) x 5x 3的实数解落在的区间是（20.函数根的和为C 」2,3]D .【3,4]f（x ）对一切实数x ），并且方程f （x ）有三个实根，则这三个实21.若函数f(x) 4x x 2a的零点个数为3，则a126. 函数y = x +1的单调区间为 _____________ .27. 函数f （x ）= 2X 2— 3 | x |的单调减区间是 ____________x log 2 x23.已知 2x 256且2 ,求函数住） x 仮 log22 g’T 的最大值和最小值.224.函数y = = x - 6x + 10在区间( 2, 4）上是（A.递减函数B .递增函数 C. 先递减再递增D. 选递增再递减.25.函数 f (x )=- x 2 + 2 (a - 1) x + 2在（―汽 4）上是增函数，则a 的范围是（ A. a >5B . a > 3C. a w 3D. a w- 528. 确定函数y = x + x（x >0）的单调区间，并用定义证明.29. 快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如右图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45千米/时和15千米/时，已知AO 150千米，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？30. 设f (x)是定义在R上的增函数，f (xy)= f (x) + f(y), f (3)= 1,求解不等式f (x) + f(x- 2)> 1.2答案1. C. y x ,y X 是幕函数 2. C •唯一的零点必须在区间（1,3），而不在3,5log 1 a ln 2 0,得0 a 1,b1log a b 0,log 1 a 03. A. 224 C f (x) 2x 33x 1 2x 32x x21 2x(x 1) (x 1)(x 1)(2x 2 2x 1), 2x 2 2x1 0显然有两个实数根，共二个;5. B.可以有一个实数根，例如 y X 1，也可以没有实数根,例如y2X6. D. 2m 4(m 3)0,m 6或 m 237 C 10000(1 0.2)1728018. x 设 f (x) x ,则 139f(x)仮3 f (x) x ,图象过点(3,^27)，3丁27 3,3310. [2,2.5)令 f (x) x 2x 5, f(2) 1 0, f (2.5) 2.5 1011. 2分别作出f(x) ln x , g(x) x 2的图象；12. f （a ）f （b ）0见课本的定理内容1 f(X 2)(捲 X 2)(1 )x-|x 2即 f(x 1) f (X 2)1 x-i13.证明：设X 2, f (xj2f(x) X —• ••函数X在上是增函数xa 14.解：令 f(x) -X2bx c,由题意可知2ax1bx 1 c 2 0, ax 2bx2c 0ax 22, f(x 1) a 2bx 1 ca 2 2a 2bx 1 c ax 12, bx 2 c尹2X1ax 1尹f(X 2)a 2 ,a 223a 2x 2 bxcx 2 ax 2 2~2 X2,因为a0,X 1 0,X 215.解：对称轴x a ，所以a40x 50017. A. 18. C. 19. B.当x 20时,y取得最大值，所以应定价为f( x) ( x)3a log 2 0.3 0,b f (0) 3 0, f(1) 70元X 3 f (x)为奇函数且为增函数2°11,c 1 0, f(2)0.21.3 131 0, f(1)f(2)320. 2对称轴为1x _2，可见 2是个实根，另两个根关于1 2对称21. 4 作出函数x 2 4x与函数y 4的图象，发现它们恰有3个交点.f (X 1)f(X 2)0，即方程 2-x 2 bx有仅有一根介于X 2之间.当a 0, 0,1是f(x)的递减区间,f (x)max f(0) 当a 1, 0,1是f (X )的递增区间,f(x)maxf(1) a 2f (x)max f (a) aa 1 2,a1矛盾;16•解: 设最佳售价为(50 x)元,最大利润为y 元,y (50x)(50 x)(50 x) 4022. 85 2000年 30 1.0 30 (万) ； 2001 年 45 2.0 90 (万)；-30 90 135 x ------------------- 2002年：90 匸5 135 (万) ;31 23.解：由 2x 256 得 x 8 , log 2x 3 即 2f(x) (log 2 x 1)(log 2X 2) (log 2 x 3)222 _____________________24. C 解析：本题可以作出函数 y = x - 6x + 10的图象，根据图象可知函数在(2, 4) 上是先递减再递增. 25. A 解析：本题作出函数 f ( x )=- x 2 + 2 ( a - 1) x + 2的图象，可知此函数图象的对称轴是x = a—1,由图象可知，当 a -1 >4，即当 a >5时，函数 f (x )=- x 2 + 2 (a - 1) x + 2在(一^, 4)上是增函数.26. ( — 8, — 1) , (- 1 ,+◎3327. :0,4L (-m ,- 4 )28. 解：本题可利用计算机作出该函数的图象，通过图象求得单调区间，最后用单调性的定义证明. 答案：增区间(1,+8)，减区间(0, 1).29. 解：设经过x 小时后快艇和轮船之间的距离最短，距离设为 y ,y = .. (150-45x)2 + (15x)2 (0<x3 ，可求得当x = 3时，y 有最小值.答案：3小时.30. 解：由条件可得 f (x )+ f (x - 2)= f : x (x - 2)], 1 = f (3).所以 f [ x (x - 2) > f (3), 又f ( x )是定义在R 上的增函数，所以有x ( x - 2) > 3，可解得x > 3或x <- 1. 答案：x > 3或x <- 1.当log2x3f (x ) imil 2min14 当 log 2 x 3, f (X )max285 (万)log 2x 3。

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[答案] B
突破点一
突破点二
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结束
(2)(2017·南昌十校联考)若函数 f(x)满足 f(x)＋1＝fx＋1 1，当
x∈[0,1]时，f(x)＝x.若在区间(－1,1]内，g(x)＝f(x)－mx－2m 有
两个零点，则实数 m 的取值范围是
()
A.0，13
B.0，13
C.13，1
突破点二
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函数与方程
结束
考点贯通抓高考命题的“形”与“神” 由函数零点存在情况或个数求参数的范围
[例1] (1)(2017·昆明模拟)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间
(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是
()
A.15，＋∞ C.－1，15
B．(－∞，－1)∪15，＋∞ D．(－∞，－1)
突破点一
突破点二
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函数与方程
结束
[解析] 当 a＝0 时，f(x)＝1，与 x 轴无交点，不合题意，所以 a≠0.函数 f(x)＝3ax＋1－2a 在区间(－1,1)内是单调函数，又因为 f(x)＝3ax＋1－2a 在区间(－1,1)内存在一个零点，所以 f(－1)·f(1)<0，即(1－5a)(a＋1)<0，解得 a<－1 或 a>15，故选 B.
又 f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]的图象是连续的，
故 f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]上存在零点．
法二：令 f(x)＝0，得 x2－3x－18＝0，
∴(x－6)(x＋3)＝0，得 x＝6∈[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]上存在零点．[答案] B

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