_多面体外接球的求法

（ 得 ６）＋ （ １ ０） ＝４， 槡 槡 槡
２
２
ＡＤ 长方体外接球的 半 径 长 为 Ｒ＝｜ ｜＝２， 则四面体 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ２
２ 外接球的表面积为 ４ Ｒ ＝１ ６ π π．
（ ） 解析 ： 将四 面 体 Ａ 则长 １ Ｂ Ｃ Ｄ 放 入 长 方 体 如 图 所 示， 方体外接球即为四 面 体 Ａ 由于长方体外接 Ｂ Ｃ Ｄ 的 外 接 球． 球的半径长 为 Ｒ ＝
１ ０
— — — 卡罗斯 数学名言 没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性 ．
解析 ： 将四面体 Ａ 则长方 体 Ｂ Ｃ Ｄ 放入长方体如图所示 ， 由于长方体的对角线 外接球即为四面体 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的 外 接 球．
２ ２ 长为｜ ＡＤ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ ｜＝ 槡 ｜ ｜ ＋｜ ｜＝
２ ２ ２ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ２ ２ 因为｜ ＝２， Ｄ Ｃ ＡＤ１ ａ· 槡 ｂ ＋ ｃ ｜·｜ ｜＝ ≤ ２ ２ ２ ２ 当且仅当 ａ 时等号成立 ， ＝ ｂ ＋ ｃ ２ ２ ２ 又ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝４，
即当 ａ＝槡 ２时 ， Ｄ Ｃ ＡＤ１ ｜ ｜·｜ ｜取最大值 ２． 而三棱锥 Ｂ Ａ Ｄ Ｄ Ａ Ｂ Ａ ＝ Ａ Ｂ ＝ ａ， ｜ ｜ ｜ ｜ １－ １ 的高 Ｂ １ １ 的长 １ １ 因此 ， 当｜ 三棱锥 Ｂ Ｄ Ｃ ＡＤ１ ｜·｜ ｜的值最大时 ， １ －ＡＤＤ １ 的高为槡 ２．
多面体外接球的求法
广东 郑荣坤
那么 如果一个 多 面 体 的 每 个 顶 点 都 在 同 一 个 球 面 上 ， 这个球称为多 面 体 的 外 接 球 ， 这个多面体称为球的内接多 面体 ． 求多面体外接球是高考 的 高 频 考 点 ， 而抽象的空间想 “ 因此 ， 求 多 面 体 外 接 球” 也是学生 象通常让学生一片茫然 ， 认为较难的考 点 ． 虽 然 它 比 较 抽 象， 但 也 不 是 无 法 可 依， 下 面笔者归纳常见的解题方法 ， 与读者共勉 ．
一、 长方体 （ 正方体 ） 外接球
由多面体的外 接 球 定 义 可 知 ， 多面体外接球的球心到 而长方体（ 正 方 体） 对角线 多面体每个顶 点 的 距 离 都 相 等 ． 中点到每个顶点的距离都相 等 ， 因此， 长方体（ 正方 体） 对角 线中点就是其外接球的球心 ． 下面给予证明 ． 已知 ： 如图所示 ， 长方体 Ａ 对角线 Ｂ Ｃ Ｄ－Ａ１Ｂ Ｃ １ １Ｄ １ 中，
二、 补形法
求证 ： Ｏ Ａ＝Ｏ Ｂ＝Ｏ Ｃ＝Ｏ Ｄ＝Ｏ Ａ１ ＝Ｏ Ｂ Ｏ Ｃ Ｏ Ｄ１ ． １＝ １＝ 证明 ： 连接 Ａ Ｂ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ １， １ 得四边形 Ａ １ １Ｄ 如图所示 ， 对于一些 比 较 特 殊 的 多 面 体 ， 将其放入长方体（ 正方 体） 中， 当多面体的每个顶点都为长方体（ 正 方 体） 的顶点 多面体的外接球就是所放 入 长 方 体 （ 正方体） 的 外 接 球， 时， 、 称这种求多面体外接球的方 法 为 补 形 法 ． 特殊三棱锥（ 柱） 四棱锥 （ 柱） 外 接 球 的 求 解 常 采 用 补 形 法， 下列以三棱锥为 例， 说明如何利用补形法求解特殊多面体的外接球 ． 四边形 Ａ 由矩形对角线互相平分且相等， Ｂ Ｃ Ｄ 为矩形， １ １ 得Ｏ Ａ＝Ｏ Ｂ Ｏ Ｃ Ｏ Ｄ． １＝ １＝ 同理容易证 ： “ 垂角 ” 三棱锥 １． “ 垂角 ” 三棱锥 ： 侧棱垂直于 底 面 ， 底面是直角三角形的 三棱锥就称为 “ 垂角 ” 三棱锥 ． 【 】 （ 例２ 在四面体 Ａ １） Ｂ Ｃ Ｄ 中， Ａ Ｂ ⊥Ａ Ｃ， Ａ Ｃ ⊥ ＡＤ， 则该四面体外接球 Ａ Ｂ⊥ＡＤ， Ａ Ｂ＝３， Ａ Ｃ＝槡 ６， ＡＤ ＝ 槡 １ ０， 的表面积为 ．
２ ＋（ ６）＋ （ １ ０） ５ ， ３ 槡 槡 槡 则四面体 ＝ ２ ２
２
２
２
５ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 外接球的表面积为 ４ Ｒ ＝４ π π× ２
５ π． （ ）＝２ 【 评注 】 将“ 棱 面” 三 棱 锥 补 为 长 方 体， 长方体的外接球 为该三棱锥的外接球 ． 但在操 作 过 程 中 ， 务必选好四面体中 的一组对棱 ， 其中一条要同时 垂 直 于 两 条 异 面 棱 ， 将这条棱 作为长方体的棱 ， 它的对棱作 为 对 面 的 对 角 线 ． 例如上述例 由于 Ａ 则把 Ａ 题， Ｂ⊥Ｂ Ｄ， Ａ Ｂ⊥Ａ Ｃ， Ｂ 作 为 长 方 体 的 侧 棱， 由于 Ａ Ａ Ｂ 对棱 Ｃ Ｄ 作为长 方 体 一 个 面 的 对 角 线 ， Ｃ⊥Ｃ Ｄ， 则把 Ａ 进一步确定棱 Ｃ Ｃ 作为长方体的另一条侧棱 ， Ｄ 在长 方体中的具体位置 ． “ 对等 ” 三棱锥 ３． “ 对等 ” 三棱锥 ： 三组对棱分 别 相 等 ， 三棱锥的六条棱可 以看成是长方体六个面的面对角线 ． 【 】 ， 例４ 在四 面 体 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中， Ａ Ｃ＝Ｂ Ｄ＝３ Ａ Ｄ＝Ｂ Ｃ＝槡 ６， 则该四面体外接球的表面积为 ． Ａ Ｂ＝Ｃ Ｄ＝ 槡 １ ０，
Ｏ Ａ＝Ｏ Ｂ＝Ｏ Ｃ＝Ｏ Ｄ＝Ｏ Ａ１ ＝Ｏ Ｂ Ｏ Ｃ Ｏ Ｄ１ ． １＝ １＝
【 】 例１ 已知长方体 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ －Ａ１Ｂ Ｃ １ １Ｄ １ 的所有顶点在 一个球面 上 ， 若球的表面积为４ 当｜ Ｄ Ｃ ＡＤ１｜的 值 最 π， ｜·｜ 大时 ， 则三棱锥 Ｂ １ －ＡＤＤ １ 的高为 ． 解析 ： 如图 所 示 ， 设长方体 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ －Ａ１Ｂ Ｃ １ １Ｄ １ 的外接 球的半径为 Ｒ，
Ａ Ｂ ａ， ＡＤ ｂ， Ａ Ａ１ ｃ． ｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ｜ ｜＝
２ 由４ 解得 Ｒ＝１． Ｒ ＝４ π π，
由长方体外接球的 球 心 为 体 对 角 线 Ａ 得 Ｃ １ 的 中 点 Ｏ，
２ ２ ２ 则ａ Ａ Ｃ Ｒ＝２， ＋ ｂ ＋ ｃ ＝４． ｜ ｜＝２ １
（ Байду номын сангаас 在四面体 Ａ ２ Ｂ Ｃ Ｄ 中， Ａ Ｂ⊥Ｂ Ｄ， Ａ Ｃ⊥Ａ Ｂ， Ａ Ｃ⊥Ｂ Ｄ， Ａ Ｂ＝ ， ， ， 则该四面体外接球的体积为 ． ３ Ａ Ｃ＝槡 ６ Ｂ Ｄ＝ 槡 １ ０
Ａ Ｃ １ 的中点为 Ｏ．
【 评注 】 因为长方体 （ 正方 体 ） 外接球的球心为其对角线 所以长 方 体 （ 正 方 体） 对角线的长为其外接球半径 的中点 ， 长的两倍 ． 如果长 方 体 的 共 端 点 的 三 条 棱 长 分 别 为 ａ， ｂ， ｃ，
２ ２ ２ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ 则其外接球的半径长为 Ｒ＝ 槡 ． ２