微分方程第3章习题解

3-6
假设函数
f (x, y) 及 ∂f ∂y
都在区域 G 内连续，又 y
= ϕ (x, x0 , y0 ) 是方程
y′ = f (x, y)
满足初始条件
y0
=
ϕ(x0 , x0 ,
y0 ) 的解，试证
∂ϕ ∂y0
存在且连续，并写出其表达式。
证 1）因 f (x, y) 及 ∂f 都在区域 G 内连续，则 f 在 G 内满足局部利普希兹条件，故解 ∂y
y
=
⎪⎧0 ⎨
(x ≤ C)
3
。
⎪⎩(x − C) 2 (x > C) , C ≥ 0
评注：寻找解的存在唯一性定理中的条件所满足的区域，就是寻找 f (x, y) 连续和关于 y 满足利普希兹条件的区域，困难在于利普希兹条件的验证，除用定义外，还常用下面的结
论：
∂f 在 D 上存在且有界，则 f (x, y) 在 D 上关于 y 满足利普希兹条件。 ∂y
ϕ ( x1 ) > 0 ，由 ϕ ( x) 的连续性及ϕ ( x0 ) = 0 ，知必存在 x 0 ， x0 ≤x 0 ≤ x1 ，使得
ϕ (x0 ) = 0 及ϕ (x) > 0 ， x 0 ≤ x ≤ x1，
则有
x
∫ ϕ i ( x ) = ϕ i ( x 0 ) + x0 f ( x,ϕ i ( x))dx ， i = 1,2 。
解 设 f ( x, y) = x 2 − y 2 ，显然，方程在 D 上满足解的存在唯一性定理，则
M = max f (x, y) = 4, a = 1, b = 1， ( x,y )∈D
所以
b
11
h = min(a, ) = min(1, ) = ，
M
44
方程过点 (−1,0) 的解的存在区间为： x + 1 ≤ 1 ，即 − 5 ≤ x ≤ − 3 。
式
ϕn (x)
− ϕ (x)
≤
MLn h n+1 ，在进行近似计算时，可以根据误差的要求，选取适当的逐 (n + 1)!
步逼近函数ϕ n ( x) 。
3-3
dy
讨论方程
=
3
1
y 3 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点
dx 2
(0,0) 的一切解。
解
设
f
( x,
y)
=
3
1
y3
，则
x
∫ 而
ϕ(x) = ϕ1(x) − ϕ2 (x) =
[f
x0
(x,ϕ1 (x)) −
f
(x,ϕ 2 ( x))]dx
，其中 x 0 ≤
x≤
x1 。
由ϕ(x) = ϕ1 (x) − ϕ2 (x) > 0 及 f (x, y) 对 y 的不增性，知
x
∫ ϕ1(x) − ϕ2 (x) =
[f
x0
(x,ϕ1(x)) −
当 ε → 0+ 时，有 f (t) ≤ 0 。
因为 f (t) ≥ 0 ，即得 f (t) ≡ 0 ，从而
t
f (t) ≤ K exp( ∫α g (s)ds ), α ≤ t ≤ β
综上所述，不等式成立。 唯一性的证明。
设ϕ(t),ψ (t) 是初值问题 x′ = f (t, x), x(t0 ) = x0 的两个解，则有
t
t
∫ ∫ ϕ(t) = x0 + t0 f (ξ ,ϕ(ξ ))dξ ，ψ (t ) = x 0 +
f (ξ , ϕ (ξ )) dξ 。
t0
于是
t
t
∫ ∫ ϕ (t) −ψ (t) ≤ f (ξ ,ϕ (ξ )) − f (ξ ,ψ (ξ )) dξ ≤ L ϕ (ξ ) −ψ (ξ ) dξ ，
y′ = f (x, y) 的满足初始条件 y(x0 ) = y0 的解 y = y(x, x0 , y0 ) 对一切 x ≥ x0 有定义，试证
下列说法是等价的：
（1） 任 给 ε > 0 ， 可 以 找 到 正 数 δ = δ (ε , x0 ) ， 使 当 y0 ≤ δ 时 ， 对 一 切 x ≥0 和 x0 ≥ x0 ，存在 δ 2 > 0 ，使 y(x0 , x0 , y0 ) ≤ δ 2 ，对一切 x ≥ x0 ，
有 y(x, x0 , y0 ) < ε ，因为方程的解 y = y( x, x0 , y0 ) 在 G 内连续依赖于初值 (x0 , y 0 ) ，
第三章 一阶微分方程的解的存在定理
3-1 求下列初值问题的近似解。
⎧dy ⎪
=
x
+
y2
1） 求初值问题 ⎨ dx
的第三次近似解；
⎪⎩ y(0) = 0
⎧dy ⎪
=
x
−
y2
2） 求初值问题 ⎨ dx
的第二次近似解。
⎪⎩ y(1) = 0
解 由解的存在唯一性定理知，1），2）中的初值问题的解分别在 (0,0) ， (1,0) 的邻域
x
∫ y = y0 +
f (x, y)dx
x0
。
即
x
x
∫ ∫ φ = y0 +
x0 f (x, φ)dx 和 ψ = y0 + ∆y0 +
2
∂f
=
1
y
2 −
3
(y
≠
0)
，
∂y 2
故在 y ≠ 0 的任何区域上 ∂f 存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一 ∂y
性定理的条件。
显然， y ≡ 0 是通过点 (0,0) 的一个解；
又由方程
dy
=
3
1
y3
得
dx 2
3
y = (x − C)2 。
所以通过点 (0,0) 的一切解为 y ≡ 0及
即有
t
f (t) ≤ w(t) ≤ K exp(∫α g(s)ds), α ≤ t ≤ β 。
t
∫ 2） K = 0 时，对任意ε > 0 ，由于 f (t ) ≤ f (s) g (s)ds , 所以 α t f (t) ≤ ε + ∫α f (s) g(s)ds,
由 1）有
t
f (t) ≤ ε exp( ∫α g (s)ds ),
4
4
4
设ϕ(x) 是初值问题
⎧dy ⎪
=
x2
−
y2
⎨ dx
⎪⎩ y(−1) = 0
的解， ϕ2 (x) 是第二次近似解，则
ϕ0 (x) = 0,
∫ ϕ 1 ( x) =
x x 2 dx
=
x3
1 +
，
−1
33
∫ ϕ 2 ( x) =
x [x2
x3 −(
+
1 ) 2 ]dx
=
−
x7
−
x4
+
x3
−
x
+
11
。
−1
33
63 18 3 9 42
在区间
x
+1
≤
1 4
上， ϕ 2
(x) 与ϕ(x)
的误差为
ϕ2 (x) − ϕ(x)
≤
ML2 h3 (2 + 1)!
=
4 L2 3!
1 43
，
取 ∂f = − 2 y ≤ 2 = L ， ∂y
4⋅22 1 1
所以
ϕ2 (x) − ϕ(x) ≤
=。 3! 43 24
评注：需要掌握第 n 次近似解ϕ n (x) 和真正解 ϕ (x) 在区间 x − x0 ≤ h 内的误差估计公
t0
t0
其中 L 为利普希兹常数，由上面的不等式可知
0 ≤ ϕ(t) −ψ (t) ≤ 0，
因而有ϕ(t) ≡ ψ (t) 。
评注：格朗瓦耳不等式是微分方程中的重要不等式，表明积分不等式与其解的关系。用 格朗瓦耳不等式证明微分方程初值问题解的唯一性是一个很好的方法。
3-5 假定函数 f ( x, y) 于 (x0 , y0 ) 的邻域内是 y 的不增函数，试证初值问题
内存在且唯一。下面求它们的近似解。
1） φ0 (x) = 0 ，
x
x2
∫ φ1 ( x) =
xdx =
0
2
，
x
x4
x5 x2
∫ φ2 (x) =
[x +
0
]dx = +
4
20
2
，
∫ φ3 (x) =
x⎡
⎛ x5
x2
2
⎞
⎤
0
⎢x ⎢⎣
+
⎜⎜ ⎝
20
+
2
⎟⎟ ⎠
⎥dx = ⎥⎦
x2 x5 x8
x 11
++ +
y = ϕ ( x, x0 , y0 ) 在它的存在范围内对 x, x0 , y0 连续。 2）设由初值 (x0 , y0 ) 和 (x0 , y0 + ∆y0 ), ∆y0 足够小，所确定的解分别为
y = ϕ(x, x0 , y0 )
和
y = ψ (x, x0 , y0 + ∆y0 ) ，
则这两个解均满足积分方程
∂f 在 D 上存在且无界，则 f (x, y) 在 D 上关于 y 不满足利普希兹条件。 ∂y
其中 D 为某矩形区域。 3-4 证 明 格 朗 瓦 耳 (Gronwall) 不 等 式 ： 设 K 为 非 负 常 数 ， f (t) 和 g(t) 为 在 区 间