计量经济学讲义

计量经济学讲义

第四讲 趋势和DF 检验（修订版）

此翻译稿制作学习之用，如有错误之处，文责自负。

趋势平稳序列（TS ）（图1和2）

一个趋势平稳序列绕着一个确定的趋势（序列的均值），其波动幅度不显示增大或者减小的趋势。

线性确定性趋势： t t t y εβα++= ),0(~2

σεiid t t=1,2,…

平方确定性趋势： t t t t y εγβα+++=2

),0(~2

σεiid t t=1,2,… 通常： t t t f y ε+=)( ),0(~2

σεiid t t=1,2,…

均值是是随时间变化的（川），但是方差是常数。t ε可以为任意平稳序列，也就是说，不一定要是白噪声过程。

通过拟合一个确定的多项式时间趋势，趋势可以来消除：拟合趋势后残差将给出一个去趋势的序列。

一个带线性确定性趋势AR （1）过程可以写作： t 1-t 1t )1)-t (y (t y εβαφβα+--=-- ),0(~2

σεiid t t=1,2,…

此处确定性趋势被t y 减去。然而在实践中，α、β是未知的而且必须估计出来。于是模型可以被重述为：

t 1-t 1111t y t )1()1(y εφβφβφαφ++-++-= 其中包含一个截距和一个趋势，也就是

t 1-t 1*

*t y t y εφβα+++=

此处 βφαφα11*)1(+-= 且 βφβ)1(1*

-=

若1||1<φ，那么此AR 过程就是围绕一个确定性趋势的平稳过程.

差分平稳序列（DF ）（也叫单整序列）和随机性趋势

如果一个非平稳序列可以由一个平稳序列通过d 次差分得到，那么我们说这个序列就是d 阶单整的，写做I （d ）.这一过程也因此叫做差分平稳过程（DSP ）.

因此，平稳序列就是零阶单整的，I （0）。白噪声序列是I （0）。

所以如果序列t d

t y w ∆=是平稳的，那么t y 就是I （d ）。∆是差分算子，即

等等2-t 1-t t 2-t 1-t 1-t t 1-t t t t 21-t t t y 2y y )y y ()y y ()y y (y y ,y y y +-=---=-∆=∆∆=∆-=∆

如果序列 1-t t t t y y y w -=∆= 是平稳的话，t y 是I （1）；

如果序列2-t 1-t t t 2

t y 2y y y w +-=∆= 是平稳的，t y 是I （2），

随机游走（图3）

t y 是随机游走的，如果满足 t t t y y ε+=-1 此处 ),0(~2

εσεiid t

这是一个AR （1）过程，且在t t t y y εφ+=-1中具有根1=φ这一序列被称为具有单位根，或者叫做1阶单整，I （1）。 注意：t t t y y ε=∆=--t 1y

假设此过程在t=0起始处有一个确定的值y0.那么，

101ε+=y y

210212εεε++=+=y y y

……

∑=+=++++=t

1

0t 2102...ττεεεεy y y (1)

注释：

(a) 在（1）式中，y t 被表示为初始值y 0和一个序列的局部的和

∑=t

1

τ

τε（即所谓的随机趋势）。所有随机冲击ε对序列y t 都有永久的影响，它们可以永久的改变y t 的水平，而在平稳

序列中，冲击的影响会随着时间的流逝而趋向于零。因此，称随机游走具有一个随机趋势。 (b) E （y t ）=y 0+t*0= y 0 [定值]

Var(y t )= Var(

∑=t

1

τ

τε)=t σ2

都时间依赖的，即，Var(y t )存在趋势。所以y t 是非平稳的。但是∆y t =t ε是平稳的。这也 叫做不带漂移的随机游走。

（c ） ∆y t =μ+t ε称作带漂移的随机游走。 现在，∆y t = y 0+t μ+

∑=t

1

τ

τε 可以推出 E （y t ）= y 0+t μ 均值具有趋势

Var(y t )= t σ2 方差具有趋势

就是说，不带漂移的随机游走只有方差具有趋势，而带漂移的随机游走均值和方差中都具有趋势，即不仅有确定性趋势y 0+t μ，也有随机性趋势

∑=t

1

τ

τε

（d ） 因此随机游走是一个I （1）序列。由于差分平稳序列通常可以用ARMA(p,q)表示，所以随机游走是一种特殊的I （1）序列。但是对于随机游走来说，其中),0(~2

σεiid t

[当由t t t y y ε+=-1t t y y ε∑+=⇒0时，我们使用单整这个词，总和≡单整] （e ）在t t t y y ε+=-1中，冲击的影响会持续到永远，而在平稳序列中，例如，t t t y y εφ+=-11中，冲击的影响会随着时间的流逝趋向于0。

（f ） 一个I （0）序列将围绕着均值波动，而且观测值会频繁的与这个值相交。I （1）序列会不断扩散而很少回到其早先的值。

（g ）对于I （0）序列其相关系数0→k ρ（迅速地）。对I （1）序列，其相关系数对于任何滞后期k 都在1附近。

（i ）当我们分析分平稳序列的时候，标准分布理论（中心极限定理）会失效。特别地，弱大数定律（WLLN ）也不成立。弱大数定律说的是：在一定条件下，当样本容量趋向于无穷的时候，样本距会收敛于总体距。

纯粹的随机游走和带漂移的随机游走的图示如下

-10

-5

5

10

20406080140160y=y(-1)+u

-20

0204060801001202004006008001000

with stochastic trend